Produkční funkce a její vlastnosti. Technologická a ekonomická účinnost. Základy teorie výroby a výrobní funkce

ekonomická funkce venkovské náklady

Abychom popsali chování firmy, je nutné vědět, kolik produktů dokáže vyprodukovat s využitím zdrojů v určitých objemech. Vycházíme z předpokladu, že firma vyrábí homogenní produkt, jehož množství se měří v přírodních jednotkách - tunách, kusech, metrech atd. Závislost množství produktu, které může firma vyprodukovat na objemu nákladů na zdroje, se nazývá produkční funkce.

Podnik však může provádět výrobní proces různými způsoby, s použitím různých technologických metod, různých možností organizace výroby, takže množství produktu získaného při stejných nákladech na zdroje se může lišit. Firemní manažeři by měli odmítnout možnosti výroby, které přinášejí nižší výkon, pokud lze získat větší výkon za stejnou cenu každého typu zdroje. Podobně by měli odmítnout možnosti, které vyžadují velké výdaje alespoň jednoho zdroje, aniž by se zvýšil výnos a snížily náklady na jiné zdroje. Možnosti odmítnuté z těchto důvodů se nazývají technicky neúčinné.

Řekněme, že vaše společnost vyrábí ledničky. Chcete-li vytvořit případ, musíte vystřihnout plech. V závislosti na tom, jak bude standardní plech ze železa označen a ořezán, lze z něj vyříznout více či méně dílů; respektive pro výrobu určité množství chladničky budou potřebovat méně nebo více standardních železných plechů. Současně zůstane nezměněna spotřeba všech ostatních materiálů, práce, vybavení a elektřiny. Taková možnost výroby, kterou lze zlepšit racionálnějším řezáním železa, by měla být uznána jako technicky neúčinná a zamítnuta.

Nazývají se technicky efektivní možnosti výroby, které nelze zlepšit ani zvýšením výroby produktu bez zvýšení spotřeby zdrojů, ani snížením nákladů na jakýkoli zdroj bez snížení výkonu a bez zvýšení nákladů na jiné zdroje. Produkční funkce zohledňuje pouze technicky efektivní možnosti. Jeho hodnota je největší množství produktu, které může podnik vyprodukovat pro daný objem spotřeby zdrojů.

Podívejme se nejprve na nejjednodušší případ: podnik vyrábí jeden typ produktu a spotřebovává jeden typ zdroje. Ve skutečnosti je obtížné najít příklad takové produkce. I když vezmeme v úvahu společnost, která poskytuje klientům služby doma bez použití jakéhokoli vybavení a materiálů (masáže, doučování) a spotřebovává pouze práci zaměstnanců, museli bychom předpokládat, že zaměstnanci procházejí klienty pěšky (bez využití přepravních služeb) a vyjednávají s klienty bez pomoci pošty a telefonu.

Takže podnik, který utrácí zdroj ve výši x, může vyprodukovat produkt ve výši q. Produkční funkce

vytváří spojení mezi těmito veličinami. Všimněte si, že stejně jako v jiných přednáškách jsou všechna objemová množství veličinami typu toku: objem nákladů na zdroje se měří počtem jednotek zdroje za jednotku času a výstupní objem se měří počtem jednotek produktu za jednotku času.

Na obr. 1 ukazuje graf produkční funkce pro uvažovaný případ. Všechny body v grafu odpovídají technicky efektivním možnostem, zejména bodům A a B. Bod C odpovídá neúčinné možnosti a bod D nedosažitelné možnosti.

Postava: 1.

Produkční funkce formuláře (1), která stanoví závislost objemu výroby na objemu nákladů jednoho zdroje, lze použít nejen pro ilustrativní účely. Je také užitečné, když se může změnit spotřeba pouze jednoho zdroje a náklady na všechny ostatní zdroje by se z nějakého důvodu měly považovat za pevné. V těchto případech je zajímavá závislost objemu výroby na nákladech jednoho variabilního faktoru.

Při zvažování produkční funkce, která závisí na objemech dvou spotřebovaných zdrojů, se objeví mnohem více rozmanitosti:

q \u003d f (x 1, x 2), (2)

Analýza těchto funkcí usnadňuje přechod na obecný případ, kdy může být jakékoli množství zdrojů. Kromě toho jsou v praxi široce používány produkční funkce dvou argumentů, když se výzkumník zajímá o závislost produkce produktu na nejdůležitějších faktorech - mzdové náklady (L) a kapitál (K):

q \u003d f (L, K), (3)

Graf funkce dvou proměnných nelze vykreslit do roviny. Produkční funkce formuláře (2) může být reprezentována v trojrozměrném karteziánském prostoru, jehož dvě souřadnice (x 1 a x 2) jsou vyneseny na vodorovných osách a odpovídají nákladům na zdroje a třetí (q) je vynesen na svislou osu a odpovídá výstupu produktu (obr. 2) ... Děj produkční funkce je povrch „kopce“, který se zvyšuje s růstem každé ze souřadnic x 1 a x 2. Konstrukce na obr. 1 lze v tomto případě považovat za svislý řez „kopcem“ rovinou rovnoběžnou s osou x 1 a odpovídající pevné hodnotě druhé souřadnice x 2 \u003d x * 2.

Postava: 2.

venkovské ekonomické náklady

Vodorovná část „kopce“ spojuje výrobní možnosti charakterizované pevným výstupem q \u003d q * při různých kombinacích nákladů na první a druhý zdroj. Pokud je vodorovná část povrchu „kopce“ vynesena samostatně na rovinu se souřadnicemi x 1 a x 2, získá se křivka, která kombinuje takové kombinace nákladů na zdroje, které umožňují získat daný pevný objem výstupu produktu (obr. 3). Tato křivka se nazývá izokvanta produkční funkce (z řeckého isozu - stejného a latinského kvanta - kolik).

Postava: 3.

Předpokládejme, že produkční funkce popisuje výstup v závislosti na vstupu práce a kapitálu. Stejné množství produkce lze získat při různých kombinacích nákladů na tyto zdroje. Můžete použít malý počet strojů (tj. Vycházet s malou investicí kapitálu), ale budete muset vynaložit hodně práce; je naopak možné mechanizovat určité operace, zvýšit počet strojů a tím snížit náklady na pracovní sílu. Pokud se všemi takovými kombinacemi zůstane největší možný objem výstupu konstantní, pak jsou tyto kombinace zobrazeny tečkami ležícími na stejné izokvantě.

Upevněním výstupu produktu na jiné úrovni získáme další izokantant stejné produkční funkce. Poté, co jsme vytvořili řadu vodorovných řezů v různých výškách, dostaneme takzvanou mapu izokantů (obr. 4) - nejběžnější grafické znázornění produkční funkce dvou argumentů. Vypadá to jako geografická mapa, na které je terén zobrazen konturami (jinak izohypsy) - liniemi spojujícími body ležící ve stejné výšce.

Je snadné si všimnout, že produkční funkce je v mnoha ohledech podobná funkci užitné v teorii spotřeby, izokvanta k indiferenční křivce, izokvanta k indiferenční mapě. Později uvidíme, že vlastnosti a charakteristiky produkční funkce mají v teorii spotřeby mnoho analogií. A nejde o jednoduchou podobnost. Ve vztahu ke zdrojům se firma chová jako spotřebitel a produkční funkce charakterizuje právě tuto stránku výroby - produkci jako spotřebu. Konkrétní sada zdrojů je užitečná pro produkci, pokud vám umožňuje získat odpovídající množství výstupu produktu. Můžeme říci, že hodnoty produkční funkce vyjadřují užitečnost pro produkci odpovídající sady zdrojů. Na rozdíl od spotřebitelské utility má tato „utilita“ přesně definované kvantitativní měřítko - je určována objemem vyrobených produktů.

Postava: 4.

Skutečnost, že hodnoty produkční funkce odkazují na technicky efektivní možnosti a charakterizují nejvyšší výstup, když je spotřebována daná sada zdrojů, má obdobu v teorii spotřeby. Spotřebitel může získané zboží použít různými způsoby. Užitečnost zakoupeného souboru zboží je určena takovým způsobem jeho použití, při kterém je spotřebitel spokojen.

Se všemi známými podobnostmi mezi užitkovou hodnotou pro spotřebitele a „užitnou hodnotou“ vyjádřenou hodnotami produkční funkce se však jedná o zcela odlišné pojmy. Sám spotřebitel, vycházející pouze ze svých vlastních preferencí, určuje, jak užitečný je pro něj ten či onen produkt - nákupem nebo odmítnutím. Sada výrobních zdrojů se nakonec ukáže jako užitečná do té míry, že spotřebitel schválí produkt, který je vyroben pomocí těchto zdrojů.

Protože produkční funkce má nejobecnější vlastnosti užitkové funkce, můžeme dále uvažovat o jejích hlavních vlastnostech, aniž bychom opakovali podrobné úvahy uvedené v části II.

Budeme předpokládat, že zvýšení nákladů jednoho ze zdrojů se stálými náklady druhého vám umožní zvýšit výkon. To znamená, že produkční funkce je rostoucí funkcí každého z jejích argumentů. Jeden izokvanta prochází každým bodem roviny zdrojů se souřadnicemi x 1, x 2. Všechny isoquants mají negativní sklon. Izokvant odpovídající vyššímu výtěžku produktu je umístěn vpravo a nad izokvantem pro menší výtěžek. Nakonec se předpokládá, že všechny izoquanty jsou konvexní ve směru původu.

Na obr. 5 ukazuje některé mapy izokantantů charakterizujících různé situace vyplývající z produkční spotřeby dvou zdrojů. Postava: 5 odpovídá a absolutní substituci zdrojů. V případě znázorněném na obr. 5b, první zdroj může být zcela nahrazen druhým: isoquant body umístěné na ose x 2 ukazují množství druhého zdroje, což umožňuje získání jednoho nebo jiného výstupu produktu bez použití prvního zdroje. Použití prvního zdroje vám umožňuje snížit náklady druhého, ale není možné úplně nahradit druhý prostředek prvním. Postava: 5c zobrazuje situaci, kdy jsou zapotřebí oba zdroje a žádný z nich nemůže být úplně nahrazen druhým. Nakonec případ znázorněný na obr. 5, d, se vyznačuje absolutní komplementaritou zdrojů.

Postava: Pět.

Produkční funkce, která závisí na dvou argumentech, je docela intuitivní a relativně snadno vypočítatelná. Je třeba poznamenat, že ekonomika využívá produkční funkce různých objektů - podniků, průmyslových odvětví, národní a světové ekonomiky. Nejčastěji se jedná o funkce formuláře (3); někdy je přidán třetí argument - náklady přírodní zdroje (N):

q \u003d f (L, K, N), (4)

To dává smysl, pokud je množství přírodních zdrojů zapojených do výrobních činností proměnlivé.

V aplikovaném ekonomickém výzkumu a v ekonomická teorie používají se různé typy produkčních funkcí. V aplikovaných výpočtech nás požadavky praktické vypočítatelnosti nutí omezit se na malý počet faktorů a tyto faktory se berou v úvahu souhrnně - „práce“ bez rozdělení podle profese a kvalifikace, „kapitál“ bez zohlednění jeho konkrétního složení atd. V teoretické analýze výroby lze abstrahovat od obtížnosti praktické vypočítatelnosti.

Suroviny různých tříd by měly být považovány za různé typy zdrojů, stejně jako stroje různých značek nebo práce, které se liší v profesionálních a kvalifikačních charakteristikách. Teoreticky je tedy produkční funkce funkcí velkého počtu argumentů:

q \u003d f (x 1, x 2, ..., x n), (5)

Stejný přístup byl aplikován v teorii spotřeby, kde počet druhů spotřebovaného zboží nebyl nijak omezen.

Všechno, co bylo řečeno dříve o produkční funkci dvou argumentů, lze samozřejmě přenést na funkci formy (4) s výhradami týkajícími se dimenze. Isoquants funkce (4) nejsou rovinné křivky, ale n-rozměrné povrchy. Přesto budeme i nadále používat „ploché izoquanty“ jak pro ilustrativní účely, tak jako vhodný prostředek analýzy v případech, kdy jsou náklady na dva zdroje variabilní a zbytek je považován za pevný.

Druhy produkční funkce jsou uvedeny v tabulce 1.

Tabulka 1. Typy produkčních funkcí

Název PF	Dvoufaktorový PF	Použitím
1. Funkce s pevným poměrem faktorů (Leont'ev PF)		Navrženo tak, aby simulovalo přísně deterministické technologie, které neumožňují odchylky od technologických norem pro využívání zdrojů na jednotku výroby.
2. PF Cobb-Douglas		Používá se k popisu středně velkých objektů (od průmyslového sdružení po průmysl), které se vyznačují stabilním a stabilním fungováním.
3. Lineární PF		Používá se k modelování rozsáhlých systémů (velký průmysl, obecně n-x), ve kterých je výstup produktů výsledkem současného provozu mnoha různých technologií.
4. Allenův PF		Navrženo k popisu výrobní procesyve kterých má nadměrný růst některého z faktorů negativní dopad na objem produkce. Obvykle se používá k popisu malých PS s omezenými možnostmi zpracování zdrojů.
5. PF konstantní elasticity substitučních faktorů (CES nebo CES)		Používá se v případech, kdy neexistují přesné informace o úrovni zaměnitelnosti výrobních faktorů a je důvod předpokládat, že se tato úroveň významně nemění se změnou objemu příslušných zdrojů.
6. PF s lineární substituční elasticitou faktoru (LES)
7. Solowova funkce		Lze jej použít v přibližně stejných situacích jako PF SEZ, ale základní předpoklady, které jsou jeho základem, jsou slabší než předpoklady pro SEW. Doporučuje se, když se zdá, že předpoklad jednotnosti je neopodstatněný. Dokáže simulovat systémy jakéhokoli rozsahu.

Neoklasické modely ekonomického růstu jsou postaveny na základě produkční funkce a jsou založeny na předpokladech plné zaměstnanosti, cenové flexibility na všech trzích a plné zaměnitelnosti výrobních faktorů. Pokusy zkoumat, do jaké míry ovlivňují kvalita výrobních faktorů (jejich produktivita) a různé podíly v jejich kombinaci ekonomický růst, vedly k vytvoření Cobb-Douglasova produkčního funkčního modelu.

Funkce Cobb-Douglas byla poprvé navržena Knutem Wicksellem. V roce 1928 statisticky testován Charlesem Cobbem a Paulem Douglasem v Teorii výroby (březen, 1928). V tomto článku byl učiněn pokus empiricky určit dopad kapitálu a práce na objem produktů vyrobených ve zpracovatelském průmyslu v USA.

Cobb-Douglasova produkční funkce je závislost objemu produkce Q na práci L a kapitálu K, které ji vytvářejí.

Celkový pohled na funkci:

kde A je technologický faktor,

b - koeficient pružnosti pro práci a

c - koeficient elasticity kapitálu.

Poprvé byla Cobb-Douglasova funkce získána jako výsledek matematické transformace nejjednodušší dvoufaktorové produkční funkce y \u003d f (x1, x2), která odráží vztah mezi objemem produkce y a dvěma typy zdrojů: materiál x1 (náklady na suroviny, energii, dopravu a další zdroje) a práce x2. Funkce Cobb-Douglas ukazuje, kolik z celkového produktu je odměněno za výrobní faktor podílející se na jeho vytvoření.

Jednoznačné kvantitativní stanovení podílu každého výrobního zdroje na konečném produktu je tedy obtížné, protože výroba je možná pouze při vzájemném působení všech faktorů a vliv každého faktoru závisí jak na objemu jeho použití, tak na objemu využití jiných zdrojů.

Konstrukce výrobních funkcí umožňuje, i když ne zcela přesně, určit vliv každého ze zdrojů na výsledek výroby, předvídat změny v objemu výroby se změnami v objemu zdrojů, určit optimální kombinaci zdrojů k získání daného množství produktů.

Produkční funkce - závislost objemů výroby na množství a kvalitě dostupných výrobních faktorů, vyjádřená pomocí matematického modelu. Produkční funkce umožňuje identifikovat optimální velikost náklady potřebné k výrobě určité části zboží. V tomto případě je funkce vždy určena pro konkrétní technologii - integrace nového vývoje s sebou nese potřebu revidovat závislost.

Produkční funkce: obecný pohled a vlastnosti

Produkční funkce se vyznačují následujícími vlastnostmi:

• Zvýšení objemů produkce v důsledku jednoho výrobního faktoru je vždy extrémní (například v jedné místnosti může pracovat omezený počet specialistů).

• Výrobní faktory jsou zaměnitelné ( lidské zdroje nahrazeny roboty) a doplňkové (pracovníci potřebují nástroje a stroje).

V obecný pohled produkční funkce vypadá takto:

Q = f (K., M, L, T, N),

Charakterizuje vztah mezi množstvím použitých zdrojů () a maximálním možným výstupem, kterého lze dosáhnout za předpokladu, že jsou všechny dostupné zdroje použity nejracionálnějším způsobem.

Produkční funkce má následující vlastnosti:

1. Existuje zvýšení produkce, kterého lze dosáhnout zvýšením jednoho zdroje a stálostí dalších zdrojů. Pokud například v zemědělství zvýšit množství práce stálým množstvím kapitálu a půdy, pak dříve či později nastane okamžik, kdy produkce přestane růst.

2. Zdroje se navzájem doplňují, ale v určitých mezích je možná i jejich zaměnitelnost bez snížení produkce. Například manuální práci lze nahradit více stroji a naopak.

3. Čím delší je časové období, tím více zdrojů lze revidovat. V tomto ohledu existují okamžitá, krátká a dlouhá období. Okamžité období -období, kdy jsou opraveny všechny zdroje. Krátké období - období, kdy je opraven alespoň jeden zdroj. Dlouhé období - období, kdy jsou všechny zdroje variabilní.

Obvykle se v mikroekonomii analyzuje dvoufaktorová produkční funkce, která odráží závislost výstupu (q) na použitém množství práce () a kapitálu (). Připomeňme, že kapitál znamená výrobní prostředky, tj. počet strojů a zařízení použitých při výrobě a měřených ve strojových hodinách (téma 2, bod 2.2). Na druhé straně se množství práce měří v člověkohodinách.

Dotyčná produkční funkce obvykle vypadá takto:

A, α, β - dané parametry. Parametr A Je koeficient celkové produktivity výrobních faktorů. Odráží to vliv technický pokrok pro výrobu: pokud výrobce implementuje pokročilé technologie, hodnota A zvyšuje, tj. výstup se zvyšuje se stejným množstvím práce a kapitálu. Parametry α a β Jsou koeficienty pružnosti výstupu z hlediska kapitálu, respektive práce. Jinými slovy, ukazují, o kolik procent se mění výstup, když se kapitál (práce) změní o jedno procento. Tyto koeficienty jsou kladné, ale menší než jeden. To znamená, že s růstem práce s konstantním kapitálem (nebo kapitálem s konstantní prací) o jedno procento se produkce zvyšuje v menší míře.

Konstrukce izokantátu

Výše uvedená produkční funkce naznačuje, že výrobce může nahradit práci kapitánem a kapitál prací, přičemž produkci ponechá beze změny. Například v zemědělství ve vyspělých zemích je práce vysoce mechanizovaná, tj. na jednoho pracovníka je mnoho strojů (kapitálu). Naopak v rozvojové země stejného objemu výroby je dosaženo velkým množstvím práce s malým kapitálem. To vám umožní vytvořit izokvanta (obr. 8.1).

Isoquanta (stejná produktová řada) odráží všechny kombinace dvou výrobních faktorů (práce a kapitálu), u nichž produkce zůstává nezměněna. Na obr. 8.1 vedle isoquantu je odpovídající vydání. Výstup je tedy dosažitelný pomocí práce a kapitálu nebo pomocí práce a kapitána.

Postava: 8.1. Isoquanta

Možné jsou i jiné kombinace objemů práce a kapitálu potřebných k dosažení daného výstupu.

Všechny kombinace zdrojů odpovídající danému izoquantu odrážejí technicky efektivní výrobní metody. Způsob výroby A je technicky efektivní ve srovnání s metodou V, pokud to vyžaduje použití alespoň jednoho zdroje v menším množství a všech ostatních ne ve velkém množství ve srovnání s metodou V... Proto metoda V je technicky neúčinný ve srovnání s A. Technicky ne efektivní způsoby produkce není využívána racionálními podnikateli a nepatří do produkční funkce.

Z výše uvedeného vyplývá, že izokvanta nemůže mít kladný sklon, jak ukazuje obr. 8.2.

Tečkovaná čára představuje všechny technicky neefektivní způsoby výroby. Zejména ve srovnání s metodou A cesta V zajistit stejný výstup () vyžaduje stejné množství kapitálu, ale více práce. Je tedy zřejmé, že cesta B není racionální a nelze jej brát v úvahu.

Na základě izokvantu je možné určit mezní míru technické substituce.

Mezní míra technické substituce faktoru Y faktorem X (MRTS XY) Je množství faktoru (například kapitálu), od kterého lze upustit, když se faktor (například práce) zvýší o 1 jednotku, aby se výstup nezměnil (zůstaneme na stejné izokvantě).

Postava: 8.2. Technicky efektivní a neefektivní výroba

V důsledku toho se mezní sazba technické náhrady kapitálu prací vypočítá podle vzorce

S nekonečně malými změnami L a K. je

Mezní míra technické substituce je tedy derivací izoquantní funkce v daném bodě. Geometricky představuje sklon izokvantu (obrázek 8.3).

Postava: 8.3. Limit technické výměny

Při pohybu shora dolů podél izokvantu se mezní míra technické substituce neustále snižuje, o čemž svědčí klesající sklon izokvantu.

Pokud výrobce zvýší jak práci, tak kapitál, umožní mu to dosáhnout větší produkce, tj. přejděte na vyšší isoquant (q 2). Isoquant umístěný vpravo a nad předchozím odpovídá většímu objemu vydání. Sbírka izoquantů izolovaná mapa (obr. 8.4).

Postava: 8.4. Isoquant mapa

Zvláštní případy izokantů

Připomeňme, že dané odpovídají produkční funkci formuláře. Existují ale i další produkční funkce. Zvažme případ, kdy existuje dokonalá zastupitelnost výrobních faktorů. Předpokládejme například, že na skladová práce Lze použít kvalifikované a nekvalifikované stroje a výkon kvalifikovaného nakladače N krát vyšší než nekvalifikovaný. To znamená, že v poměru můžeme nahradit libovolný počet kvalifikovaných stěhovačů nekvalifikovanými N do jednoho. Naopak je možné nahradit N nekvalifikovaných iniciátorů jedním kvalifikovaným.

V tomto případě má produkční funkce formu: kde je počet kvalifikovaných pracovníků, je počet nekvalifikovaných pracovníků, a a b - konstantní parametry odrážející produktivitu jednoho kvalifikovaného a jednoho nekvalifikovaného pracovníka. Poměr koeficientů a a b - maximální míra technické výměny nekvalifikovaných nakladačů za kvalifikované. Je to konstantní a stejné N: MRTS xy \u003d a / b \u003d N.

Například nechte zkušeného nakladače zvládnout 3 tuny nákladu za jednotku času (to bude koeficient a ve výrobní funkci) a nekvalifikovaný - pouze 1 tuna (koeficient b). To znamená, že zaměstnavatel může odmítnout tři nekvalifikované nakladače a navíc najmout jednoho kvalifikovaného nakladače, aby výstup (celková hmotnost zpracovaného nákladu) zůstal stejný.

Izokvanta je v tomto případě lineární (obr. 8.5).

Postava: 8.5. Isoquanta s dokonalou zastupitelností faktorů

Tečna úhlu sklonu izoquantu se rovná mezní míře technické výměny nekvalifikovaných nakladačů kvalifikovanými.

Další produkční funkcí je funkce Leontief. Předpokládá přísnou komplementaritu výrobních faktorů. To znamená, že faktory lze použít pouze v přísně definovaném poměru, jehož porušení je technologicky nemožné. Například letecký let lze běžně provozovat alespoň s jedním letadlem a pěti členy posádky. Současně je nemožné zvýšit počet letových hodin (kapitál) a současně snížit počet hodin (práce) a naopak a udržet výstup beze změny. Izokvanty mají v tomto případě tvar pravých úhlů, tj. mezní sazby technické náhrady se rovnají nule (obrázek 8.6). Současně je možné zvýšit výkon (počet letů), čímž se ve stejném poměru zvýší jak pracovní síla, tak kapitál. Graficky to znamená přechod na vyšší izokantát.

Postava: 8.6. Isoquants v případě přísné komplementarity výrobních faktorů

Analyticky taková produkční funkce vypadá takto: q = min (aK; bL)kde a a b - konstantní koeficienty odrážející produktivitu kapitálu, respektive práce. Poměr těchto poměrů určuje poměr využití kapitálu a práce.

V našem příkladu letu vypadá produkční funkce takto: q \u003d min (1K; 0,2L)... Jde o to, že produktivita kapitálu je zde jeden let na letadlo a produktivita práce je jeden let pro pět lidí, nebo 0,2 letu na osobu. Pokud má letecká společnost flotilu 10 letadel a má 40 letového personálu, bude její maximální výkon: q \u003d min (1 x 8; 0,2 x 40) \u003d 8 letů. Zároveň budou dvě letadla nečinná na zemi z důvodu nedostatku personálu.

Na závěr se pojďme podívat na produkční funkci, která předpokládá existenci omezeného počtu výrobních technologií pro výrobu daného množství produktů. Každý z nich odpovídá určitému stavu práce a kapitálu. Ve výsledku máme v prostoru „pracovního kapitálu“ řadu referenčních bodů, které spojujeme a získáváme zlomenou izokantantu (obr. 8.7).

Postava: 8.7. Nefunkční izokvanty s omezeným počtem výrobních metod

Obrázek ukazuje, že výstup v objemu q 1 lze získat čtyřmi kombinacemi práce a kapitálu odpovídajících bodům A, B, C a D. Možné jsou také přechodné kombinace, které jsou dosažitelné, když podnik používá dvě technologie společně k získání určitého celkového výkonu. Jako vždy, zvyšováním množství práce a kapitálu přecházíme na vyšší izokantát.

Výroba je hlavní činností společnosti. Firmy používají výrobní faktory, které se také nazývají vstupní (vstupní) výrobní faktory.

Produkční funkce je vztah mezi souborem výrobních faktorů a maximálním možným objemem produktu vyrobeného pomocí dané sady faktorů.

Produkční funkce může být reprezentována mnoha izoquanty spojenými s různými úrovněmi produkce. Tento typ funkce, když je stanovena explicitní závislost objemu výroby na dostupnosti nebo spotřebě zdrojů, se nazývá výstupní funkce.

Zejména funkce výstupu jsou široce používány v zemědělství, kde se používají ke studiu vlivu na produktivitu takových faktorů, jako jsou například odlišné typy a složení hnojiv, metody kultivace půdy. Spolu s podobnými produkčními funkcemi se používají inverzní funkce výrobní náklady... Charakterizují závislost nákladů na zdroje na objemu výstupu (přesně řečeno, jsou inverzní pouze k PF s vyměnitelnými zdroji). Za konkrétní případy PF lze považovat nákladovou funkci (vztah mezi objemem výroby a výrobními náklady), investiční funkcí: závislost požadované kapitálové investice na výrobní kapacitě budoucího podniku.

Existuje široká škála algebraických výrazů, které lze použít k reprezentaci produkčních funkcí. Nejjednodušší model je zvláštním případem obecného modelu analýzy výroby. Pokud má firma k dispozici pouze jeden typ činnosti, pak může být produkční funkce zastoupena pravoúhlými izokantami s konstantními výnosy v měřítku. Neexistuje schopnost změnit poměr výrobních faktorů a pružnost substituce je určitě nulová. Jedná se o vysoce specializovanou výrobní funkci, ale její jednoduchost vysvětluje její široké použití v mnoha modelech.

Produkční funkce lze matematicky vyjádřit v různé formy - od tak jednoduché, jako je lineární závislost výsledku produkce na jednom zkoumaném faktoru, až po velmi složité systémy rovnic, včetně rekurentních vztahů, které se týkají stavů zkoumaného objektu v různých časových obdobích.

Produkční funkce je graficky znázorněna rodinou izokantů. Čím dále od počátku souřadnic se nachází izokvanta, tím větší objem produkce odráží. Na rozdíl od indiferenční křivky každá izokvanta charakterizuje kvantitativně definovaný objem výstupu.

Obrázek 2 _ Isoquants odpovídající různým objemům výroby

Na obr. 1 ukazuje tři izoquanty odpovídající objemu výroby 200, 300 a 400 jednotek. Můžeme říci, že pro uvolnění 300 jednotek výstupu jsou potřeba K 1 jednotky kapitálu a L 1 jednotky práce nebo K 2 jednotky kapitálu a L 2 jednotky práce, nebo jakákoli jiná kombinace z množiny, která je reprezentována izokantem Y 2 \u003d 300.

Obecně platí, že v sadě X přípustných sad produkčních faktorů se rozlišuje podmnožina X c, která se nazývá izokvanta produkční funkce, která je charakterizována skutečností, že pro každý vektor je rovnost

Tedy pro všechny sady zdrojů odpovídajících izoquantu jsou objemy výstupu stejné. Isoquant je v podstatě popis možnosti vzájemné výměny faktorů ve výrobním procesu produktů zajišťujících konstantní objem výroby. V tomto ohledu se ukazuje, že je možné určit koeficient výměny zdrojů pomocí diferenciálního vztahu podél jakékoli izokantické

Koeficient ekvivalentní náhrady dvojice faktorů j a k je tedy:

Výsledný poměr ukazuje, že pokud jsou výrobní zdroje nahrazeny v poměru rovném poměru přírůstkové produktivity, pak množství produkce zůstane nezměněno. Je třeba říci, že znalost produkční funkce umožňuje charakterizovat rozsah možnosti provádět vzájemnou náhradu zdrojů účinnými technologickými způsoby. K dosažení tohoto cíle slouží koeficient pružnosti náhrady zdrojů za výrobky

který se počítá podél izokvantu při konstantní úrovni nákladů na další výrobní faktory. Hodnota sjk je charakteristikou relativní změny koeficientu výměny zdrojů, když se mění poměr mezi nimi. Pokud se poměr výměny prostředků změní o procenta sjk, pak se rychlost výměny sjk změní o jedno procento. V případě lineární produkční funkce zůstává směnný koeficient nezměněn pro jakýkoli poměr použitých zdrojů, a proto lze předpokládat, že pružnost s jk \u003d 1. Velké hodnoty sjk tedy naznačují, že je možná větší volnost při nahrazování výrobních faktorů podél izokantátu a současně hlavních charakteristik produkční funkce (produktivita, rychlost výměny) se změní jen velmi málo.

Pro funkce výroby podle zákona o výkonu pro jakoukoli dvojici zaměnitelných zdrojů platí rovnost s jk \u003d 1.

Zastoupení efektivní technologické sady využívající skalární produkční funkci se ukazuje jako nedostatečné v případech, kdy nelze použít jediný indikátor popisující výsledky činnosti výrobního zařízení, ale je nutné použít několik (M) výstupních indikátorů (obrázek 3).

Obrázek 3 _ Různé případy izolovaného chování

Za těchto podmínek lze použít funkci produkce vektoru

Vztah zavádí důležitý koncept omezující (diferenciální) produktivity

Všechny ostatní hlavní charakteristiky skalárních TF připouštějí podobnou generalizaci.

Stejně jako indiferenční křivky, izokvanty také spadají do různých typů.

Pro lineární produkční funkci formuláře

kde Y je objem výroby; Parametry A, b 1, b 2; K, L kapitál a mzdové náklady a úplné nahrazení jednoho zdroje jinou izokvanta bude mít lineární formu (obrázek 4, a).

Pro funkci výroby energie

Pak budou mít izokvanty tvar křivek (obrázek 4, b).

Pokud izokvanta odráží pouze jeden technologický způsob výroby daného produktu, pak se práce a kapitál spojí v jediné možné kombinaci (obrázek 4, c).

d) Zlomené izokvanty

Obrázek 4 - Různé varianty Isoquant

Takové izokvanty se někdy po americkém ekonomovi V.V. Leontiev, který dal tento typ izokvantu na základě metody vstupu / výstupu, kterou vyvinul.

Přerušovaná čára izoquantu předpokládá přítomnost omezeného počtu technologií F (obrázek 4, d).

Isoquants takové konfigurace se používají v lineárním programování k doložení teorie optimální alokace zdrojů. Zlomené izokvanty nejrealističtěji představují technologické možnosti mnoha výrobních zařízení. V ekonomické teorii se však tradičně používají izoquantové křivky, které se získávají přerušovanými čarami se zvýšením počtu technologií a zvýšením hraničních hodnot.

Nejrozšířenější multiplikativní výkonové formy reprezentace produkčních funkcí. Jejich zvláštnost je následující: pokud je jeden z faktorů roven nule, pak je výsledek nulový. Je snadné si uvědomit, že to realisticky odráží skutečnost, že ve většině případů jsou do výroby zapojeny všechny analyzované primární zdroje a bez jakéhokoli z nich je výroba nemožná. Nejvíc obecná forma (nazývá se to kanonická) je tato funkce zapsána následovně:

Zde koeficient A před znaménkem násobení zohledňuje dimenzi, záleží na zvolené jednotce měření nákladů a výkonu. Faktory od prvního do n-tého mohou mít různý obsah podle toho, jaké faktory ovlivňují celkový výsledek (uvolnění). Například v PF, který se používá ke studiu ekonomiky jako celku, je možné brát jako konečný ukazatel objem konečného produktu a jako činitele lze brát počet zaměstnaných obyvatel x1, součet stálých a oběžných aktiv x2 a plochu využívané půdy x3. Ve Cobb-Douglasově funkci existují pouze dva faktory, pomocí nichž byl učiněn pokus o posouzení vztahu takových faktorů, jako je práce a kapitál, s růstem národního důchodu USA ve 20. a 30. letech. XX století:

N \u003d A Lb Kv,

kde N je národní důchod; L a K jsou použité objemy práce a kapitálu (více viz; Cobb-Douglasova funkce).

Výkonové koeficienty (parametry) funkce multiplikativní výkonové zákonné produkce ukazují podíl na procentuálním zvýšení konečného produktu, ke kterému přispívá každý z faktorů (nebo o kolik procent se produkt zvýší, pokud se náklady na odpovídající zdroj zvýší o jedno procento); jsou to koeficienty pružnosti výroby ve vztahu k nákladům na odpovídající zdroj. Pokud je součet koeficientů 1, znamená to homogenitu funkce: zvyšuje se proporcionálně ke zvýšení množství zdrojů. Ale takové případy jsou také možné, když je součet parametrů větší nebo menší než jeden; to ukazuje, že zvýšení nákladů má za následek nepoměrně větší nebo nepřiměřeně menší zvýšení produkce - úspory z rozsahu.

V dynamické verzi se používají různé formy produkční funkce. Například v 2faktorovém případě: Y (t) \u003d A (t) Lb (t) Kv (t), kde se faktor A (t) obvykle zvyšuje s časem, což odráží celkový růst účinnosti výrobních faktorů v dynamice.

Vezmeme-li logaritmus a následnou diferenciaci této funkce s ohledem na t, lze získat vztah mezi tempem růstu konečného produktu (národní důchod) a růstem výrobních faktorů (zde se obvykle popisuje tempo růstu proměnných v procentech).

Další „dynamizace“ PF může spočívat v použití proměnných koeficientů pružnosti.

Vztahy popsané PF mají statistickou povahu, to znamená, že se objevují pouze v průměru, ve velkém množství pozorování, protože ve skutečnosti ovlivňují výsledek produkce nejen analyzované faktory, ale také mnoho nezjištěných. Použité ukazatele nákladů i výsledků jsou navíc nevyhnutelně produkty komplexní agregace (například zobecněný ukazatel nákladů práce v makroekonomické funkci zahrnuje náklady práce různé produktivity, intenzity, kvalifikace atd.).

Zvláštním problémem je zohlednění faktoru technického pokroku v makroekonomickém PF (více viz článek „Vědeckotechnický pokrok“). S pomocí PF se také studuje ekvivalentní zaměnitelnost výrobních faktorů (viz Pružnost substituce zdrojů), která může být konstantní nebo proměnlivá (tj. Závislá na množství zdrojů). V souladu s tím jsou funkce rozděleny do dvou typů: s konstantní pružností náhrady (CES - Constant Elasticity of Substitution) a s proměnnou (VES - Variable Elasticity of Substitution) (viz níže).

V praxi se pro stanovení parametrů makroekonomického PF používají tři hlavní metody: na základě zpracování časových řad, na základě údajů o strukturálních prvcích agregátů a na rozdělení národního důchodu. Druhá metoda se nazývá distribuční.

Při konstrukci produkční funkce je nutné se zbavit fenoménu multicollinearity parametrů a autokorelace - jinak jsou hrubé chyby nevyhnutelné.

Zde jsou některé důležité produkční funkce.

Funkce lineární produkce:

P \u003d a1x1 + ... + úzkost,

kde a1, ..., an jsou odhadované parametry modelu: zde jsou výrobní faktory vyměnitelné v jakémkoli poměru.

Funkce CES:

P \u003d A [(1 - b) K-b + bL-b] -c / b,

v tomto případě elasticita substituce zdrojů nezávisí na K ani L, a proto je konstantní:

Odtud pochází název funkce.

Funkce CES, stejně jako Cobb-Douglasova funkce, je založena na předpokladu, že mezní míra substituce použitých zdrojů se neustále snižuje. Mezitím pružnost náhrady kapitálu prací a naopak práce kapitálem ve Cobb-Douglasově funkci, která se rovná jedné, zde může nabývat různých hodnot, které se nerovnají jedné, i když je konstantní. A konečně, na rozdíl od Cobb-Douglasovy funkce, logaritmus funkce CES ji nepřináší do lineární formy, což nás nutí používat k odhadu parametrů složitější metody nelineární regresní analýzy.

Produkční funkce je vždy specifická, tj. určené pro tuto technologii. Nová technologie - nová výkonová funkce. Produkční funkce určuje minimální výši nákladů potřebných k výrobě daného objemu produktu.

Produkční funkce, bez ohledu na to, jaký typ produkce vyjadřují, mají následující obecné vlastnosti:

• 1) Zvýšení výroby v důsledku zvýšení nákladů pouze pro jeden zdroj má limit (nemůžete najmout mnoho pracovníků v jedné místnosti - ne každý bude mít místa).
• 2) Výrobní faktory mohou být doplňkové (pracovníci a nástroje) a zaměnitelné (automatizace výroby).

Ve své nejobecnější podobě vypadá produkční funkce takto:

kde je objem emise;

K- kapitál (zařízení);

M - suroviny, materiály;

T - technologie;

N - podnikatelská schopnost.

Nejjednodušší je dvoufaktorový model produkční funkce Cobb-Douglas, který odhaluje vztah mezi prací (L) a kapitálem (K).

Tyto faktory jsou vzájemně zaměnitelné a doplňují se. V roce 1928 vytvořili američtí vědci - ekonom P. Douglas a matematik C. Cobb - makroekonomický model, který umožňuje posoudit příspěvek různých výrobních faktorů ke zvýšení produkce nebo národního důchodu. Tato funkce vypadá takto:

kde A je produkční koeficient ukazující proporcionalitu všech funkcí a změn při změně základní technologie (po 30-40 letech);

K, L - kapitál a práce;

b, c - koeficienty pružnosti objemu výroby z hlediska kapitálu a nákladů práce.

Pokud b \u003d 0,25, pak zvýšení kapitálových nákladů o 1% zvýší objem výroby o 0,25%.

Na základě analýzy koeficientů pružnosti ve produkční funkci Cobb-Douglas lze rozlišit:

1) proporcionálně rostoucí produkční funkce, když

2) neúměrně - roste

3) klesá

Uvažujme o krátkém období činnosti firmy, ve kterém ze dvou faktorů je proměnná práce. V takové situaci může firma zvýšit výrobu tím, že použije více pracovní zdroje (Obrázek 5).

Obrázek 5_ Dynamika a vztah celkových průměrných a mezních produktů

Obrázek 5 ukazuje graf Cobb-Douglasovy produkční funkce s jednou zobrazenou proměnnou - křivkou TPn.

Funkce Cobb-Douglas má dlouhý a úspěšný život bez vážných soupeřů, ale nedávno byla v silné konkurenci. nová funkce Arrow, Chenery, Minhasa a Solow, které budeme zkracovat jako SMAC. (Brown a De Cani také tuto funkci vyvinuli samostatně.) Hlavní rozdíl funkce SMAC spočívá v tom, že je zavedena konstanta elasticity substituce y, která se liší od jedné (jako u Cobb-Douglasovy funkce) a nula: jako u modelu vstup-výstup.

Rozmanitost tržních a technologických podmínek v moderní ekonomice naznačuje, že je nemožné splnit základní požadavky přiměřené agregace, snad s výjimkou jednotlivých firem ve stejném odvětví nebo v omezených odvětvích ekonomiky.

V ekonomických a matematických modelech výroby tedy může být každá technologie graficky znázorněna bodem, jehož souřadnice odrážejí minimální požadované náklady na zdroje K a L pro výrobu daného objemu výstupu. Mnoho takových bodů tvoří linii stejného uvolnění nebo izokvanta. To znamená, že produkční funkce je graficky znázorněna rodinou izokantů. Čím dále od počátku souřadnic se nachází izokvanta, tím větší objem produkce odráží. Na rozdíl od indiferenční křivky každá izokvanta charakterizuje kvantitativně definovaný objem výstupu. Obvykle se v mikroekonomii analyzuje dvoufaktorová produkční funkce, která odráží závislost výstupu na použitém množství práce a kapitálu.