Виробнича функція і вибір оптимального розміру виробництва. Види виробничих функцій

Федеральне агентство з освіти Російської Федерації

Державна освітня установа вищої професійної освіти

«Південно-Уральський державний університет»

Факультет «Механіко-математичний»

Кафедра «Прикладної математики та інформатики»

Виробнича функція фірми: сутність, види, застосування.

Пояснювальна записка до курсової роботи (ПРОЕКТУ)

з дисципліни (спеціалізації) «Мікроекономіка»

ЮУрГУ-080116 . 2010.705.ПЗ КР

Керівник, доцент

В.П. Бородкін

Студент групи ММ-140

М.М. Басалаєва

2010 р

Робота (проект) захищений

з оцінкою (прописом, цифрою)

___________________________

2010 р

Челябінськ 2010

ВСТУП .............................................................................. ..3

ПОНЯТТЯ ВИРОБНИЦТВА І ВИРОБНИЧИХ ФУНКЦІЙ ... ..7

2.1. виробнича функція Кобба-Дугласа ................................. ..13

2.2. Виробнича функція CES ................................................ 13

2.3. Виробнича функція з фіксованими пропорціями ......... ... 14

2.4. Виробнича функція витрат-випуску (функція Леонтьєва) ...... 14

2.5. Виробнича функція аналізу способів виробничої діяльності .............................................................................. 14

2.6. Лінійна виробнича функція .......................................... 15

2.7. Ізокванта та її типи ............................................................... .16

Практичне застосування ВИРОБНИЧОЇ ФУНКЦІЇ.

3.1 Моделювання витрат і прибутку підприємства (фірми) ............ ... 21

3.2 Методи обліку науково-технічного прогресу .............................. ..28

ВИСНОВОК ........................................................................ ... 34

Бібліографічний список ............................................................ 35

ВСТУП.

Економічна діяльність може здійснюватися різними суб'єктами - індивідуальними особами, сім'єю, державою і т.п., але основні продуктивні функції в економіці відносяться до підприємства або фірмі. З одного боку, фірма - складна матеріально-технологічна і соціальна система, що забезпечує виробництво економічних благ. З іншого боку, це сама діяльність по організації виробництва різних товарів і послуг. Як система, яка виробляє економічні блага, фірма є цілісною і виступає в якості самостійного відтворювального ланки, щодо відокремленого від інших ланок. Фірма самостійно здійснює свою діяльність, розпоряджається випущеної продукцією і отриманим прибутком, що залишився після сплати податків та інших платежів.

Так що ж таке виробнича функція? Звернемося до словника і отримаємо наступне:

ВИРОБНИЧА ФУНКЦІЯ - економіко-математичне рівняння, що зв'язує змінні величини витрат (ресурсів) з величинами продукції (випуску). Виробничі функції застосовуються для аналізу впливу різних поєднань факторів на обсяг випуску в певний момент часу (статичний варіант виробничої функції) і для аналізу, а також прогнозування співвідношення обсягів факторів і обсягу випуску в різні моменти часу (динамічний варіант виробничої функції) на різних рівнях економіки - від фірми (підприємства) до народного господарства в цілому (агрегована виробнича функція, в якій випуском служить показник сукупного суспільного продукту або національного доходу і т. п.). В окремій фірмі, корпорації і т. П. Виробнича функція описує максимальний обсяг випуску продукції, яку вони в змозі зробити при кожному поєднанні використовуваних факторів виробництва. Вона може бути представлена \u200b\u200bбезліччю изоквант, пов'язаних з різними рівнями обсягу виробництва.

Такий вид виробничої функції, коли встановлюється явна залежність обсягу виробництва продукції від наявності або споживання ресурсів, називається функцією випуску.

Зокрема, широко використовуються функції випуску в сільському господарстві, де з їх допомогою вивчається вплив на врожайність таких факторів, як, наприклад, різні види і склади добрив, методи обробки грунту. Поряд з подібними виробничими функціями використовуються зворотні до них функції виробничих витрат. Вони характеризують залежність витрат ресурсів від обсягів випуску продукції (строго кажучи, вони зворотні тільки до виробничих функцій з взаємозамінними ресурсами). Окремими випадками виробничих функцій можна вважати функцію витрат (зв'язок обсягу продукції і витрат виробництва), інвестиційну функцію (залежність потрібних капіталовкладень від виробничої потужності майбутнього підприємства) і ін.

Математично виробничі функції можуть бути представлені в різних формах - від настільки простих, як лінійна залежність результату виробництва від одного досліджуваного фактора, до дуже складних систем рівнянь, що включають рекурентні співвідношення, якими зв'язуються стану досліджуваного об'єкта в різні періоди часу.

Найбільш широко поширені мультиплікативно-статечні форми подання виробничих функцій. Їх особливість полягає в наступному: якщо один із співмножників дорівнює нулю, то результат звертається в нуль. Легко помітити, що це реалістично відображає той факт, що в більшості випадків у виробництві беруть участь всі аналізовані первинні ресурси і без будь-якого з них випуск продукції виявляється неможливим. У самій загальній формі (Вона називається канонічної) ця функція записується так:

або

Тут коефіцієнт А, що стоїть перед знаком множення, враховує розмірність, він залежить від обраної одиниці вимірювань витрат і випуску. Співмножники від першого до n-го можуть мати різний зміст в залежності від того, які чинники впливають на загальний результат (випуск). Наприклад, у виробничій функції, яка застосовується для вивчення економіки в цілому, можна в якості результативного показника прийняти обсяг кінцевого продукту, а сомножителей - чисельність зайнятого населення x 1, суму основних та обігових фондів x 2, площа використовуваної землі x 3. Тільки два співмножники у функції Кобба-Дугласа, за допомогою якої була зроблена спроба оцінити зв'язок таких факторів, як праця і капітал, з ростом національного доходу США в 20-30-і рр. ХХ ст .:

N \u003d A · L α · K β,

де N - національний доход; L і K - відповідно обсяги доданої праці і капіталу.

Статечні коефіцієнти (параметри) мультиплікативно-ступеневою виробничої функції показують ту частку в процентному прирості кінцевого продукту, яку вносить кожен із співмножників (або на скільки відсотків зросте продукт, якщо витрати відповідного ресурсу збільшити на один відсоток); вони є коефіцієнтами еластичності виробництва щодо витрат відповідного ресурсу. Якщо сума коефіцієнтів складає 1, це означає однорідність функції: вона зростає пропорційно зростанню кількості ресурсів. Але можливі й такі випадки, коли сума параметрів більше або менше одиниці; це показує, що збільшення витрат призводить до непропорційно більшого або непропорційно меншого зростання випуску (Ефект масштабу).

У динамічному варіанті застосовуються різні форми виробничих функцій. Наприклад, (в 2-факторному випадку): Y (t) \u003d A (t) L α (t) K β (t), де множник A (t) зазвичай зростає в часі, відображаючи загальне зростання ефективності виробничих факторів в динаміці.

Логаріфміруя, а потім, диференціюючи за t зазначену функцію, можна отримати співвідношення між темпами приросту кінцевого продукту (національного доходу) і приросту виробничих факторів (темпи приросту змінних прийнято тут описувати в процентах).

Подальша "динамизация" виробничих функцій може полягати у використанні змінних коефіцієнтів еластичності.

Описувані виробничу функцію співвідношення носять статистичний характер, т. Е. Виявляються тільки в середньому, у великій масі спостережень, оскільки реально на результат виробництва впливають не тільки аналізовані чинники, а й безліч невраховуваних. Крім того, застосовуються показники як витрат, так і результатів неминуче є продуктами складного агрегування (наприклад, узагальнений показник трудових затрат в макроекономічній функції вбирає в себе витрати праці різної продуктивності, інтенсивності, кваліфікації і т. Д.).

Особлива проблема - облік в макроекономічних виробничих функцій фактора технічного прогресу. За допомогою виробничих функцій вивчається також еквівалентна взаємозамінність факторів виробництва, яка може бути або незмінною, або змінною (т. Е. Залежною від обсягів ресурсів). Відповідно функції ділять на два види: з постійною еластичністю заміни (CES - Constant Elasticity of Substitution) і змінною (VES - Variable Elasticity of Substitution).

На практиці застосовуються три основні методи визначення параметрів макроекономічних виробничих функцій: на основі обробки часових рядів, на основі даних про структурні елементи агрегатів і про розподіл національного доходу. Останній метод називається розподільним.

При побудові виробничих функцій необхідно позбавлятися від явищ мультіколлінеарності параметрів і автокореляції - в іншому випадку неминучі грубі помилки.

Наведемо деякі важливі виробничі функції

Лінійна виробнича функція:

P \u003d a 1 x 1 + ... + a n x n,

де a 1, ..., a n - оцінювані параметри моделі: тут чинники виробництва замещаемості в будь-яких пропорціях.

Функція CES:

P \u003d A [(1 - α) K - b + αL - b] - c / b,

в цьому випадку еластичність заміщення ресурсів не залежить ні від K, ні від L і, отже, постійна:

Звідси і походить назва функції.

Функція CES, як і функція Кобба- Дугласа, виходить з припущення про постійне убування граничної норми заміщення використовуваних ресурсів. Тим часом еластичність заміщення капіталу працею і, навпаки, праці капіталом в функції Кобба-Дугласа, що дорівнює одиниці, тут може набувати різних значень, не рівні одиниці, хоча і є постійною. Нарешті, на відміну від функції Кобба-Дугласа логарифмирование функції CES не приводить її до лінійного вигляду, що змушує використовувати для оцінки параметрів складніші методи нелінійного регресійного аналізу.

1. ПОНЯТТЯ ВИРОБНИЦТВА І ВИРОБНИЧИХ ФУНКЦІЙ.

Під виробництвом розуміється будь-яка діяльність з використання природних, матеріально-технічних та інтелектуальних ресурсів для отримання як матеріальних, так і нематеріальних благ.

З розвитком людського суспільства характер виробництва змінюється. На ранніх стадіях розвитку людства панували природні, натуральні, природно що виникли елементи продуктивних сил. Та й сама людина в цей час в більшій мірі був продуктом природи. Виробництво в цей період отримало назву натурального.

З розвитком засобів виробництва починають переважати історично створені матеріально-технічні елементи продуктивних сил. Це епоха капіталу. В даний час вирішальне значення мають знання, технології, інтелектуальні ресурси самої людини. Наша епоха це епоха інформатизації, епоха панування науково-технічних елементів продуктивних сил. Володіння знаннями, новими технологіями має вирішальне значення для виробництва. У багатьох розвинених країнах ставиться завдання загальної інформатизації суспільства. Приголомшливими темпами розвивається всесвітня комп'ютерна мережа Internet.

Традиційно роль загальної теорії виробництва виконує теорія матеріального виробництва, що розуміється як процес перетворення виробничих ресурсів в продукт. Основними виробничими ресурсами є праця ( L) І капітал ( K). Способи виробництва або існуючі виробничі технології визначають, який обсяг продукції виробляється при заданих кількостях праці і капіталу. Математично існуючі технології виражаються через виробничу функцію. Якщо позначити обсяг продукції, що випускається через Y, То виробничу функцію можна записати

Y= f(K, L).

Цей вислів означає, що обсяг випуску є функцією кількості капіталу і кількості праці. Виробнича функція описує безліч існуючих в даний момент технологій. Якщо винаходиться найкраща технологія, то при тих же витратах праці і капіталу обсяг випуску збільшується. Отже, зміни в технології змінюють і виробничу функцію. Методологічно теорія виробництва багато в чому симетрична теорії споживання. Однак якщо в теорії споживання основні категорії вимірюються лише суб'єктивно або взагалі поки не підлягають вимірюванню, то основні категорії теорії виробництва мають об'єктивну основу і можуть бути виміряні в певних натуральних або вартісних одиницях.

Незважаючи на те, що поняття виробництво може представитися дуже широким, нечітко вираженим і навіть розпливчастим, оскільки в реальному житті під виробництвом розуміється і підприємство, і будівництво, і сільськогосподарська ферма, і транспортне підприємство, і дуже велика організація типу галузі народного господарства, тим не менше, економіко-математичне моделювання виділяє щось спільне, властиве всім цим об'єктам. Цим спільним є процес перетворення первинних ресурсів (виробничих факторів) в кінцеві результати процесу. Тому основним вихідним поняттям в описі економічного об'єкта стає технологічний спосіб, який представляється зазвичай як вектор витрат випуску v, Що включає в себе перерахування обсягів витрачених ресурсів (вектор x) І відомості про результати їх перетворення в кінцеві продукти або інші характеристики (прибуток, рентабельність тощо) (вектор y):

v= (x; y).

розмірність векторів xі y, А також способи їх вимірювання (в натуральних або вартісних одиницях) істотно залежать від досліджуваної проблеми, від рівнів, на яких ставляться ті чи інші завдання економічного планування та управління. Сукупність векторів технологічних способів, які можуть служити описом (з допустимою точки зору дослідника точністю) виробничого процесу, Реально здійсненного на деякий об'єкт, називається технологічним безліччю Vданого об'єкта. Для визначеності ми будемо вважати, що розмірність вектора витрат xдорівнює N, А вектора випуску yвідповідно M. Таким чином, технологічний спосіб vє вектором розмірності ( M+ N), А технологічне безліч VCR +   M + N . Серед усіх технологічних способів, здійсненних на об'єкті, особливе місце займають способи, які вигідно відрізняються від усіх інших тим, що вони вимагають або менших витрат при однаковому випуску, або відповідають більшого випуску при однакових затратах. Ті з них, які займають в певному сенсі граничне положення в безлічі V, Представляють особливий інтерес, оскільки вони є описом допустимого і гранично вигідного реального виробничого процесу.

Скажімо, що вектор ν (1) \u003d (Х (1) ; у (1) ) краще, ніж вектор ν (2) \u003d (Х (2) ; у (2) ) з позначенням ν (1) > ν (2) якщо виконуються наступні умови:

1) у i (1) ≥ y i (2) (i\u003d 1, ..., М);

2) x j (1) ≤ x j (2) (j\u003d 1, ... М);

і при цьому має місце принаймні одне з двох:

а) існує такий номер i 0, що у i 0 (1) > y i 0 (2)

б) існує такий номер j 0, що x j 0 (1) x j 0 (2)

Технологічний спосіб 7 називається ефективним, якщо він належить технологічному безлічі Vі не існує іншого вектора ν Є V який був би краще 7. Наведене визначення означає, що ефективними вважаються ті способи, які не можуть бути поліпшені з усіх ключових витратною компоненті, ні по одній позиції, що випускається, без того щоб не перестати бути допустимими. Безліч всіх технологічно ефективних способів позначимо через V *. Воно є підмножиною технологічного безлічі Vабо збігається з ним. По суті завдання планування господарської діяльності виробничого об'єкта може бути інтерпретована як завдання вибору ефективного технологічного способу, найкращим чином відповідає деяким зовнішніх умов. При вирішенні такого завдання вибору досить істотним є уявлення про сам характер технологічного безлічі V, А також його ефективного підмножини V *.

У ряді випадків виявляється можливим допустити в рамках фіксованого виробництва можливість взаємозамінності деяких ресурсів (різних видів палива, машин і працівників і т.п.). При цьому математичний аналіз подібних виробництв грунтується на передумові про континуальному характері безлічі V, А отже, на принципову можливість подання варіантів взаємної заміни за допомогою безперервних і навіть диференціюються, визначених на V. Зазначений підхід отримав свій найбільший розвиток в теорії виробничих функцій.

За допомогою поняття ефективного технологічного безлічі виробничу функцію можна визначити як відображення

y= f(x),

де ν \u003d (х; у) Є V *.

Зазначене відображення, взагалі кажучи, є багатозначним, тобто безліч f(x) Містить більш ніж одну точку. Однак для багатьох реалістичних ситуацій виробничі функції виявляються однозначними і навіть, як сказано вище, диференційовними. У найбільш простому випадку виробнича функція є скалярна функція Nаргументів:

y = f(x 1 ,…, x N ).

тут величина yмає, як правило, вартісний характер, висловлюючи обсяг виробленої продукції в грошовому вираженні. В якості аргументів виступають обсяги витрачених ресурсів при реалізації відповідного ефективного технологічного способу. Таким чином, наведене співвідношення описує кордон технологічного безлічі V, Оскільки при даному векторі витрат ( x 1 , ..., x N) Виробляти продукції, в кількості більшій, ніж y, Неможливо, а виробництво продукції в кількості меншій, ніж зазначене, відповідає неефективного технологічного способу. Вираз для виробничої функції виявляється можливим використовувати для оцінки ефективності прийнятого на даному підприємстві методу господарювання. Справді, для заданого набору ресурсів можна визначити фактичний випуск продукції і порівняти його з розрахованим по виробничої функції. Отримана різниця дає корисний матеріал для оцінки ефективності в абсолютному і відносному вимірі.

Виробнича функція являє собою дуже корисний апарат планових розрахунків, і тому в даний час розвинений статистичний підхід до побудови виробничих функцій для конкретних господарських одиниць. При цьому зазвичай використовується певний стандартний набір алгебраїчних виразів, параметри яких знаходяться за допомогою методів математичної статистики. Такий підхід означає, по суті, оцінку виробничої функції на основі неявного припущення про те, що спостерігаються виробничі процеси є ефективними. Серед різноманітних типів виробничих функцій найбільш часто застосовуються лінійні функції виду

оскільки для них легко вирішується завдання оцінювання коефіцієнтів за статистичними даними, а також статечні функції

для яких завдання знаходження параметрів зводиться до оцінювання лінійної форми шляхом переходу до логарифмам.

У припущенні про дифференцируемости виробничої функції в кожній точці безлічі Xможливих комбінацій витрачених ресурсів корисно розглянути деякі пов'язані з виробничою функцією величини.

Зокрема, диференціал

являє собою зміну вартості продукції, що випускається при переході від витрат набору ресурсів x=(x 1 , ..., x N) До набору x+dx=(x 1 +dx 1 ,..., x N +dx N) За умови збереження якості ефективності відповідних технологічних способів. Тоді величину похідної

можна трактувати як граничну (диференціальну) ресурсоотдачу або, іншими словами, коефіцієнт граничної продуктивності, який показує, на скільки збільшиться випуск продукції у зв'язку зі збільшенням витрат ресурсу з номером jна малу одиницю. Величина граничної продуктивності ресурсу допускає тлумачення як верхня межа ціни p j , Яку виробничий об'єкт може сплатити за додаткову одиницю j-того ресурсу з тим, щоб не зазнати збитків після її придбання і використання. Справді, очікуваний приріст продукції в цьому випадку складе

і, отже, співвідношення

дозволить отримати додатковий прибуток.

У короткому періоді, коли один ресурс розглядається як постійний, а інший як змінний, більшість виробничих функцій мають властивість спадної граничного продукту. Граничним продуктом змінного ресурсу називають приріст загального продукту в зв'язку зі збільшенням застосування даного змінного ресурсу на одиницю.

Граничний продукт праці можна записати як різниця

MPL= F(K, L+ 1) - F(K, L),

де MPLграничний продукт праці.

Граничний продукт капіталу можна також записати як різниця

MPK= F(K+ 1, L) - F(K, L),

де MPKграничний продукт капіталу.

Характеристикою виробничого об'єкта є також величина середньої ресурсоотдачі (продуктивності виробничого фактора)

має ясний економічний сенс кількості продукції, що випускається в розрахунку на одиницю використовуваного ресурсу (виробничого фактора). Величина, обернена до Ресурсоотдачи

зазвичай називається ресурсоемкостью, оскільки вона виражає кількість ресурсу j, Необхідне для виробництва однієї одиниці продукції у вартісному вираженні. Вельми споживані і зрозумілі такі терміни, як фондомісткість, матеріаломісткість, енергоємність, трудомісткість, зростання яких зазвичай пов'язують з погіршенням стану економіки, а їх зниження розглядається як сприятливий результат.

Частка від ділення диференціальної продуктивності на середню

називається коефіцієнтом еластичності продукції по виробничому фактору jі дає вираз відносного приросту продукції (у відсотках) при відносному прирості витрат фактора на 1%. якщо E j 0, то відбувається абсолютне зниження випуску продукції при збільшенні споживання фактора j; така ситуація може мати місце при використанні технологічно невідповідних продуктів або режимів. Наприклад, надмірне споживання палива призведе до зайвого підвищення температури і необхідна для виробництва продукту хімічна реакція не піде. Якщо 0 E j 1, то кожна наступна додаткова одиниця витрачається ресурсу викликає менший додатковий приріст продукції, ніж попередня.

якщо E j \u003e 1, то величина приростном (диференціальної) продуктивності перевершує середню продуктивність. Таким чином, додаткова одиниця ресурсу збільшує не тільки обсяг продукції, що випускається, а й середню характеристику ресурсоотдачі. Так процес підвищення фондовіддачі відбувається, коли вводяться в дію досить прогресивні, ефективні машини і прилади. Для лінійної виробничої функції коефіцієнт a j чисельно дорівнює величині диференціальної продуктивності j-того фактора, а для статечної функції показник ступеня a j має сенс коефіцієнта еластичності по j-тому ресурсу.

2. ВИДИ ВИРОБНИЧИХ ФУНКЦІЙ.

2.1. Виробнича функція Кобба-Дугласа.

Перший успішний досвід побудови виробничої функції, як рівняння регресії на базі статистичних даних, був отриманий американськими вченими - математиком Д. Коббом і економістом П. Дугласом у 1928 році. Запропонована ними функція спочатку мала вигляд:

де Y - обсяг випуску, K - величина виробничих фондів (капітал), L - витрати праці, - числові параметри (масштабне число і показник еластичності). Завдяки своїй простоті й раціональності, ця функція широко застосовується до цих пір, і отримала подальші узагальнення в різних напрямках. Функцію Кобба-Дугласа іноді ми будемо записувати у вигляді

Легко перевірити, що і

Крім того, функція (1) лінійно-однорідна:

Таким чином, функція Кобба-Дугласа (1) володіє всіма вищезгаданими властивостями.

Для багатофакторного виробництва функція Кобба-Дугласа має вигляд:

Для обліку технічного прогресу в функцію Кобба-Дугласа вводять спеціальний множник (технічного прогресу), де t - параметр часу, - постійне число, що характеризує темп розвитку. В результаті функція приймає "динамічний" вид:

де не обов'язково. Як буде показано в наступному параграфі, показники ступеня в функції (1) мають сенс еластичності випуску за капіталом і праці.

2.2. виробнича функціяCES(З постійною еластичністю заміщення)

Має вид:

Де - коефіцієнт шкали, - коефіцієнт розподілу, - коефіцієнт заміщення, - ступінь однорідності. Якщо виконані умови:

то функція (2) задовольняє нерівностям і. З урахуванням технічного прогресу функція CES записується:

Назва даної функції випливає з того факту, що для неї еластичність заміщення постійна.

2.3. Виробнича функція з фіксованими пропорціями. Ця функція виходить з (2) при і має вигляд:

2.4. Виробнича функція витрат-випуску (функція Леонтьєва) виходить з (3) при:

Тут - кількість витрат виду k, необхідне для виробництва однієї одиниці продукції, а y - випуск.

2.5. Виробнича функція аналізу способів виробничої діяльності.

Ця функція узагальнює виробничу функцію витрат-випуску на випадок, коли існує деяке число (r) базових процесів (способів виробничої діяльності), кожен з яких може протікати з будь-неотрицательной інтенсивністю. Вона має вигляд "оптимізаційної задачі"

де (5)

Тут - випуск продукції при одиничній інтенсивності j-го базового процесу, - рівень інтенсивності, - кількість витрат виду k, необхідних при одиничній інтенсивності способу j. Як видно з (5), якщо випуск, вироблений при одиничній інтенсивності і витрати, необхідні на одиницю інтенсивності, відомі, то загальний випуск і загальні витрати знаходяться шляхом складання випуску і витрат відповідно для кожного базового процесу при обраних интенсивностях. Зауважимо, що завдання максимізації функції f по в (5) при заданих обмеженнях-нерівностях є моделлю аналізу виробничої діяльності (максимізація випуску при обмежених ресурсах).

2.6. Лінійна виробнича функція (Функція з взаимозамещения ресурсів)

Застосовується при наявності лінійної залежності випуску від витрат:

Де - норма витрат k-го виду для виробництва одиниці продукції (граничний фізичний продукт витрат).

Серед наведених тут виробничих функцій найбільш загальною є функція CES.

Для аналізу процесу виробництва і різних його показників поряд з граничними продуктами,

(Верхні рисочки позначають фіксовані значення змінних), що показують величини додаткових доходів, одержуваних при використанні додаткових кількостей витрат, застосовуються поняття середніх продуктів.

Середнім продуктом по k-му виду витрат називається обсяг випуску, який припадає на одиницю витрат k-го виду при фіксованому рівні витрат інших видів:

Зафіксуємо витрати другого виду на деякому рівні і порівняємо графіки трьох функцій:

Рис.1. Криві випуску.

Нехай графік функції має три критичні точки (як це показано на рис.1): - точка перегину, - точка дотику з променем з початку координат, - точка максимуму. Ці точки відповідають трьома стадіями виробництва. Перша стадія відповідає відрізку і характеризується перевагою граничного продукту над середнім: Отже, на цій стадії здійснення додаткових витрат доцільно. Друга стадія відповідає відрізку і характеризується перевагою середнього продукту над граничним: (додаткові витрати недоцільні). На третій стадії і додаткові витрати призводять до зворотного ефекту. Це пояснюється тим, що є оптимальним обсягом витрат і подальше збільшення їх нерозумно.

Для конкретних найменувань ресурсів середні і граничні величини набувають сенсу конкретних економічних показників. Розглянемо, наприклад, функцію Кобба-Дугласа (1), де - капітал, а - праця. Середні продукти

мають сенс відповідно середньої продуктивності праці і середньої продуктивності капіталу (середньої фондовіддачі). Видно, що середня продуктивність праці зменшується з ростом трудових ресурсів. Це і зрозуміло, так як виробничі фонди (K) залишаються незмінними, і тому знову залучена робоча сила не забезпечується додатковими засобами виробництва, що і призводить до зниження продуктивності праці. Аналогічне міркування вірно і для фондовіддачі як функції від капіталу.

Для функції (1) граничні продукти

мають сенс відповідно граничної продуктивності праці та граничної продуктивності капіталу (граничної фондовіддачі). У цього товару виробництва вважається, що гранична продуктивність праці дорівнює заробітної плати (Ціною праці), а гранична продуктивність капіталу - рентних платежів (ціною послуг капітальних благ). З умови випливає, що при незмінних основних фондах (трудових витратах) збільшення чисельності працюючих (обсягу основних фондів) призводить до падіння граничної продуктивності праці (граничної фондовіддачі). Видно, що для функції Кобба-Дугласа граничні продукти пропорційні середнім продуктам і менше їх.

2.7. Ізокванта та її типи

При моделюванні споживчого попиту один і той же рівень корисності різних комбінацій споживчих благ графічно відображається за допомогою кривої байдужості.

В економіко-математичних моделях виробництва кожна технологія графічно може бути представлена \u200b\u200bточкою, координати якої відображають мінімально необхідні витрати ресурсів K і L для виробництва даного обсягу випуску. Безліч таких точок утворюють лінію рівного випуску, чи ізокванту. Таким чином, виробнича функція графічно представляється сімейством изоквант. Чим далі від початку координат розташована ізокванта, тим більший обсяг виробництва вона відображає. На відміну від кривої байдужості, кожна ізокванта характеризує кількісно певний обсяг випуску.

Рис.2. Ізокванти, відповідні різному обсягом виробництва

На рис. 2 представлено три ізокванти, відповідні обсягом виробництва в 200, 300 і 400 одиниць продукції. Можна сказати, що для випуску 300 одиниць продукції необхідно K 1 одиниць капіталу і L 1 одиниць праці або K 2 одиниць капіталу і L 2 одиниць праці, або будь-яка інша їх комбінація з того безлічі, яке представлене изоквантой Y 2 \u003d 300.

У загальному випадку в безлічі X допустимих наборів виробничих факторів виділяється підмножина, зване изоквантой виробничої функції, яка характеризується тим, що для будь-якого вектора справедливо рівність

Таким чином, для всіх наборів ресурсів, відповідних ізокванте, виявляються рівними обсяги продукції, що випускається. По суті изокванта є опис можливості взаємної заміни факторів в процесі виробництва продукції, що забезпечує незмінний обсяг виробництва. У зв'язку з цим виявляється можливим визначити коефіцієнт взаємної заміни ресурсів, використовуючи диференціальне співвідношення уздовж будь-якої ізокванти

Звідси коефіцієнт еквівалентної заміни пари факторів j і k дорівнює:

Отримане співвідношення показує, що якщо виробничі ресурси заміщаються в відношенні, що дорівнює відношенню пріростних продуктивно, то кількість виробленої продукції залишається незмінним. Потрібно сказати, що знання виробничої функції дозволяє охарактеризувати масштаби можливості здійснити взаємну заміну ресурсів в ефективних технологічних способах. Для досягнення цієї мети служить коефіцієнт еластичності заміни ресурсів по продукції

який обчислюється уздовж ізокванти при незмінному рівні витрат інших виробничих факторів. Величина s jk є характеристикою відносної зміни коефіцієнта взаємної заміни ресурсів при зміні співвідношення між ними. Якщо відношення взаємозамінних ресурсів зміниться на s jk відсотків, то коефіцієнт взаємної заміни sjk зміниться на один відсоток. У разі лінійної виробничої функції коефіцієнт взаємної заміни залишається незмінним при будь-якому співвідношенні використовуваних ресурсів і тому можна вважати, що еластичність s jk \u003d 1. Відповідно великі значення s jk свідчать про те, що можлива велика свобода в заміні виробничих факторів уздовж ізокванти і при цьому основні характеристики виробничої функції (продуктивності, коефіцієнт взаємозаміни) будуть змінюватися дуже слабо.

Для статечних виробничих функцій для будь-якої пари взаємозамінних ресурсів справедливо рівність s jk \u003d 1. У практиці прогнозування і передпланових розрахунків часто використовуються функції постійної еластичності заміни (СЕS), що мають вигляд:

Для такої функції коефіцієнт еластичності заміни ресурсів

і не змінюється в залежності від обсягу і відносини витрачених ресурсів. При малих значеннях s jk ресурси можуть заміняти один одного лише в незначних розмірах, а в межі при s jk \u003d 0 вони втрачають властивість взаємозамінності і виступають в процесі виробництва лише в постійному відношенні, Тобто є взаємодоповнюючими. Прикладом виробничої функції, яка описує виробництво в умовах використання взаємодоповнюючих ресурсів, є функція випуску витрат, яка має вигляд

де a j постійний коефіцієнт ресурсовіддачі j-того виробничого фактора. Неважко бачити, що виробнича функція такого типу визначає випуск по вузькому місці на безлічі використовуваних виробничих факторів. Різні випадки поведінки изоквант виробничих функцій для різних значень коефіцієнтів еластичності заміни представлені на графіку (рис. 3).

Подання ефективного технологічного безлічі за допомогою скалярної виробничої функції виявляється недостатнім в тих випадках, коли не можна обійтися єдиним показником, що характеризує результати діяльності виробничого об'єкта, але необхідно використовувати кілька (М) вихідних показників. У цих умовах можна використовувати векторну виробничу функцію

Мал. 3. Різні випадки поведінки изоквант

Важливе поняття граничної (диференціальної) продуктивності вводиться співвідношенням

Аналогічне узагальнення допускають всі інші головні характеристики скалярних виробничих функцій.

Подібно кривим байдужості ізокванти також підрозділяються на різні типи.

Для лінійної виробничої функції виду

де Y обсяг виробництва; A, b 1, b 2 параметри; K, L витрати капіталу і праці, і повне заміщення одного ресурсу іншим ізокванта матиме лінійну форму (рис. 4).

Для статечної виробничої функції

ізокванти матимуть вигляд кривих (рис. 5).

Якщо ізокванта відображає лішьодін технологічний спосіб виробництва даного продукту, то праця і капітал комбінуються в єдино можливому поєднанні (рис. 6).

Мал. 6. Ізокванти при жорсткій доповнюваності ресурсів

Мал. 7. Ламані ізокванти

Такі ізокванти іноді називають изоквантой Леонтійовському типу по імені американського економіста В.В. Леонтьєва, який поклав такий тип ізокванти в основу розробленого ним методу inputoutput (витрати випуск).

Ламана ізокванта передбачає наявність обмеженої кількості технологій F (рис. 7).

Ізокванти подібної конфігурації використовуються в лінійному програмуванні для обгрунтування теорії оптимального розподілу ресурсів. Ламані ізокванти найбільш реалістично представляють технологічні можливості багатьох виробничих об'єктів. Однак в економічної теорії традиційно використовують головним чином криві ізокванти, які виходять з ламаних при збільшенні числа технологій і збільшення відповідно точок зламу.

3. Практичне застосування ВИРОБНИЧОЇ ФУНКЦІЇ.

3.1 Моделювання витрат і прибутку підприємства (фірми)

В основі побудови моделей поведінки виробника (окремого підприємства або фірми; об'єднання або галузі) лежить уявлення про те, що виробник прагне до досягнення такого стану, при якому йому була б забезпечена найбільший прибуток при сформованих ринкових умовах, тобто перш за все завдяки їхній системі цін.

Найбільш проста модель оптимальної поведінки виробника в умовах досконалої конкуренції має наступний вигляд: нехай підприємство (фірма) виробляє один продукт в кількості yфізичних одиниць. якщо pекзогенно задана ціна цього продукту і фірма реалізує свій випуск повністю, то вона отримує валовий дохід (виручку) в розмірі

У процесі створення цієї кількості продукту фірма несе виробничі витрати в розмірі C(y). При цьому природно вважати, що C "(y)\u003e 0, тобто витрати зростають зі збільшенням обсягу виробництва. Також зазвичай вважають, що C ""(y)\u003e 0. Це означає, що додаткові (маргінальні) витрати на виробництво кожної додаткової одиниці продукції зростають у міру збільшення обсягу виробництва. Це припущення пов'язане з тим, що при раціонально організованому виробництві, при малих обсягах можуть бути використані кращі машини і висококваліфіковані працівники, яких вже не виявиться в розпорядженні фірми, коли обсяг виробництва зросте. Виробничі витрати складаються з наступних складових частин:

1) матеріальні витрати C m , В число яких входять витрати на сировину, матеріали, напівфабрикати і т.п.

Різниця між валовим доходом і матеріальними витратами називається доданою вартістю(Умовно чистою продукцією):

2) витрати на оплату праці C L ;

Мал. 8. Лінії виручки і витрат підприємства

3) витрати, пов'язані з використанням, ремонтом машин і устаткування, амортизація, так звана оплата послуг капіталу C k ;

4) додаткові витрати C r , Пов'язані з розширенням виробництва, будівництвом нових будівель, під'їзних шляхів, ліній зв'язку і т.д.

Сукупні виробничі витрати:

Як уже було відзначено вище,

проте ця залежність від обсягу випуску ( у) для різних видів витрат різна. А саме мають місце:

а) постійні витрати C 0, які практично не залежать від y, в т.ч. оплата адміністративного персоналу, оренда та утримання будівель і приміщень, амортизаційні відрахування, відсотки за кредит, послуги зв'язку і т.п .;

б) пропорційні обсягу випуску (лінійні) витрати C 1, сюди входять матеріальні затрати C m , Оплата праці виробничого персоналу (частина C L), Витрати по утриманню діючого устаткування і машин (частина C k) і т.п.:

де аузагальнений показник витрат зазначених видів в розрахунку на один виріб;

в) сверхпропорціональние (нелінійні) витрати З 2, в складі яких виступають придбання нових машин і технологій (тобто витрати типу З r), Оплата понаднормової праці та т.п. Для математичного опису цього виду витрат зазвичай використовується ступенева залежність

Таким чином, для подання сукупних витрат можна використовувати модель

(Зауважимо, що умови C "(y) > 0, C ""(y)\u003e 0 для цієї функції виконані.)

Розглянемо можливі варіанти поведінки підприємства (фірми) для двох випадків:

1. Підприємство має досить великий резерв виробничих потужностей і не прагне до розширення виробництва, тому можна вважати, що C 2 \u003d 0 і сукупні витрати є лінійною функцією обсягу випуску:

прибуток становитиме

Очевидно, що при малих обсягах випуску

фірма зазнає збитків, так як П

тут y w точка беззбитковості (поріг рентабельності), що визначається співвідношенням

якщо y> y w , То фірма отримує прибуток, і остаточне рішення про обсяг випуску залежить від стану ринку збуту виробленої продукції (див. Рис. 8).

2. У більш загальному випадку, коли З 2 0, є дві точки беззбитковості і причому позитивну прибуток фірма отримає, якщо обсяг випуску yзадовольняє умові

На цьому відрізку в точці досягається найбільше значення прибутку. Таким чином, існує оптимальне рішення задачі про максимізації прибутку. У точці А, Що відповідає витратам при оптимальному випуску, дотична до кривої витрат Зпаралельна прямій лінії доходу R.

Слід зауважити, що остаточне рішення фірми також залежить від стану ринку, але з точки зору дотримання економічних інтересів їй слід рекомендувати оптимизирующее значення випуску (рис. 9).

Мал. 9. Оптимальний обсяг випуску

За визначенням прибутком вважається величина

Точки беззбитковості і визначаються з умови рівності прибутку нулю, а максимальне її значення досягається в точці яка задовольняє рівняння

Таким чином, оптимальний обсяг виробництва характеризується тим, що в цьому стані маргінальний валовий дохід ( R(y)) В точності дорівнює маргінальним витратам C(y).

Справді, якщо yR ( y) > C(y), І тоді слід збільшити випуск продукції, оскільки очікуваний додатковий дохід перевищить очікувані додаткові витрати. Якщо ж y\u003e, То R(y) C ( y), І будь-яке збільшення обсягу зменшить прибуток, тому природно рекомендувати зменшити обсяг виробництва і прийти в стан y\u003d (Рис. 10).

Мал. 10. Точка максимуму прибутку і зона беззбитковості

Неважко бачити, що при збільшенні ціни ( р) Оптимальний випуск, а також прибуток збільшуються, тобто

Це вірно також і в загальному випадку, так як

Приклад.Фірма виробляє сільськогосподарські машини в кількості уштук, причому обсяг виробництва в принципі може змінюватися від 50 до 220 штук на місяць. При цьому природно збільшення обсягу виробництва вимагає збільшення витрат як пропорційних, так і сверхпропорціональних (нелінійних), оскільки буде потрібно придбати нове обладнання і розширити виробничі площі.

У конкретному прикладі будемо виходити з того, що загальні витрати (собівартість) на виробництво продукції в кількості увиробів виражаються формулою

C(y) = 1000 + 20 y+ 0,1 y 2 (тис. Руб.).

Це означає, що постійні витрати

C 0 \u003d 1000 (т. Руб.),

пропорційні витрати

C 1 = 20 y,

тобто узагальнений показник цих витрат у розрахунку на один виріб дорівнює: а\u003d 20 тис. Руб., А нелінійні витрати складуть C 2 = 0,1 y 2 (b= 0,1).

Наведена вище формула для витрат є окремим випадком загальної формули, Де показник h= 2.

Для знаходження оптимального обсягу виробництва скористаємося формулою точки максимуму прибутку (*), згідно з якою маємо:

Цілком очевидно, що обсяг виробництва, при якому досягається максимальний прибуток, має велике значення визначається ринковою ціною вироби p.

У табл. 1 представлені результати розрахунку оптимальних обсягів при різних значеннях ціни від 40 до 60 тис. Рублів за виріб.

У першому стовпчику таблиці фігурують можливі обсяги випуску у, Другий стовпець містить дані про повних витратах З(у), В третьому стовпці представлена \u200b\u200bсобівартість в розрахунку на один виріб:

Таблиця 1

Дані про обсяги випуску, витратах і прибутку

Обсяги та витрати				Ціни і прибутку
				0
					210
						440
Продовження таблиці 1
							1250
								1890
									3000

Четвертий стовпець характеризує значення зазначених вище маргінальних витрат МС, Які показують, у скільки обходиться виробництво одного додаткового вироби в даній ситуації. Неважко помітити, що маргінальні витрати зростають у міру зростання виробництва, що добре узгоджується з положенням, висловленим на початку цього параграфа. При розгляді таблиці слід звернути увагу на те, що оптимальні обсяги знаходяться точно на перетині рядка (маргінальні витрати МС) і стовпці (ціна p) з рівними їх значеннями, що абсолютно акуратно співвідноситься з правилом оптимальності, встановленим вище.

Проведений вище аналіз відноситься до обстановки досконалої конкуренції, коли виробник не може вплинути своїми діями на систему цін, і тому ціна pна товар yвиступає в моделі виробника як екзогенна величина.

У разі ж недосконалої конкуренції виробник може безпосередньо впливати на ціну. Особливо це відноситься до монопольного виробника товару, який формує ціну з міркування розумної рентабельності.

Розглянемо фірму з лінійною функцією витрат, яка визначає ціну таким чином, щоб прибуток становив певний відсоток (частку 0

Звідси маємо

валовий дохід

і виробництво виявляється беззбитковим, починаючи з найменших обсягів виробництва ( y w 0). Легко бачити, що ціна залежить від обсягу, тобто p= p(y), І при збільшенні обсягу виробництва ( у) Ціна товару зменшується, тобто p "(y)

Вимога максимізації прибутку для монополіста має вигляд

Припускаючи, як і раніше, що\u003e 0, маємо рівняння для знаходження оптимального випуску ():

Корисно помітити, що оптимальний випуск монополіста () як правило, не перевищує оптимального випуску конкурентного виробника у формулі, поміченої зірочкою.

Більш реалістична (але також проста) модель фірми використовується для того, щоб врахувати ресурсні обмеження, які грають дуже велику роль в господарській діяльності виробників. У моделі виділяється один найбільш дефіцитний ресурс (робоча сила, основні фонди, рідкісний матеріал, енергія і т.п.) і передбачається, що фірма може його використовувати не більше ніж в кількості Q. Фірма може виробляти nрізних продуктів. нехай y 1 , ..., y j , ..., y n шукані обсяги виробництва цих продуктів; p 1 , ..., p j , ..., p n їх ціни. нехай також qціна одиниці дефіцитного ресурсу. Тоді валовий дохід фірми дорівнює

а прибуток складе

Легко бачити, що при фіксованих qі Qзадача про максимізації прибутку перетворюється в задачу максимізації валового доходу.

Припустимо далі, що функція витрат ресурсу для кожного продукту C j (y j) Має ті ж властивості, які були висловлені вище для функції З(у). Таким чином, C j " (y j)\u003e 0 і C j "" (y j) > 0.

В остаточному вигляді модель оптимальної поведінки фірми з одним обмеженим ресурсом наступна:

Неважко бачити, що в досить загальному випадку рішення цієї оптимізаційної задачі знаходиться шляхом дослідження системи рівнянь:

Зауважимо, що оптимальний вибір фірми залежить від всієї сукупності цін на продукти ( p 1 , ..., p n), Причому цей вибір є однорідною функцією системи цін, тобто при одночасній зміні цін в однакове число раз оптимальні випуски не змінюються. Неважко бачити також, що з рівнянь, позначених зірочками (***), випливає, що при збільшенні ціни на продукт n(При незмінних цінах на інші продукти) його випуск слід збільшити з метою отримання максимального прибутку, так як

а виробництво інших товарів зменшиться, так як

Ці співвідношення в сукупності показують, що в даній моделі всі продукти є конкуруючими. З формули (***) випливає також очевидне співвідношення

тобто при збільшенні обсягу ресурсу (капіталовкладень, робочої сили і т.п.) оптимальні випуски збільшуються.

Можна навести ряд простих прикладів, Які допоможуть краще зрозуміти правило оптимального вибору фірми за принципом максимуму прибутку:

1) нехай n = 2; p 1 = p 2 = 1; a 1 = a 2 = 1; Q = 0,5; q = 0,5.

Тоді з (***) маємо:

0,5; \u003d 0,5; П \u003d 0,75; \u003d 1;

2) нехай тепер всі умови залишилися колишніми, але подвоїлася ціна на перший продукт: p 1 = 2.

Тоді оптимальний по прибутку план фірми: \u003d 0,6325; \u003d 0,3162.

Очікувана максимальна прибуток помітно зростає: П \u003d 1,3312; \u003d 1,58;

3) зауважимо, що в попередньому прикладі 2 фірма повинна змінити обсяги виробництв, збільшивши виробництво першого і зменшивши виробництво другого продукту. Припустимо, однак, що фірма не женеться за максимальним прибутком і не стане міняти налагоджене виробництво, тобто вибере програму y 1 = 0,5; y 2 = 0,5.

Виявляється, що в цьому випадку прибуток складе П \u003d 1,25. Це означає, що при підвищенні цін на ринку фірма може отримати значне збільшення прибутку без зміни плану випуску.

3.2 Методи обліку науково-технічного прогресу

Загальновизнаним слід вважати той факт, що з плином часу на підприємстві, зберігає фіксовану чисельність працівників і постійний обсяг основних фондів, випуск продукції збільшується. Це означає, що крім звичайних виробничих факторів, пов'язаних з витратами ресурсів, існує фактор, який зазвичай називають науково-технічним прогресом (НТП). Цей фактор можна розглядати як синтетичну характеристику, яка відображатиме спільне вплив на економічне зростання багатьох істотних явищ, серед яких потрібно відзначити наступні:

а) поліпшення з часом якості робочої сили внаслідок підвищення кваліфікації працівників і освоєння ними методів використання більш досконалої техніки;

б) поліпшення якості машин і обладнання призводить до того, що певна сума капітальних вкладень (в незмінних цінах) дозволяє з часом придбати більш ефективну машину;

в) поліпшення багатьох сторін організації виробництва, в тому числі постачання і збуту, банківських операцій та інших взаємних розрахунків, розвиток інформаційної бази, освіту різного роду об'єднань, розвиток міжнародної спеціалізації і торгівлі тощо

У зв'язку з цим термін науково-технічний прогрес можна інтерпретувати як сукупність всіх явищ, які при фіксованих кількостях витрачаються виробничих факторів дають можливість збільшити випуск якісної, конкурентоспроможної продукції. Дуже розпливчастий характер такого визначення призводить до того, що дослідження впливу НТП проводиться лише як аналіз того додаткового збільшення продукції, яка не може бути пояснено суто кількісним зростанням виробничих факторів. головний підхід до обліку НТП зводиться до того, що в сукупність показників випуску або витрат вводиться час ( t) Як незалежний виробничий фактор і розглядається перетворення в часі або виробничої функції, або технологічного безлічі.

Зупинимося на способах обліку НТП шляхом перетворення виробничої функції, причому за основу приймемо двухфакторную виробничу функцію:

де в якості виробничих факторів виступають капітал ( До) І праця ( L). Модифікована виробнича функція в загальному випадку має вигляд

причому виконується умова

яке і відображає факт зростання виробництва в часі при фіксованих витратах праці і капіталу.

При розробці конкретних модифікованих виробничих функцій зазвичай прагнуть відобразити характер НТП в спостережуваної ситуації. При цьому розрізняють чотири випадки:

а) істотне поліпшення з часом якості робочої сили дозволяє домогтися колишніх результатів з меншою кількістю зайнятих; подібний вид НТП часто називають трудосберегающим. Модифікована виробнича функція має вигляд де монотонна функція l(t) Характеризує зростання продуктивності праці;

Мал. 11. Зростання виробництва в часі при фіксованих витратах праці і капіталу

б) переважне поліпшення якості машин і устаткування підвищує фондовіддачу, має місце капиталосберегающий НТП і відповідна виробнича функція:

де зростаюча функція k(t) Відображає зміну фондовіддачі;

в) якщо має місце значний вплив обох згаданих явищ, то використовується виробнича функція в формі

г) якщо ж немає можливості виявити вплив НТП на виробничі фактори, то застосовується виробнича функція у вигляді

де a(t) Зростаюча функція, що виражає зростання продукції при незмінних значеннях витрат факторів. Для дослідження властивостей і особливостей НТП використовуються деякі співвідношення між результатами виробництва та витратами факторів. До їх числа відносяться:

а) середня продуктивність праці

Б) середня фондовіддача

в) коефіцієнт фондоозброєності працівника

г) рівність між рівнем оплати праці та граничної (маргінальної) продуктивності праці

д) рівність між граничною фондоотдачей і нормою банківського відсотка

Кажуть, що НТП є нейтральним, якщо він не змінює з плином часу певних зв'язків між наведеними величинами.

1) прогрес називається нейтральним по Хиксу, якщо протягом часу залишається незмінним співвідношення між фондоозброєністю ( x) І граничною нормою заміни факторів ( w/r). Зокрема, якщо w/r\u003d Const, то заміна праці на капітал і навпаки не принесе ніякої вигоди і фондоозброєність x=K/Lтакож залишиться незмінною. Можна показати, що в цьому випадку модифікована виробнича функція має вигляд

і нейтральність по Хиксу еквівалентна розглянутому вище впливу НТП безпосередньо на випуск продукції. У ситуації, що розглядається изокванта з плином часу зміщується ліворуч вниз шляхом перетворення подібності, тобто залишається в точності тієї ж форми, що і в початковому положенні;

2) прогрес називається нейтральним по Харроду, якщо протягом аналізованого періоду часу норма банківського відсотка ( r) Залежить лише від фондовіддачі ( k), Тобто на неї не впливає НТП. Це означає, що гранична фондовіддача встановлена \u200b\u200bна рівні норми відсотка і подальше збільшення капіталу недоцільно. Можна показати, що такий тип НТП відповідає виробничої функції

тобто технічний прогрес є трудосберегающим;

3) прогрес є нейтральним по Солоу, якщо зберігається незмінним рівність між рівнем оплати праці ( w) І граничною продуктивністю праці і подальше збільшення витрат праці невигідно. Можна показати, що в цьому випадку виробнича функція має вигляд

тобто НТП виявляється фондосберегающім. Дамо графічне представлення трьох типів НТП на прикладі лінійної виробничої функції

У разі нейтральності по Хиксу маємо модифіковану виробничу функцію

де a(t) Зростаюча функція t. Це означає, що з плином часу изокванта Q(Відрізок прямої АВ) Зміщується до початку координат паралельним перенесенням (рис. 12) в положення A 1 B 1 .

У разі нейтральності по Харроду модифікована виробнича функція має вигляд

де l(t) Зростаюча функція.

Очевидно, що з плином часу точка Азалишається на місці і ізокванта зміщується до початку координат за допомогою повороту в положення AB 1 (рис. 13).

Для прогресу, нейтрального по Солоу, відповідна модифікована виробнича функція

де k(t) Зростаюча функція. Ізокванта зміщується до початку координат, але точка Вне зрушується, і відбувається поворот в положення A 1 B(Рис. 14).

Мал. 12. Зрушення ізокванти при нейтральному НТП по Хиксу

Мал. 13. Зрушення ізокванти при трудосберегающих НТП

Мал. 14. Зрушення ізокванти при фондосберегающем НТП

При побудові моделей виробництва з урахуванням НТП в основному використовуються такі підходи:

а) уявлення про екзогенне (або автономному) технічному прогресі, який існує також в тому випадку, коли основні виробничі фактори не змінюються. Окремим випадком такого НТП є нейтральний прогрес по Хиксу, який зазвичай враховується за допомогою експоненціального множника, наприклад:

Тут l\u003e 0, характеризує темп НТП. Неважко бачити, що час тут виступає як незалежний фактор росту виробництва, однак при цьому створюється враження, що НТП відбувається сам по собі, не вимагаючи додаткових витрат праці та капіталовкладень;

б) уявлення про технічному прогресі, Овеществленном в капіталі, пов'язує зростання впливів НТП з ростом капітальних вкладень. Для формалізації цього підходу за основу береться модель прогресу, нейтрального по Солоу:

яка записується у вигляді

де K 0 основні фонди на початок періоду, D Kнакопичення капіталу протягом періоду, яка дорівнює загальній кількості інвестицій.

Очевидно, що якщо інвестування не проводиться, то D K\u003d 0, і збільшення випуску продукції за рахунок НТП не відбувається;

в) розглянуті вище підходи до моделювання НТП мають спільну рису: прогрес виступає як задана екзогенно величина, яка впливає на продуктивність праці або фондовіддачу і за допомогою цього позначається на економічному зростанні.

Однак в довгостроковому плані НТП є і результатом розвитку, і, в значній мірі, його причиною. Оскільки саме економічний розвиток дозволяє багатим товариствам фінансувати створення нових зразків техніки, а потім вже пожинати плоди науково-технічної революції. Тому цілком правомірний підхід до НТП як ендогенного явищу, викликаному (индуцированному) економічним зростанням.

Тут виділяються два основних напрямки моделювання НТП:

1) модель індукованого прогресу заснована на формулі

причому передбачається, що суспільство може розподіляти призначені для НТП інвестиції між його різними напрямками. Наприклад, між зростанням фондовіддачі ( k(t)) (Поліпшення якості машин) і зростанням продуктивності праці ( l(t)) (Підвищення кваліфікації працівників) або вибором найкращого (оптимального) напрямки технічного розвитку при даному обсязі виділених капітальних вкладень;

2) модель процесу навчання в ході виробництва, запропонована К. Ерроу, заснована на спостережуваному факт взаємного впливу зростання продуктивності праці і кількості нових винаходів. В ході виробництва працівники набувають досвіду, і час на виготовлення виробу зменшується, тобто продуктивність праці і сам трудовий внесок залежать від обсягу виробництва

У свою чергу, зростання трудового фактора, згідно виробничої функції

призводить до зростання виробництва. У найпростішому варіанті моделі використовуються формули:

тобто фондовіддача збільшується.

ВИСНОВОК

Таким чином, в даній курсової роботі мною було розглянуто безліч важливих і цікавих з моєї точки зору фактів. Було з'ясовано, наприклад, що виробнича функція - це математична залежність між максимальним обсягом випуску продукції в одиницю часу і комбінацією чинників, його створюють, при наявному рівні знань і технологій. У теорії виробництва в основному використовують двухфакторную виробничу функцію, яка в загалом вигляді виглядає так: Q \u003d f (K, L), де Q - обсяг виробництва; К - капітал; L - праця. Питання співвідношення витрат заміщають один одного факторів виробництва вирішується за допомогою такого поняття, як еластичність заміщення факторів виробництва. Еластичність заміщення - це співвідношення витрат заміщають один одного факторів виробництва при незмінному обсязі випуску продукції. Це свого роду коефіцієнт, який показує ступінь ефективності заміщення одного фактора виробництва іншим. Мірою взаємозамінності факторів виробництва служить гранична норма технічного заміщення MRTS, яка показує, на скільки одиниць можна зменшити один з факторів при збільшенні іншого фактора на одиницю, зберігаючи випуск незмінним. Граничну норму технічного заміщення характеризує нахил ізоквант. MRTS виражається формулою: Ізокванта - крива, що є всілякі поєднання двох витрат, що забезпечують заданий постійний обсяг виробництва. Грошові кошти, як правило, обмежені. Таким чином, оптимальним поєднанням факторів для конкретного підприємства є загальні рішення рівнянь ізокванти.

Бібліографічний список:

Гребенников П.І. та ін. Мікроекономіка. СПб, 1996..

Гальперін В.М., Ігнатьєв С.М., Моргунов В.І. Мікроекономіка: У 2-х т. - СПб .: Економічна школа, 2002.Т.1. - 349 с.

Нурієв P.M. Основи економічної теорії: мікроекономіка.- М., 1996.

Економічна теорія: Підручник для вузів / Під ред. Ніколаєвої І.П. - М .: Фінанстатінформ, 2002. - 399 с.

Барр Політична економія. У 2-х т. - М., 1994.

Пиндайк Р., Рубінфельд Д. Мікроекономіка.- М., 1992.

Беморнер Томас. Управління підприємством. // Проблеми теорії та практики управління, 2001, № 2

Веріан Х.Р. Мікроекономіка. Навчальний посібник для вузів.- М., 1997..

Долан Е.Дж., Ліндсей Д.Е. Мікроекономіка - СПб: Пітер, 2004. - 415 c.

Менк'ю Н.Г. Принципи економікс. - СПб, 1999..

Фішер С, Дорнбуш Р., Шмалензи Р. економіка М., 1993.

Фролова Н.Л., Чеканська А.Н. Мікроекономіка - М .: ТЕИС, 2002. - 312 с.

Природа фірми / Под ред. Вільямсона О.І., Уінтера С. Дж. - М .: Норма, 2001. - 298 с.

Економічна теорія: Підручник для студ. вищ. навч. закладів / за редакцією В.Д. Камаева 1-е изд. перераб. і доп. - М .: Гуманітарний видавничий центр ВЛАДОС, 2003. - 614 с.

Голубков Є.П. Вивчення конкурентів і завоювання переваг у конкурентній боротьбі // Маркетинг в Росії і за рубежом.-1999 року, №2

Любимов Л.Л., Раннева Н.А. Основи економічних знань - М .: «Віта-Пресс», 2002. - 496 с.

Зуєв Г.М., Ж.В. Самохвалова Економіко-математичні методи і моделі. Міжгалузевий аналіз. - Зростання Н / Д: «Фенікс», 2002. - 345 с.

Фролова Н.Л., Чеканська А.Н. Мікроекономіка - М .: ТЕИС, 2002.

Чечевіцина Л.Н. Мікроекономіка. Економіка підприємства (фірми) - Зростання Н / Д: «Фенікс», 2003. - 200 с.

Вольський А. Умови вдосконалення управління економікою // Економіст. - 2001, № 9

Мільгром Д.А.Оценка конкурентоспроможності економічних технологій // Маркетинг в Росії і за кордоном, 1999, №2.- с.44-57проізводственная функція фірми - це карта ізоквант з різними рівнями ...

1. виробнича функція і технологічна результативність виробництва

   Закон \u003e\u003e Економічна теорія

   Для відносно низьких обсягів випуску виробнича функція фірми характеризується зростаючій віддачею від масштабу ... кожному конкретному поєднанні факторів виробництва. виробнича функція фірми може бути представлена \u200b\u200bрядом изоквант ...

2. виробнича функція, Властивості, еластичність

   Реферат \u003e\u003e Математика

   ... виробничої функції і основні характеристики виробничої функції............................................................ ..19 Глава II. види виробничих функцій.................................... ..23 2.1. Визначення лінійно - однорідних виробничих функцій ...

3. Теорія граничної продуктивності факторів виробництва. виробнича функція

   Реферат \u003e\u003e Економіка

   Способах виробництва, доступні в місці фірмі, Економісти користуються виробничої функцією фірми.2 Її концепція була розроблена ..., щодо мало капіталу і багато труда.1 виробнича функція фірми, Як уже було сказано, показує ...

У найзагальнішому вигляді виробництвоможна визначити як діяльність, спрямовану на перетворення вільних і економічних ресурсів в продукти і послуги. традиційно виділяються три основні системивиробництва - замовне, масове (гнучке інегібкое) іпоточное виробництво. Перша система передбачає виробництво за індивідуальними замовленнями унікального продукту (атомна електростанція, міст). Масове проізводствоопределяется як виробництво великими або невеликими партіями багатьох видів виробів з однотипних і стандартизованих комплектуючих. Виділяють два різновиди масового виробництва: негнучке і гнучке. Суть негнучкого масового виробництва прекрасно відображена в жартівливій фразі Генрі Форда: «Споживач може побажати машину будь-якого кольору, якщо цей колір чорний». Гнучке масове виробництво передбачає безліч комбінацій стандартних комплектуючих. Поточноепроізводствохарактерізуется безперервним споживанням сировини і безперервним потоком продукції (підприємства хімічної промисловості, Молокопереробні підприємства).

Спосіб з'єднання ресурсів для виробництва запланованого обсягу товарів називається технологією виробництва. Критерієм вибору тієї чи іншої технології є ефективність виробництва. Прийнято розрізняти економічну ітехнологіческуюеффектівность виробництва. Технологічна еффектівностьхарактерізует залежність між використовуваними ресурсами і одержуваної продукцією в натуральному вираженні. Технологічна ефективність конкретного способу виробництва оцінюється двояко: по максимуму випуску при даній комбінації ресурсів; по мінімуму кількості ресурсів, що забезпечують даний обсяг випуску.

Економічна ефективність характеризує вартісну залежність між витратами фірми на оплату факторів виробництва (витратами) і доходами фірми (виручкою). Спосіб виробництва є економічно ефективним, якщо він забезпечує мінімальну альтернативну вартість використовуваних у виробництві ресурсів, тобто економічний прибуток дорівнює нулю або позитивна величина. Вибір фірмою економічно ефективної технології залежить від сформованих на даний момент цін на ресурсних ринках. Зміна цін на ресурси і / або на продукцію фірми може зробити раніше обраний спосіб виробництва економічно неефективним.

Технологічна залежність між кількістю ресурсів, що витрачаються фірмою в одиницю часу, і максимально можливим обсягом продукції, що випускається називають виробничою функцією:

Розглянемо наступний приклад: на одній фірмі з тонни металу роблять 730 виробів, на інший - 800 виробів. Як буде виглядати виробнича функція?

Виробнича функція, подібно будь-який інший функції, може бути записана у вигляді таблиці, рівняння або представлена \u200b\u200bграфіком. Розроблено багато функцій виробництва, але найчастіше це двохфакторну функції, які мають графічне представлення. Серед двохфакторну функцій найбільшу популярність здобула функція Кобба-Дугласа:

всі ресурси , використовувані фірмою в процесі виробництва, умовно поділяють на умовно-постійніі змінні.Ресурси, кількість яких не залежить від обсягу випуску, є незмінним, відносяться до умовно-постійних . Це орендна плата, охорона і опалення. Ресурси, кількість яких пов'язане прямий пропорційної зв'язком з обсягом випуску, називаються змінними . Це електроенергія, сировина, праця.

Розподіл факторів виробництва на умовно-постійні та змінні дає можливість окреслити короткостроковийі довгостроковийперіоди в діяльності фірми. Період, протягом якого фірма в змозі змінити лише частину ресурсів (змінні), а інша частина залишається незмінною (постійні), називається короткостроковим . Тривалість розглянутих періодів може істотно варіюватися залежно від галузі.

питання 38 . Короткостроковий період виробництва: спадна віддача

Для аналізу виробництва в короткостроковому періоді розглянемо короткострокову функцію виробництва,яка передбачає наявність у фірми умовно-постійних (K) і змінних ресурсів (L): Q \u003d f (K, L). Для спрощення аналізу припустимо, що фірма використовує всього два ресурси: праця Lі капітал К.Метою аналізу організації виробництва є знаходження оптимальної пропорції між ресурсами, що в короткостроковому періоді реалізується у вигляді відповіді на питання: скільки слід придбати змінного ресурсу при відомій кількості умовно-постійного ресурсу?

Введемо нові поняття: сукупний, середній і граничний продукти.

♦ сукупний продукт(Total product, TP) -загальний обсяг вироблених фірмою товарів і послуг за одиницю часу;

♦ середній продукт(Average product, АР) -сукупний продукт на одиницю використаного ресурсу. Розрізняють середній продукт по змінному ресурсу AP L \u003d TP / Lі середній продукт по постійному фактору АР К \u003d ТР / К;

♦ граничний продукт(Marginal product, MP)- величина приросту сукупного продукту при зміні використовуваного ресурсу на одиницю. Пам'ятаємо, що в короткостроковому періоді змінюватися може лише працю.

Граничний продукт праці, MP Lрозраховується за двома можливими формулами. Якщо виробнича функція невідома, то розраховують дискретний граничний продукт праці: MP L \u003d ΔQ / ΔL.

Якщо ж виробнича функція відома, то розраховують безперервний граничний продукт праці: MP L \u003d dQ / dL \u003d Q "(L).

Наведемо спосіб розрахунку базових виробничих показників для цеху, в якому встановлені 5 верстатів (табл. 5.1).

5.1. Розрахунок середнього і граничного продуктів змінного ресурсу

L, людина	TP, тис. Штук	AP L, тис. Штук	MP L, тис. Штук
			-5
			-42

Уявімо отримані результати графічно (рис. 5.1). Як бачимо, виробничий процес, відбитий у виробничій функції, проходить три етапи: зростання, спадання і негативною віддачі. З графіка видно, що сукупний продукт досягає максимуму при таких витратах змінного ресурсу, коли граничний продукт дорівнює нулю. Закон спадної віддачі свідчить, що починаючи з деякого моменту додаткове використання змінного ресурсу при незмінній кількості постійного ресурсу веде до скорочення його граничної віддачі, або граничного продукту. Цей закон носить універсальний характер. Його найвідоміший приклад - це закон спадної родючості, який спільно з законом народонаселення Томаса Мальтуса дав підставу називати в XIX столітті політекономію «похмурої наукою».

Сформулюйте причину, через яку виробництво на окремому підприємстві ніколи не досягає можливого максимуму? Сформулюйте правило, за яким підприємство визначає кількість витраченого змінного ресурсу і, відповідно, пропорцію між умовно-постійних і змінних ресурсами, а також обсяг випуску продукції? Припустимо, що зарплата 1 працівника 20 тисяч рублів, а ціна одиниці продукції (за мінусом вартості матеріалів) 1 рубль. Тоді ціна праці 1 працівника, виражена в одиницях продукції, складе 20 тисяч штук. Тому 7-го працівника керівник фірми наймати не повинен.

Питання 39.Долгосрочний період виробництва: изокоста і ізокванта

У довгостроковому періоді всі фактори виробництва є змінними. Щоб визначити, яка з доступних технологій буде економічно ефективною, розглянемо модель ізокванти і ізокости.

Ізоквантапоказивает сукупність всіх комбінацій факторів виробництва, що забезпечують заданий обсяг випуску. Якщо відкласти по горизонтальній осі одиниці праці, по вертикальній - одиниці капіталу, потім позначити точки, в яких фірма випускає один і той же обсяг, то вийде лінія ізокванти (IQ,«З» - рівний, «кванта» - кількість). Набір изоквант, що характеризує дану виробничу функцію, називається картою ізоквант. Кут нахилу лінії ізокванти характеризується коефіцієнтом граничної норми технологічного заміщення (Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS).

MRTS капіталу з праці показує, скільки одиниць капіталу необхідно для заміщення вибуття одиниці праці або скільки одиниць капіталу можна заощадити при збільшенні витрат праці на одиницю, щоб обсяг випуску не змінився: MRTS L K \u003d dK / dL \u003d K "(L). На малюнку 5.3 це відповідає зображенню праці по осі абсцис (незалежна змінна), а капіталу - на осі ординат (залежна змінна). Скорочення випуску в результаті зменшення витрат капіталу (ΔК \u003d К 2 - К 1)компенсує збільшення випуску за рахунок додаткової кількості праці (ΔL \u003d L 2 - L 1), Так що в підсумку випуск не змінюється.

Якщо поміняти розташування ресурсів на осях, то відповідно можна буде розрахувати MRTS праці за капіталом: MRTS K L \u003d dL / dK \u003d L "(K).

Завдання. Виробничий процес характеризується функцією Q \u003d 10KL. На виробництві зайнято 5 чол. Потрібно оцінити норму заміщення одного працівника додатковою кількістю обладнання так, щоб обсяг випуску зберігся на рівні Q \u003d 500 од. продукції в день.

Рішення. Q \u003d 10 * K * L \u003d 500

K \u003d 500 / L \u003d 50 * L -1

MRTS L K \u003d K "(L) \u003d (50 * L -1)" \u003d -50 * L -2

При L \u003d 5, MRTS L K = -50/25 = -2.

Економічний смислполученного коефіцієнта: для збереження обсягу виробництва скорочення робочих на одиницю повинно бути компенсовано збільшенням обсягу використаного обладнання (капіталу) на 2 одиниці і, навпаки, зростання числа робочих на одиницю дозволяє зменшити кількість капіталу на 2 одиниці.

Завдання (продовження). Якщо фірма послідовно збільшує число зайнятих на виробництві працівників, то це супроводжується скороченням абсолютної величини граничної норми заміщення:

при L \u003d 6 чол. MRTS L K= –50/36 = –1,39;

при L \u003d 7 чол. MRTS L K= –50/49 = –1,02;

при L \u003d10 чол. MRTS L K = –50/100 = –0,5.

При переміщенні вниз по кривій абсолютне значення MRTS L Kубуває, так як рівні додаткові порції праці дозволяють економити все дедалі менші порції обладнання (рисунок 5.3). Надалі MRTSдосягає нульового значення, а ізокванта набуває горизонтальний вид.

Наявності карти ізоквант, однак, недостатньо для відповіді на питання, який набір праці і капіталу оптимальний, оскільки невідомі ціни ресурсів. Карта ізоквантсодержіт сукупність технологічно можливих комбінацій ресурсів, які забезпечують фірмі відповідні обсяги випуску. Однак при виборі оптимальної комбінації ресурсів виробник повинен враховувати не тільки доступну йому технологію, але і свої фінансові ресурси, А також ціни на фактори виробництва.

Сукупність двох останніх чинників визначає область доступних виробнику економічних ресурсів. Бюджетне обмеження виробника може бути записано у вигляді нерівності: Р К К + P L L< ТС,

де Р до, P L- ціна капіталу і праці; К, L - кількість капіталу і праці;

ТС (total cost)- сукупні витрати фірми на придбання ресурсів.

Якщо виробник повністю витрачає свої кошти, то ми отримуємо рівняння ізокости: P k K + P L L \u003d TC або K \u003d TC / P k - (P L / Pk) * L. З курсу математики відомо, що рівняння прямої лінії: y \u003d a + bx, де коефіцієнт b характеризує кут нахилу прямої лінії. Відповідно, кут нахилу іозости кількісно характеризується як «- P L / Pk».

лінія ізокости(Рис. 5.5) містить набір комбінацій економічних ресурсів, які фірма може придбати з урахуванням ринкових цін на ресурси і при повному використанні свого бюджету.

Оптимальна комбінація ресурсів, що забезпечує мінімімальний рівень сукупних витрат, лежить в точці дотику ізокости та ізокванти і передбачає виконання двох умов (рис. 5.6). По-перше, повне використання фінансових коштів, а по-друге, їх розподіл між ресурсами, при якому гранична норма технологічного заміщення одного ресурсу іншим дорівнювала б відношенню їх цін: MRTS L K \u003d–P L / P K.

MRTSвизначає можливість технологічного заміщення капіталу працею. Ставлення цін відображає економічну спроможність виробника заміщати капітал працею. Поки ці можливості незрівняються, зміни в співвідношенні використовуваних ресурсів будуть вести до збільшення обсягів випуску або до зменшення сукупних витрат фірми. Умова мінімізації витрат виглядає: MP L / P L \u003d MP K / P K. Фірма повинна розподілити кошти так, щоб отримати однаковий додатковий продукт на рубль,витрачений на придбання кожного ресурсу.

Сукупність точок оптимуму виробника, побудованих для мінливого обсягу виробництва дає траєкторію довгострокового розвитку фірми(Рис. 5.7).

Форма траєкторії розвитку дозволяє виділити капіталомісткі , трудомісткі, а також змішані технології . До якої технології відноситься траєкторія розвитку на малюнку 5.7? Як будуть виглядати траєкторії довгострокового розвитку для інших типів технологій?

В умовах сучасного суспільства жодна людина не може споживати тільки те, що він сам виробляє. Кожен індивід виступає на ринку в двох ролях: як споживач і як виробник. без постійного виробництва благ не було б споживання. На відомий питання «Що робити?» відповідають споживачі на ринку, «голосуючи» вмістом свого гаманця за ті товари, які їм дійсно потрібні. На питання «Як зробити?» повинні відповісти ті фірми, які виробляють товари на ринок.

В економіці присутній два види благ: споживчі блага і фактори виробництва (ресурси) - це блага, необхідні для організації процесу виробництва

Hеоклассіческая теорія традиційно до факторів виробництва відносила капітал, землю і робочу силу.

У 70-ті роки XIX століття Альфредом Маршаллом було виділено четвертий фактор виробництва - організація. Далі, Йозефом Шумпетером цей фактор був названий підприємництвом.

Таким чином, виробництво являє собою процес з'єднання таких факторів як капітал, праця, земля і підприємництво з метою отримання нових благ і послуг, необхідних споживачам.

Для організації виробничого процесу необхідні фактори виробництва повинні бути присутніми в певній кількості.

Залежність максимального обсягу виробленого продукту від витрат використовуваних факторів називається виробничою функцією:

де Q - максимальний обсяг продукту, який можливо зробити при заданій технології та певних факторах виробництва; K - витрати капіталу; L - витрати праці; M - витрати сировини, матеріалів.

Для укрупненого аналізу і прогнозування використовується виробнича функція, звана функцією Кобба-Дугласа:

Q \u003d k · K · L · M,

де Q - максимальний обсяг продукту при заданих чинниках виробництва; K, L, M - відповідно витрати капіталу, праці, матеріалів; k - коефіцієнт пропорційності, або масштабності; , , , - показники еластичності обсягу виробництва відповідно за капіталом, працею і матеріалами, або коефіцієнти приросту Q, що припадають на 1% приросту відповідного фактора:

+ + = 1

Незважаючи на те, що для виробництва конкретного продукту потрібне поєднання різних факторів, виробнича функція має ряд спільних властивостей:

фактори виробництва є взаємодоповнюючими. Це означає, що даний процес виробництва можливий тільки при наборі певних чинників. Відсутність одного з перерахованих факторів унеможливить виробництво запланованого продукту.

існує певна взаємозамінність факторів. В процесі виробництва один фактор може бути замінений в певній пропорції іншим. Взаємозамінність не означає можливості повного виключення з виробничого процесу будь-якого фактора.

Прийнято розглядати 2 різновиди виробничої функції: з одним змінним фактором і з двома змінними факторами.

а) виробництво з одним змінним фактором;

Припустимо, що в найзагальнішому вигляді виробнича функція з одним змінним фактором має вигляд:

де y - const, x - величина змінного фактора.

Для того щоб відобразити вплив змінного фактора на виробництво, вводяться поняття сукупного (загального), середнього і граничного продукту.

Сукупний продукт (TP) - це кількість економічного блага, вироблене з використанням певної кількості змінного фактора.Це загальна кількість виробленого продукту змінюється в міру збільшення використання змінного фактора.

Середній продукт (AP) (середня продуктивність ресурсу) - це відношення загального продукту до кількості використаного у виробництві змінного фактора:

Граничний продукт (MP) (Гранична продуктивність ресурсу) зазвичай визначається як приріст сукупного продукту, отриманий в результаті нескінченно малого збільшення кількості використаного змінного фактора:

На графіку зображено співвідношення MP, AP і TP.

Сукупний продукт (Q) сростом використання у виробництві змінного фактора (х) буде збільшуватися, проте це зростання має певні межі в рамках заданої технології. На першій стадії виробництва (ОА) збільшення витрат праці сприяє все більш повному використанню капіталу: гранична і загальна продуктивність праці зростають. Це виражається в зростанні граничного і середнього продукту, при цьому MP\u003e АР. У точці А "граничний продукт досягає свого максимуму. На другій стадії (AБ) величина граничного продукту зменшується і в точці Б" стає рівною середньому продукту (MP \u003d АР). Якщо на першій стадії (0A) сукупний продукт зростає повільніше, ніж використане кількість змінного фактора, то на другій стадії (АБ) сукупний продукт зростає швидше, ніж використане кількість змінного фактора (рис. 5-1а). На третій стадії виробництва (БВ) MP< АР, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора и, наконец, наступает четвертая стадия (пос­ле точки В), когда MP < 0. В результате прирост переменного фак­тора х приводит к уменьшению выпуска совокупной продукции. В этом и заключается закон убывающей предельной производительности. Він стверджує, що з ростом використання будь-якого виробничого фактора (при незмінності інших) рано чи пізно досягається така точка, в якій додаткове застосування змінного фактора веде до зниження відносного і далі абсолютного обсягів випуску продукції.

б) виробництво з двома змінними факторами.

Припустимо, що в найзагальнішому вигляді виробнича функція з двома змінними факторами має вигляд:

де x і y - величини змінного фактора.

Як правило, розглядається 2 одночасно і взаємодоповнюючих і взаємозамінних фактори: праця і капітал.

Цю функцію можна представити графічно з використанням ізокванти :

Ізокванта, або крива рівного продукту, відображає всі можливі комбінації двох чинників, які можуть бути використані для виробництва певного обсягу продукту.

Зі збільшенням обсягів використовуваних змінних факторів, виникає можливість випуску більшого обсягу продукції. Ізокванта, що відображає виробництво більшого обсягу продукту, буде розташована правіше і вище попередньої ізокванти.

Кількість використаних факторів x і y може постійно змінюватися, відповідно буде зменшуватися або збільшуватися максимальний випуск продукту. Отже, може виникнути безліч изоквант, що відповідають різним обсягам продукції, що випускається, які утворюють карту ізоквант.

Ізокванти є подобою кривих байдужості з тією лише різницею, що вони відображають ситуацію не в сфері споживання, а в сфері виробництва. Тобто ізокванти мають властивості, близькими кривим байдужості.

Негативний нахил изоквант пояснюється тим, що збільшення використання одного фактора при певному обсязі випуску продукту завжди буде супроводжуватися зменшенням кількості іншого фактора.

Так само як криві байдужості, розташовані на різній відстані від початку координат, характеризують різний рівень корисності для споживача, так і ізокванти дають інформацію про різні рівні виходу продукції.

Проблему заменяемости одного фактора іншим можна вирішити, розрахувавши граничну норму технологічного заміщення (MRTS xy або MRTS LK).

Гранична норма технологічного заміщення вимірюється співвідношенням зміни фактора y до зміни фактора x. Оскільки заміна факторів відбувається в зворотному відношенні, то математичний вираз показника MRTS x, y береться зі знаком мінус:

MRTS x, y \u003d іліMRTS LK \u003d

Якщо ми візьмемо будь-яку точку на ізокванте, наприклад, точку A і проведемо до неї дотичну KM, то тангенс кута дасть нам значення MRTS x, y:

Можна відзначити, що у верхній частині ізокванти кут буде досить великий, що говорить про те, що для зміни фактора x на одиницю потрібні значні зміни фактора y. Отже, в цій частині кривої значення MRTS x, y буде велике.

У міру руху вниз по ізокванте значення граничної норми технологічного заміщення буде поступово спадати. Це означає, що для збільшення фактора x на одиницю потрібно незначне зменшення фактора y.

У реальних виробничих процесах зустрічається два виняткових випадки в конфігурації изоквант:

Це ситуація, коли два змінних фактора ідеально взаємозамінні, При повній заменяемости факторів виробництва MRTS x, y \u003d const. Подібну ситуацію можна уявити при можливості повної автоматизації виробництва. Тоді в точці A весь процес виробництва буде складатися з витрат капіталу. У точці B всі машини будуть замінені робочими руками, а в точках C і D капітал і праця будуть доповнювати один одного.

У ситуації з жорсткою доповнюваності факторів гранична норма технологічного заміщення дорівнюватиме 0 (MRTS x, y \u003d 0). Якщо ми візьмемо сучасний таксопарк з постійною кількістю машин (y 1), для роботи на яких необхідно певну кількість водіїв (x 1), то можна сказати, що кількість обслуговуваних пасажирів протягом доби не збільшиться, якщо ми збільшимо чисельність водійського складу до x 2, x 3, ... x n. Обсяг виробленого продукту збільшиться з Q 1 до Q 2 тільки в тому випадку, якщо збільшиться кількість використовуваних машин в таксопарку і чисельність водіїв.

Кожен виробник, набуваючи чинники для організації виробництва, має певні обмеження в засобах.

Припустимо, що в якості змінних факторів виступають працю (фактор x) і капітал (фактор y). Вони мають певні ціни, які на період аналізу залишаються постійними (P x, P y - const).

Виробник може купувати необхідні фактори в певному поєднанні, яке не виходить за рамки його бюджетних можливостей. Тоді його витрати на придбання фактора x складуть P x · x, фактора y відповідно - P y · y. Загальні витрати (C) складуть:

C \u003d P x · X + P y · Y або
.

Для праці та капіталу:

або

Графічне зображення функції витрат (С) називається ізокостою (прямий рівних витрат, тобто це все комбінації ресурсів, використання яких веде до однакових витрат, витрачених на виробництво). Будується дана пряма по двох точках аналогічно бюджетної лінії (в рівновазі споживача).

Нахил даної прямої визначається:

Зі збільшенням коштів на придбання змінних факторів, тобто зі зменшенням бюджетних обмежень, лінія ізокости буде зрушуватися вправо і вгору:

C 1 \u003d P x · X 1 + P y · Y 1.

Графічно ізокости виглядають так само, як бюджетна лінія споживача. При незмінних цінах ізокости представляють собою прямі паралельні лінії з негативним кутом нахилу. Чим більше бюджетні можливості виробника, тим далі від початку координат відстоїть изокоста.

Графік ізокости в разі зменшення ціни на фактор x переміститься по осі абсцис з точки x 1 в x 2 відповідно до збільшення застосування цього фактора в процесі виробництва (рис. А).

А в разі збільшення ціни на фактор y виробник зможе менша кількість цього фактора залучити у виробництво. Графік ізокости по осі ординат переміститься з точки y 1 в y 2.

Маючи можливості виробництва (ізокванти) і бюджетні обмеження виробника (ізокости), можна визначити рівновагу. Для цього сумісний карту ізоквант з ізокостою. Та ізокванта, по відношенню до якої изокоста займе положення дотичної, визначить найбільший обсяг виробництва, при заданих бюджетних можливостях. Точка дотику ізокванти ізокостою буде точкою найбільш раціональної поведінки виробника.

При аналізі ізокванти ми з'ясували, що її нахил в будь-якій точці визначається кутом нахилу дотичній, або нормою технологічного заміщення:

MRTS x, y \u003d

Изокоста в точці E збігається з дотичною. Нахил ізокости, як ми визначили раніше, дорівнює кутовому коефіцієнту . Виходячи з цього, можна визначити точку рівноваги споживача як рівність співвідношень між цінами на фактори виробництва і зміною цих факторів.

або

Навівши це рівність до показників граничного продукту змінного фактора виробництва, в даному випадку це MP x і MP y, отримаємо:

або

Ця рівновага виробника або правило найменших витрат.

Для праці та капіталу рівновагу виробника буде виглядати наступним чином:

Припустимо, що ціни ресурсів залишаються незмінними, тоді як бюджет виробника стає дедалі більше. Поєднавши точки перетину изоквант з Ізок, ми отримаємо лінію OS - "шлях розвитку" (аналогічну лінії рівня життя в теорії поведінки споживача). Ця лінія показує темпи зростання співвідношення між факторами в процесі розширення виробництва. На малюнку, наприклад, праця в ході розвитку виробництва використовується в більшій мірі, ніж капітал. Форма кривої "шлях розвитку" залежить, по-перше, від форми ізоквант та, по-друге, від цін на ресурси (співвідношення між якими визначає нахил ізокост). Лінія "шлях розвитку" може бути прямий або кривої, що виходить із початку координат.

Якщо відстані між изоквантой зменшуються, це свідчить про те, що існує зростаюча економія від масштабу, т. Е. Збільшення випуску досягається при відносній економії ресурсів. І фірмі необхідно нарощувати обсяг виробництва, так як це призводить до відносної економії наявних ресурсів.

Якщо відстані між изоквантой збільшуються, це свідчить про спадної економії від масштабу. Зростаючий економія від масштабу свідчить про те, що мінімально ефективний розмір підприємства вже досягнуто і подальше нарощування виробництва недоцільно.

У разі, коли збільшення виробництва вимагає пропорційного збільшення ресурсів, кажуть про постійну економії від масштабу.

Таким чином, аналіз випуску за допомогою ізоквант дозволяє визначити технічну ефективність виробництва. Перетин изоквант з ізокостою дозволяє визначити не тільки технологічну, а й економічну ефективність, т. Е. Вибрати технологію (трудо-або капіталосберегающій, енерго- або ресурсозберігаючих і т. Д.), Що дозволяє забезпечити максимальний випуск продукції при тих коштах, які має виробник для організації виробництва.

Під виробництвом у сучасній мікроекономіці розуміється діяльність по використанню факторів виробництва з метою створення продукту або послуги і досягнення найкращого результату. У процесі виробництва використовуються фактори виробництва: праця, капітал, земля та ін. Можна виділити складові частини кожного фактора і розглядати їх як самостійні чинники. Наприклад, в факторі «праця» можуть бути виділені працю менеджерів, інженерів, робітників і т.д.

В економічній теорії виділяють первинні фактори виробництва, які відповідно до теорії факторів виробництва (її пов'язують з ім'ям французького економіста Жана Б. Сея) створюють нову вартість. До них відносяться праця, капітал, земля і підприємницькі здібності. Вторинні фактори не створюють нову вартість. В сучасному виробництві зростає роль енергії та інформації, їм притаманні ознаки первинних і вторинних факторів.

Виробнича функція виражає технологічну взаємозв'язок між кінцевим випуском і витратами факторів виробництва і. У неявному вигляді вона записується в такий спосіб:

де - форма функції; - максимальний випуск, який можна отримати при використовуваної технології і наявній кількості факторів виробництва (і).

У моделях процесу виробництва, у виробничих функціях, враховуються два основні чинники: праця і капітал. Це дозволяє проаналізувати найважливіші зв'язки і залежності в процесі виробництва без спрощення їх реального змісту. У виробничій функції випуск, витрати праці і капіталу вимірюються в натуральних одиницях (випуск в метрах, тоннах тощо, витрати праці в людино-годинах, капіталу - в машино-годинах і т.п.).

Прикладом виробничої функції, в явному вигляді представляє залежність між випуском і витратами факторів виробництва, є функція Кобба-Дугласа:

де - ефективність технології;

Приватна еластичність випуску за працею;

Приватна еластичність випуску за капіталом.

Функція була виведена математиком Ч. Коббом і економістом П. Дугласом в 1928 р на основі статистичних даних обробної промисловості США. Ця сьогодні широко відома функція має низку чудових властивостей. Нижче проаналізуємо економічний сенс її параметрів. Функція Кобба-Дугласа описує екстенсивний тип виробництва.

Якщо використовуються факторів виробництва, то виробнича функція має вигляд:

де - кількість використовуваного го фактора виробництва.

Властивості виробничої функції полягають у наступному.

1. Виробничі фактори взаємодоповнюючі. Це означає, якщо витрати хоча б одного фактора дорівнюють нулю, то і випуск дорівнює нулю :. Виняток становить функція

Відповідно з такою функцією можна використовувати тільки праця або тільки капітал, і випуск не буде дорівнює нулю.

• 2. Властивість адитивності означає, що можна об'єднати фактори виробництва і. Але об'єднання доцільно лише в тому випадку, якщо випуск після об'єднання перевищує суму випусків до об'єднання факторів виробництва.
• 3. Властивість подільності означає, що процес виробництва може здійснюватися в скорочених масштабах, якщо виконується така умова

При цьому, якщо, то маємо незмінну віддачу від масштабу; якщо - зростаючу віддачу від масштабу; якщо, то має місце спадна віддача від масштабу. При незмінній віддачі середні витрати фірми не змінюються, при зростаючій - знижуються, при спадної - зростають.

Ізокванта (або крива постійного продукту - (isoquant) являє собою графік виробничої функції. Точки на ізокванте відображають безліч комбінацій факторів виробництва, використання яких забезпечує однаковий випуск продукції.

Ізокванти характеризують процес виробництва подібно до того, як криві байдужості процес споживання. Вони мають негативний нахил, опуклі щодо початку координат. Ізокванта (рис.), Що лежить вище і правіше інший ізокванти, представляє більший обсяг продукції, що випускається (виробів,). Однак, на відміну від кривих байдужості, де загальну корисність набору товарів точно виміряти не можна, ізокванти показують реальний обсяг виробництва. Сукупність ізоквант, кожна з яких представляє максимальний випуск продукції, що отримується при використанні факторів виробництва в різних поєднаннях, називається картою ізоквант (isoquant map).

Реальна изокванта з випуском представлена \u200b\u200bна рис 1.1 а в тривимірному просторі. Її проекція відзначена пунктирною лінією і перенесена на рис. 1.1 б. Якщо використовуються відмічені поєднання чинників виробництва, але застосовується більш прогресивна технологія, то випуск буде дорівнює. Але проекція у ізокванти з таким випуском буде тією ж, що і у ізокванти з меншим випуском. Економісти мають у своєму розпорядженні на площині ізокванту з великим випуском (рис. 1.1 б) Вище і правіше ізокванти з меншим випуском.

На рис. а взаємозв'язок між випуском і витратами порушується: випуск отриманий з великими витратами праці і капіталу, ніж. Нижче буде показано, як на розташування ізокванти впливає застосовувана технологія і її параметри.

Ефективність технології (параметр у функції Кобба-Дугласа) можна представити графічно наступним чином (рис.). В точках і випуск один і той же. На рис. б ізокванта представляє більш ефективну технологію, так як витрати на одиницю продукції тут нижче, ніж на ізокванте на рис. а.