Виробнича функція і її характеристики. Технологічна і економічна ефективність. Основи теорії виробництва і виробнича функція

економічний функція сільський витрати

Для того щоб описати поведінку фірми, необхідно знати, яка кількість продукту вона може призвести, використовуючи ресурси в тих чи інших обсягах. Ми буде виходити з припущення, що фірма виробляє однорідний продукт, кількість якого вимірюється в натуральних одиницях - тоннах, штуках, метрах і т.д. Залежність кількості продукту, яке може призвести фірма, від обсягів витрат ресурсів отримала назву виробничої функції.

Але підприємство може по-різному здійснити виробничий процес, використовуючи різні технологічні способи, різні варіанти організації виробництва, так що і кількість продукту, що отримується при одних і тих же витратах ресурсів, може бути різним. Керівники фірми повинні відхилити варіанти виробництва, що дають менший вихід продукту, якщо при тих же самих витратах кожного виду ресурсу можна отримати більший вихід. Точно так же вони повинні відхилити варіанти, що вимагають великих витрат хоча б одного ресурсу без збільшення виходу продукту і скорочення витрат інших ресурсів. Варіанти, відхиляються з цих міркувань, звуться технічно неефективних.

Припустимо, ваша фірма виробляє холодильники. Для виготовлення корпусу потрібно розкроїти листове залізо. Залежно від того, як буде розмічений і розкроєний стандартний лист заліза, з нього можна вирізати більше або менше деталей; відповідно для виготовлення певної кількості холодильників потрібно менше або більше стандартних листів заліза. При цьому витрата всіх інших матеріалів, праці, устаткування, електроенергії залишиться без зміни. Такий варіант виробництва, який може бути поліпшений шляхом більш раціонального розкрою заліза, повинен бути визнаний технічно неефективним і відхилений.

Технічно ефективними називають варіанти виробництва, які не можна поліпшити ні збільшенням виробництва продукту без збільшення витрат ресурсів, ні скороченням витрат будь-якого ресурсу без зниження випуску і без збільшення витрат інших ресурсів. Виробнича функція враховує тільки технічно ефективні варіанти. Її значення - це найбільша кількість продукту, яке може призвести підприємство при даних обсягах споживання ресурсів.

Розглянемо спочатку найпростіший випадок: підприємство виробляє єдиний вид продукції і витрачає єдиний вид ресурсу. Приклад такого виробництва досить важко знайти в дійсності. Навіть якщо розглянути підприємство, що надає послуги на дому у клієнтів без застосування будь-якого обладнання і матеріалів (масаж, репетиторство) і витрачають тільки праця працівників, нам довелося б допустити, що працівники обходять клієнтів пішки (не використовуючи послуг транспорту) і домовляються з клієнтами без допомоги пошти та телефону.

Отже, підприємство, витрачаючи ресурс в кількості х, може зробити продукт в кількості q. виробнича функція

встановлює зв'язок між цими величинами. Зауважимо, що тут, як і в інших лекціях, все об'ємні величини - це величини типу потоку: обсяг витрат ресурсу вимірюється кількістю одиниць ресурсу в одиницю часу, а обсяг випуску - кількістю одиниць продукту в одиницю часу.

На рис. 1 наведено графік виробничої функції для даного випадку. Всі точки, що лежать на графіку, відповідають технічно ефективним варіантам, зокрема точки А і В. Точка С відповідає неефективного, а точка D - недосяжного варіанту.

Мал. 1.

Виробнича функція виду (1), що встановлює залежність обсягу виробництва від обсягу витрат єдиного ресурсу, може використовуватися не тільки в ілюстративних цілях. Вона корисна і тоді, коли може змінюватися витрата лише одного ресурсу, а витрати всіх інших ресурсів з тих чи інших причин повинні розглядатися як фіксовані. У цих випадках інтерес представляє залежність обсягу виробництва від витрат єдиного змінного фактора.

Значно більшу різноманітність з'являється при розгляді виробничої функції, яка залежить від обсягів двох споживаних ресурсів:

q \u003d f (x 1, x 2), (2)

Аналіз таких функцій дозволяє легко перейти до загального випадку, коли кількість ресурсів може бути будь-яким. Крім того, виробничі функції двох аргументів широко використовуються в практиці, коли дослідника цікавить залежність обсягу випуску продукту від найважливіших чинників - витрат праці (L) і капіталу (K):

q \u003d f (L, K), (3)

Графік функції двох змінних неможливо зобразити на площині. Виробничу функцію виду (2) можна представити в тривимірному декартовом просторі, дві координати якого (x 1 і x 2) відкладаються на горизонтальних осях і відповідають витратам ресурсів, а третя (q) відкладається на вертикальній осі і відповідає випуску продукту (рис. 2) . Графіком виробничої функції служитьповерхню "пагорба", підвищується з ростом кожної з координат x 1 і x 2. Побудова на рис. 1 при цьому можна розглядати як вертикальний розріз "пагорба" площиною, паралельної осі x 1 і відповідної фіксованому значенню другої координати x 2 \u003d x * 2.

Мал. 2.

економічний сільський витрати

Горизонтальний розріз "пагорба" об'єднує варіанти виробництва, які характеризуються фіксованим випуском продукту q \u003d q * при різних поєднаннях витрат першого і другого ресурсів. Якщо горизонтальний переріз поверхні "пагорба" зобразити окремо на площині з координатами x 1 і x 2, вийде крива, яка об'єднує такі комбінації витрат ресурсів, які дозволяють отримати даний фіксований обсяг випуску продукту (рис. 3). Така крива одержала назву ізокванти виробничої функції (від грец. Isoz - однаковий і лат. Quantum - скільки).

Мал. 3.

Припустимо, що виробнича функція описує випуск продукції в залежності від витрат праці і капіталу. Одне і те ж кількість продукції можна отримати при різних поєднаннях витрат цих ресурсів. Можна використовувати невелику кількість машин (тобто обійтися невеликими витратами капіталу), але при цьому доведеться затратити велику кількість праці; можна, навпаки, механізувати ті або інші операції, збільшити кількість машин і за рахунок цього знизити витрати праці. Якщо при всіх таких поєднаннях найбільший можливий обсяг випуску залишається постійним, то ці поєднання зображуються точками, що лежать на одній і тій же ізокванте.

Зафіксувавши обсяг випуску продукту на іншому рівні, ми отримаємо іншу ізокванту тієї ж самої виробничої функції. Виконавши серію горизонтальних розрізів на різних висотах, отримаємо так звану карту ізоквант (рис. 4) - найбільш поширене графічне представлення виробничої функції від двох аргументів. Вона схожа на географічну карту, на якій рельєф місцевості зображений горизонталями (інакше - Ізогіпс) - лініями, що з'єднують точки, що лежать на однаковій висоті.

Неважко помітити, що виробнича функція багато в чому схожа на функцію корисності в теорії споживання, ізокванта - на криву байдужості, карта ізоквант - на карту байдужості. Пізніше ми переконаємося в тому, що властивості і характеристики виробничої функції мають багато аналогій в теорії споживання. І справа тут не в простому схожості. По відношенню до ресурсів фірма веде себе як споживач, і виробнича функція характеризує саме цю сторону виробництва - виробництво як споживання. Той чи інший набір ресурсів корисний для виробництва остільки, оскільки він дозволяє отримати відповідний обсяг випуску продукту. Можна сказати, що значення виробничої функції виражають корисність для виробництва відповідного набору ресурсів. На відміну від споживчої корисності ця "корисність" має цілком певну кількісну міру - вона визначається обсягом виробленої продукції становить.

Мал. 4.

Та обставина, що значення виробничої функції відносяться до технічно ефективним варіантам і характеризують найбільший випуск продукції при споживанні даного набору ресурсів, також має аналогію в теорії споживання. Споживач може по-різному використовувати придбані блага. Корисність купується набору благ визначається таким способом їх використання, при якому споживач отримує найбільше задоволення.

Однак при всіх зазначених рисах подібності споживчої корисності і "корисності", яка виражається значеннями виробничої функції, це абсолютно різні поняття. Споживач сам, виходячи тільки зі своїх власних уподобань, визначає, наскільки корисний для нього той чи інший продукт, - купуючи або відкидаючи його. Набір виробничих ресурсів в кінцевому рахунку виявиться корисним в тій мірі, в якій буде схвалений споживачем той продукт, який зроблений з використанням цих ресурсів.

Оскільки виробничої функції властиві найбільш загальні властивості функції корисності, ми можемо далі розглянути основні її властивості, не повторюючи докладних міркувань, наведених у II частини.

Будемо вважати, що збільшення витрат одного з ресурсів при незмінних витратах іншого дозволяє збільшити вихід продукції. Це означає, що виробнича функція - функція, яка збільшується кожного зі своїх аргументів. Через кожну точку площини ресурсів з координатами х 1, х 2 проходить єдина ізокванта. Все ізокванти мають негативний нахил. Ізокванта, що відповідає більшому виходу продукту, розташовується правіше і вище ізокванти для меншого виходу. Нарешті, все ізокванти вважатимемо опуклими в напрямку початку координат.

На рис. 5 зображені деякі карти ізоквант, що характеризують різні ситуації, що виникають при виробничому споживанні двох ресурсів. Мал. 5, а відповідає абсолютному взаємозаміщення ресурсів. У разі, представленому на рис. 5, б, перший ресурс може бути повністю заміщений другим: точки ізоквант, розташовані на осі х 2 показують кількість другого ресурсу, що дозволяє отримати той чи інший вихід продукту без використання першого ресурсу. Використання першого ресурсу дозволяє скоротити витрати другого, але повністю замінити другий ресурс першим неможливо. Мал. 5, в зображує ситуацію, в якій обидва ресурси необхідні і жоден з них не може бути повністю заміщений іншим. Нарешті, випадок, представлений на рис. 5, г, характеризується абсолютною взаємодоповнюваністю ресурсів.

Мал. 5.

Виробнича функція, що залежить від двох аргументів, має досить наочне уявлення і порівняно проста для розрахунків. Потрібно зауважити, що в економіці використовуються виробничі функції різних об'єктів - підприємства, галузі, національного і світового господарства. Найчастіше це функції виду (3); іноді додають третій аргумент - витрати природних ресурсів (N):

q \u003d f (L, K, N), (4)

Це має сенс, якщо кількість природних ресурсів, що втягуються в виробничу діяльність, є змінним.

У прикладних економічних дослідженнях і в економічної теорії використовуються виробничі функції різних типів. У прикладних розрахунках вимоги практичної обчислюваності змушують обмежитися невеликим числом факторів, і ці фактори розглядаються укрупненно - "праця" без підрозділу за професіями і кваліфікації, "капітал" без урахування його конкретного складу, і т.д. При теоретичному аналізі виробництва можна відволіктися від труднощів практичної обчислюваності.

Сировина різних сортів має розглядатися як різні види ресурсів, точно так же, як машини різних марок або праця, що розрізняються за професійним та кваліфікаційним ознаками. Таким чином, використовувана в теорії виробнича функція - це функція великого числа аргументів:

q \u003d f (x 1, x 2, ..., x n), (5)

Такий же підхід застосовувався і в теорії споживання, де число видів споживаних благ ніяк не обмежувалася.

Все, що було раніше сказано про виробничої функції двох аргументів, може бути перенесено і на функцію виду (4), зрозуміло, з застереженнями щодо розмірності. Ізокванти функції (4) - це не плоскі криві, а n-мірні поверхні. Проте ми й надалі будемо користуватися "плоскими изоквантой" - і в ілюстративних цілях, і як зручним засобом аналізу у випадках, коли витрати двох ресурсів є змінними, а інших вважаються фіксованими.

види виробничих функцій представлені в таблиці 1.

Таблиця 1. Види виробничих функціонально

Назва ПФ	двухфакторная ПФ	Використання
1. Функція з фіксованими пропорціями факторів (ПФ Леонтьєва)		Призначена для моделювання строго детермінованих технологій, що не допускають відхилення від технологічних норм використання ресурсів на одиницю продукції.
2. ПФ Кобба- Дугласа		Використовується для опису середньомасштабних об'єктів (від промислового об'єднання до галузі), що характеризуються стійким, стабільним функціонуванням.
3. Лінійна ПФ		Застосовується для моделювання великомасштабних систем (велика галузь, н-х в цілому), в яких випуск продукції є результатом одночасного функціонування безлічі різних технологій.
4. ПФ Аллена		Призначена для опису виробничих процесів, В яких надмірний ріст будь-якого з факторів чинить негативний вплив на обсяг випуску. Зазвичай використовується для опису дрібномасштабних ПС з обмеженими можливостями переробки ресурсів.
5. ПФ постійної еластичності заміни факторів (ПЕЗ або CES)		Застосовується у випадках, коли відсутня точна інформація про рівень взаємозамінності виробничих факторів і є підстави припускати, що цей рівень істотно не змінюється при зміні обсягів втягуються ресурсів.
6. ПФ з лінійної еластичністю заміни факторів (LES)
7. Функція Солоу		Може використовуватися приблизно в тих же ситуаціях, що і ПФ ПЕЗ, проте передумови, що лежать в її основі, слабкіше передумов ПЕЗ. Рекомендується, коли припущення про однорідність видається невиправданим. Може моделювати системи будь-якого масштабу.

Неокласичні моделі економічного зростання будуються на базі виробничої функції і засновані на передумовах повної зайнятості, гнучкості цін на всіх ринках, а також підлогу ної взаємозамінності факторів виробництва. Спроби дослідити, якою мірою якість факторів виробництва (їх продуктивність) і різні пропорції в їх поєднанні впливають на економічне зростання, привели до створення моделі виробничої функції Кобба - Дугласа.

Функція Кобба-Дугласа вперше була запропонована Кнутом Уікселлом. У 1928 році перевірена на статистичних даних Чарльзом Коббом (Charles Cobb) і Паулом Дугласом (Paul Douglas) в роботі «A Theory of Production» (mar., 1928) .В цій статті була зроблена спроба емпіричним шляхом визначити вплив витрачається капіталу і праці на обсяг продукції, що випускається в обробній промисловості США.

Виробнича функція Кобба-Дугласа - залежність обсягу виробництва Q від створюють його праці L і капіталу K.

Загальний вигляд функції:

де А - технологічний коефіцієнт,

б - коефіцієнт еластичності з праці, а

в - коефіцієнт еластичності по капіталу.

Вперше Функція Кобба - Дугласа отримана в результаті математичного перетворення найпростішої двухфакторной виробничої функції y \u003d f (x1, x2), що відбиває залежність між обсягом виробленої продукції у і двома видами ресурсів: матеріальними x1 (витрати сировини, енергії, транспортні та інші ресурси) і трудовими x2. Функція Кобба - Дугласа показує, якою часткою сукупного продукту винагороджується бере участь в його створенні фактор виробництва.

Таким чином, однозначне кількісне визначення частки кожного виробничого ресурсу в кінцевому продукті важко, так як виробництво можливо лише при взаємодії всіх факторів і вплив кожного фактора залежить як від обсягу його використання, так і від обсягів використання інших ресурсів.

Побудова виробничих функцій дозволяє, нехай не абсолютно точно, визначити вплив кожного з ресурсів на результат виробництва, дати прогноз щодо зміни обсягу виробництва при змінах в обсязі ресурсів, визначити оптимальну комбінацію ресурсів для отримання заданої кількості продукції.

виробнича функція - залежність обсягів виробництва від кількості і якості наявних виробничих факторів, виражена за допомогою математичної моделі. Виробнича функція дає можливість виявити оптимальний розмір витрат, необхідних для виробництва певної порції товарів. При цьому функція завжди призначається для конкретної технології - інтеграція нових розробок спричиняє необхідність перегляду залежності.

Виробнича функція: загальний вигляд і властивості

Для виробничих функцій характерні наступні властивості:

Підвищення обсягів випуску за рахунок одного виробничого фактора завжди гранично (приклад - в одному приміщенні може працювати обмежене число фахівців).

Виробничі фактори бувають взаємозамінними ( людські ресурси замінюються роботами) і взаємодоповнюючими (працівники потребують інструментах та верстатах).

В загалом вигляді виробнича функція виглядає так:

Q = f (K, M, L, T, N),

Характеризує залежність між кількістю використовуваних ресурсів () і максимально можливим обсягом випуску, який може бути досягнутий за умови, що всі наявні ресурси використовуються найбільш раціональним чином.

Виробнича функція має такі властивості:

1. Існує межа збільшення виробництва, який може бути досягнутий при збільшенні одного ресурсу і сталості інших ресурсів. Якщо, наприклад, в сільському господарстві збільшувати кількість праці при постійних кількостях капіталу і землі, то рано чи пізно настає момент, коли випуск перестає рости.

2. Ресурси доповнюють один одного, але в певних межах можлива і їх взаємозамінність без скорочення випуску. Ручна праця, наприклад, може замінюватися використанням більшої кількості машин, і навпаки.

3. Чим довше часовий період, тим більша кількість ресурсів може бути переглянуто. У зв'язку з цим розрізняють миттєвий, короткий і тривалий періоди. Миттєвий період -період, коли всі ресурси є фіксованими. короткий період - період, коли, по крайней мере, один ресурс є фіксованим. Довготривалий період - період, коли всі ресурси є змінними.

Зазвичай в мікроекономіці аналізується двухфакторная виробнича функція, що відображає залежність випуску (q) від кількості використовуваних праці () і капіталу (). Нагадаємо, що під капіталом розуміються засоби виробництва, тобто кількість машин і обладнання, що використовується у виробництві і вимірюється в машино-годинах (тема 2, п. 2.2). У свою чергу кількість праці вимірюється в людино-годинах.

Як правило, розглянута виробнича функція виглядає так:

A, α, β - задані параметри. параметр А - це коефіцієнт сукупної продуктивності факторів виробництва. Він відображає вплив технічного прогресу на виробництво: якщо виробник впроваджує передові технології, величина А зростає, тобто випуск збільшується при колишніх кількостях праці і капіталу. параметри α і β - це коефіцієнти еластичності випуску відповідно за капіталом і праці. Іншими словами, вони показують, на скільки відсотків змінюється випуск при зміні капіталу (праці) на один відсоток. Коефіцієнти ці позитивні, але менше одиниці. Останнє означає, що при зростанні праці при постійному капіталі (або капіталу при постійній праці) на один відсоток виробництво зростає в меншій мірі.

побудова ізокванти

Наведена виробнича функція говорить про те, що виробник може замінювати працю капітаном і капітал працею, залишаючи випуск незмінним. Наприклад, в сільському господарстві розвинених країн працю є високомеханізованим, тобто на одного працівника припадає багато машин (капіталу). Навпаки, в країнах, що розвиваються той же обсяг виробництва досягається за рахунок великої кількості праці при незначному капіталі. Це дозволяє побудувати ізокванту (рис. 8.1).

ізокванта (Лінія рівного продукту) відображає всі комбінації двох факторів виробництва (праці і капіталу), при яких випуск залишається незмінним. На рис. 8.1 поруч з изоквантой проставлений відповідний їй випуск. Так, випуск, можна досягти при використанні праці та капіталу або з використанням праці та капітана.

Мал. 8.1. ізокванта

Можливі й інші комбінації обсягів праці і капіталу, мінімально необхідних для досягнення даного випуску.

Всі комбінації ресурсів, відповідних даної ізокванте, відображають технічно ефективні способи виробництва. Спосіб виробництва A є технічно ефективним у порівнянні зі способом В, Якщо він вимагає використання хоча б одного ресурсу в меншій кількості, а всіх інших не в великих кількостях в порівнянні зі способом В. відповідно спосіб В є технічно неефективним порівняно з А. технічно не ефективні способи виробництва не використовуються раціональними підприємцями і не відносяться до виробничої функції.

З вищесказаного випливає, що ізокванта не може мати позитивний нахил, як це показано на рис. 8.2.

Відрізок, виділений пунктиром, відображає все технічно неефективні способи виробництва. Зокрема, в порівнянні зі способом А спосіб В для забезпечення однакового випуску () вимагає того ж кількості капіталу, але більшої кількості праці. Очевидно, тому, що спосіб B не є раціональним і не може братися до уваги.

На основі ізокванти можна визначити граничну норму технічної заміни.

Гранична норма технічної заміни фактора Y фактором X (MRTS XY) - це кількість фактора (наприклад, капіталу), від якого можна відмовитися при збільшенні фактора (наприклад, праці) на 1 од., Щоб випуск не змінився (залишаємося на колишньої ізокванте).

Мал. 8.2. Технічно ефективне і неефективне виробництво

Отже, гранична норма технічної заміни капіталу працею обчислюється за формулою

При нескінченно малих змінах L і K вона становить

Таким чином, гранична норма технічної заміни є похідна функції ізокванти в даній точці. Геометрично вона являє собою нахил ізокванти (рис. 8.3).

Мал. 8.3. Гранична норма технічної заміни

При русі зверху - вниз вздовж ізокванти гранична норма технічної заміни весь час зменшується, про що говорить зменшується нахил ізокванти.

Якщо ж виробник збільшує і праця, і капітал, то це дозволяє йому досягти більшого випуску, тобто перейти на більш високу ізокванту (q 2). Ізокванта, розташована правіше і вище попередньої, відповідає більшому обсягу випуску. Сукупність ізоквант утворює карту ізоквант (Рис. 8.4).

Мал. 8.4. Карта ізоквант

Особливі випадки изоквант

Нагадаємо, що наведені відповідають виробничої функції виду. Але бувають і інші виробничі функції. Розглянемо випадок, коли має місце досконала замещаемость факторів виробництва. Припустимо, наприклад, що на складських роботах можна використовувати кваліфікованих і некваліфікованих вантажників, причому продуктивність кваліфікованого вантажника в N раз вище, ніж некваліфікованої. Це означає, що ми можемо замінити будь-яку кількість кваліфікованих вантажників некваліфікованими в співвідношенні N до одного. І навпаки, можна замінити N некваліфікованих вантажників одним кваліфікованим.

Виробнича функція при цьому має вигляд: де - число кваліфікованих робітників, - число некваліфікованих робітників, а і b - постійні параметри, що відображають продуктивність відповідно одного кваліфікованого і одного некваліфікованого робітника. Співвідношення коефіцієнтів а і b - гранична норма технічної заміни некваліфікованих вантажників кваліфікованими. Вона постійна і дорівнює N: MRTS xy \u003d A / b \u003d N.

Нехай, наприклад, кваліфікований вантажник в стані в одиницю часу обробити 3 т вантажу (це буде коефіцієнт а у виробничій функції), а некваліфікований - тільки 1 т (коефіцієнт b). Значить, роботодавець може відмовитися від трьох некваліфікованих вантажників, додатково наймаючи одного кваліфікованого вантажника, щоб випуск (загальна вага обробленого вантажу) при цьому залишився незмінним.

Ізокванта в даному випадку є лінійною (рис. 8.5).

Мал. 8.5. Ізокванта при досконалої заменяемости факторів

Тангенс кута нахилу ізокванти дорівнює граничній нормі технічної заміни некваліфікованих вантажників кваліфікованими.

Ще одна виробнича функція - функція Леонтьєва. Вона передбачає жорстку дополняемость факторів виробництва. Це означає, що фактори можуть використовуватися тільки в строго певній пропорції, порушення якої технологічно неможливо. Наприклад, авіаційний рейс може бути нормально здійснено за наявності як мінімум одного літака і п'яти членів екіпажу. При цьому не можна збільшувати літако-годинник (капітал), одночасно скорочуючи людино-години (праця), і навпаки, і зберігати незмінним випуск. Ізокванти в даному випадку мають вигляд прямих кутів, тобто граничні норми технічної заміни дорівнюють нулю (рис. 8.6). У той же час можна збільшувати випуск (кількість рейсів), збільшуючи в одній і тій же пропорції і праця, і капітал. Графічно це означає перехід на більш високу ізокванту.

Мал. 8.6. Ізокванти в разі жорсткої доповнюваності факторів виробництва

Аналітично така виробнича функція має вигляд: q = min (aK; bL), де а і b - постійні коефіцієнти, що відображають продуктивність відповідно капіталу і праці. Співвідношення цих коефіцієнтів визначає пропорцію використання капіталу і праці.

У нашому прикладі з авіарейсом виробнича функція виглядає так: q \u003d min (1K; 0,2L). Справа в тому, що продуктивність капіталу тут становить один рейс на один літак, а продуктивність праці - один рейс на п'ять чоловік або 0,2 рейсу на одну людину. Якщо авіакомпанія має літаковим парком в 10 машин і має 40 чоловік льотного персоналу, то її максимальний випуск складе: q \u003d min (1 х 8; 0,2 х 40) \u003d 8 рейсів. Два літаки при цьому будуть простоювати на землі через брак персоналу.

Погляньмо, нарешті, на виробничу функцію, яка передбачає існування обмеженого числа виробничих технологій для виробництва заданої кількості продукції. Кожній з них відповідає певний стан праці і капіталу. В результаті ми маємо ряд опорних точок в просторі «праця-капітал», з'єднавши які, отримуємо ламану ізокванту (рис. 8.7).

Мал. 8.7. Ламані ізокванти при наявності обмеженого числа виробничих методів

На малюнку видно, що випуск продукції в обсязі q 1 можна отримати при чотирьох комбінаціях праці і капіталу, відповідних точкам А, B, С і D. Можливі також і проміжні комбінації, досяжні в тих випадках, коли підприємство спільно використовує дві технології для отримання певного сукупного випуску. Як завжди, збільшивши кількості праці і капіталу, ми переходимо на більш високу ізокванту.

Виробництво - основна сфера діяльності фірми. Фірми використовують виробничі фактори, які називаються також вводяться (вхідними) факторами виробництва ..

Виробнича функція - це залежність між набором факторів виробництва та максимально можливим обсягом продукту, виробленим за допомогою цього набору факторів.

Виробнича функція може бути представлена \u200b\u200bбезліччю изоквант, пов'язаних з різними рівнями обсягу виробництва. Такий вид функції, коли встановлюється явна залежність обсягу виробництва продукції від наявності або споживання ресурсів, називається функцією випуску.

Зокрема, широко використовуються функції випуску в сільському господарстві, де з їх допомогою вивчається вплив на врожайність таких факторів, як, напр., різні види і склади добрив, методи обробки грунту. Поряд з подібними виробничою функцією використовуються зворотні до них функції виробничих витрат. Вони характеризують залежність витрат ресурсів від обсягів випуску продукції (строго кажучи, вони протилежні тільки до ПФ з взаємозамінними ресурсами). Окремими випадками ПФ можна вважати функцію витрат (зв'язок обсягу продукції і витрат виробництва), інвестиційну функцію: залежність потрібних капіталовкладень від виробничої потужності майбутнього підприємства.

Існує широкий вибір виразів алгебри, які можна використовувати для подання виробничих функцій. Найпростіша модель - це спеціальний випадок загальної моделі аналізу виробництва. Якщо фірмі доступний тільки один вид діяльності, то виробничу функцію можна представити прямокутними изоквантой з постійною віддачею від масштабу. Можливість змінювати співвідношення факторів виробництва відсутній, і еластичність заміни, безумовно, дорівнює нулю. Це вкрай спеціалізована виробнича функція, але її простота пояснює її широке застосування в багатьох моделях.

Математично виробничі функції можуть бути представлені в різних формах - від настільки простих, як лінійна залежність результату виробництва від одного досліджуваного фактора, до дуже складних систем рівнянь, що включають рекурентні співвідношення, якими зв'язуються стану досліджуваного об'єкта в різні періоди часу ..

Виробнича функція графічно представляється сімейством изоквант. Чим далі від початку координат розташована ізокванта, тим більший обсяг виробництва вона відображає. На відміну від кривої байдужості, кожна ізокванта характеризує кількісно певний обсяг випуску.

Малюнок 2 _ Ізокванти, відповідні різному обсягом виробництва

На рис. 1 представлено три ізокванти, відповідні обсягом виробництва в 200, 300 і 400 одиниць продукції. Можна сказати, що для випуску 300 одиниць продукції необхідно K 1 одиниць капіталу і L 1 одиниць праці або K 2 одиниць капіталу і L 2 одиниць праці, або будь-яка інша їх комбінація з того безлічі, яке представлене изоквантой Y 2 \u003d 300.

У загальному випадку в безлічі X допустимих наборів виробничих факторів виділяється підмножина X c, зване изоквантой виробничої функції, яка характеризується тим, що для будь-якого вектора справедливо рівність

Таким чином, для всіх наборів ресурсів, відповідних ізокванте, виявляються рівними обсяги продукції, що випускається. По суті изокванта є опис можливості взаємної заміни факторів в процесі виробництва продукції, що забезпечує незмінний обсяг виробництва. У зв'язку з цим виявляється можливим визначити коефіцієнт взаємної заміни ресурсів, використовуючи диференціальне співвідношення уздовж будь-якої ізокванти

Звідси коефіцієнт еквівалентної заміни пари факторів j і k дорівнює:

Отримане співвідношення показує, що якщо виробничі ресурси заміщаються в відношенні, що дорівнює відношенню пріростних продуктивно, то кількість виробленої продукції залишається незмінним. Потрібно сказати, що знання виробничої функції дозволяє охарактеризувати масштаби можливості здійснити взаємну заміну ресурсів в ефективних технологічних способах. Для досягнення цієї мети служить коефіцієнт еластичності заміни ресурсів по продукції

який обчислюється уздовж ізокванти при незмінному рівні витрат інших виробничих факторів. Величина sjk є характеристикою відносної зміни коефіцієнта взаємної заміни ресурсів при зміні співвідношення між ними. Якщо відношення взаємозамінних ресурсів зміниться на sjk відсотків, то коефіцієнт взаємної заміни sjk зміниться на один відсоток. У разі лінійної виробничої функції коефіцієнт взаємної заміни залишається незмінним при будь-якому співвідношенні використовуваних ресурсів і тому можна вважати, що еластичність s jk \u003d 1. Відповідно великі значення sjk свідчать про те, що можлива велика свобода в заміні виробничих факторів уздовж ізокванти і при цьому основні характеристики виробничої функції (продуктивності, коефіцієнт взаємозаміни) будуть змінюватися дуже слабо.

Для статечних виробничих функцій для будь-якої пари взаємозамінних ресурсів справедливо рівність s jk \u003d 1.

Подання ефективного технологічного безлічі за допомогою скалярної виробничої функції виявляється недостатнім в тих випадках, коли не можна обійтися єдиним показником, що характеризує результати діяльності виробничого об'єкта, але необхідно використовувати кілька (М) вихідних показників (рисунок 3).

Малюнок 3 _ Різні випадки поведінки изоквант

У цих умовах можна використовувати векторну виробничу функцію

Важливе поняття граничної (диференціальної) продуктивності вводиться співвідношенням

Аналогічне узагальнення допускають всі інші головні характеристики скалярних ПФ.

Подібно кривим байдужості ізокванти також підрозділяються на різні типи.

Для лінійної виробничої функції виду

де Y обсяг виробництва; A, b 1, b 2 параметри; K, L витрати капіталу і праці, і повне заміщення одного ресурсу іншим ізокванта матиме лінійну форму (рисунок 4, а).

Для статечної виробничої функції

Тоді ізокванти матимуть вигляд кривих (рисунок 4, б).

Якщо ізокванта відображає лішьодін технологічний спосіб виробництва даного продукту, то праця і капітал комбінуються в єдино можливому поєднанні (рисунок 4, в).

г) Ламані ізокванти

Малюнок 4 - різні варіанти изоквант

Такі ізокванти іноді називають изоквантой Леонтійовському типу по імені американського економіста В.В. Леонтьєва, який поклав такий тип ізокванти в основу розробленого ним методу inputoutput (витрати випуск).

Ламана ізокванта передбачає наявність обмеженої кількості технологій F (рисунок 4, г).

Ізокванти подібної конфігурації використовуються в лінійному програмуванні для обгрунтування теорії оптимального розподілу ресурсів. Ламані ізокванти найбільш реалістично представляють технологічні можливості багатьох виробничих об'єктів. Однак в економічній теорії традиційно використовують головним чином криві ізокванти, які виходять з ламаних при збільшенні числа технологій і збільшення відповідно точок зламу.

Найбільш широко поширені мультиплікативно-статечні форми подання виробничих функцій. Їх особливість полягає в наступному: якщо один із співмножників дорівнює нулю, то результат звертається в нуль. Легко помітити, що це реалістично відображає той факт, що в більшості випадків у виробництві беруть участь всі аналізовані первинні ресурси і без будь-якого з них випуск продукції виявляється неможливим. У самій загальній формі (Вона називається канонічної) ця функція записується так:

Тут коефіцієнт А, що стоїть перед знаком множення, враховує розмірність, він залежить від обраної одиниці вимірювань витрат і випуску. Співмножники від першого до n-го можуть мати різний зміст в залежності від того, які чинники впливають на загальний результат (Випуск). Напр., У ПФ, яка застосовується для вивчення економіки в цілому, можна в якості результативного показника прийняти обсяг кінцевого продукту, а сомножителей - чисельність зайнятого населення x1, суму основних та обігових фондів x2, площа використовуваної землі x3. Тільки два співмножники у функції Кобба-Дугласа, за допомогою якої була зроблена спроба оцінити зв'язок таких факторів, як праця і капітал, з ростом національного доходу США в 20-30-і рр. ХХ ст .:

N \u003d A · Lб · Kв,

де N - національний доход; L і K - відповідно обсяги доданої праці і капіталу (докладніше див.; Кобба-Дугласа функція).

Статечні коефіцієнти (параметри) мультиплікативно-ступеневою виробничої функції показують ту частку в процентному прирості кінцевого продукту, яку вносить кожен із співмножників (або на скільки відсотків зросте продукт, якщо витрати відповідного ресурсу збільшити на один відсоток); вони є коефіцієнтами еластичності виробництва щодо витрат відповідного ресурсу. Якщо сума коефіцієнтів складає 1, це означає однорідність функції: вона зростає пропорційно зростанню кількості ресурсів. Але можливі й такі випадки, коли сума параметрів більше або менше одиниці; це показує, що збільшення витрат призводить до непропорційно більшого або непропорційно меншого зростання випуску - ефект масштабу.

У динамічному варіанті застосовуються різні форми виробничої функції. Наприклад в 2-факторному випадку: Y (t) \u003d A (t) Lб (t) Kв (t), де множник A (t) зазвичай зростає в часі, відображаючи загальне зростання ефективності виробничих факторів в динаміці.

Логаріфміруя, а потім диференціюючи за t зазначену функцію, можна отримати співвідношення між темпами приросту кінцевого продукту (національного доходу) і приросту виробничих факторів (темпи приросту змінних прийнято тут описувати в процентах).

Подальша "динамизация" ПФ може полягати у використанні змінних коефіцієнтів еластичності.

Описувані ПФ співвідношення носять статистичний характер, т. Е. Виявляються тільки в середньому, у великій масі спостережень, оскільки реально на результат виробництва впливають не тільки аналізовані чинники, а й безліч невраховуваних. Крім того, застосовуються показники як витрат, так і результатів неминуче є продуктами складного агрегування (напр., Узагальнений показник трудових затрат в макроекономічній функції вбирає в себе витрати праці різної продуктивності, інтенсивності, кваліфікації і т. Д.).

Особлива проблема - облік в макроекономічних ПФ фактора технічного прогресу (докладніше див. В ст. "Науково-технічний прогрес"). За допомогою ПФ вивчається також еквівалентна взаємозамінність факторів виробництва (див. Еластичність заміщення ресурсів), яка може бути або незмінною, або змінною (т. Е. Залежною від обсягів ресурсів). Відповідно функції ділять на два види: з постійною еластичністю заміни (CES - Constant Elasticity of Substitution) і змінною (VES - Variable Elasticity of Substitution) (див. Нижче).

На практиці застосовуються три основні методи визначення параметрів макроекономічних ПФ: на основі обробки часових рядів, на основі даних про структурні елементи агрегатів і про розподіл національного доходу. Останній метод називається розподільним.

При побудові виробничої функції необхідно позбавлятися від явищ мультіколлінеарності параметрів і автокореляції - в іншому випадку неминучі грубі помилки.

Наведемо деякі важливі виробничі функції.

Лінійна виробнича функція:

P \u003d a1x1 + ... + anxn,

де a1, ..., an - оцінювані параметри моделі: тут чинники виробництва замещаемості в будь-яких пропорціях.

Функція CES:

P \u003d A [(1 - б) K-b + бL-b] -c / b,

в цьому випадку еластичність заміщення ресурсів не залежить ні від K, ні від L і, отже, постійна:

Звідси і походить назва функції.

Функція CES, як і функція Кобба- Дугласа, виходить з припущення про постійне убування граничної норми заміщення використовуваних ресурсів. Тим часом еластичність заміщення капіталу працею і, навпаки, праці капіталом в функції Кобба-Дугласа, що дорівнює одиниці, тут може набувати різних значень, не рівні одиниці, хоча і є постійною. Нарешті, на відміну від функції Кобба-Дугласа логарифмирование функції CES не приводить її до лінійного вигляду, що змушує використовувати для оцінки параметрів складніші методи нелінійного регресійного аналізу.

Виробнича функція завжди конкретна, тобто призначається для даної технології. Нова технологія - нова продуктивна функція. За допомогою виробничої функції визначається мінімальна кількість витрат, необхідних для виробництва даного обсягу продукту.

Виробничі функції, незалежно від того, який вид виробництва ними виражається, володіють наступними загальними властивостями:

1) Збільшення обсягу виробництва за рахунок зростання витрат тільки по одному ресурсу має межу (не можна наймати багато робітників в одне приміщення - не у всіх будуть місця).
2) Фактори виробництва можуть бути взаємодоповнювані (робочі і інструменти) і взаємозамінні (автоматизація виробництва).

У найбільш загальному вигляді виробнича функція має такий вигляд:

де - обсяг випуску;

K- капітал (обладнання);

М- сировину, матеріали;

Т - технологія;

N - підприємницькі здібності.

Найбільш простий є двофакторна модель виробничої функції Кобба - Дугласа, за допомогою якої розкривається взаємозв'язок праці (L) і капіталу (К).

Ці фактори взаємозамінні і взаємодоповнюючі. Ще в 1928 році американські вчені - економіст П. Дуглас і математик Ч. Кобб - створили макроекономічну модель, що дозволяє оцінити внесок різних факторів виробництва в збільшенні обсягу виробництва або національного доходу. Ця функція має такий вигляд:

де А - виробничий коефіцієнт, що показує пропорційність всіх функцій і змінюється при зміні базової технології (через 30-40 років);

K, L- капітал і праця;

б, в коефіцієнти еластичності обсягу виробництва за витратами капіталу і праці.

Якщо б \u003d 0,25, то зростання витрат капіталу на 1% збільшує обсяг виробництва на 0,25%.

На основі аналізу коефіцієнтів еластичності у виробничій функції Кобба - Дугласа можна виділити:

1) пропорційно зростаючу виробничу функцію, коли

2) непропорційно - зростаючу

3) спадну

Розглянемо короткий період діяльності фірми, в якому з двох чинників змінним є праця. У такій ситуації фірма може збільшити виробництво за рахунок використання більшої кількості трудових ресурсів (Рисунок 5).

Малюнок 5_ Динаміка і взаємозв'язок загальної середньої та граничного продуктів

На малюнку 5 видно графік виробничої функції Кобба - Дугласа з однією змінною зображений - крива Трн.

Функція Кобба-Дугласа мала довгу і успішну життя без серйозних суперників, але недавно їй склала сильну конкуренцію нова функція Ерроу, Ченері, Минхасом і Солоу, яку ми будемо називати скорочено SMAC. (Браун і Де Кані також розробили цю функцію незалежно). Основна відмінність функції SMAC полягає в тому, що вводиться постійна еластичності заміщення у, відмінна від одиниці (як у функції Кобба-Дугласа) і нуля: як в моделі витрати-випуск.

Різноманітність ринкових і технологічних умов, яке спостерігається в сучасній економіці, вселяє думку про неможливість задовольнити основним вимогам розумного агрегування, за винятком, може бути, окремих фірм в одній і тій же галузі або обмежених секторів економіки.

Таким чином, в економіко-математичних моделях виробництва кожна технологія графічно може бути представлена \u200b\u200bточкою, координати якої відображають мінімально необхідні витрати ресурсів K і L для виробництва даного обсягу випуску. Безліч таких точок утворюють лінію рівного випуску, чи ізокванту. Тобто, виробнича функція графічно представляється сімейством изоквант. Чим далі від початку координат розташована ізокванта, тим більший обсяг виробництва вона відображає. На відміну від кривої байдужості, кожна ізокванта характеризує кількісно певний обсяг випуску. Зазвичай в мікроекономіці аналізується двухфакторная виробнича функція, що відображає залежність випуску від кількості використовуваних праці і капіталу.