I-download ang pagtatanghal: ang pinagmulan ng mga kumplikadong numero at ang kanilang mga aplikasyon. Pagtatanghal sa paksang "kasaysayan ng mga kumplikadong numero." Trigonometric form ng isang kumplikadong numero

1.85  -2  0.8 Ang mundo ng mga numero ay walang hanggan.  Ang mga unang ideya tungkol sa numero ay nagmula sa pagbibilang ng mga bagay (1, 2, 3, atbp.) - NATURAL NUMBERS.  Kasunod nito, ang mga FRACTIONS ay lumitaw bilang resulta ng pagsukat ng haba, timbang, atbp. (, atbp.)  NEGATIVE NUMBERS, lumitaw sa pagbuo ng algebra Integers (i.e. natural na mga numero 1, 2, 3, atbp.), negatibong mga numero ( -1, -2, -3, atbp. at sero), ang mga fraction ay tinatawag na RATIONAL NUMBERS. ,  Ang mga rational na numero ay hindi maaaring tumpak na ipahayag ang haba ng dayagonal ng isang parisukat kung ang haba ng gilid ay katumbas ng yunit ng pagsukat. Upang tumpak na maipahayag ang mga ugnayan ng mga hindi nasusukat na mga segment, kailangan mong magpakilala ng bagong numero:  IRRATIONAL (atbp.) Rational at irrational - bumuo ng isang set ng: Real number. Kung isasaalang-alang ang mga tunay na numero, nabanggit na sa hanay ng mga tunay na numero imposible, halimbawa, upang makahanap ng isang numero na ang parisukat ay katumbas ng. Kung isasaalang-alang ang mga quadratic equation na may mga negatibong discriminant, nabanggit din na ang mga naturang equation ay walang mga ugat na tunay na mga numero. Upang gawing malulutas ang mga ganitong problema, ipinakilala ang mga bagong numero - Mga kumplikadong numero Mga kumplikadong numero 2 = -1 3 = - = 4 =1 b - Mga haka-haka na numero a + b - Mga kumplikadong numero a, b - Anumang mga tunay na numero Nakaraan at kasalukuyan ng mga kumplikadong numero. Ang mga kumplikadong numero ay nagmula sa matematika mahigit 400 taon na ang nakararaan. Sa unang pagkakataon ay nakatagpo kami ng square roots ng mga negatibong numero. Walang nakakaalam kung ano ang ekspresyong ito, kung anong kahulugan ang dapat ibigay dito. Ang square root ng anumang negatibong numero ay walang kahulugan sa hanay ng mga tunay na numero. Nakikita ito kapag nilulutas ang mga quadratic, cubic, at fourth degree equation. PANINIWALA ANG MATHEMATICS: LEONARD EULER Ang mga parisukat na ugat ng mga negatibong numero - dahil hindi sila mas malaki sa, hindi bababa sa, at hindi katumbas ng zero - ay hindi mabibilang sa mga posibleng numero. Gottfried William Leibnets Tinawag ni Gottfried Leibnets ang mga kumplikadong numero na "isang eleganteng at kahanga-hangang kanlungan ng banal na espiritu," isang pagkabulok ng mundo ng mga ideya, isang halos dalawahang nilalang, na matatagpuan sa pagitan ng pagiging at hindi pagiging. Ipinamana pa niya na gumuhit ng tanda sa kanyang libingan bilang simbolo ng kabilang mundo. K. Gauss sa simula ng ika-19 na siglo ay iminungkahi na tawagan sila ng mga "kumplikadong numero". K. F. Gauss Mga anyo ng kumplikadong mga numero: Z=a+bi – algebraic form Z=r() – trigonometriko Z=rE - exponential Complex number ay ginagamit:  Kapag gumuhit ng mga heograpikal na mapa  Sa teorya ng paggawa ng sasakyang panghimpapawid  Ginagamit sa iba't ibang pag-aaral on number theory  Sa electromechanics  Kapag pinag-aaralan ang paggalaw ng natural at artificial celestial bodies, atbp. d. At sa pagtatapos ng pagtatanghal, nag-aalok ng Lutasin ang crossword puzzle na “Subukan ang iyong sarili” 8 1 3 2 7 5 6 4 1. Ano ang pangalan ng isang numero ng anyong Z=a+bc? 2. Sa anong kapangyarihan ng isang haka-haka na yunit nakuha ang isa? 3.Ano ang tawag sa mga bilang na naiiba lamang sa tanda ng bahaging haka-haka?4. Haba ng vector. 5.Ang anggulo kung saan matatagpuan ang vector. 6. Ano ang anyo ng complex number: Z=r(cos +sin)? 7. Ano ang anyo ng complex number Z=re? 8. Tingnan ang D=b -4ac, ano ang D?

Matapos pag-aralan ang paksang “Mga kumplikadong numero
ang mga mag-aaral ay dapat:
alamin:
algebraic, geometric at trigonometriko na mga anyo
kumplikadong numero.
Magagawang:
magsagawa ng mga operasyon sa pagdaragdag sa mga kumplikadong numero,
multiplikasyon, pagbabawas, paghahati, exponentiation, extraction
ugat ng isang kumplikadong numero;
i-convert ang mga kumplikadong numero mula sa algebraic form sa
geometriko at trigonometriko;
gamitin ang geometric na interpretasyon ng mga kumplikadong numero;
sa pinakasimpleng mga kaso, hanapin ang mga kumplikadong ugat ng mga equation na may
tunay na mga coefficient.

Anong mga hanay ng numero ang pamilyar sa iyo?

I. Paghahanda sa pag-aaral ng bagong materyal
Anong mga hanay ng numero ang pamilyar sa iyo?
N
Z
Q
N Z Q R
R

Numerical system
Natural
mga numero, N
Mga integer, Z
Mga rational na numero, Q
Mga totoong numero,
R
Kumplikado
mga numero, C
Katanggap-tanggap
algebraic
mga operasyon
Dagdag,
pagpaparami
Pagdaragdag, pagbabawas,
pagpaparami
Pagdaragdag, pagbabawas,
pagpaparami, paghahati
Pagdaragdag, pagbabawas,
pagpaparami, paghahati,
pag-ugat
di-negatibong mga numero
Lahat ng operasyon
Bahagyang
katanggap-tanggap
algebraic
mga operasyon
Pagbabawas, paghahati,
pagkuha ng ugat
dibisyon,
pagkuha ng ugat
Pagkuha ng mga ugat mula sa
hindi negatibo
numero
Pagkuha ng ugat
mula sa arbitraryo
numero

Minimum na kondisyon na dapat matugunan
kumplikadong mga numero:
C1) May square root ng, i.e. umiiral
kumplikadong numero na ang parisukat ay katumbas ng.
C2) Ang hanay ng mga kumplikadong numero ay naglalaman ng lahat ng tunay
numero.
C3) Mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati
ang mga kumplikadong numero ay nakakatugon sa karaniwang mga batas
mga operasyong aritmetika (combinative, commutative,
pamamahagi).
Ang katuparan ng mga minimum na kundisyong ito ay nagpapahintulot sa amin na matukoy
ang buong set C ng mga kumplikadong numero.

Mga haka-haka na numero

i = -1, i – haka-haka na yunit
i, 2i, -0.3i - puro haka-haka na numero
Mga operasyong aritmetika sa mga haka-haka lamang na numero
ay natutupad alinsunod sa kondisyon C3.
3i 13i 3 13 i 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
i 7 i 2 i i
3
Sa pangkalahatan, ang mga alituntunin ng mga pagpapatakbo ng aritmetika na may puro haka-haka
ang mga numero ay:
a b i;
a bi ab i;
ai bi
ai bi a b i;
ai bi abi a
kung saan ang a at b ay tunay na mga numero.
2

Mga kumplikadong numero

Kahulugan 1. Ang isang kumplikadong numero ay ang kabuuan
tunay na numero at puro imaginary number.
z a bi C a R, b R,
ako ang imaginary unit.
a Re z , b Ako z
Depinisyon 2. Dalawang kumplikadong numero ang tinatawag
pantay kung ang kanilang mga tunay na bahagi ay pantay at pantay
kanilang mga haka-haka na bahagi:
a bi c di a c, b d .

Pag-uuri ng mga kumplikadong numero

Mga kumplikadong numero
a+bi
Mga totoong numero
b=o
Makatuwiran
numero
Hindi makatwiran
numero
Mga haka-haka na numero
b≠o
Mga haka-haka na numero na may
hindi zero
wasto
bahagi
a ≠ 0, b ≠ 0.
Panay
haka-haka
numero
a = 0, b ≠ 0.

Mga operasyon sa aritmetika sa mga kumplikadong numero

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad
2
2
i
2
2
c di (c di)(c di) c d
c d

Conjugate complex number

Depinisyon: Kung pinananatili ang isang kumplikadong numero
tunay na bahagi at baguhin ang tanda ng haka-haka na bahagi, kung gayon
ang resulta ay isang complex number conjugate sa ibinigay na isa.
Kung ang isang ibinigay na kumplikadong numero ay tinutukoy ng titik z, kung gayon
ang conjugate number ay tinutukoy ng z:
z x yi z x yi
Sa lahat ng kumplikadong numero, ang mga tunay na numero (at sila lang)
ay katumbas ng kanilang mga conjugate number.
Ang mga numerong a + bi at a - bi ay tinatawag na mutually conjugate
kumplikadong mga numero.

Mga katangian ng conjugate number

1. Ang kabuuan at produkto ng dalawang conjugate na numero ay isang numero
totoo.
z z (a bi) (a bi) 2a
z z (a bi)(a bi) a 2 (bi) 2 a 2 b 2
2. Ang conjugate number ng kabuuan ng dalawang kumplikadong numero ay katumbas ng
ang kabuuan ng mga conjugated na numero.
z1 z2 z1 z2
3. Ang conjugate number ng pagkakaiba ng dalawang kumplikadong numero ay katumbas ng
ang pagkakaiba sa pagitan ng mga conjugates ng mga ibinigay na numero.
z1 z2 z1 z2
4. Ang conjugate number ng produkto ng dalawang kumplikadong numero ay katumbas ng
ang produkto ng mga conjugates ng mga ibinigay na numero.
z1z2 z1 z2

Mga katangian ng conjugate number

5. Ang numerong conjugate sa ika-n na kapangyarihan ng complex number z,
katumbas ng ika-n na kapangyarihan ng numerong conjugate sa numerong z, i.e.
z n (z)n , n N
6. Ang conjugate number ng dalawang complex number mula sa
na ang divisor ay non-zero ay katumbas ng quotient
conjugate numbers, i.e.
isang bi a bi
c di c di

Mga kapangyarihan ng haka-haka na yunit

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang unang kapangyarihan ng i ay
1
mismo
ang numero i, at ang pangalawang kapangyarihan ay ang numero -1:
i1 = i, i2 = -1
.
Ang mas mataas na kapangyarihan ng i ay matatagpuan tulad ng sumusunod
1
paraan:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1, atbp.
Malinaw, para sa anumang natural na numero n
i4n = 1;
i4n +2 = - 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = - i.

Pagkuha ng mga square root ng kumplikadong mga numero sa algebraic form.

Kahulugan. Ang bilang na w ay tinatawag na square root ng
2
complex number z kung ang parisukat nito ay katumbas ng z: w z
Teorama. Hayaang ang z=a+bi ay isang non-zero complex number.
Pagkatapos ay mayroong dalawang magkasalungat na kumplikado
mga numero na ang mga parisukat ay katumbas ng z. Kung b≠0, ang dalawang numerong ito
ipinahayag ng formula:
w
a2 b2 a
pumirma ako b
2
a 2 b 2 a
, Saan
2
1 kung b 0
signb 1 kung b 0
0 kung b 0
Para sa b 0, a 0 mayroon tayo: w a , para sa b 0, a 0 mayroon tayo: w i a .

Geometric na representasyon ng mga kumplikadong numero.

Complex number z sa coordinate plane
tumutugma sa puntong M(a, b).
Kadalasan, sa halip na mga punto sa eroplano, sila ay kinuha
radius vectors
OM
Kahulugan: Modulus ng complex number z = a + bi
tumawag sa isang di-negatibong numero 2 b2
,
katumbas ng distansya mula sa punto M hanggang sa simula
z a 2 b2
mga coordinate
cos
y
M (a, b)
b
φ
O
a
x
a
at kasalanan
b
a2 b2
a2 b2
kumplikadong argumento ng numero
;

Trigonometric form ng isang kumplikadong numero

z r cos i sin
kung saan ang φ ay ang argumento ng isang kumplikadong numero,
r=
isang 2 b2 - module ng isang kumplikadong numero,
cos
a
a2 b2
at kasalanan
b
a2 b2

Pagpaparami at paghahati ng mga kumplikadong numero na ibinigay sa anyong trigonometric

Teorama
Kung
1.
z1 0, z2 0
At
z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 , pagkatapos:
A)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
b)
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2
z2 r2
Theorem 2 (Moivre formula).
Hayaan ang z maging anumang non-zero
kumplikadong numero, n - anumang integer.
Pagkatapos
z r cos i sin r n cosn i sin n .
n
n

Pag-extract ng ugat ng isang kumplikadong numero.

Teorama. Para sa anumang natural na numero n at
non-zero complex number z ang umiiral
n iba't ibang mga halaga ng n-root.
Kung
z r cos i sin ,
pagkatapos ang mga halagang ito ay ipinahayag ng formula
2k
2k
wk r cos
kasalanan ko
,
n
n
kung saan k 0,1,..., (n 1)

Loktionova G.N.

guro sa matematika

GAPOU "Kolehiyo ng Transportasyon ng Sasakyan"

"Mga kumplikadong numero at aksyon

sa itaas nila"

Pagkatapos pag-aralan ang paksa, ang mga mag-aaral ay dapat: alamin: algebraic, geometric at trigonometric na anyo ng mga kumplikadong numero. Magagawang: magsagawa ng mga operasyon ng pagdaragdag, pagpaparami, pagbabawas, paghahati, pagpaparami, at pagkuha ng ugat ng isang kumplikadong numero sa mga kumplikadong numero; i-convert ang mga kumplikadong numero mula sa algebraic tungo sa geometric at trigonometriko na mga anyo; gamitin ang geometric na interpretasyon ng mga kumplikadong numero; sa pinakasimpleng mga kaso, hanapin ang mga kumplikadong ugat ng mga equation na may totoong coefficient.

Makasaysayang sanggunian
Pangunahing Konsepto
Geometric na representasyon ng mga kumplikadong numero
Mga anyo ng pagsulat ng mga kumplikadong numero
Mga operasyon sa mga kumplikadong numero

Gusak, A.A. Mas mataas na matematika: isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral sa unibersidad: sa 2 volume. T.1. /A.A. Gander. – ika-5 ed. – Minsk: TetraSystems, 2004. – 544 p.
Kanatnikov, A.N. Linear algebra. / A.N. Kanatnikov, A.P. Krischenko. - M.: Publishing house ng MSTU im. N.E. Bauman, 2001 – 336 p.
Kurosh, A.G. Mas mataas na kurso sa algebra. / A.G. Kurosh. - M.: Agham, 1971-432.
Nakasulat na D.T. Mga tala ng panayam sa mas mataas na matematika. 1 bahagi. – 2nd ed., rev. – M.: Iris-press, 2003. - 288 p.
Sikorskaya, G.A. Isang kurso ng mga lektura sa algebra at geometry: isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng transport faculty / G.A. Sikorskaya. - Orenburg: IPK GOU OSU, 2007. – 374 p.

p.1 Kaligirang pangkasaysayan

Ang konsepto ng isang kumplikadong numero ay lumitaw mula sa pagsasanay at teorya ng paglutas ng mga algebraic equation.

Ang mga mathematician ay unang nakatagpo ng mga kumplikadong numero sa paglutas ng mga quadratic equation. Hanggang sa ika-16 na siglo, ang mga mathematician sa buong mundo, na hindi nakakahanap ng isang katanggap-tanggap na interpretasyon para sa mga kumplikadong ugat na lumitaw sa paglutas ng mga quadratic equation, ay idineklara silang mali at hindi isinasaalang-alang ang mga ito.

Si Cardano, na nagtrabaho sa paglutas ng mga equation ng 3rd at 4th degrees, ay isa sa mga unang mathematician na pormal na gumana sa mga kumplikadong numero, bagaman ang kahulugan ng mga ito ay nanatiling hindi malinaw sa kanya.

Ang kahulugan ng kumplikadong mga numero ay ipinaliwanag ng isa pang Italian mathematician na si R. Bombelli. Sa kanyang aklat na Algebra (1572), una niyang itinakda ang mga patakaran para sa pagpapatakbo ng mga kumplikadong numero sa modernong anyo.

Gayunpaman, hanggang sa ika-18 siglo, ang mga kumplikadong numero ay itinuturing na "haka-haka" at walang silbi. Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kahit na ang isang namumukod-tanging mathematician bilang Descartes, na nakilala ang mga tunay na numero na may mga segment ng linya ng numero, ay naniniwala na maaaring walang tunay na interpretasyon para sa mga kumplikadong numero, at sila ay mananatiling haka-haka, haka-haka magpakailanman. Ang mga dakilang mathematician na sina Newton at Leibniz ay mayroong magkatulad na pananaw.

Sa ika-18 siglo lamang, maraming mga problema ng pagsusuri sa matematika, geometry, at mekanika ang nangangailangan ng malawakang paggamit ng mga operasyon sa mga kumplikadong numero, na lumikha ng mga kondisyon para sa pagbuo ng kanilang geometric na interpretasyon.

Sa inilapat na mga gawa nina d'Alembert at Euler noong kalagitnaan ng ika-18 siglo, ang mga may-akda ay kumakatawan sa mga arbitrary na haka-haka na dami sa anyo z=a+ib, na nagpapahintulot sa mga naturang dami na katawanin ng mga punto ng coordinate plane. Ito ang interpretasyong ito na ginamit ni Gauss sa kanyang trabaho na nakatuon sa pag-aaral ng mga solusyon sa algebraic equation.

At sa simula lamang ng ika-19 na siglo, nang ang papel ng mga kumplikadong numero sa iba't ibang larangan ng matematika ay nalinaw na, isang napaka-simple at natural na geometriko na interpretasyon ng mga ito ay binuo, na naging posible upang maunawaan ang geometric na kahulugan ng mga operasyon sa kumplikadong. numero.

P. 2 Pangunahing Konsepto

Kumplikadong numero z tinatawag na pagpapahayag ng anyo z=a+ib, Saan a At b- tunay na mga numero, i – haka-haka na yunit, na tinutukoy ng kaugnayan:

Sa kasong ito ang numero a tinawag tunay na bahagi numero z

(a = Re z), A b - haka-haka na bahagi (b = ako z).

Kung a = Sinabi ni Rez =0 , ang numerong iyon z kalooban puro haka-haka, Kung b = ako z =0 , pagkatapos ay ang numero z kalooban wasto .

Numero z=a+ib at tinatawag kumplikado - conjugate .

Dalawang kumplikadong numero z 1 =a 1 +ib 1 At z 2 =a 2 +ib 2 ay tinatawag pantay, kung ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi ay pantay-pantay:

a 1 =a 2 ; b 1 =b 2

Ang isang kumplikadong numero ay katumbas ng zero kung ang tunay at haka-haka na mga bahagi ay katumbas ng zero, ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga kumplikadong numero ay maaari ding isulat, halimbawa, sa anyo z=x+iy , z=u+iv .

P. 3 Geometric na representasyon ng mga kumplikadong numero

Anumang kumplikadong numero z=x+iy maaaring katawanin ng isang tuldok M(x;y) eroplano xOy ganyan X = Sinabi ni Rez , y = ako z. At, sa kabaligtaran, ang bawat punto M(x;y) coordinate plane ay maaaring ituring bilang ang imahe ng isang kumplikadong numero z=x+iy(larawan 1).

Larawan 1

Ang eroplano kung saan inilalarawan ang mga kumplikadong numero ay tinatawag kumplikadong eroplano .

Ang abscissa axis ay tinatawag totoong axis, dahil naglalaman ito ng mga totoong numero z=x+0i=x .

Ang ordinate axis ay tinatawag imaginary axis, naglalaman ito ng mga haka-haka na kumplikadong numero z=0+yi=yi .

Kadalasan, sa halip na mga punto sa eroplano, sila ay kinuha radius vectors

mga. mga vector na nagsisimula sa isang punto O(0;0), wakas M(x;y) .

Haba ng vector na kumakatawan sa isang kumplikadong numero z , tinawag modyul ang numerong ito ay itinalaga | z| o r .

Ang magnitude ng anggulo sa pagitan ng positibong direksyon ng tunay na axis at ng vector na kumakatawan sa isang kumplikadong numero ay tinatawag argumento ng kumplikadong numerong ito ay tinutukoy Arg z o φ .

Pangangatwiran ng Complex Number z=0 hindi natukoy.

Pangangatwiran ng Complex Number z ≠ 0 - ang dami ay multi-valued at natutukoy na tumpak sa summand 2 π k (k=0,-1,1,-2,2,..) :

Arg z=arg z+2 π k,

saan arg z - pangunahing kahulugan ng argumento , pagtatapos pansamantala (- π , π ] .

p.4 Mga anyo ng pagsulat ng mga kumplikadong numero

Pagsusulat ng numero sa form z=x+iy tinawag algebraic form kumplikadong numero.

Mula sa Figure 1 ay malinaw na x=rcos φ , y=rsin φ , samakatuwid ay kumplikado z=x+iy ang numero ay maaaring isulat bilang:

Ang paraan ng pag-record na ito ay tinatawag na trigonometriko notasyon kumplikadong numero.

Module r=|z| ay natatanging tinutukoy ng formula

Pangangatwiran φ tinutukoy mula sa mga formula

Kapag lumipat mula sa algebraic form ng isang kumplikadong numero patungo sa trigonometriko, sapat na upang matukoy lamang ang pangunahing halaga ng argumento ng kumplikadong numero, i.e. bilangin φ = arg z .

Since from the formula nakuha natin yan

Para sa mga panloob na puntos ako , IV quarters;

Para sa mga panloob na puntos II quarters;

Para sa mga panloob na puntos III quarters.

Halimbawa 1. Kinakatawan ang mga kumplikadong numero sa anyong trigonometriko.

Solusyon. Kumplikadong numero z=x+iy sa anyong trigonometriko ay may anyo z=r(cos φ +isin φ ) , Saan

1) z 1 = 1 +i(numero z 1 nabibilang ako quarters), x=1, y=1.

kaya,

2) (numero z 2 nabibilang II quarters)

Simula noon

Kaya naman,

Sagot:

Isaalang-alang ang exponential function w=e z, Saan z=x+iy- kumplikadong numero.

Maaari itong ipakita na ang function w maaaring isulat bilang:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag Euler's equation.

Para sa mga kumplikadong numero ang mga sumusunod na katangian ay magiging totoo:

saan m– isang integer.

Kung sa Euler equation ang exponent ay itinuturing na isang purong haka-haka na numero ( x=0), pagkatapos ay makuha namin:

Para sa isang kumplikadong conjugate number nakukuha namin ang:

Mula sa dalawang equation na ito nakukuha natin:

Ang mga formula na ito ay ginagamit upang mahanap ang mga halaga ng mga kapangyarihan ng trigonometriko function sa pamamagitan ng mga function ng maramihang mga anggulo.

Kung kinakatawan mo ang isang kumplikadong numero sa anyong trigonometric

z=r(cos φ +isin φ )

at gamitin ang formula ni Euler e i φ =cos φ +isin φ , kung gayon ang kumplikadong numero ay maaaring isulat bilang

z=r e i φ

Ang resultang pagkakapantay-pantay ay tinatawag exponential form kumplikadong numero.

P. 5 Mga operasyon sa mga kumplikadong numero

1) Mga aksyon sa mga kumplikadong numero na ibinigay sa algebraic form

a) Pagdaragdag ng mga kumplikadong numero

Halaga dalawang kumplikadong numero z 1 =x 1 +y 1 i At z 2 =x 2 +y 2 i

z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ).

Mga katangian ng pagpapatakbo ng karagdagan:

1. z 1 +z 2 = z 2 +z 1 ,

2. (z 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) ,

3. z+0=z .

b) Pagbabawas ng mga kumplikadong numero

Ang pagbabawas ay tinukoy bilang kabaligtaran ng karagdagan.

Sa pamamagitan ng pagkakaiba dalawang kumplikadong numero z 1 =x 1 +y 1 i At z 2 =x 2 +y 2 i tinatawag ang naturang complex number z, na, kapag idinagdag sa z 2 , nagbibigay ng numero z 1 at tinutukoy ng pagkakapantay-pantay

z=z 1 – z 2 =(x 1 – x 2 )+i(y 1 -y 2 ).

c) Pagpaparami ng mga kumplikadong numero

Ang trabaho kumplikadong mga numero z 1 =x 1 +y 1 i At z 2 =x 2 +y 2 i, tinukoy ng pagkakapantay-pantay

z=z 1 z 2 =(x 1 x 2 –y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 –x 2 y 1 ).

Mula dito, sa partikular, ay sumusunod sa pinakamahalagang kaugnayan

i 2 = – 1.

Mga katangian ng pagpaparami ng pagpaparami:

1. z 1 z 2 = z 2 z 1 ,

2. (z 1 z 2 )z 3 =z 1 (z 2 z 3 ) ,

3. z 1 ( z 2 +z 3 ) =z 1 z 2 +z 1 z 3 ,

4 . z ∙ 1 =z .

d) Dibisyon ng mga kumplikadong numero

Ang dibisyon ay tinukoy bilang kabaligtaran ng multiplikasyon.

Ang kusyente ng dalawang kumplikadong numero z 1 At z 2 ≠ 0 ay tinatawag na complex number z, na kapag pinarami ng z 2 , nagbibigay ng numero z 1 , ibig sabihin. Kung z 2 z = z 1 .

Kung ilalagay mo z 1 =x 1 +y 1 i , z 2 =x 2 +y 2 i ≠ 0, z=x+yi , pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay (x+yi)(x 2 +iy 2 )= x 1 +y 1 ako, dapat

Ang paglutas ng sistema, nakita namin ang mga halaga x At y :

kaya,

Sa pagsasagawa, sa halip na ang resultang formula, ang sumusunod na pamamaraan ay ginagamit: pinarami nila ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan ng numerong conjugate sa denominator ("alisin ang haka-haka sa denominator").

Halimbawa 2. Binigyan ng mga kumplikadong numero 10+8i , 1+i. Hanapin natin ang kanilang kabuuan, pagkakaiba, produkto at quotient.

Solusyon.

A) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

b) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i= 9 + 7 ako;

V) (10+8i)(1+i) = 10+10 i +8 i +8 i 2 =2+18i;

e) Pagbubuo ng isang kumplikadong numero na ibinigay sa algebraic form sa n ika degree

Isulat natin ang mga integer na kapangyarihan ng haka-haka na yunit:

Sa pangkalahatan, ang resulta ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Halimbawa 3. Kalkulahin i 2 092 .

Solusyon.

Katawanin natin ang exponent sa form n = 4k+l at gamitin ang pag-aari ng isang degree na may rational exponent z 4k+1 =(z 4 ) k ∙ z l .

Meron kami: 2092=4 ∙ 523 .

kaya, i 2 092 = i 4 ∙ 523 =(i 4 ) 523 , ngunit mula noong i 4 = 1 , pagkatapos ay nakuha namin sa wakas i 2 092 = 1 .

Sagot: i 2 092 = 1 .

Kapag gumagawa ng isang kumplikadong numero a+bi sa pangalawa at pangatlong kapangyarihan, gamitin ang pormula para sa parisukat at kubo ng kabuuan ng dalawang numero, at kapag tumaas sa isang kapangyarihan n (n- natural na numero, n ≥ 4 ) – Binomial na formula ni Newton:

Upang mahanap ang mga coefficient sa formula na ito, maginhawang gamitin ang tatsulok ng Pascal.

e) Pag-extract ng square root ng isang complex number

Kuwadrado na ugat Mula sa isang kumplikadong numero, ang isang kumplikadong numero ay tinatawag na ang parisukat ay katumbas ng ibinigay na isa.

Tukuyin natin ang square root ng complex number x+yi sa pamamagitan ng u+vi, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan

Mga formula para sa paghahanap u At v kamukha

Palatandaan u At v ay pinili upang ang resulta u At v nasiyahan sa pagkakapantay-pantay 2uv=y .

0, pagkatapos ay ang u at v ay isang kumplikadong bilang ng magkaparehong mga palatandaan.) Sagot: content" width="640"

Halimbawa 4. Paghahanap ng square root ng isang complex number z=5+12i .

Solusyon.

Tukuyin natin ang square root ng numero z sa pamamagitan ng u+vi, Pagkatapos (u+vi) 2 =5+12i .

Dahil sa kasong ito x=5 , y=12, pagkatapos ay gamit ang mga formula (1) makuha namin:

u 2 =9; u 1 =3; u 2 = – 3; v 2 =4; v 1 =2; v 2 = – 2.

Kaya, ang dalawang halaga ng square root ay matatagpuan: u 1 +v 1 i=3+2i , u 2 +v 2 i= –3 –2i, . (Ang mga palatandaan ay pinili ayon sa pagkakapantay-pantay 2uv=y, ibig sabihin. dahil ang y=120, Iyon u At v isang kumplikadong bilang ng magkatulad na mga palatandaan.)

Sagot:

2) Mga operasyon sa mga kumplikadong numero na ibinigay sa trigonometric form

Isaalang-alang ang dalawang kumplikadong numero z 1 At z 2 , na ibinigay sa trigonometrikong anyo

a) Produkto ng mga kumplikadong numero

Paggawa ng pagpaparami ng numero z 1 At z 2 , nakukuha namin

b) Ang quotient ng dalawang kumplikadong numero

Hayaang maibigay ang mga kumplikadong numero z 1 At z 2 ≠ 0 .

Isaalang-alang natin ang quotient na mayroon tayo

Halimbawa 5. Ibinigay ang dalawang kumplikadong numero

Solusyon.

1) Gamit ang formula. nakukuha namin

Kaya naman,

2) Gamit ang formula. nakukuha namin

Kaya naman,

Sagot:

V) Pagbuo ng isang kumplikadong numero na ibinigay sa trigonometric form sa n ika degree

Mula sa pagpapatakbo ng pagpaparami ng mga kumplikadong numero ay sinusundan iyon

Sa pangkalahatang kaso, nakukuha natin:

saan n – positibong integer.

Kaya naman , kapag itinataas ang isang kumplikadong numero sa isang kapangyarihan, ang modulus ay itataas sa parehong kapangyarihan, at ang argumento ay pinarami ng exponent .

Ang ekspresyong (2) ay tinatawag Formula ni Moivre .

Abraham de Moivre (1667 - 1754) - Ingles na matematiko na nagmula sa Pranses.

Mga Merito ng Moivre:

natuklasan (1707) ang formula ni Moivre para sa exponentiation (at pagkuha ng mga ugat) ng mga kumplikadong numero na ibinigay sa trigonometrikong anyo;
ang una ay nagsimulang gumamit ng exponentiation ng walang katapusang serye;
gumawa ng malaking kontribusyon sa probability theory: pinatunayan niya ang mga espesyal na kaso ng theorem ni Laplace, nagsagawa ng probabilistikong pag-aaral ng pagsusugal at ilang istatistikal na data sa populasyon.

Ang formula ng Moivre ay maaaring gamitin upang mahanap ang mga trigonometrikong function ng doble, triple, atbp. mga sulok

Halimbawa 6. Maghanap ng mga formula kasalanan 2  At cos 2  .

Solusyon.

Isaalang-alang ang ilang kumplikadong numero

Pagkatapos sa isang banda

Ayon sa formula ni Moivre:

Equating, nakukuha namin

kasi dalawang kumplikadong numero ay pantay-pantay kung ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi ay pantay, kung gayon

Nakuha namin ang mga kilalang double angle formula.

d) Pagkuha ng ugat P

ugat P -ika kapangyarihan ng isang kumplikadong numero z ay tinatawag na complex number w, nagbibigay-kasiyahan sa pagkakapantay-pantay w n =z, ibig sabihin. Kung w n =z .

Kung ilalagay natin at pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ugat at formula ng Moivre, makukuha natin

Mula dito mayroon tayo

Samakatuwid ang pagkakapantay-pantay ay tumatagal ng anyo

kung saan (i.e. mula 0 hanggang n-1).

kaya, pagkuha ng ugat n -ika kapangyarihan ng isang kumplikadong numero z ay laging posible at nagbibigay n iba't ibang kahulugan. Lahat ng kahulugan ng ugat n ika degree na matatagpuan sa isang bilog ng radius na may sentro sa zero at hatiin ang bilog na ito sa pamamagitan ng n pantay na bahagi.

Halimbawa 7. Hanapin ang lahat ng mga halaga

Solusyon.

Una, katawanin natin ang numero sa trigonometric form.

Sa kasong ito x=1 , , Kaya,

Kaya naman,

Gamit ang formula

saan k=0,1,2,…,(n-1), meron kami:

Isulat natin ang lahat ng mga halaga:

Sagot:

Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili

1 . Bumuo ng kahulugan ng isang kumplikadong numero.

2. Anong complex number ang tinatawag na purely imaginary?

3. Anong dalawang kumplikadong numero ang tinatawag na conjugate?

4. Ipaliwanag kung ano ang ibig sabihin ng pagdaragdag ng mga kumplikadong numero na ibinigay sa algebraic form; multiply ang complex number sa real number.

5. Ipaliwanag ang prinsipyo ng paghahati ng mga kumplikadong numero na ibinigay sa algebraic form.

6. Isulat sa mga pangkalahatang tuntunin ang mga integer na kapangyarihan ng haka-haka na yunit.

7. Ano ang ibig sabihin ng pagtaas ng isang kumplikadong numero na ibinigay ng isang algebraic form sa isang kapangyarihan (n ay isang natural na numero)?

8. Sabihin sa amin kung paano inilalarawan ang mga kumplikadong numero sa isang eroplano.

9 . Anong anyo ng notasyon ang tinatawag na trigonometric form ng complex numbers?

10. Bumuo ng kahulugan ng modulus at argumento ng isang complex number.

11. Bumuo ng panuntunan para sa pagpaparami ng mga kumplikadong numero na nakasulat sa trigonometric form.

12. Bumuo ng isang panuntunan para sa paghahanap ng quotient ng dalawang kumplikadong mga numero na ibinigay sa trigonometric form.

13. Bumuo ng panuntunan para sa pagpapataas ng mga kumplikadong numero na ibinigay sa trigonometric form sa mga kapangyarihan.

14. Bumuo ng isang panuntunan para sa pagkuha ng ika-n ugat ng isang kumplikadong numero na ibinigay sa trigonometric form.

15. Sabihin sa amin ang tungkol sa kahulugan ng ika-isang ugat ng pagkakaisa at ang saklaw ng aplikasyon nito.

1. Pagbuo ng konsepto ng numero Ang pagpapakilala ng mga negatibong numero - ito ay ginawa ng mga Chinese mathematician dalawang siglo BC. e. Nasa ika-8 siglo na, itinatag na ang square root ng isang positibong numero ay may dalawang kahulugan - positibo at negatibo, at ang square root ay hindi maaaring kunin mula sa mga negatibong numero.

Ang formula na ito ay gumagana nang walang kamali-mali sa kaso kapag ang equation ay may isang tunay na ugat, at kung mayroon itong tatlong tunay na ugat, pagkatapos ay isang negatibong numero ang lilitaw sa ilalim ng square root sign. Ito ay lumabas na ang landas sa mga ugat na ito ay humahantong sa imposibleng operasyon ng pagkuha ng square root ng isang negatibong numero.

3. Pahayag ng mga kumplikadong numero sa matematika Tinawag ni Cardano ang gayong mga dami na puro negatibo at kahit na sopistikadong negatibo, itinuring silang walang silbi at sinubukang huwag gamitin ang mga ito. Ngunit noong 1572, ang isang libro ng Italian algebraist na si R. Bombelli ay nai-publish, kung saan ang mga unang patakaran para sa mga operasyon ng aritmetika sa mga naturang numero ay itinatag, hanggang sa pagkuha ng mga ugat ng kubo mula sa kanila.

Ang pangalang imaginary numbers ay ipinakilala noong 1637 ng French mathematician at philosopher na si R. Descartes. Noong 1777, iminungkahi ng isa sa pinakadakilang mathematician noong ika-18 siglo, si L. Euler, ang paggamit ng unang titik ng salitang Pranses na imaginaire (haka-haka) upang tukuyin ang isang numero (isang haka-haka na yunit). Ang simbolo na ito ay ginamit sa pangkalahatan salamat sa K. Gauss. Ang terminong kumplikadong mga numero ay ipinakilala din ni Gauss noong 1831. Noong 1777, iminungkahi ng isa sa pinakadakilang mathematician noong ika-18 siglo, si L. Euler, ang paggamit ng unang titik ng salitang Pranses na imaginaire (haka-haka) upang tukuyin ang isang numero (isang haka-haka na yunit). Ang simbolo na ito ay ginamit sa pangkalahatan salamat sa K. Gauss. Ang terminong kumplikadong mga numero ay ipinakilala din ni Gauss noong 1831.

Ang salitang complex (mula sa Latin complexus) ay nangangahulugang isang koneksyon, kumbinasyon, isang hanay ng mga konsepto, bagay, phenomena, atbp. na bumubuo ng isang solong kabuuan. Ang salitang complex (mula sa Latin complexus) ay nangangahulugang isang koneksyon, kumbinasyon, isang hanay ng mga konsepto, bagay, phenomena, atbp. na bumubuo ng isang solong kabuuan.

Na pinagsama ang exponential function sa trigonometriko. Gamit ang formula ni L. Euler, posible na itaas ang numero e sa anumang kumplikadong kapangyarihan. na nag-uugnay sa exponential function sa trigonometriko. Gamit ang formula ni L. Euler, posible na itaas ang numero e sa anumang kumplikadong kapangyarihan.

Matapos ang paglikha ng teorya ng mga kumplikadong numero, lumitaw ang tanong tungkol sa pagkakaroon ng mga hypercomplex na numero - mga numero na may ilang mga haka-haka na yunit. Ang ganitong sistema ay itinayo noong 1843 ng Irish mathematician na si W. Hamilton, na tinawag silang mga quaternion. Pagkatapos ng paglikha ng teorya ng kumplikadong mga numero, ang tanong ay lumitaw tungkol sa pagkakaroon ng hypercomplex na mga numero - mga numero na may ilang mga haka-haka na yunit. Ang ganitong sistema ay itinayo noong 1843 ng Irish mathematician na si W. Hamilton, na tinawag silang mga quaternion.

Ang nasabing eroplano ay tinatawag na kumplikado. Ang mga tunay na numero dito ay sumasakop sa pahalang na axis, ang haka-haka na yunit ay inilalarawan bilang isa sa vertical axis; sa kadahilanang ito, ang pahalang at patayong mga palakol ay tinatawag na tunay at haka-haka na mga palakol, ayon sa pagkakabanggit.

5. Trigonometric form ng complex number. Ang abscissa a at ordinate b ng isang kumplikadong numero a + bi ay ipinahayag sa mga tuntunin ng modulus r at ang argumento q. Ang abscissa a at ordinate b ng isang kumplikadong numero a + bi ay ipinahayag sa mga tuntunin ng modulus r at ang argumento q. Mga formula a = r cos q, r=a/cos q a = r cos q, r=a/cos q b = r sin q, r=b/sin q b = r sin q, r=b/sin q r – haba ng vector ( a+bi), q – ang anggulo na nabuo sa positibong direksyon ng x-axis

Ang mga kumplikadong numero, sa kabila ng kanilang kamalian at kawalan ng bisa, ay may napakalawak na aplikasyon. Malaki ang papel nila hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa mga agham gaya ng pisika at kimika. Sa kasalukuyan, ang mga kumplikadong numero ay aktibong ginagamit sa mga industriya ng electromechanics, computer at espasyo

0 ibig sabihin. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q kung saan ang r > 0 i.e. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q This" title="Samakatuwid, anumang kumplikadong numero ay maaaring katawanin sa anyo Samakatuwid, anumang kumplikadong numero ay maaaring katawanin sa anyong r( cos q + i sin q ), r(cos q + i sin q), kung saan ang r > 0 i.e. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q kung saan ang r > 0 i.e. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q" class="link_thumb"> 25 !} Samakatuwid, ang anumang kumplikadong numero ay maaaring katawanin sa anyo Samakatuwid, anumang kumplikadong numero ay maaaring katawanin sa anyong r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), kung saan r > 0 i.e. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q kung saan ang r > 0 i.e. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q Ang expression na ito ay tinatawag na normal na trigonometriko na anyo o, sa madaling salita, ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero. Ang expression na ito ay tinatawag na normal na trigonometriko na anyo o, sa madaling salita, ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero. 0 ibig sabihin. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q kung saan ang r > 0 i.e. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q Floor"> 0 i.e. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q kung saan ang r > 0 i.e. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q Ang ekspresyong ito ay tinatawag na normal na trigonometriko na anyo o, sa madaling salita, ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero. Ang ekspresyong ito ay tinatawag na normal na trigonometriko na anyo, o, sa madaling salita, ang trigonometric na anyo ng isang kumplikadong numero."> 0 iyon. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q kung saan ang r > 0 i.e. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q This" title="Samakatuwid, anumang kumplikadong numero ay maaaring katawanin sa anyo Samakatuwid, anumang kumplikadong numero ay maaaring katawanin sa anyong r( cos q + i sin q ), r(cos q + i sin q), kung saan ang r > 0 i.e. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q kung saan ang r > 0 i.e. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q"> title="Samakatuwid, ang anumang kumplikadong numero ay maaaring katawanin sa anyo Samakatuwid, anumang kumplikadong numero ay maaaring katawanin sa anyong r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), kung saan r > 0 i.e. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q kung saan ang r > 0 i.e. z=a+bi o z=r*cos q + r*sin q"> !}