Konvexnost technologického souboru prvku znamená. Učebnice teorie spotřebitelského chování. Efektivní technologie nastavuje hranice
Vlastnosti inflačních procesů v moderním Rusku.
1. Pojem produkce a PF. Výrobní sada.
2. Problém maximalizace zisku
3. Rovnováha producenta. Technický pokrok
4. Problém minimalizace nákladů.
5. Agregace v produkční teorii. Rovnováha firmy a odvětví v období d/s
(nezávisle) návrh konkurenčních firem s alternativními cíli
Výroba– činnosti směřující k výrobě maximálního množství hmotných statků závisí na počtu použitých výrobních faktorů, specifikovaných technologickou stránkou výroby.
Libovolný technologický proces lze znázornit pomocí vektoru čistých výkonů, který označíme y. Pokud podle této technologie firma vyrábí i-tý produkt, pak i-tá souřadnice vektoru y bude kladná. Pokud je naopak i-tý součin utracen, bude tato souřadnice záporná. Pokud se určitý produkt nespotřebovává a nevyrábí podle této technologie, pak se odpovídající souřadnice bude rovnat 0.
Množinu všech technologicky dostupných vektorů čistých výstupů pro danou firmu nazveme výrobní množinou firmy a označíme ji Y.
Vlastnosti výrobních sestav:
1. Výrobní sada není prázdná, tzn. Společnost má k dispozici alespoň jeden technologický postup.
2. Výrobní sada je uzavřena.
3. Absence „rohu hojnosti“: pokud y 0 a y ∊Y, pak y=0. Nemůžete něco vyrobit, aniž byste něco utratili (ne y<0, т.е. ресурсов).
4. Možnost nečinnosti (likvidace): 0∊Y. ve skutečnosti mohou existovat utopené náklady.
5. Svoboda utrácení: y∊Y a y` y, poté y`∊Y. Výrobní soubor zahrnuje nejen optimální technologie, ale také technologie s nižší spotřebou výkonu/zdrojů.
6. nevratnost. Jestliže y∊Y a y 0, pak –y Y. Pokud lze ze 2 jednotek prvního statku vyrobit 1 druhého, pak opačný proces není možný.
7. Konvexita: pokud y`∊Y, pak αy + (1-α)y` ∊ Y pro všechna α∊. Přísná konvexnost: pro všechna α∊(0,1). Vlastnost 7 umožňuje kombinovat technologie pro získání dalších dostupných technologií.
8. Návrat k měřítku:
Pokud se v procentuálním vyjádření objem použitých faktorů změnil o ∆ N a odpovídající změna ve výstupu byla ∆Q, pak nastanou následující situace:
- ∆N = ∆Q existuje proporcionální výnos (zvýšení počtu faktorů vedlo k odpovídajícímu zvýšení výstupu)
- ∆ N< ∆Q jsou rostoucí výnosy (pozitivní úspory z rozsahu) – tzn. produkce rostla ve větším poměru, než rostl počet spotřebovaných faktorů
- ∆N > ∆Q dochází ke klesajícím výnosům (diseconomies of scale) – tzn. zvýšení nákladů vede k menšímu procentuálnímu zvýšení výkonu
Úspory z rozsahu jsou důležité z dlouhodobého hlediska. Pokud zvýšení rozsahu výroby nevede ke změně produktivity práce, máme co do činění s neustálými výnosy z rozsahu. Klesající výnosy z rozsahu jsou doprovázeny poklesem produktivity práce, zatímco rostoucí výnosy jsou doprovázeny nárůstem.
Pokud se množina vyráběných statků liší od množiny zdrojů, které se používají, a vyrábí se pouze jeden produkt, lze produkční množinu popsat pomocí produkční funkce.
Produkční funkce(PF) - odráží vztah mezi maximálním výkonem a určitou kombinací faktorů (práce a kapitálu) a na dané úrovni technologického rozvoje společnosti.
Q=f(f1,f2,f3,…fn)
kde Q je výstup firmy za určité časové období;
fi je množství i-tého zdroje použitého při výrobě produktů;
Typicky existují tři výrobní faktory: práce, kapitál a materiály. Omezíme se na rozbor dvou faktorů: práce (L) a kapitálu (K), pak má produkční funkce tvar: Q =f(K, L).
Typy PF se mohou lišit v závislosti na povaze technologie a mohou být prezentovány ve třech typech:
Lineární PF ve tvaru y = ax1 + bx2 je charakterizována konstantními návraty k měřítku.
Leontief PF - ve kterém se zdroje doplňují, jejich kombinace je dána technologií a výrobní faktory nejsou zaměnitelné.
PF Cobb-Douglas– funkce, ve které použité výrobní faktory mají vlastnost být zaměnitelné. Celkový pohled na funkci:
Kde A je technologický koeficient, α je koeficient elasticity práce a β je koeficient kapitálové elasticity.
Pokud je součet exponentů (α + β) roven jedné, pak je Cobb-Douglasova funkce lineárně homogenní, to znamená, že vykazuje konstantní výnosy při změně měřítka produkce.
Produkční funkce byla poprvé vypočtena ve 20. letech 20. století pro zpracovatelský průmysl USA ve formě rovnosti
Pro Cobb-Douglas PF:
1. Od a< 1 и b < 1, предельный продукт каждого фактора меньше среднего продукта (МРК < АРК и MPL < APL).
2. Protože druhé derivace produkční funkce práce a kapitálu jsou záporné, lze tvrdit, že tato funkce je charakterizována klesajícím mezním produktem práce i kapitálu.
3. S klesající hodnotou MRTSL se K postupně snižuje. To znamená, že izokvanty produkční funkce mají standardní tvar: jsou to hladké izokvanty s negativním sklonem, konvexní k počátku.
4. Tato funkce je charakterizována konstantní (rovnou 1) elasticitou substituce.
5. Cobb-Douglasova funkce může charakterizovat jakýkoli typ návratů do měřítka v závislosti na hodnotách parametrů aab
6. Uvažovaná funkce může sloužit k popisu různých typů technického pokroku.
7 Mocninnými parametry funkce jsou koeficienty elasticity výstupu vzhledem ke kapitálu (a) a práci (b), takže rovnice pro rychlost růstu výstupu (8.20) pro Cobb-Douglasovu funkci nabývá tvaru GQ = Gz + aGK + bGL. Parametr a tedy charakterizuje „příspěvek“ kapitálu ke zvýšení výstupu a parametr b charakterizuje „příspěvek“ práce.
PF je založeno na řadě „výrobních funkcí“. Týkají se vlivu výstupu ve třech případech: (1) proporcionální zvýšení všech nákladů, (2) změna struktury nákladů při konstantní produkci, (3) zvýšení jednoho výrobního faktoru při nezměněném zbytku. případ (3) se týká krátkodobého období.
Produkční funkce s jedním proměnným faktorem má tvar:
Vidíme, že nejefektivnější změna proměnného faktoru X je pozorována na segmentu z bodu A do bodu B. Zde mezní produkt (MP) po dosažení své maximální hodnoty začíná klesat, průměrný produkt (AP) stále roste. , celkový produkt (TP) zaznamenává největší růst.
Zákon o snižování výnosů(zákon klesajícího mezního produktu) - definuje situaci, kdy dosažení určitých objemů výroby vede ke snížení produkce hotových výrobků na dodatečně zavedenou jednotku zdroje.
Typicky lze daný objem vyrobit pomocí různých výrobních metod. Je to dáno tím, že výrobní faktory jsou do určité míry zaměnitelné. Je možné čerpat izokvanty odpovídající všem výrobním metodám nezbytným k výrobě daného objemu. Výsledkem je izokvantová mapa, která charakterizuje vztah mezi všemi možnými kombinacemi úrovní vstupů a výstupů, a je tedy grafickým znázorněním produkční funkce.
Izokvanta ( linie stejného výstupu - izokvanta) – křivka odrážející všechny kombinace výrobních faktorů, které zajišťují stejný výstup.
Soubor izokvant, z nichž každá ukazuje maximální výstup dosažený použitím určitých kombinací zdrojů, se nazývá mapa izokvant. Čím dále se izokvanta nachází od původu, tím více zdrojů je zapojeno do výrobních metod na ní umístěných a tím větší jsou výstupní velikosti, které jsou touto izokvantou charakterizovány (Q3> Q2> Q1).
Izokvanta a její tvar odráží závislost specifikovanou PF. Dlouhodobě dochází k určité vzájemné komplementaritě (kompletnosti) výrobních faktorů, avšak bez poklesu výkonu je pravděpodobná i určitá zaměnitelnost těchto výrobních faktorů. K výrobě zboží lze tedy použít různé kombinace zdrojů; je možné vyrobit toto zboží za použití menšího kapitálu a více práce a naopak. V prvním případě je výroba považována za technicky efektivní ve srovnání s druhým případem. Existuje však limit toho, kolik práce může být nahrazeno větším kapitálem, aniž by se snížila výroba. Na druhou stranu je zde limit pro použití ruční práce bez použití strojů. Izokvantu budeme uvažovat v zóně technické substituce.
Míru zaměnitelnosti faktorů odráží indikátor maximální míra technické substituce. – poměr, ve kterém může být jeden faktor nahrazen jiným při zachování stejného výstupního objemu; odráží sklon izokvanty.
MRTS=- ∆K / ∆ L = MP L / MP K
Aby výstup zůstal nezměněn, když se mění množství použitých výrobních faktorů, musí se množství práce a kapitálu měnit různými směry. Pokud se množství kapitálu sníží (AK< 0), то количество труда должно увеличиваться (AL >0). Mezitím je mezní míra technické substituce jednoduše poměrem, ve kterém může být jeden výrobní faktor nahrazen jiným, a jako takový je vždy kladnou veličinou.
Pokračujme ve studiu modelů vyváženého ekonomického růstu na obecnější úrovni a přejděme k modelům ekonomického blahobytu, které jsou jim blízké. Poslední jmenované patří stejně jako růstové modely k normativním modelům.
Hovoříme-li o ekonomice blahobytu, máme na mysli její rozvoj, kdy všichni spotřebitelé jednotně dosahují maxima svého užitku. V praxi však k takové ideální situaci dochází poměrně zřídka, protože blahobyt některých je často dosahován na úkor zhoršení stavu ostatních. Proto je realističtější hovořit o úrovni distribuce zboží, když žádný spotřebitel nemůže zvýšit svůj blahobyt, aniž by narušil zájmy ostatních spotřebitelů.
Jestliže na trajektorii rovnovážného růstu žádný spotřebitel, stejně jako žádný výrobce, nemůže nakupovat více bez dodatečných nákladů (žádný zisk v rovnováze), pak když se ekonomika vyvíjí podél trajektorie takového „blahobytu“, žádný spotřebitel nemůže zbohatnout, aniž by se stal chudší zároveň jiný.
Z předchozí části vyplývá, že zohlednění dočasných faktorů v matematických modelech ekonomiky pomáhá objevit zcela logickou souvislost mezi ekonomickými procesy a přirozeným růstem výrobních a spotřebitelských schopností. V lineárních modelech se za určitých předpokladů míra takového růstu rovná procentu kapitálu a odpovídající proces ekonomické expanze je charakterizován vyváženým nárůstem intenzity výroby všech produktů a vyváženým poklesem jejich cen. V této části zformulujeme obecný dynamický model výroby, pokrývající dříve diskutované lineární modely jako speciální případy, a studujeme v něm problematiku vyváženého růstu.
Obecnost zde uvažovaného modelu spočívá v tom, že produkční proces není popsán prostřednictvím produkční funkce obecně a lineární produkční funkce (jako v Leontiefových a Neumannových modelech), ale pomocí tzv. technologická sada.
Technologická rozmanitost(označme jej symbolem ) - jedná se o soubor ekonomických transformací, kdy výroba výrobků za cenu je technologicky možná tehdy a jen tehdy . Dvojice se jmenuje produkční proces, tedy soubor představuje soubor všech výrobních procesů, které daná technologie umožňuje. Například v modelu Leontiev technologická sada j-té odvětví má formu 
kde je hrubý výstup j-tý produkt a - j sloupec technologické matice A. Proto je technologický soubor v Leontievově modelu jako celku 
a v modelu Neumann - 
Výrobní proces, obecně řečeno, může obsahovat produkty, které se spotřebovávají i uvolňují (například paliva a maziva, mouka, maso atd.). V ekonomických a matematických modelech se pro větší obecnost často předpokládá, že každý produkt lze spotřebovat i vyrobit (například v Leontievově a Neumannově modelu). V tomto případě vektory X A y mají stejný rozměr a jejich odpovídající součásti představují stejné produkty.
Nechť je vynaložený objem i-tý produkt a je jeho výstupní objem. Pak se rozdíl nazývá čisté uvolnění probíhá . Proto se místo výrobního procesu často uvažuje vektor čistého výstupu, charakterizující tento rozdíl jako tok(nebo intenzita), tzn. množství čistého výstupu za jednotku času. Technologický soubor je v tomto případě chápán jako soubor všech možných čistých výstupů. a vektor se nazývá proces s nití.
Uveďme některé vlastnosti technologického souboru, které jsou odrazem základních zákonitostí výroby.
Různé výrobní procesy lze porovnávat jak z hlediska efektivity, tak ziskovosti.
Říká se, že proces je efektivnější než proces, pokud , . Proces se nazývá efektivní, pokud neobsahuje efektivnější procesy než .
Nechť je cenový vektor. Říkají proces výnosnější než proces , pokud hodnota není menší než hodnota .
Tyto dvě možnosti přirozeného a nákladového hodnocení procesů se ukazují jako prakticky rovnocenné.
Věta 6.1. Budiž technologický soubor. Pak a) jestliže daný cenový vektor proces maximalizuje zisk na sadě, pak je to efektivní proces; b) je-li u konvexní a jedná se o efektivní proces, pak existuje cenový vektor takový, že zisk dosahuje maxima při
Stanovme strukturu technologického souboru pro ty modely, které berou v úvahu faktor času. Uvažujme plánovací období s diskrétními body. Nechť je ekonomika charakterizována zásobou zboží za rok (tj. na začátku plánovacího období) 
V tomto případě se říká, že ekonomika je ve stavu . Ke konci období se ekonomika dostává do jiného stavu, který je předem daný stavem předchozím. V tomto případě říkají, že výrobní proces byl implementován tam, kde je daný technologický soubor. Zde je vektor považován za náklady vzniklé na začátku období a za výstup odpovídající těmto nákladům, vyrobený s časovým zpožděním jednoho roku. V dalších fázích výroby máme 
atd. Tímto způsobem se to provádí dynamika ekonomického rozvoje. Takový ekonomický pohyb je soběstačný, protože produkty v systému jsou reprodukovány bez jakéhokoli přílivu zvenčí.
Konečná posloupnost vektorů se nazývá přijatelnou ekonomickou trajektorii(popsáno technologickou sadou Z) v časovém intervalu, pokud každá dvojice jejích dvou po sobě jdoucích členů patří do množiny Z, tj. 
Označme množinou všech přípustných trajektorií na intervalu odpovídajícím počátečnímu stavu
Nechat 
Trajektorie je prý efektivnější, než když se volá Trajektorie efektivní trajektorii, pokud neobsahuje účinnější trajektorii než . Trajektorie se nazývá výnosnější než kdyby 
Kliknutím na tlačítko "Stáhnout archiv" si zcela zdarma stáhnete potřebný soubor.
Než si stáhnete tento soubor, přemýšlejte o těch dobrých esejích, testech, semestrálních pracích, dizertačních pracích, článcích a dalších dokumentech, které leží bez nároku na váš počítač. To je vaše práce, měla by se podílet na rozvoji společnosti a prospívat lidem. Najděte tato díla a odešlete je do znalostní báze.
My a všichni studenti, postgraduální studenti, mladí vědci, kteří využívají znalostní základnu při svém studiu a práci, vám budeme velmi vděční.
Chcete-li stáhnout archiv s dokumentem, zadejte do pole níže pětimístné číslo a klikněte na tlačítko "Stáhnout archiv"
Podobné dokumenty
Podstata výrobních nákladů, jejich klasifikace. Hlavní směry snižování výrobních nákladů. Ekonomická podstata a funkce zisku. Provozní a neprovozní náklady. Studium vztahu mezi výrobními náklady a zisky podniku.
práce v kurzu, přidáno 24.05.2014
Předmět a funkce ekonomické teorie. Produkt a jeho vlastnosti. Principy mezního užitku. Teorie peněz K. Marxe. Pojem likvidita, náklady a výnosy podniku. Druhy a charakteristiky konkurence. Model agregátní nabídky a poptávky. Daně, jejich funkce.
cheat sheet, přidáno 01/11/2011
Předmět ekonomické teorie, struktura a funkce. Ekonomické zákony a jejich klasifikace. Pracovní teorie hodnoty. Produkt a jeho vlastnosti. Dvojí povaha práce vtělená do produktu. Hodnota produktu. Zákon hodnoty a jeho funkce.
cheat sheet, přidáno 22.10.2009
Problémy výrobních nákladů jako předmět zkoumání ekonomů. Podstata výrobních nákladů a jejich druhy. Role zisku v rozvoji podnikání. Podstata a funkce zisku, jeho druhy. Rentabilita podniku a její ukazatele.
práce v kurzu, přidáno 28.11.2012
Podstata a význam ekonomického růstu. Typy a metody měření ekonomického růstu. Základní vlastnosti Cobb-Douglasovy funkce. Indikátory a modely ekonomického růstu. Faktory omezující ekonomický růst. Derivační funkce a její vlastnosti.
práce v kurzu, přidáno 26.06.2012
Podstata a hlavní funkce zisku. Ekonomická efektivita modernizace technologických zařízení a využití inovativních technologií při opravách povrchů vozovek. Rezervy na zvýšení zisku ve stavební organizaci.
práce, přidáno 07.04.2013
Podstata zisku v ekonomické vědě: pojem, druhy, formy, metody plánování. Podstata metody přímého počítání, kombinovaného výpočtu. Hlavní způsoby, jak zvýšit zisky ruských podniků v moderních podmínkách. Vztah mezi mzdou a ziskem.
práce v kurzu, přidáno 18.12.2017
Vyznačují se proměnnými, které se aktivně podílejí na změně produkční funkce (kapitál, půda, práce, čas). Neutrální technický pokrok je dán takovými technickými změnami (autonomními nebo věcnými), které nenaruší rovnováhu, tedy pro společnost ekonomicky a sociálně bezpečné. Představme si to vše ve formě diagramu (viz diagram 4.1.).
Jsou zvažovány hlavní standardní modely pro optimalizaci výrobních činností podniku s lineárním technologickým souborem, statistické a dynamické modely pro plánování výrobních investic, problematika ekonomické a matematické analýzy podnikových rozhodnutí na základě využití aparátu duálního hodnocení. Jsou nastíněny hlavní přístupy k problému hodnocení kvality výrobních investic a také metody a ukazatele pro hodnocení jejich efektivnosti.
Uvažujme případ, který je velmi důležitý pro modelové aplikace, kdy technologická množina výrobního systému je lineární konvexní množina, tj. výrobní model se ukazuje jako lineární.
Komentář. Předpoklady 2.1 a 2.2 dohromady znamenají, že technologický soubor je konvexní kužel. Předpoklad 2.3, zdůrazňující lineární technologie, znamená, že tento kužel je konvexní mnohostěn v polovičním prostoru
Dá se říci, že v ekonomické oblasti podniku s lineárním technologickým souborem je produkční funkce monotónní Jak souvisí definice produkční funkce s kritériem optimality v Kantorovichově problému?
Vztah (3.26) umožňuje označit konkrétní typ produkční funkce pro model produkčního systému s lineárním technologickým souborem (model (1.1)-(1.6) uvažovaný výše)
Obecnou technologickou sadu výrobního prvku lze získat jako výsledek kombinace všech vstupně-výstupních vektorů přijatelných z hlediska podmínek (2.1.2) a (2.1.3)
Popis technologického souboru jednovýrobkového prvku uvedený v předchozím odstavci je nejjednodušší. Zohlednění dodatečných vlastností technologie prvku vede k nutnosti jej doplnit o řadu vlastností. Na některé z nich se podíváme v tomto odstavci. Výše uvedené úvahy samozřejmě nevyčerpávají všechny možnosti, které se v tomto směru nabízejí.
Oddělitelný konvexní výrobní model. Zohlednění faktoru nelinearity v modelu výrobních omezení popsaném v předchozím příkladu vede k nelineárnímu separovatelnému modelu víceproduktového prvku. Nelinearita je zohledněna zavedením nelineárních separovatelných produkčních funkcí. Technologický soubor vícevýrobkového prvku s takovými výrobními funkcemi má podobu
V uvažovaných technologických modelech výrobních prvků je popis technologického souboru dán uvedením souboru přijatelných nákladů a souboru přijatelných výkonů pro každou nákladovou úroveň. Popisy tohoto druhu jsou vhodné v problémech, jako je optimální alokace zdrojů, kdy je pro dané úrovně spotřeby zdrojů nutné určit přijatelné a nejúčinnější (ve smyslu toho či onoho kritéria) úrovně výstupu. Zároveň se v praxi (zejména v plánovaném hospodářství) vyskytuje i jakýsi inverzní problém, kdy úroveň výkonu prvků je specifikována plánem a je nutné stanovit přijatelné a minimální úrovně nákladů elementy. Problémy tohoto druhu lze konvenčně nazvat problémy optimální realizace plánovaného výrobního programu. V takovýchto úlohách je vhodné použít obrácenou posloupnost popisu technologického souboru výrobního prvku, nejprve zadat množinu U přípustných výkonů a g = U a poté pro každou přijatelnou úroveň výkonu množinu V (a) uznatelných nákladů v E = V (a).
Obecná technologická sestava Y výrobního prvku má tvar
Na Obr. 3.4 toto omezení splňují všechny body technologické sestavy umístěné nad segmentem EC nebo na něm ležící.
Materiál 4.21 je z velké části také původní. V rámci prací bylo provedeno hodnocení účinnosti tržních mechanismů zajišťujících existenci jednotného rovnovážného řízení. Materiál 4.21 je rozšířením těchto prací. Zvažování aukčního schématu v tržním systému se provádí podle. Známým modelem, který je v tomto odstavci považován za příklad, je model tržního hospodářství. Podrobnou diskuzi o ní lze nalézt např. v dílech. V 4.21 jsme předpokládali, že existuje tržní rovnováha. Jak ukazuje posouzení aukčního schématu v tržním systému, tato situace nemusí vždy platit. Zvažování otázek souvisejících s existencí rovnováhy v tržních modelech je jedním z ústředních problémů matematické ekonomie. Ve vztahu ke konkurenčním ekonomickým modelům byla existence rovnováhy konstatována řadou autorů za různých předpokladů. Typicky důkaz předpokládá konvexnost užitných funkcí (nebo preferencí) spotřebitelů a technologických souborů výrobců. Je uvedeno zobecnění modelu Arrow-Debreu pro případ kontinua hráčů. Zároveň bylo možné opustit předpoklady o konvexitě spotřebitelských preferenčních funkcí.
Každý výrobce (firma) j je charakterizován technologickou množinou Y. - množinou technologicky proveditelných l-rozměrných vektorů nákladů - výkonů, jejich kladné složky odpovídají vyráběným množstvím a záporné množstevním spotřebám. Předpokládá se, že výrobce volí vstupně-výstupní vektor tak, aby získal maximální zisk. Zároveň se stejně jako spotřebitel nesnaží ovlivňovat ceny a přijímá je jako dané. Jeho volba je tedy řešením následujícího problému
Z (16) také vyplývá slabý axiom zjevené preference. Nerovnost (16) je jistě uspokojena, pokud je poptávka každého spotřebitele přísně monotónní a na technologické soubory nejsou kladeny žádné zvláštní požadavky. Je uvedena interpretace podmínky monotonie a řada souvisejících výsledků. Pro plynulé funkce převisu poptávky je jedinečnost rovnováhy zajištěna také podmínkou dominantní úhlopříčky. Tato podmínka znamená, že modul derivátu poptávky pro každý produkt za cenu tohoto produktu je větší než součet modulů všech derivátů poptávky po stejném produktu.
Model výrobce. Při volbě objemů výroby yj = y к je každá firma j e J omezena svým technologickým souborem YJ s 1R1. Tyto množiny přípustných technologií lze specifikovat zejména ve formě (implicitních) produkčních funkcí fj(yj) YJ = УЗ e Rl /,(%) > 0. Další vhodná reprezentace (když se vyrábí pouze jeden statek h) je ve formě explicitní produkční funkce y 0.
Technologický soubor a jeho vlastnosti
TECHNOLOGICKÁ SADA - viz Výrobní sada, Technologická metoda.
Budeme uvažovat popis jednoho konkrétního typu technologického souboru pro výrobní prvek, který spotřebovává více druhů vstupů a vyrábí produkty pouze jednoho druhu (jednovýrobkový výrobní prvek). Stavový vektor takového prvku má tvar yt- (vtl, viz,..., v. x, ut). Známý způsob popisu technologického souboru jednovýrobkového prvku vychází z konceptu produkční funkce a je následující.
Obvykle se předpokládá, že technologická množina prvku je konvexní, uzavřená podmnožina euklidovského prostoru Eth dimenze m O E Y d Em obsahující nulový prvek.
Způsoby znázornění technologických souborů výrobních prvků diskutované v předchozím odstavci charakterizují jejich vlastnosti, ale výslovně nespecifikují popis. U jednovýrobkových výrobních prvků lze výslovný popis technologického souboru specifikovat pomocí konceptu výrobní funkce. V 1.2 jsme se již dotkli tohoto konceptu a jeho použití, v této části se budeme těmito otázkami nadále zabývat.
Použití jednoproduktových výrobních funkcí k popisu technologického souboru víceproduktového prvku. Pokud víceproduktový prvek produkuje určité typy produktů, přičemž spotřebovává /gevx typy vstupů, pak jeho vstupní a výstupní vektory mají tvar v = (i>i, vz,..., Vy x) a u = (m1g w2,... , itvykh) resp.
Odpovídá části technologické sestavy, ohraničené zakřiveným trojúhelníkem AB (na obr. 3.4 vyznačeno stínováním).
Arrow-Deb-re-McKsnzie model decentralizované ekonomiky. Obecný model decentralizované ekonomiky popisuje výrobu, spotřebu a decentralizovanou ekonomiku
2. Produkční množiny a produkční funkce
2.1. Výrobní sestavy a jejich vlastnosti
Vezměme si nejdůležitějšího účastníka ekonomických procesů – jednotlivého výrobce. Výrobce realizuje své cíle pouze prostřednictvím spotřebitele, a proto musí odhadnout, pochopit, co chce, a uspokojit jeho potřeby. Budeme předpokládat, že existuje n různých statků, množství n-tého produktu označíme x n, pak určitou množinu statků označíme X = (x 1, ..., x n). Budeme uvažovat pouze nezáporná množství zboží, takže x i 0 pro libovolné i = 1, ..., n nebo X > 0. Množina všech množin zboží se nazývá prostor zboží C. Množina zboží zboží lze považovat za košík, ve kterém toto zboží leží v odpovídajícím množství.
Nechme ekonomiku operovat v prostoru statků C = (X = (x 1, x 2, …, x n): x 1, …, x n 0). Produktový prostor se skládá z nezáporných n-rozměrných vektorů. Uvažujme nyní vektor T dimenze n, jehož prvních m složek je kladných: x 1, …, x m 0 a posledních (n-m) složek je nezáporných: x m +1, …, x n 0. Vektor X = (x 1,…, x m ) zavoláme nákladový vektor a vektor Y = (x m+1 , …, x n) – vektor uvolnění. Nazvěme vektor T = (X,Y) vstupně-výstupní vektor nebo technologie.
Technologie (X,Y) je ve svém významu způsob zpracování zdrojů na hotové výrobky: „smícháním“ zdrojů v množství X získáme produkty v množství Y. Každý konkrétní výrobce je charakterizován určitou množinou τ technologií, což je tzv výrobní sada. Typická stínovaná sada je znázorněna na Obr. 2.1. Tento výrobce používá jeden produkt k výrobě jiného.
Rýže. 2.1. Výrobní sada
Výrobní sada odráží šíři možností výrobce: čím je větší, tím má širší možnosti. Výrobní sada musí splňovat následující podmínky:
je uzavřený - to znamená, že pokud je vstupně-výstupní vektor T aproximován tak přesně, jak je požadováno vektory z τ, pak T také náleží τ (pokud všechny body vektoru T leží v τ, pak Tτ viz obr. 2,1 bodů C a B) ;
v τ(-τ) = (0), tj. pokud Tτ, T ≠ 0, pak -Tτ – náklady a výkon nelze zaměnit, tj. výroba je nevratný proces (množina – τ je ve čtvrtém kvadrantu , kde y je 0);
množina je konvexní, vede tento předpoklad k poklesu návratnosti zpracovaných zdrojů při nárůstu objemů výroby (ke zvýšení míry výdajů na hotové výrobky). Takže z Obr. 2.1 je zřejmé, že y/x klesá jako x -. Zejména předpoklad konvexnosti vede k poklesu produktivity práce s rostoucím produktem.
Často konvexnost prostě nestačí a pak je vyžadována striktní konvexnost produkčního souboru (nebo jeho části).
2.2. Křivka výrobních možností
a náklady příležitosti
Uvažovaný koncept produkčního souboru se vyznačuje vysokou mírou abstrakce a pro svou extrémní obecnost je pro ekonomickou teorii málo užitečný.
Vezměme si například Obr. 2.1. Začněme body B a C. Náklady na tyto technologie jsou stejné, ale výstup je jiný. Výrobce, pokud nepostrádá zdravý rozum, nikdy nezvolí technologii B, protože existuje lepší technologie C. V tomto případě (viz obr. 2.1) najdeme pro každé x 0 nejvyšší bod (x, y ) ve výrobní sadě . Je zřejmé, že za cenu x je technologie (x, y) nejlepší. Žádná technologie (x, b) s produkční funkcí b. Přesná definice produkční funkce:
Y = f(x)(x, y) τ, a pokud (x, b) τ a b y, pak b = x .
Z Obr. 2.1 je zřejmé, že pro libovolné x 0 je takový bod y = f(x) jednoznačný, což nám ve skutečnosti umožňuje mluvit o produkční funkci. Ale situace je tak jednoduchá, pokud se vyrábí pouze jeden produkt. V obecném případě pro nákladový vektor X označíme množinu M x = (Y:(X,Y)τ). Sada M x – je soubor všech možných výstupů v nákladech X. V této množině uvažujme „křivku“ výrobních možností K x = (YM x: pokud ZM x a Z Y, pak Z = X), tj. K x – toto je mnoho z nejlepších vydání, žádné lepší neexistuje. Jsou-li vyráběny dva statky, jedná se o křivku, ale pokud se vyrábí více než dva statky, jedná se o povrch, těleso nebo soubor ještě větších rozměrů.
Takže pro jakýkoli nákladový vektor X leží všechny nejlepší výstupy na křivce produkčních možností (povrchu). Proto z ekonomických důvodů musí výrobce zvolit technologii odtamtud. Pro případ propuštění dvou zboží y 1, y 2 je obrázek na Obr. 2.2.
Pokud operujeme pouze s fyzikálními ukazateli (tuny, metry atd.), pak pro daný nákladový vektor X musíme zvolit pouze výstupní vektor Y na křivce produkčních možností, ale jaký konkrétní výkon zvolit, nelze zatím rozhodnout. Pokud je samotná produkční množina τ konvexní, pak M x je také konvexní pro libovolný nákladový vektor X. V následujícím budeme potřebovat striktní konvexnost množiny M x. V případě výstupu dvou statků to znamená, že tečna ke křivce produkčních možností K x má s touto křivkou společný pouze jeden bod.
Rýže. 2.2. Křivka výrobních možností
Podívejme se nyní na otázku tzv náklady příležitosti. Předpokládejme, že výstup je pevný v bodě A(y 1 , y 2), viz Obr. 2.2. Nyní je potřeba zvýšit výkon 2. výrobku o y 2, samozřejmě za použití stejného souboru nákladů. To lze provést, jak je vidět na obr. 2.2, převedení technologie do bodu B, u kterého při zvýšení výkonu druhého výrobku o y 2 bude nutné snížit výkon prvního výrobku o y 1.
Připočtenonákladyprvní produkt ve vztahu k druhému v bodě A volal
. Pokud je křivka produkčních možností dána implicitní rovnicí F(y 1 ,y 2) = 0, pak δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), kde parciální derivace jsou brány v bodě A. Když se na dotyčný obrázek podíváte pozorně, najdete zajímavý vzorec: při pohybu dolů po křivce produkčních možností zleva se náklady obětované příležitosti snižují z velmi vysokých hodnot na velmi malé .
2.3. Produkční funkce a jejich vlastnosti
Produkční funkce je analytický vztah, který spojuje variabilní hodnoty nákladů (faktorů, zdrojů) s množstvím výstupu. Historicky jednou z prvních prací na konstrukci a využití produkčních funkcí byla práce na analýze zemědělské produkce ve Spojených státech amerických. V roce 1909 Mitscherlich navrhl nelineární produkční funkci: hnojiva – výnos. Nezávisle na tom Spillman navrhl rovnici exponenciálního výnosu. Na jejich základě byla vybudována řada dalších agrotechnických produkčních funkcí.
Výrobní funkce jsou navrženy tak, aby modelovaly výrobní proces určité ekonomické jednotky: samostatného podniku, odvětví nebo celé ekonomiky státu jako celku. Pomocí produkčních funkcí se řeší následující problémy:
posuzování návratnosti zdrojů ve výrobním procesu;
předpovídání hospodářského růstu;
vývoj možností pro plán rozvoje výroby;
optimalizace fungování obchodní jednotky podléhající danému kritériu a omezení zdrojů.
Obecný tvar produkční funkce: Y = Y(X 1, X 2, ..., X i, ..., X n), kde Y je ukazatel charakterizující produkční výsledky; X – faktorový ukazatel i-tého výrobního zdroje; n – počet faktorových ukazatelů.
Produkční funkce jsou určeny dvěma skupinami předpokladů: matematickými a ekonomickými. Matematicky se očekává, že produkční funkce bude spojitá a dvojitě diferencovatelná. Ekonomické předpoklady jsou následující: při absenci alespoň jednoho výrobního zdroje je výroba nemožná, tj. Y(0, X 2, ..., X i, ..., X n) =
Y(Xi, 0, …, Xi, …, Xn) = …
Y(X 1, X 2, …, 0, …, X n) = …
Y(Xi, X2, …, Xi, …, 0) = 0.
Jediný výstup Y pro dané náklady X však nelze uspokojivě určit pomocí přirozených ukazatelů: náš výběr se zúžil pouze na „křivku“ výrobních možností K x . Z těchto důvodů byla vyvinuta pouze teorie produkčních funkcí výrobců, jejichž výstup lze charakterizovat jednou hodnotou - buď objemem výstupu, pokud se vyrábí jeden produkt, nebo celkovou hodnotou celého výstupu.
Nákladový prostor je m-rozměrný. Každý bod v nákladovém prostoru X = (x 1, ..., x m) odpovídá jedinému maximálnímu výkonu (viz obr. 2.1) vyrobenému pomocí těchto nákladů. Tento vztah se nazývá produkční funkce. Produkční funkce je však obvykle chápána méně restriktivně a jakýkoli funkční vztah mezi vstupy a výstupem je považován za produkční funkci. V následujícím budeme předpokládat, že produkční funkce má potřebné derivace. Předpokládá se, že produkční funkce f(X) splňuje dva axiomy. První z nich uvádí, že existuje podmnožina tzv. nákladového prostoru ekonomická oblast E, ve kterém zvýšení jakéhokoli typu vstupu nevede ke snížení výstupu. Jsou-li tedy X 1, X 2 dva body této oblasti, pak X 1 X 2 implikuje f(X 1) f(X 2). V diferenciálním tvaru je to vyjádřeno tím, že v této oblasti jsou všechny první parciální derivace funkce nezáporné: f/x 1 ≥ 0 (pro libovolnou rostoucí funkci je derivace větší než nula). Tyto deriváty se nazývají okrajové produkty a vektor f/X = (f/x 1, …, f/x m) – vektor mezních produktů (ukazuje, kolikrát se výrobní výstup změní, když se změní náklady).
Druhý axiom říká, že existuje konvexní podmnožina S ekonomické oblasti, pro kterou jsou podmnožiny (XS:f(X) a) konvexní pro všechna a 0. V této podmnožině S je Hessova matice složená z druhá derivace funkce f(X) , je záporně definitní, proto 2 f/x 2 i
Zastavme se u ekonomického obsahu těchto axiomů. První axiom říká, že produkční funkce není nějaká zcela abstraktní funkce vynalezená matematickým teoretikem. Ta, i když ne v celé své definiční oblasti, ale pouze v její části, odráží ekonomicky důležité, nesporné a zároveň triviální tvrzení: PROTIV rozumné ekonomice nemůže zvýšení nákladů vést ke snížení produkce. Z druhého axiomu vysvětlíme pouze ekonomický význam požadavku, aby derivace 2 f/x 2 i byla pro každý typ nákladů menší než nula. Tato vlastnost se nazývá v ekonomii zaZákon klesajících výnosů nebo klesajících výnosů: jak rostou náklady, počínaje od určitého okamžiku (při vstupu do regionu S!), omezní produkt začíná klesat. Klasickým příkladem tohoto zákona je přidávání stále většího množství práce k produkci obilí na pevném pozemku. V následujícím se předpokládá, že produkční funkce je uvažována v oblasti S, ve které platí oba axiomy.
Můžete vytvořit produkční funkci pro daný podnik, aniž byste o tom cokoliv věděli. K bráně podniku stačí postavit počítadlo (buď osobu nebo nějaké automatické zařízení), které bude zaznamenávat X - importované zdroje a Y - množství produktů, které podnik vyrobil. Pokud shromáždíte dostatečné množství takových statických informací a vezmete v úvahu provoz podniku v různých režimech, můžete předvídat výstup, přičemž znáte pouze objem importovaných zdrojů, a to je znalost produkční funkce.
2.4. Cobb-Douglasova produkční funkce
Uvažujme jednu z nejběžnějších produkčních funkcí - Cobb-Douglasovu funkci: Y = AK L , kde A, , > 0 jsou konstanty, +
Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.
Negativa druhých parciálních derivací, tj. klesajících mezních produktů: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.
Přejděme k hlavním ekonomickým a matematickým charakteristikám Cobb-Douglasovy produkční funkce. Průměrná produktivita práce je definováno jako y = Y/L – poměr objemu vyrobeného produktu k množství vynaložené práce; průměrná produktivita kapitálu k = Y/K – poměr objemu vyrobeného produktu k hodnotě finančních prostředků.
Pro Cobb-Douglasovu funkci je průměrná produktivita práce y = AK L a vlivem podmínky s rostoucími náklady práce průměrná produktivita práce klesá. Tento závěr umožňuje přirozené vysvětlení - jelikož hodnota druhého faktoru K zůstává nezměněna, znamená to, že nově přitahované pracovní síle nejsou poskytovány další výrobní prostředky, což vede k poklesu produktivity práce (to platí i v nejobecnější případ - na úrovni výrobních souborů).
Mezní produktivita práce Y/L = AβK α L β -1 > 0, což ukazuje, že pro Cobb-Douglasovu funkci je mezní produktivita práce úměrná průměrné produktivitě a je nižší než ona. Průměrná a mezní produktivita kapitálu se stanoví obdobně. Pro ně platí i naznačený poměr - mezní produktivita kapitálu je úměrná průměrné produktivitě kapitálu a je menší než ona.
Důležitou vlastností je např poměr kapitálu a práce f = K/L, zobrazení objemu finančních prostředků na zaměstnance (na jednotku práce).
Nyní najdeme pracovní elasticitu výroby:
(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β-1 L/(AK α L β) = β.
Takže význam je jasný parametr - Tento elasticita (poměr mezní produktivity práce k průměrné produktivitě práce) výstupu podle práce. Pracovní elasticita výroby znamená, že pro zvýšení produkce o 1 % je nutné zvýšit objem pracovních zdrojů o %. Má podobný význam parametr – je elasticita produkce napříč fondy.
A ještě jeden význam se zdá zajímavý. Nechť + = 1. Je snadné zkontrolovat, že Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (dosazením dříve vypočítaných Y/K, Y/L do tento vzorec). Předpokládejme, že společnost se skládá pouze z dělníků a podnikatelů. Poté se příjem Y dělí na dvě části – příjem pracovníků a příjem podnikatelů. Protože při optimální velikosti firmy se hodnota Y/L - mezní produkt práce - shoduje se mzdou (to lze prokázat), pak (Y/L)L představuje příjem pracovníků. Podobně hodnota Y/K je mezní výnos z kapitálu, jehož ekonomický význam je míra zisku, proto (Y/K)K představuje důchod podnikatelů.
Funkce Cobb-Douglase je nejznámější ze všech produkčních funkcí. V praxi se při jeho konstrukci někdy upouští od některých požadavků (např. součet + může být větší než 1 atd.).
Příklad 1 Nechť je produkční funkcí Cobb-Douglasova funkce. Pro zvýšení výkonu o a = 3 % je nutné zvýšit stálý majetek o b = 6 % nebo počet zaměstnanců o c = 9 %. V současné době vyrábí jeden pracovník výrobky v hodnotě M = 10 4 rublů měsíčně . , a celkový počet zaměstnanců je L = 1000. Dlouhodobý majetek se oceňuje na K = 10 8 rublů. Najděte produkční funkci.
Řešení. Najděte koeficienty , : = a/b = 3/6 = 1/2, = a/c = = 3/9 = 1/3, tedy Y = AK 1/2 L 1/3. Abychom našli A, dosadíme do tohoto vzorce hodnoty K, L, M, přičemž mějme na paměti, že Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = A(10 8) 1/2 1000 1/3. Proto A = 100. Produkční funkce má tedy tvar: Y = 100K 1/2 L 1/3.
2.5. Teorie firmy
V předchozí části jsme při analýze a modelování chování výrobce použili pouze přirozené ukazatele a obešli jsme se bez cen, ale problém výrobce se nám nakonec nepodařilo vyřešit, tedy naznačit pro něj jediný postup v současné době. podmínky. Nyní se podívejme na ceny. Nechť P je cenový vektor. Pokud T = (X,Y) je technologie, tj. vektor vstup-výstup, X jsou náklady, Y je výstup, pak skalární součin PT = PX + PY je zisk z použití technologie T (náklady jsou záporné veličiny) . Nyní zformulujme matematickou formalizaci axiomu, který popisuje chování výrobce.
Problém výrobce: Výrobce vybírá technologii ze svého výrobního souboru s cílem maximalizovat zisk . Výrobce tedy řeší následující problém: PT→max, Tτ. Tento axiom značně zjednodušuje situaci volby. Pokud jsou tedy ceny kladné, což je přirozené, pak „výstupní“ složka řešení tohoto problému bude automaticky ležet na křivce produkčních možností. Nechť T = (X,Y) je skutečně řešením problému výrobce. Pak existuje ZK x , Z Y, tedy P(X, Z) P(X, Y), což znamená, že bod (X, Z) je také řešením problému výrobce.
Pro případ dvou typů výrobků lze problém řešit graficky (obr. 2.3). Chcete-li to provést, musíte „posunout“ přímku kolmou k vektoru P ve směru, kam ukazuje; pak bude řešením poslední bod, kdy tato přímka ještě protíná výrobní soubor (na obr. 2.3 je to bod T). Jak je dobře vidět, přísná konvexnost požadované části výrobního souboru ve druhém kvadrantu zaručuje jedinečnost řešení. Stejná úvaha platí v obecném případě pro větší počet typů vstupů a výstupů. My však nepůjdeme touto cestou, ale použijeme aparát produkčních funkcí a nazveme výrobce firmou. Produkci firmy lze tedy charakterizovat jednou hodnotou – buď objemem produkce, pokud je vyroben jeden produkt, nebo celkovou hodnotou celé produkce. Nákladový prostor je m-rozměrný, nákladový vektor X = (x 1, ..., x m). Náklady jednoznačně určují výstup Y a tento vztah je produkční funkcí Y = f(X).
Rýže. 2.3. Řešení problému výrobce
V této situaci označme P vektor cen zboží-nákladů a nechť v je cena jednotky vyrobeného zboží. Proto zisk W, který je v konečném důsledku funkcí X (a cen, ale jsou považovány za konstantní), je W(X) = vf(X) – PX→max, X 0. Rovnice parciálních derivací funkce W na nulu, dostaneme:
v(f/x j) = p j pro j = 1, …, m nebo v(f/X) = P (2.1)
Budeme předpokládat, že všechny náklady jsou striktně kladné (nulové jedničky lze jednoduše vyloučit z uvažování). Potom se bod daný vztahem (2.1) ukáže jako vnitřní, tedy extrémní bod. A protože se předpokládá, že Hessova matice produkční funkce f(X) je také negativně definovaná (na základě požadavků na produkční funkce), jedná se o maximální bod.
Takže za přirozených předpokladů o produkčních funkcích (tyto předpoklady jsou splněny u výrobce se zdravým rozumem a v rozumné ekonomice) dává vztah (2.1) řešení problému firmy, tj. určuje objem X * zpracovaných zdrojů, výsledkem je výstup Y * = f(X *) Bod X *, nebo (X *,f(X *)) budeme nazývat optimálním řešením firmy. Zastavme se u ekonomického významu vztahu (2.1). Jak bylo uvedeno, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) se nazývá vektor mezního produktu nebo vektor mezních produktů, a f/x i se nazývá i-tá mezní produkt, nebo uvolnit reakci na změnu i -náklady na položku. Proto vf/x i dx i je cena i - okrajový produkt dodatečně získaný z dx i Jednotky i zdroj. Náklady na dx i jednotek i-tého zdroje se však rovnají р i dx i, tj. bylo dosaženo rovnováhy: do výroby je možné zapojit další dx i jednotky i-tého zdroje, výdaje р i dx i na jeho nákupu, ale nebude to žádný zisk, t Protože po zpracování produktů dostaneme přesně stejnou částku, jakou jsme utratili. V souladu s tím je optimální bod daný vztahem (2.1) bodem rovnováhy - ze zboží-zdrojů již nelze vymáčknout více, než bylo vynaloženo na jejich nákup.
Je zřejmé, že k růstu produkce firmy docházelo postupně: zpočátku byly náklady na marginální produkty nižší než nákupní cena zboží a zdrojů potřebných k jejich výrobě. Objemy výroby rostou, dokud se nezačne naplňovat vztah (2.1): rovnost hodnoty mezních produktů a kupní ceny zboží a zdrojů potřebných k jejich výrobě.
Předpokládejme, že ve firemní úloze W(X) = vf(X) – PX → max, X 0 je řešení X * jedinečné pro v > 0 a P > 0. Získáme tedy vektorovou funkci X * = X * ( v, P) nebo funkce x * I = x * i (v, p 1, p m) pro i = 1, …, m. Tyto m funkce jsou volány funkce poptávky po zdrojích za dané ceny produktů a zdrojů. Tyto funkce v podstatě znamenají, že pokud byly stanoveny ceny P za zdroje a cena v za vyrobené zboží, určí daný výrobce (charakterizovaný danou produkční funkcí) objem zpracovaných zdrojů pomocí funkcí x * I = x * i (v, p 1, p m) a požaduje tyto objemy na trhu. Když známe objemy zpracovaných zdrojů a dosadíme je do produkční funkce, získáme výstup jako funkci cen; označme tuto funkci q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . To se nazývá funkce dodávky produktu v závislosti na ceně v u produktů a cenách P u zdrojů.
A-priory, zdroj i-tého typu volal malé hodnoty, tehdy a jen tehdy,x * i /v tj. když cena produktu roste, poptávka po zdroji nízké hodnoty klesá. Je možné dokázat důležitý vztah: q * /P = -X * /v nebo q * /p i = -x * i /v, pro i = 1, …,m. V důsledku toho zvýšení ceny produktu vede ke zvýšení (snížení) poptávky po určitém druhu zdroje právě tehdy, pokud zvýšení platby za tento zdroj vede ke snížení (zvýšení) optimálního výstupu. To ukazuje hlavní vlastnost zdrojů s nízkou hodnotou: zvýšení platby za ně vede ke zvýšení produkce! Je však možné striktně prokázat existenci takových zdrojů, jejichž zvýšení platby vede ke snížení produkce (tj. všechny zdroje nemohou mít nízkou hodnotu).
Je také možné dokázat, že x * i /p i jsou komplementární, jestliže x * i /p j jsou zaměnitelné, jestliže x * i /p j > 0. To znamená, že u doplňkových zdrojů zvýšení ceny jeden z nich vede k poklesu poptávky po druhém a u zaměnitelných zdrojů vede zvýšení ceny jednoho z nich ke zvýšení poptávky po druhém. Příklady doplňkových zdrojů: počítač a jeho součásti, nábytek a dřevo, šampon a kondicionér k němu. Příklady zastupitelných zdrojů: cukr a náhražky cukru (například sorbitol), vodní melouny a melouny, majonéza a zakysaná smetana, máslo a margarín atd.
Příklad 2 Pro společnost s produkční funkcí Y = 100K 1/2 L 1/3 (z příkladu 1) najděte optimální velikost, pokud doba odpisování dlouhodobého majetku je N = 12 měsíců, mzda zaměstnance za měsíc je a = 1000 rublů .
Řešení. Optimální velikost výkonu nebo objemu výroby zjistíme ze vztahu (2.1). V tomto případě se výstup měří v peněžním vyjádření, takže v = 1. Náklady na měsíční údržbu jednoho rublu finančních prostředků jsou 1/N, tj. získáme systém rovnic
, jehož řešením najdeme odpověď: 
L = 8. 103, K = 144. 10 6.
2.6. Úkoly
1. Nechť produkční funkce je Cobb-Douglasova funkce. Pro zvýšení výkonu o 1 % je nutné navýšit dlouhodobý majetek o b = 4 % nebo počet zaměstnanců o c = 3 %. V současné době vyrábí jeden pracovník výrobky v hodnotě M = 10 5 rublů měsíčně . a celkový počet pracovníků je L = 10 4 . Dlouhodobý majetek se oceňuje na K = 10 6 rublů. Najděte produkční funkci, průměrnou produktivitu kapitálu, průměrnou produktivitu práce, poměr kapitálu a práce.
2. Skupina „shuttles“ ve výši E se rozhodla spojit s N prodejci. Zisk za den práce (výnosy minus náklady, ale ne mzdy) je vyjádřen vzorcem Y = 600(EN) 1/3. Plat pracovníka raketoplánu je 120 rublů. za den, prodejce - 80 rublů. ve dne. Najděte optimální složení skupiny „shuttles“ a prodejců, tedy kolik by mělo být „shuttles“ a kolik prodejců.
3. Podnikatel se rozhodl založit malou přepravní společnost. Po seznámení se statistikou viděl, že přibližná závislost denních tržeb na počtu vozů A a počtu N je vyjádřena vzorcem Y = 900A 1/2 N 1/4. Odpisy a další denní výdaje na jeden stroj jsou 400 rublů, denní plat dělníka je 100 rublů. Najděte optimální počet pracovníků a vozidel.
4. Podnikatel se rozhodl otevřít pivní bar. Předpokládejme, že závislost tržeb Y (minus náklady na pivo a občerstvení) na počtu stolů M a počtu číšníků F je vyjádřena vzorcem Y = 200M 2/3 F 1/4. Cena za jeden stůl je 50 rublů, plat číšníka je 100 rublů. Najděte optimální velikost baru, tedy počet číšníků a stolů.