Випуклість технологічної множини елемента означає. Навчальний посібник Теорія поведінки споживача. Ефективна межа технологічної множини
Особливості інфляційних процесів у Росії.
1. Поняття виробництва та ПФ. Виробниче безліч.
2. Завдання максимізації прибутку
3. Рівновага виробника. Технічний прогрес
4. Завдання мінімізації витрат.
5. Агрегування теорії виробництва. Рівновага фірми та галузі в д/ср періоді
(самостійно) пропозиція конкурентних фірм, які мають альтернативні цілі
Виробництво- Діяльність спрямована на виготовлення максимальної кількості матеріальних благ, залежить від кількості використовуваних факторів виробництва, заданих технологічним аспектом виробництва.
Будь-який технологічний процес можна представити за допомогою вектора чистих випусків, який позначатимемо через y. Якщо згідно з цією технологією фірма виробляє i-тий продукт, то i-та координата вектора y буде позитивною. Якщо ж навпаки, i-тий продукт витрачається, то ця координата буде негативна. Якщо деякий продукт не витрачається і не випускається згідно з цією технологією, то відповідна координата дорівнюватиме 0.
Безліч всіх технологічно доступних для даної фірми векторів чистих випусків називатимемо виробничим безліччю фірми і позначатимемо Y.
Властивості виробничих множин:
1. Виробнича множина не порожня, тобто. фірмі доступний хоча б один технологічний процес.
2.Виробнича множина замкнута.
3. Відсутність «роги достатку»: якщо y 0 та y ∊Y, то y=0. Не можна зробити щось не витративши нічого (ні y<0, т.е. ресурсов).
4. Можливість бездіяльності (ліквідації): 0∊Y. насправді можуть існувати неповоротні витрати.
5. Свобода витрачання: y∊Y та y` y, то y`∊Y. Виробничій множині належать не тільки оптимальні, а й технології з меншими випусками/витратами ресурсів.
6. незворотність. Якщо y∊Y і y 0, то –y Y. Якщо з 2 одиниць першого блага можна зробити 1 другого, зворотний процес не можливий.
7. Випуклість: якщо y`∊Y, то αy + (1-α)y` ∊ Y для всіх α∊. Сувора опуклість: для всіх α∊(0,1). Властивість 7 дозволяє комбінуючи технології отримати інші доступні технології.
8. Віддача від масштабу:
Якщо у відсотковому співвідношенні обсяг використаних факторів змінився на ∆ N, а відповідна зміна випуску склала ∆Q, то мають місце такі ситуації:
- ∆ N = ∆Qмає місце пропорційна віддача (зростання кількості факторів спричинило відповідне зростання випуску)
- ∆ N< ∆Q має місце зростаюча віддача (позитивний ефект масштабу) – тобто. випуск збільшився у більшій пропорції, ніж збільшилася кількість витрачених факторів
- ∆ N > ∆Qмає місце спадна віддача (негативний ефект масштабу) – тобто. збільшення витрат призводить до меншого у відсотковому вираженні зростання випуску
Ефект масштабу актуальний у довгостроковому періоді. Якщо збільшення масштабу виробництва не призводить до зміни продуктивності праці, ми маємо справу з постійною віддачею від масштабу. Убутня віддача від масштабу супроводжується зниженням продуктивності праці, зростаюча -її підвищенням.
У разі, якщо безліч товарів, які виробляються, на відміну від безлічі ресурсів, що використовуються, і вироблятися тільки один товар, то виробнича множина може бути описана за допомогою виробничої функції.
Виробнича функція(ПФ) – відображає залежність між максимальним випуском та певним поєднанням факторів (праці та капіталу) і при даному рівні технологічного розвитку суспільства.
Q = f (f1, f2, f3, ... fn)
де Q – випуск фірми за певний проміжок часу;
fi - кількість i-го ресурсу, використаного у виробництві продукції;
Як правило, виділяють три фактори виробництва: працю, капітал та матеріали. Ми обмежимося аналізом двох факторів: праці (L) та капіталу (К), тоді виробнича функція набуває вигляду: Q = f(K, L).
Види ПФ можуть відрізнятися залежно від характеру технології, і можуть бути представлені у трьох видах:
Лінійна ПФ виду y = ax1 + bx2 характеризується постійною віддачею від масштабу.
ПФ Леонтьєва – в якій ресурси доповнюють один одного, їх комбінація визначається технологією і фактори виробництва не взаємозамінні.
ПФ Кобба-Дугласа– функція, у якій використовувані чинники виробництва мають властивість взаємозамінності. Загальний вигляд функції:
Де А - технологічний коефіцієнт, - коефіцієнт еластичності по праці, а - коефіцієнт еластичності по капіталу.
Якщо сума показників ступеня (α + β) дорівнює одиниці, то функція Кобба-Дугласа є лінійно однорідною, тобто демонструє постійну віддачу при зміні масштабів виробництва.
Вперше виробнича функція була розрахована в 1920-і роки для обробної промисловості США, у вигляді рівності
Для ПФ Кобба-Дугласа справедливо:
1. Оскільки а< 1 и b < 1, предельный продукт каждого фактора меньше среднего продукта (МРК < АРК и MPL < APL).
2. Оскільки другі похідні виробничої функції з праці та капіталу негативні, можна стверджувати, що ця функція характеризується граничним продуктом, що убуває, як праці, так і капіталу.
3. При зниженні величини MRTSL K поступово зменшується. Це означає, що ізокванти виробничої функції мають стандартну форму: це гладкі ізокванти з негативним нахилом, опуклі до початку координат.
4. Для цієї функції характерна стала (рівна 1) еластичність заміщення.
5. Функція Кобба-Дугласа може характеризувати будь-який тип віддачі масштабу, залежно від значень параметрів а і Ь
6. Розглянута функція може бути описи різних типів технічного прогресу.
7 Ступіневими параметрами функції є коефіцієнти еластичності випуску за капіталом (а) і з праці (Ь), так що рівняння для темпу зростання випуску (8.20) для функції Кобба-Дугласа набуває вигляду GQ = Gz + aGK + bGL. Параметр а, таким чином, характеризує як би «вклад» капіталу збільшення випуску, а параметр b - «вклад» праці.
ПФ заснована на низці «особливостей виробництва». Вони стосуються ефекту випуску у трьох випадках: (1) пропорційне збільшення всіх витрат, (2) зміна структури витрат при постійному випуску, (3) збільшення одного фактора виробництва за інших незмінних. випадок (3) ставитись до короткострокового періоду.
Виробнича функція з одним змінним фактором має вигляд:
Ми бачимо, що найбільш ефективна зміна змінного фактора X спостерігається на відрізку від точки А до точки Б. Тут граничний продукт (МР), досягнувши свого максимального значення, починає зменшуватися, середній продукт (АР) ще збільшується, загальний продукт (ТР) отримує найбільший приріст.
Закон спаду віддачі(Закон спадного граничного продукту) - визначає ситуацію, при якій досягнення певних обсягів виробництва призводить до зменшення виходу готової продукції на додатково введену одиницю ресурсу.
Як правило, даний обсяг може бути вироблений у вигляді різних способів виробництва. Це з тим, що чинники виробництва певною мірою взаємозамінні. Можна провести ізокванти, відповідні всім способам виробництва, необхідним випуску у цьому обсязі. В результаті ми отримуємо карту ізоквант, яка характеризує залежність між усіма можливими комбінаціями ресурсів та розмірами випуску і, отже, є графічною ілюстрацією виробничої функції.
Ізокванта (лінія рівного випуску - isoquant) - крива, що відображає всі комбінації факторів виробництва, що забезпечують однаковий випуск продукції.
Сукупність ізоквант, кожна з яких показує максимальний випуск продукції, що досягається при використанні певних поєднань ресурсів, називається картою ізоквант (isoquant map). Чим далі розташована ізокванта від початку координат, тим більше ресурсів задіяно в розташованих на ній способах виробництва і тим більше розміри випуску, які характеризуються даною ізоквантою (Q3> Q2> Q1).
Ізокванта та її форма відображає залежність, задану ПФ. У довгостроковому періоді існує певна взаємна доповнюваність (комплекторність) факторів виробництва, проте без зменшення обсягу випуску можлива і певна взаємозамінність даних факторів виробництва. Так, для випуску блага можуть бути використані різні комбінації ресурсів; можна зробити це благо при використанні меншого обсягу капіталу та більшого обсягу витрат праці, і навпаки. У першому випадку виробництво вважається технічно ефективним у порівнянні з другим випадком. Однак існує межа того, наскільки праця може бути замінена великим обсягом капіталу, щоб не скоротилося виробництво. З іншого боку, є межа застосування ручної праці без використання машин. Ми розглядатимемо ізокванту в зоні технічного заміщення.
Рівень взаємозамінності факторів відображає показник граничної норми технічного заміщення. - пропорція, в якій один фактор може бути замінений на інший за збереження колишнього обсягу випуску; відбиває нахил ізокванти.
MRTS = - ∆K / ∆ L = МР L / МР K
Щоб за зміни кількості використовуваних чинників виробництва випуск залишався незмінним, кількості праці та капіталу мають змінюватися у різних напрямах. Якщо кількість капіталу скорочується (АК< 0), то количество труда должно увеличиваться (AL >0). Тим часом гранична норма технічного заміщення є просто пропорцією, в якій один фактор виробництва може бути заміщений іншим, і, як така, є величина завжди позитивна.
Продовжимо вивчення моделей збалансованого зростання економіки на більш загальному рівні та перейдемо до близьких до них моделей економічного добробуту. Останні, як і моделі зростання, відносяться до нормативних моделей.
Говорячи про економіку добробуту, мають на увазі такий її розвиток, коли всі споживачі поступово досягають максимуму своєї корисності. Проте практично така ідеальна ситуація має місце досить рідко, оскільки добробут одних досягається часто з допомогою погіршення стану інших. Тому реальніше говорити про такий рівень розподілу благ, коли жоден споживач неспроможна збільшити свій добробут, не ущемляючи у своїй інтересів інших споживачів.
Якщо вздовж траєкторії рівноважного зростання жоден споживач, як і жоден виробник, не може придбати більше без додаткових витрат (відсутність прибутку в стані рівноваги), то при розвитку економіки по траєкторії такого добробуту жоден споживач не може стати багатшим, не збіднюючи у своїй іншого.
З попереднього розділу випливає, що врахування тимчасових факторів у математичних моделях економіки допомагає виявити цілком логічний зв'язок економічних процесів із природним зростанням виробничих та споживчих можливостей. В умовах лінійних моделей за деяких припущень темп такого зростання дорівнює відсотку капіталу і відповідний процес розширення економіки характеризується збалансованим зростанням інтенсивностей випуску всіх продуктів і збалансованим зниженням їх цін. У цьому розділі сформулюємо загальну динамічну модель виробництва, що охоплює раніше розглянуті лінійні моделі як окремі випадки, і вивчимо в ній питання збалансованого зростання.
Спільність моделі, що розглядається, полягає в тому, що виробничий процес описується не за допомогою виробничої функції взагалі, і лінійної виробничої функції (як у моделях Леонтьєва і Неймана) зокрема, а за допомогою так званого технологічної множини.
Технологічна множина(Визначимо його символом) - це безліч таких перетворень економіки, коли виробництво продукції при витратах технологічно можливе в тому і тільки в тому випадку, коли. Пара називається виробничим процесом, Тому безліч є безліч всіх виробничих процесів, можливих при даній технології. Наприклад, у моделі Леонтьєва технологічна безліч j-ої галузі має вигляд 
де - валовий випуск j-го товару, а - j-ий стовпець технологічної матриці A. Тому технологічна множина в моделі Леонтьєва в цілому є 
а в моделі Неймана - 
У виробничому процесі взагалі можуть міститися такі продукти, які одночасно і витрачаються, і випускаються (наприклад, пально-мастильні матеріали, борошно, м'ясо і т.д.). В економіко-математичних моделях для більшої спільності часто допускається, що кожен продукт може і витрачатися, і випускатися (наприклад, у моделях Леонтьєва та Неймана). В цьому випадку вектори xі yмають однакову розмірність, та їх відповідні компоненти позначають одні й самі продукти.
Нехай - обсяг, що витрачається i-го продукту, а - його обсяг, що випускається. Тоді різниця називається чистим випускомв процесі . Тому замість виробничого процесу часто розглядають вектор чистого випуску, характеризуючи цю різницю як потік(Або інтенсивність), тобто. величину чистого випуску за одиницю часу. При цьому технологічна множина розуміється як безліч всіляких чистих випусків. а вектор називається процесом із потоком.
Перерахуємо деякі властивості технологічної множини, які є відображенням фундаментальних законів виробництва.
Різні виробничі процеси можна порівнювати як по ефективності, так і по прибутковості.
Говорять, що процес ефективніший, ніж процес , якщо , . Процес називається ефективним, якщо не містяться більш ефективні процеси, ніж .
Нехай – вектор цін. Кажуть, що процес більш прибутковий, Чим процес, якщо величина не менше, ніж величина.
Ці два варіанти натуральної та вартісної оцінки процесів виявляються фактично еквівалентними.
Теорема 6.1. Нехай – технологічна безліч. Тоді a) якщо при векторі цін процес максимізує прибуток на безлічі, є ефективним процесом; b) якщо опукло і - ефективний у процес, існує такий вектор цін , що прибуток досягає максимуму при
Визначимо структуру технологічної множини для тих моделей, які враховують фактор часу. Розглянемо період планування з дискретними точками Нехай на рік (тобто на початку планового періоду) економіка характеризується запасом товарів 
І тут кажуть, що економіка перебуває у стані . До кінця періоду економіка досягає іншого стану, який зумовлений попереднім станом. І тут кажуть, що реалізований виробничий процес де - задане технологічне безліч. Тут вектор розглядається як витрати, що здійснюються на початку періоду, а - як відповідний цим витратам випуск, який виробляється з тимчасовим лагом в один рік. На наступних етапах виробництва маємо 
і т.д. Таким шляхом здійснюється динаміка розвитку економіки. Подібний рух економіки є самопідтримуючим, тому що продукти в системі відтворюються без будь-якого припливу ззовні.
Кінцева послідовність векторів називається допустимою траєкторією економіки(що описується технологічною безліччю Z) на інтервалі часу , якщо кожна пара двох її членів , що послідовно йдуть , належить множині Z, тобто. 
Позначимо через безліч всіх допустимих траєкторій на інтервалі, що відповідають початковому стану.
Нехай 
Траєкторія називається більш ефективною, ніж , якщо Траєкторія називається ефективною траєкторією, якщо не міститься більш ефективної траєкторії, ніж . Траєкторія називається більш прибутковоючим , якщо 
Натиснувши на кнопку "Завантажити архів", ви завантажуєте потрібний вам файл безкоштовно.
Перед скачуванням даного файлу згадайте про ті хороші реферати, контрольні, курсові, дипломні роботи, статті та інші документи, які лежать незатребуваними у вашому комп'ютері. Це ваша праця, вона повинна брати участь у розвитку суспільства та приносити користь людям. Знайдіть ці роботи та відправте в базу знань.
Ми та всі студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будемо вам дуже вдячні.
Щоб завантажити архів з документом, введіть п'ятизначне число в поле, розташоване нижче, і натисніть кнопку "Завантажити архів"
Подібні документи
Сутність витрат виробництва, їхня класифікація. Основні напрями зниження витрат виробництва. Економічна сутність та функції прибутку. Операційні та позареалізаційні витрати. Вивчення взаємозв'язку витрат виробництва та прибутку підприємства.
курсова робота , доданий 24.05.2014
Предмет та функції економтеорії. Товар та його властивості. Принципи граничної корисності. Теорія грошей К. Маркса. Поняття ліквідності, витрат та доходу фірми. Види та характерні риси конкуренції. Модель сукупного попиту та пропозиції. Податки, їхні функції.
шпаргалка, доданий 11.01.2011
Предмет економічної теорії, структура та функції. Економічні закони та їх класифікація. Трудова теорія вартості. Товар та його властивості. Подвійний характер праці, втіленого товару. Розмір вартості товару. Закон вартості та його функції.
шпаргалка, доданий 22.10.2009
Проблеми витрат виробництва як дослідження учених-економістів. Сутність витрат виробництва та його види. Роль прибутку за умов розвитку підприємництва. Сутність та функції прибутку, її види. Рентабельність підприємства та її показники.
курсова робота , доданий 28.11.2012
Сутність та значення економічного зростання. Типи та способи вимірювання економічного зростання. Основні характеристики функції Кобба-Дугласа. Показники та моделі економічного зростання. Чинники, які стримують економічне зростання. Похідна функція та її властивості.
курсова робота , доданий 26.06.2012
Сутність та основні функції прибутку. Економічна ефективність модернізації технологічного обладнання та використання інноваційних технологій під час ремонту дорожнього покриття автомобільних доріг. Резерви підвищення прибутку на будівельній організації.
дипломна робота , доданий 04.07.2013
Сутність прибутку на економічній науці: поняття, види, форми, методи планування. Сутність методу прямого рахунку, суміщеного розрахунку. Основні шляхи збільшення прибутку на підприємствах Росії у сучасних умовах. Зв'язок між оплатою праці та прибутком.
курсова робота , доданий 18.12.2017
Характеризується змінними, які беруть активну участь у зміні виробничої функції (капіталу, землі, праці, часу). Нейтральний технічний прогрес визначається такими технічними змінами (автономного чи матеріального виду), які порушують рівноваги, тобто економічно і соціально безпечні суспільству. Подаємо все це у вигляді схеми (див. схему 4.1.).
Розглянуто основні типові моделі оптимізації виробничої діяльності фірми з лінійною технологічною множиною, статистичні та динамічні моделі планування виробничих інвестицій, питання економіко-математичного аналізу господарських рішень на основі використання апарату двоїстих оцінок. Викладено основні підходи до проблематики оцінки якості виробничих інвестицій, а також методи та показники оцінки їх ефективності.
Розглянемо дуже важливий для модельних додатків випадок, коли технологічна множина виробничої системи є лінійним опуклим множиною, тобто модель виробництва виявляється лінійною.
Зауваження. Спільно припущення 2.1 та 2.2 означають, що технологічна множина є опуклим конусом . Припущення 2.3, що виділяє лінійні технології, означає, що цей конус є опуклим багатогранником у напівпросторі
Чи можна стверджувати, що в економічній галузі фірми з лінійною технологічною безліччю виробнича функція є монотонною.
Співвідношення (3.26) дає можливість вказати конкретний вид виробничої функції для моделі виробничої системи з лінійною технологічною множиною (розглянута вище модель (1.1)-(1.6))
Загальна технологічна множина виробничого елемента може бути отримана як результат об'єднання всіх допустимих з точки зору умов (2.1.2) та (2.1.3) векторів витрати - випуск
Опис технологічної множини однопродуктового елемента, наведене в попередньому параграфі, є найпростішим. Облік додаткових якостей технології елемента призводить до необхідності доповнити його рядом характеристик. Деякі з них ми розглянемо у цьому параграфі. Звичайно, наведені розгляди не вичерпують усіх можливостей, що є в цьому напрямку.
Сепарабельна випукла модель виробництва. Врахування фактора нелінійності в описаній у попередньому прикладі моделі обмежень виробництва призводить до нелінійної сепарабельної моделі багатопродуктового елемента. Облік нелінійності здійснюється шляхом запровадження нелінійних сепарабельних виробничих функцій. Технологічна множина багатопродуктового елемента з такими виробничими функціями має вигляд
У розглянутих технологічних моделях виробничих елементів опис технологічної множини дається шляхом завдання безлічі допустимих витрат і безлічі допустимих випусків для кожного рівня витрат. Такі описи зручні у завданнях типу оптимального розподілу ресурсів , у яких за заданих рівнях споживання ресурсів доводиться визначити допустимі і найефективніші (у сенсі тієї чи іншої критерію) рівні випуску. Разом з тим на практиці (особливо в запланованій економіці) зустрічається також свого роду обернена задача, коли рівень випуску продукції елементами заданий планом і необхідно визначити допустимі та мінімальні рівні витрат елементів. Завдання такі можуть бути умовно названі завданнями оптимального виконання планової програми випуску. У таких завданнях зручно застосувати зворотну послідовність опису технологічної множини виробничого елемента спочатку задавати безліч U допустимих випусків і g = U, а потім для кожного допустимого рівня випусків - безліч V (і) допустимих витрат v Е = V (і).
Загальна технологічна множина Y виробничого елемента при цьому має вигляд
На рис. 3.4 цьому обмеженню задовольняють усі точки технологічної множини, розташовані вище відрізка ЄС або лежачі на ньому.
Переважно оригінальним є і матеріал 4.21. Оцінка ефективності ринкових механізмів, які забезпечують існування єдиного рівноважного управління, проводилася на роботах. Матеріал 4.21 є розширенням цих робіт. Розгляд схеми аукціону у ринковій системі проводиться згідно з . Відомою моделлю, розглянутою як приклад у цьому параграфі, є модель ринкової економіки. Детальний її розгляд можна знайти, наприклад, у роботах. У 4.21 ми припускали, що ринкова рівновага існує. Як показує розгляд схеми аукціону в ринковій системі, це положення може не завжди мати місце. Розгляд питань, пов'язаних із існуванням рівноваги в ринкових моделях, - одне з центральних питань математичної економіки. Стосовно моделей конкурентної економіки існування рівноваги встановлено рядом авторів при різних припущеннях. Зазвичай доказ передбачає опуклість функцій корисності (або переваг) споживачів та технологічних множин виробників. Наводиться узагальнення моделі Ерроу - Дебре на випадок континууму гравців. При цьому вдалося відмовитися від припущень про опуклість функцій уподобань споживачів.
Кожен виробник (фірма) j характеризується технологічним безліччю Y. - сукупністю технологічно допустимих л-мірних векторів витрат - випуску їх позитивним компонентам відповідають кількості, що випускаються, а негативним - витрачаються. Передбачається, що виробник вибирає вектор витрат - випуску те щоб отримати максимальну прибуток. При цьому він, як і споживач, не намагається впливати на ціни, беручи їх заданими. Таким чином, його вибір є вирішенням наступного завдання
З (16) також випливає слабка аксіома виявленої переваги. Нерівність (16) свідомо виконується, якщо попит кожного із споживачів суворо монотонний при цьому на технологічні множини не накладається особливих вимог. Інтерпретація умови монотонності та ряд пов'язаних з ним результатів наведені у . Для гладких функцій надмірного попиту єдиність рівноваги забезпечується також умовою домінуючої діагоналі. Ця умова означає, що модуль похідної попиту на кожен продукт за ціною цього продукту більше суми модулів всіх похідних попиту на той же
Модель виробника При виборі обсягів виробництва yj = у кожна фірма j e J обмежена своїм технологічним безліччю YJ з 1R1. Ці безлічі допустимих технологій можна задавати, зокрема, у вигляді (неявних) виробничих функцій fj(yj) YJ = УЗ е Rl /,(%) > 0 . Інше зручне уявлення (коли виробляється лише один товар h) - як явної виробничої функції у 0.
Технологічна множина та її властивості
ТЕХНОЛОГІЧНЕ МНОЖИНСТВО - див. Виробниче безліч, Технологічний спосіб.
Опис одного конкретного виду технологічної множини розглянемо для виробничого елемента, що споживає кілька видів витрат і випускає продукцію лише одного виду (однопродуктовий виробничий елемент). Вектор стану такого елемента має вигляд yt-(vtl, viz,. . . , v. x, ut). Відомий спосіб опису технологічної множини однопродуктового елемента ґрунтується на понятті виробничої функції і полягає в наступному.
Зазвичай передбачається, що технологічна множина елемента є опуклим, замкнутим і містить нульовий елемент підмножиною евклідового простору Ет розмірності т О Е Y d Em.
Розглянуті в попередньому параграфі методи представлення технологічних множин виробничих елементів характеризують їх властивості, але не задають опис у явному вигляді. Для однородуктових виробничих елементів явний опис технологічної множини можна задати, використовуючи поняття виробничої функції. У 1.2 ми вже стосувалися цього поняття та його використання, у цьому параграфі розгляд цих питань буде продовжено.
Використання однопродуктових виробничих функцій для опису технологічної множини багатопродуктового елемента. Якщо багатопродуктовий елемент виробляє тових видів продукції, споживаючи при цьому / гевх видів витрат, то його вектори витрат і випуску мають вигляд v = (i> i, vz, ..., Ут х) і = (м1г w2,.. . , итвих) відповідно.
Йому відповідає частина технологічної множини, обмежена кривостороннім трикутником AB (позначена штрихуванням на рис. 3.4).
Модель децентралізованої економіки Ерроу – Деб-ре – Мак-Кснзі. Загальна модель децентралізованої економіки описує виробництво, споживання та децентралізований
2. Виробничі множини та виробничі функції
2.1. Виробничі множини та їх властивості
Розглянемо найважливішого учасника економічних процесів – окремого виробника. Виробник реалізує свої цілі лише через споживача і тому має вгадати, зрозуміти, що той хоче, та задовольнити його потреби. Вважатимемо, що є n різних товарів, кількість n-го товару позначається х n , тоді деякий набір товарів позначається Х = (x 1 , …, x n). Розглядатимемо лише невід'ємні кількості товарів, так що х i 0 для будь-якого i = 1, ..., n або Х > 0. Безліч всіх наборів товарів називається простором товарів С. Набір товарів можна трактувати як кошик, в якому лежать ці товари у відповідній кількості.
Нехай економіка працює у просторі товарів С = (X = (x 1 , x 2 , …, x n): x 1 , …, x n 0). Простір товарів складається з невід'ємних n-мірних векторів. Розглянемо тепер вектор T розмірності n, перші m компонентів якого є непозитивними: x 1 , …, x m 0, а останні (n-m) компонентів невід'ємні: x m +1 , …, x n 0. Вектор X = (x 1 ,…, x m ) назвемо вектором витрата вектор Y = (x m+1 , …, x n) – вектором випуску. Сам вектор T = (X,Y) назвемо вектором витрат-випуску, або технологією.
За своїм змістом технологія (X,Y) є спосіб переробки ресурсів у готову продукцію: «змішавши» ресурси в кількості X, отримаємо продукцію у розмірі Y. Кожен конкретний виробник характеризується деяким безліччю технологій, яке називається виробничою безліччю. Типова заштрихована множина представлена на рис. 2.1. Цей виробник витрачає один товар для випуску іншого.
Мал. 2.1. Виробниче безліч
Виробнича множина відображає широту можливостей виробника: чим воно більше, тим ширше його можливості.Виробнича множина повинна задовольняти наступним умовам:
воно замкнуте - це означає, що якщо вектор Т витрат-випуску як завгодно точно наближається векторами з τ, то і Т належить τ (якщо всі точки вектора Т лежать в τ, то Тτ див. рис. 2.1 точки С і В) ;
в ? знаходиться у четвертому квадранті, де у 0);
безліч опукло, це припущення веде до зменшення віддачі від перероблюваних ресурсів зі зростанням обсягів виробництва (до збільшення норм витрати на готову продукцію). Так, із рис. 2.1 ясно, що y/x зменшується при х -. Зокрема, припущення про опуклість веде до зменшення продуктивності праці зі зростанням обсягу виробництва.
Часто опуклості просто буває недостатньо, і тоді вимагають суворої опуклості виробничої множини (або деякої її частини).
2.2. "Крива" виробничих можливостей
та поставлені витрати
Поняття виробничої множини, що розглядається, відрізняється високим ступенем абстрактності і в силу надзвичайної спільності малопридатне для економічної теорії.
Розглянемо, наприклад, рис. 2.1. Почнемо з точок В та С. Витрати за цими технологіями однакові, а випуск різний. Виробник, якщо він не позбавлений здорового глузду, ніколи не вибере технологію В, якщо є найкраща технологія С. У даному випадку (див. рис. 2.1), знайдемо для кожного x 0 найвищу точку (x, y) у виробничій множині . Очевидно, при витратах x технологія (x, y) найкраща. Жодна технологія (x, b) c b виробничою функцією. Точне визначення виробничої функції:
Y = f(x)(x, y) τ, і якщо (x, b) τ і b y, то b = x .
З рис. 2.1 видно, що для будь-якого x 0 така точка y = f(x) єдина, що, власне, і дозволяє говорити про виробничу функцію. Але так просто справа, якщо випускається лише один товар. У випадку для вектора витрат Х позначимо безліч М х = (Y:(X,Y)τ). Безліч М х – це безліч усіх можливих випусків при витратахХ. У цьому множині розглянемо “криву” виробничих можливостей K x = (YМ х: якщо ZМ х і Z Y, то Z = X), тобто K x – це безліч кращих випусків, краще за які немає. Якщо випускаються два товари, то це крива, якщо ж випускається більше двох товарів, це поверхня, тіло або безліч ще більшої розмірності.
Отже, для будь-якого вектора витрат Х всі найкращі випуски лежать на кривій (поверхні) виробничих можливостей. Тому з економічних міркувань звідти має вибрати виробник технологію. Для випадку випуску двох товарів y1, y2 картина показана на рис. 2.2.
Якщо оперувати лише натуральними показниками (тоннами, метрами тощо. буд.), то цього вектора витрат Х ми лише повинні вибрати вектор випуску Y на кривої виробничих можливостей, але який саме випуск треба вибрати, вирішити ще не можна. Якщо саме виробниче безліч τ опукло, то й М х опукло для будь-якого вектора витрат Х. Надалі нам знадобиться строга опуклість множини М х. У разі випуску двох товарів це означає, що до кривої виробничих можливостей K x має з цією кривою лише одну загальну точку.
Мал. 2.2. Крива виробничих можливостей
Розглянемо тепер питання про так звані поставлених витратах. Припустимо, що випуск фіксований у точці A(y 1 , y 2) див. рис. 2.2. Тепер виникла потреба збільшити випуск 2-го товару на y 2 , використовуючи, звичайно, колишній набір витрат. Зробити це можна, як видно із рис. 2.2, перенісши технологію в точку В, для чого зі збільшенням випуску другого товару на y2 доведеться зменшити випуск першого товару на y1.
Поставленимивитратамипершого товару по відношенню до другого у точціА називається
. Якщо крива виробничих можливостей задана неявним рівнянням F(y 1 ,y 2) = 0, то δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), де приватні похідні взяті у точці А. Якщо уважно вдивитися у аналізований малюнок, можна виявити цікаву закономірність: під час руху зліва вниз по кривою виробничих можливостей поставлені витрати зменшуються від великих величин до дуже малих.
2.3. Виробничі функції та їх властивості
Виробничою функцією називається аналітичне співвідношення, що пов'язує змінні величини витрат (чинників, ресурсів) із величиною випуску продукції. Історично одними з перших робіт з побудови та використання виробничих функцій були роботи з аналізу сільськогосподарського виробництва у США. У 1909 р. Мітчерліх запропонував нелінійну виробничу функцію: добрива – врожайність. Незалежно від нього, Спіллман запропонував показове рівняння врожайності. На їх основі було побудовано низку інших агротехнічних виробничих функцій.
Виробничі функції призначені для моделювання процесу виробництва деякої господарської одиниці: окремої фірми, галузі чи всієї економіки держави загалом. За допомогою виробничих функцій вирішуються завдання:
оцінки віддачі ресурсів у виробничому процесі;
прогнозування економічного зростання;
розроблення варіантів плану розвитку;
оптимізації функціонування господарської одиниці за умови заданого критерію та обмежень за ресурсами.
Загальний вид виробничої функції: Y = Y (X 1, X 2, …, X i, …, X n), де Y - показник, що характеризує результати виробництва; X - факторний показник i-го виробничого ресурсу; n – кількість факторних показників.
Виробничі функції визначаються двома групами припущень: математичних та економічних. Математично передбачається, що виробнича функція має бути безперервною та двічі диференційованою. Економічні припущення полягають у наступному: за відсутності хоча б одного виробничого ресурсу виробництво неможливе, тобто Y(0, X 2 , …, X i , …, X n) =
Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …
Y(X 1 , X 2 , …, 0, …, X n) = …
Y(X 1 , X 2 , …, X i , …, 0) = 0.
Однак, лише за допомогою натуральних показників визначити для даних витрат Х єдиний випуск Y задовільно не вдається: наш вибір звузився лише до «кривої» виробничих можливостей Kx. З цих причин розроблено лише теорія виробничих функцій виробників, випуск яких можна охарактеризувати однією величиною – чи обсягом випуску, якщо випускається один товар, чи сумарною вартістю всього випуску.
Простір витрат m-мірно. Кожній точці простору витрат Х = (х 1 ... х m) відповідає єдиний максимальний випуск (див. рис. 2.1), вироблений при використанні цих витрат. Цей зв'язок і називається виробничою функцією. Проте зазвичай виробничу функцію розуміють менш обмежливо і будь-яку функціональну зв'язок між витратами і випуском вважають виробничої функцією. Надалі вважатимемо, що виробнича функція має необхідні похідні. Передбачається, що виробнича функція f(X) задовольняє двом аксіом. Перша з них стверджує, що існує підмножина простору витрат, що називається економічною областю Е, де збільшення будь-якого виду витрат не призводить до зменшення випуску. Таким чином, якщо X 1 , X 2 – дві точки цієї області, то X 1 X 2 тягне за собою f(X 1) f(X 2). У диференціальній формі це виявляється у тому, що у цій галузі всі перші приватні похідні функції неотрицательны: f/x 1 ≥ 0 (у будь-якій зростаючої функції похідна більше нуля). Ці похідні називаються граничними продуктами, а вектор f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – вектор граничних продуктів (Показує у скільки разів зміниться випускати продукцію при зміні витрат).
Друга аксіома стверджує, що існує опукле підмножина S економічної області, для якої підмножини (XS:f(X) a) опуклі для всіх а 0. У цьому підмножині S матриця Гессе, складена з других похідних функції f(X) , негативно визначена, отже, 2 f/x 2 i
Зупинимося на економічному змісті цих аксіом. Перша аксіома стверджує, що виробнича функція не зовсім абстрактна функція, придумана теоретиком-математиком. Вона, нехай і не на всій своїй галузі визначення, а тільки на її частині, відображає економічно важливе, безперечне і водночас тривіальне твердження: врозумної економіки збільшення витрат неспроможна призвести до зменшення випуску.З другої аксіоми пояснимо лише економічний зміст вимоги, щоб похідна 2 f/x 2 i була меншою за нуль для кожного виду витрат. Ця властивість називається в економіці законом спадної віддачі або спадної доходності: у міру збільшення витрат, починаючи з деякого моменту (при вході в область S!),починає зменшуватися граничний продукт.Класичним прикладом цього закону є додавання дедалі більшої та більшої кількості праці у виробництво зерна на фіксованій ділянці землі. Надалі мається на увазі, що виробнича функція у сфері S, у якій обидві аксіоми справедливі.
Скласти виробничу функцію даного підприємства можна навіть нічого не знаючи про нього. Треба тільки поставити біля воріт підприємства лічильник (людини або якийсь автоматичний пристрій), який фіксуватиме Х – ресурси, що ввозяться, та Y – кількість продукції, яку підприємство виробило. Якщо накопичити досить багато такої статичної інформації, врахувати роботу підприємства у різних режимах, потім можна прогнозувати випускати продукцію, знаючи лише обсяг ввезених ресурсів, але це є знання виробничої функції.
2.4. Виробнича функція Кобба-Дугласа
Розглянемо одну з найпоширеніших виробничих функцій – функцію Кобба-Дугласа: Y = AK L , де A, , > 0 – константи, +
Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.
Негативність інших приватних похідних, тобто зменшення граничних продуктів: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.
Перейдемо до основних економіко-математичних характеристик виробничої функції Кобба-Дугласа. Середня продуктивність працівизначається як y = Y/L - відношення обсягу виробленого продукту до кількості витраченої праці; середня фондовіддача k = Y/K - відношення обсягу виробленого продукту до величини фондів.
Для функції Кобба-Дугласа середня продуктивність праці y = AK L , і через умови зі збільшенням витрат праці середня продуктивність праці падає. Цей висновок допускає природне пояснення – оскільки величина другого чинника залишається незмінною, то, отже, знову залучена робоча сила не забезпечується додатковими засобами виробництва, як і призводить до зниження продуктивність праці (це справедливо й у загальному випадку – лише на рівні виробничих множин).
Гранична продуктивність праці Y/L = AβK α L β -1 > 0, звідки видно, що для функції Кобба-Дугласа гранична продуктивність праці пропорційна середній продуктивності і менша за неї. Аналогічно визначаються середня та гранична фондовіддачі. Для них також справедливо зазначене співвідношення - гранична фондовіддача пропорційна середній фондовіддачі і менше її.
Важливе значення має така характеристика, як фондозброєність f = K/L, що показує обсяг фондів, що припадає на одного працівника (на одну одиницю праці).
Знайдемо тепер еластичність продукції з праці:
(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.
Таким чином, зрозумілий сенс параметра – це еластичність (ставлення граничної продуктивності праці до середньої продуктивності праці) продукції з праці. Еластичність продукції з праці означає, що збільшення випуску продукції на 1 % необхідно збільшити обсяг трудових ресурсів на %. Аналогічний сенс має параметр – це еластичність продукції за фондами.
І ще одне значення видається цікавим. Нехай + = 1. Легко перевірити, що Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (підставляючи вже обчислені раніше Y/K, Y/L у цю формулу ). Вважатимемо, що суспільство складається тільки з робітників та підприємців. Тоді дохід Y розпадається на дві частини – дохід робітників та дохід підприємців. Оскільки при оптимальному розмірі фірми величина Y/L – граничний продукт з праці – збігається із зарплатою (це можна довести), то (Y/L)L є дохід робочих. Аналогічно величина Y/K є гранична фондовіддача, економічний сенс якої є норма прибутку, отже, (Y/K)K є дохід підприємців.
Функція Кобба-Дугласа – найвідоміша серед усіх виробничих функцій. На практиці при її побудові іноді відмовляються від деяких вимог (наприклад, сума + може бути більшою за 1 тощо).
приклад 1.Нехай виробнича функція є функцією Кобба Дугласа. Щоб збільшити випускати продукцію на а = 3 %, треба збільшити основні фонди на b = 6 % чи чисельність працівників на c = 9 %. В даний час один працівник за місяць виробляє продукції на М = 104 руб . , а всього працівників L = 1000. Основні фонди оцінюються в K = 108 руб. Знайти виробничу функцію.
Рішення. Знайдемо коефіцієнти , : = а/b = 3/6 = 1/2, = а/с = = 3/9 = 1/3, отже, Y = AK 1/2 L 1/3 . Для знаходження А підставимо у цю формулу значення K, L, M, маючи на увазі, що Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 - - 10 7 = А (10 8) 1/2 1000 1/3 . Звідси А = 100. Отже, виробнича функція має вигляд: Y = 100K 1/2 L 1/3 .
2.5. Теорія фірми
У попередньому розділі ми, аналізуючи, моделюючи поведінку виробника, використовували тільки натуральні показники і обійшлися без цін, проте не змогли остаточно вирішити завдання виробника, тобто вказати єдиний спосіб дій для нього в умовах, що склалися. Тепер введемо на розгляд ціни. Нехай Р – вектор цін. Якщо Т = (X,Y) – технологія, тобто вектор «витрати-випуск», X – витрати, Y – випуск, то скалярний добуток PT = PX + PY є прибуток від використання технології Т (витрати – негативні кількості) . Тепер сформулюємо математичну формалізацію аксіоми, яка описує поведінку виробника.
Завдання виробника: виробник вибирає технологію зі своєї виробничої множини, прагнучи максимізувати прибуток . Отже, виробник вирішує таку задачу: РТ→max, Tτ. Ця аксіома різко полегшує ситуацію вибору. Так, якщо ціни позитивні, що природно, то компонент «випуск» вирішення цього завдання автоматично лежатиме на кривій виробничих можливостей. Справді, нехай T = (X,Y) – якесь рішення завдання виробника. Тоді існує ZK x , Z Y, отже, P(X, Z) P(X, Y), отже, точка (X, Z) також є вирішення завдання виробника.
Для двох видів продуктів завдання можна вирішити графічно (рис. 2.3). Для цього треба «рухати» пряму лінію, перпендикулярну до вектора Р, у напрямку, куди він показує; тоді остання точка, коли ця пряма лінія ще перетинає виробниче безліч, і буде рішенням (рис. 2.3. це точка Т). Як легко бачити, строга опуклість потрібної частини виробничої множини у другому квадранті гарантує єдиність рішення. Такі самі міркування діють у загальному випадку, для більшої кількості видів витрат і випуску. Однак ми не підемо цим шляхом, а використовуємо апарат виробничих функцій і виробника назвемо фірмою. Отже, випуск фірми можна охарактеризувати однією величиною - або обсягом випуску, якщо випускається один товар, або сумарною вартістю всього випуску. Простір витрат m-мірно, вектор витрат Х = (х 1, ..., х m). Витрати однозначно визначають випуск Y, а це і є виробнича функція Y = f(X).
Мал. 2.3. Вирішення завдання виробника
У цій ситуації позначимо через Р вектор цін на товари-витрати і нехай v - ціна одиниці товару, що випускається. Отже, прибуток W, що є в результаті функцією Х (і цін, але вони вважаються постійними), є W(X) = vf(X) – PX→max, X 0. Прирівнюючи приватні похідні функції W до нуля, отримаємо:
v(f/x j) = p j для j = 1, …, m або v(f/X) = P (2.1)
Припускатимемо, що всі витрати строго позитивні (нульові можна просто виключити з розгляду). Тоді точка, що дається співвідношенням (2.1), виявляється внутрішньою, тобто точкою екстремуму. І оскільки ще передбачається негативна визначеність матриці Ґессе виробничої функції f(Х) (виходячи з вимог до виробничих функцій), це точка максимуму.
Отже, при природних припущеннях на виробничі функції (ці припущення виконуються для виробника зі здоровим глуздом і в розумній економіці) співвідношення (2.1) дає рішення задачі фірми, тобто визначає обсяг Х * ресурсів, що переробляються, в результаті чого виходить випуск Y * = f(Х*) Точку Х*, або (Х*,f(Х*)) назвемо оптимальним рішенням фірми. Зупинимося економічному сенсі співвідношення (2.1). Як говорилося, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) називається граничним вектором-продуктом, або вектором граничних продуктів, а f/x i називається i-м граничним продуктом, або відгуком випуску на зміну i -го товару витрат. Отже, vf/x i dx i – це вартість i -го граничного продукту, додатково отриманого з dx i одиниць i -го ресурсу. Однак вартість dx i одиниць i-го ресурсу дорівнює р i dx i , тобто вийшла рівновага: можна залучити до виробництва додатково dx i одиниць i-го ресурсу, витративши на його закупівлю р i dx i , але виграшу не буде, т. к. отримаємо після переробки продукції рівно на таку ж суму, скільки витратили. Відповідно, оптимальна точка, що дається співвідношенням (2.1), є точкою рівноваги – вже неможливо вичавити з товарів-ресурсів більше, ніж витрачено з їхньої купівлю.
Очевидно, нарощування випуску фірми відбувалося поступово: спочатку вартість граничних продуктів була меншою від покупної ціни потрібних для їх виробництва товарів-ресурсів. Нарощування обсягів виробництва йде доти, доки не почне виконуватися співвідношення (2.1): рівність вартості граничних товарів хороших і покупної ціни, необхідних їх виробництва товарів-ресурсів.
Припустимо, що завдання фірми W(X) = vf(X) – PX → max, X 0, рішення Х * єдине для v > 0 і Р > 0. Таким чином, виходить вектор-функція X * = X * ( v, P), або функції x * I = x * i (v, p 1, p m) для i = 1, …, m. Ці m функції називаються функціями попиту ресурсиза даних цін на продукцію та ресурси. Змістовно ці функції означають, що, якщо склалися ціни Р на ресурси і ціна v на товар, що виробляється, даний виробник (характеризується даною виробничою функцією) визначає обсяг перероблюваних ресурсів за функціями x * I = x * i (v, p 1 , p m) і запитує ці обсяги над ринком. Знаючи обсяги перероблюваних ресурсів та підставляючи їх у виробничу функцію, отримаємо випуск як функцію цін; позначимо цю функцію через q * = q * (v, P) = f (X (v, P)) = Y *. Вона називається функцією пропозиції продукціїв залежності від ціни v на продукцію та цін Р на ресурси.
За визначенням, ресурс i-го видуназивається малоцінним, якщо і тільки якщо,x * i /v тобто при підвищенні ціни на продукцію попит на малоцінний ресурс зменшується. Вдається довести важливе співвідношення: q * /P = -X * /v або q * /p i = -x * i /v, для i = 1, …, m. Отже, зростання ціни продукції призводить до підвищення (зниження) попиту певний вид ресурсів, і якщо збільшення плати цей ресурс призводить до скорочення (зростання) раціонального випуску. Звідси видно основну властивість малоцінних ресурсів: Збільшення плати за них веде до збільшення випуску продукції! Однак можна суворо довести наявність таких ресурсів, зростання плати за які призводить до зменшення випуску продукції (тобто всі ресурси не можуть бути малоцінними).
Вдається довести також, що x * i /p i взаємодоповнюваними, якщо x * i /p j взаємозамінними, якщо x * i /p j > 0. Тобто, для взаємодоповнюваних ресурсів підвищення ціни на один із них призводить до падіння попиту в інший, а взаємозамінних ресурсів підвищення ціни однією їх призводить до збільшення попиту інший. Приклади взаємодоповнюваних ресурсів: комп'ютер та його складові, меблі та дерево, шампунь та кондиціонер до нього. Приклади взаємозамінних ресурсів: цукор та замінники цукру (наприклад, сорбіт), кавуни та дині, майонез та сметана, олія та маргарин тощо.
приклад 2.Для фірми з виробничою функцією Y = 100K 1/2 L 1/3 (з прикладу 1) визначити оптимальний розмір, якщо період амортизації основних фондів N=12 місяців, зарплата працівника місяць а = 1000 крб.
Рішення. Оптимальний обсяг випуску чи обсягу виробництва виходить із співвідношення (2.1). В даному випадку випуск продукції вимірюється в грошах, так що v = 1. Вартість місячного утримання одного рубля фондів 1/N, тобто отримуємо систему рівнянь
, Вирішуючи яку знаходимо відповідь: 
, L = 8. 10 3 K = 144 . 10 6 .
2.6. Завдання
1. Нехай виробнича функція є функцією Кобба-Дугласа. Щоб збільшити випускати продукцію на 1 %, треба збільшити основні фонди на b = 4 % чи чисельність працівників на c = 3 %. В даний час один працівник за місяць виробляє продукції на М = 105 руб . а всього працівників L = 10 4 . Основні фонди оцінюються в K = 106 руб. Знайдіть виробничу функцію, середню фондовіддачу, середню продуктивність праці, фондовооруженность.
2. Група "човників" у кількості Е вирішила об'єднатися з N продавцями. Прибуток від часу роботи (виручка мінус витрати, але з зарплата) виражається формулою Y = 600(EN) 1/3 . Зарплата "човника" 120 руб. на день, продавця - 80 руб. в день. Знайдіть оптимальний склад групи з «човників» та продавців, тобто скільки має бути «човників» і скільки продавців.
3. Бізнесмен вирішив започаткувати невелике автотранспортне підприємство. Ознайомившись зі статистикою, він побачив, що приблизна залежність щоденної виручки від числа автомобілів А та числа N виражається формулою Y = 900А 1/2 N 1/4 . Амортизаційні та інші щоденні витрати на одну машину дорівнюють 400 руб., Щоденна зарплата робітника 100 руб. Знайдіть оптимальну чисельність робітників та автомашин.
4. Бізнесмен задумав відкрити пивний бар. Припустимо, що залежність виручки Y (за вирахуванням вартості пива та закусок) від числа столиків М та числа офіціантів F виражається формулою Y = 200М 2/3 F 1/4 . Витрати однією столик становлять 50 крб., зарплата офіціанта – 100 крб. Знайдіть оптимальний розмір бару, тобто число офіціантів та столиків.