Класифікація систем масового обслуговування. СМО з відмовами та повною взаємодопомогою для довільних потоків. Граф, система рівнянь, розрахункові співвідношення А також інші роботи, які можуть Вас зацікавити

Розглянемо багатоканальну систему масового обслуговування (всього каналів n), до якої надходять заявки з інтенсивністю і обслуговуються з інтенсивністю μ. Заявка, що прибула в систему, обслуговується, якщо хоча б один канал є вільним. Якщо всі канали зайняті, то чергова заявка, яка надійшла до системи, отримує відмову та залишає СМО. Пронумеруємо стан системи за кількістю зайнятих каналів:

• S 0 - всі канали вільні;
• S 1 – зайнятий один канал;
• S 2 – зайнято два канали;
• Sk– зайнято kканалів;
• Sn- Усі канали зайняті.

Очевидно, що система переходить із стану в стан під дією вхідного потоку заявок. Побудуємо граф стану цієї системи масового обслуговування.

Мал. 7.24
На малюнку 6.24 зображено граф станів, у якому Si- Номер каналу; λ – інтенсивність надходження заявок; μ – відповідно інтенсивність обслуговування заявок. Заявки надходять у систему масового обслуговування з постійною інтенсивністю та поступово займають один за одним канали; коли всі канали будуть зайняті, то чергова заявка, яка прибула до СМО, отримає відмову та залишить систему.
Визначимо інтенсивності потоків подій, які переводять систему зі стану в стан під час руху як зліва направо, так і праворуч наліво за графом станів.
Наприклад, нехай система перебуває в стані S 1, тобто один канал зайнятий, оскільки на його вході стоїть заявка. Як тільки обслуговування заявки закінчиться, система перейде у стан S 0 .
Наприклад, якщо зайняті два канали, то потік обслуговування, що переводить систему зі стану S 2 у стан S 1 буде вдвічі інтенсивнішим: 2-μ; відповідно, якщо зайнято kканалів, інтенсивність дорівнює k-?

Процес обслуговування є процесом загибелі та розмноження. Рівняння Колмогорова для цього окремого випадку матимуть такий вигляд:

(7.25)
Рівняння (7.25) називаються рівняннями Ерланга .
Для того щоб знайти значення ймовірностей станів Р 0 , Р 1 , …, Рnнеобхідно визначити початкові умови:
– Р 0(0) = 1, тобто на вході системи стоїть заявка;
– Р 1 (0) = Р 2 (0) = … = Рn(0) = 0, т. е. у початковий час система вільна.
Проінтегрувавши систему диференціальних рівнянь (7.25), отримаємо значення ймовірностей станів Р 0 (t), Р 1 (t), … Рn(t).
Але набагато більше за нас цікавлять граничні ймовірності станів. При t → ∞ і за формулою, отриманою при розгляді процесу загибелі та розмноження, отримаємо розв'язання системи рівнянь (7.25):

(7.26)
У цих формулах відношення інтенсивності λ / μ до потоку заявок зручно позначити ρ .Цю величину називають наведеною інтенсивністю потоку заявок,тобто середня кількість заявок, які надходять до СМО за середній час обслуговування однієї заявки.

З урахуванням зроблених позначень система рівнянь (7.26) набуде наступного вигляду:

(7.27)
Ці формули для обчислення граничних ймовірностей називаються формулами Ерланга .
Знаючи всі ймовірності станів СМО, знайдемо характеристики ефективності СМО, тобто абсолютну пропускну здатність А, відносну пропускну здатність Qта ймовірність відмови Рвідк.
Заявка, яка надійшла до системи, отримає відмову, якщо вона застане всі канали зайнятими:

.
Імовірність того, що заявку буде прийнято до обслуговування:

Q = 1 – Рвідк,
де Q– середня частка заявок, що обслуговуються системою, або середня кількість заявок обслужених СМО в одиницю часу, віднесена до середньої кількості заявок, що надійшли за цей час:

A=λ·Q=λ·(1-P відк)
Крім того, однією з найважливіших характеристик СМО з відмовами є середня кількість зайнятих каналів. У n-канальної СМО з відмовами це число збігається із середнім числом заявок, що перебувають у СМО.
Середня кількість заявок k можна обчислити безпосередньо через ймовірність станів Р 0 , Р 1 , … , Р n:

,
тобто знаходимо математичне очікування дискретної випадкової величини, яка набуває значення від 0 до nз ймовірностями Р 0 , Р 1 , …, Рn.
Ще простіше виразити величину через абсолютну пропускну здатність СМО, тобто. А. Величина А – середня кількість заявок, які обслуговуються системою за одиницю часу. Один зайнятий канал обслуговує за одиницю часу μ заявок, тоді середня кількість зайнятих каналів

Постановка задачі.На вхід n-канальної СМО надходить найпростіший потік заявок із щільністю? Щільність найпростішого потоку обслуговування кожного каналу дорівнює μ. Якщо заявка, що надійшла на обслуговування, застає всі канали вільними, то вона приймається на обслуговування та обслуговується одночасно l каналами ( l < n). При цьому потік обслуговування однієї заявки матиме інтенсивність l.

Якщо заявка, що надійшла на обслуговування, застає в системі одну заявку, то при n ≥ 2lзаявка, що знову прибула, буде прийнята до обслуговування і обслуговуватиметься одночасно lканалами.

Якщо заявка, що надійшла на обслуговування, застає в системі iзаявок ( i= 0,1, ...), при цьому ( i+ 1)l≤ n, то заявка, що надійшла, буде обслуговуватися lканалами із загальною продуктивністю l. Якщо заявка, що знову надійшла, застає в системі jзаявок і при цьому виконуються спільно дві нерівності: ( j + 1)l > nі j < n, то заявку буде прийнято на обслуговування. У цьому випадку частина заявок може обслуговуватись lканалами, інша частина менша, ніж l, числом каналів, але в обслуговуванні будуть зайняті всі nканалів, які розподілені між заявками довільним чином. Якщо заявка, що знову надійшла, застане в системі nзаявок, то вона отримує відмову та не обслуговуватимуться. Заявка, що потрапила на обслуговування, обслуговується до кінця (заявки «терплячі»).

Граф станів такої системи показано на рис. 3.8.

Мал. 3.8. Граф станів СМО з відмовами та частковою

взаємодопомогою між каналами

Зауважимо, що граф станів системи до стану x hз точністю до позначень параметрів потоків збігається із графом станів класичної системи масового обслуговування з відмовами, зображеними на рис. 3.6.

Отже,

(i = 0, 1, ..., h).

Граф станів системи, починаючи від стану x hі закінчуючи станом x n, збігається з точністю до позначень із графом станів СМО з повною взаємодопомогою, зображеним на рис. 3.7. Таким чином,

.

Введемо позначення λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, тоді

З урахуванням нормованої умови отримуємо

Для скорочення подальшого запису введемо позначення

Знайдемо параметри системи.

Можливість обслуговування заявки

Середня кількість заявок, що знаходяться в системі,

Середня кількість зайнятих каналів

.

Імовірність того, що окремий канал буде зайнятий

.

Імовірність зайнятості всіх каналів системи

3.4.4. Системи масового обслуговування з відмовами та неоднорідними потоками

Постановка задачі.На вхід n-канальної СМО надходить неоднорідний найпростіший потік із сумарною інтенсивністю λ Σ , причому

λ Σ = ,

де λ i- Інтенсивність заявок в i-му джерелі.

Так як потік заявок розглядається як суперпозиція вимог від різних джерел, то об'єднаний потік з достатньою для практики точністю можна вважати пуассонівським для N = 5...20 та λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Інтенсивність обслуговування одного приладу розподілена за експоненційним законом і дорівнює μ = 1/ t. Прилади для обслуговування заявки, що обслуговують, з'єднуються послідовно, що рівносильно збільшенню часу обслуговування в стільки разів, скільки приладів об'єднується для обслуговування:

tобс = kt, μ обс = 1 / kt = μ/ k,

де tобс - час обслуговування заявки; k- Число обслуговуючих приладів; μ обс – інтенсивність обслуговування заявки.

У рамках прийнятих у розділі 2 припущень стан СМО представимо у вигляді вектора, де k m– кількість заявок у системі, кожна з яких обслуговується mприладами; L = q max – q min +1 – кількість вхідних потоків.

Тоді кількість зайнятих та вільних приладів ( nзан ( ),nсв ( )) в стані визначається так:

Зі стану система може перейти в будь-який інший стан . Оскільки в системі діє Lвхідних потоків, то з кожного стану потенційно можливо LПрямих переходів. Однак через обмеженість ресурсів системи не всі ці переходи можна здійснити. Нехай СМО перебуває в стані і надходить заявка, що вимагає mприладів. Якщо m≤ nсв ( ), то заявка приймається на обслуговування і система переходить у стан з інтенсивністю λ m. Якщо заявка вимагає приладів більше, ніж є вільних, то вона отримає відмову в обслуговуванні, а СМО залишиться в стані . Якщо може знаходяться заявки, які вимагають mприладів, кожна з них обслуговується з інтенсивністю  m, а загальна інтенсивність обслуговування таких заявок (μ m) визначається як μ m = k m μ / m. При завершенні обслуговування однієї із заявок система перейде у стан, у якому відповідна координата має значення, на одиницю меншу, ніж у стані ,=, тобто. відбудеться зворотний перехід. На рис. 3.9 представлений приклад векторної моделі СМО для n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, інтенсивність обслуговування приладу – μ.

Мал. 3.9. Приклад графа векторної моделі СМО із відмовами в обслуговуванні

Отже, кожен стан характеризується числом заявок, що обслуговуються, певного типу. Наприклад, у стані
обслуговується одна заявка одним приладом та одна заявка двома приладами. У цьому стані всі прилади зайняті, отже, можливі лише зворотні переходи (прихід будь-якої заявки у цьому стані призводить до відмови в обслуговуванні). Якщо раніше закінчилося обслуговування заявки першого типу, система перейде в стан (0,1,0) з інтенсивністю μ, якщо раніше закінчилося обслуговування заявки другого типу, то система перейде в стан (0,1,0) з інтенсивністю μ/2.

За графом станів із нанесеними інтенсивностями переходів складається система лінійних рівнянь алгебри. Із вирішення цих рівнянь є ймовірності Р(), якими визначається характеристика СМО.

Розглянемо знаходження Рвідк (імовірність відмови в обслуговуванні).

,

де S- Число станів графа векторної моделі СМО; Р() - ймовірність знаходження системи в стані .

Число станів відповідно визначається таким чином:

, (3.22)

;

Визначимо число станів векторної моделі СМО (3.22) для прикладу, представленого на рис. 3.9.

.

Отже, S = 1 + 5 + 1 = 7.

Для реалізації реальних вимог до обслуговуючих приладів потрібна досить велика кількість n (40, ..., 50), а запити на кількість обслуговуючих приладів заявки практично лежать у межах 8–16. При такому співвідношенні приладів та запитів запропонований шлях знаходження ймовірностей стає надзвичайно громіздким, т.к. векторна модель СМО має велику кількість станів S(50) = 1790, S(60) = 4676, S(70) = = 11075, а розмір матриці коефіцієнтів системи рівнянь алгебри пропорційний квадрату Sщо вимагає великого обсягу пам'яті ЕОМ і значних витрат машинного часу. Прагнення знизити обсяг обчислень стимулювало пошук рекурентних можливостей розрахунку Р() на основі мультиплікативних форм подання ймовірностей станів. У роботі подано підхід до розрахунку Р():

(3.23)

Використання запропонованого у роботі критерію еквівалентності глобального та детального балансів ланцюгів Маркова дозволяє знижувати розмірність завдання та виконувати обчислення на ЕОМ середньої потужності, використовуючи рекурентність обчислень. Крім того, є можливість:

- Здійснити розрахунок для будь-яких значень n;

– прискорити розрахунок та знизити витрати машинного часу.

Аналогічним чином можуть бути визначені інші характеристики системи.

Інформатика, кібернетика та програмування

На систему обслуговування, що має n каналів обслуговування, надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю λ. Інтенсивність обслуговування заявки кожним каналом. Після закінчення обслуговування всі канали звільняються. Поведінка такої системи масового обслуговування можна описати Марківським випадковим процесом t що представляє собою кількість заявок, що знаходяться в системі.

2. СМО з відмовами та повною взаємодопомогою для масових потоків. Граф, система рівнянь, розрахункові співвідношення.

Постановка задачі.На систему обслуговування, що має n каналів обслуговування, надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю. Інтенсивність обслуговування заявки кожним каналом – µ. Заявка обслуговується всіма каналами одночасно. Після закінчення обслуговування всі канали звільняються. Якщо заявка, що знову прибула, застає заявку, вона теж приймається до обслуговування. Частина каналів продовжують обслуговувати першу заявку, а решта – нову. Якщо в системі вже обслуговується n заявок, то заявка, що знову прибула, отримує відмову. Поведінку такої системи масового обслуговування можна описати Марківським випадковим процесом ξ(t), що є кількістю заявок, що знаходяться в системі.

Можливі стани цього процесу E = (0, 1, . . . , n). Знайдемо характеристики аналізованої СМО у стаціонарному режимі.

Граф, відповідний аналізованого процесу, представлений малюнку 1.

Мал. 1. СМО з відмовами та повною взаємодопомогою для пуасонівських потоків

Складемо систему рівнянь алгебри:

Рішення даної системи має вигляд:

Тут χ =λ/nµ - середня кількість заявок, які у систему за середній час обслуговування однієї заявки всіма каналами.

Характеристики багатоканальної системи масового обслуговування з відмовами та повною взаємодопомогою між каналами.

1. Імовірність відмови в обслуговуванні (ймовірність того, що всі канали зайняті):

2. Імовірність обслуговування заявки (відносна пропускна спроможність системи):

А також інші роботи, які можуть Вас зацікавити
32353.		Методи правового регулювання (авторитарний та автономний) способи правового впливу. Сучасні тенденції розвитку способів та методів правового регулювання у російському праві	37 KB
	Методи правового регулювання Авторитарний та автономний способи правового впливу. Сучасні тенденції розвитку методів і методів правового регулювання у російському праві. Юридична наука розрізняє поняття правового впливу та правового регулювання. Проте слід відрізняти суворо певні засоби правового на суспільні відносини спеціально призначені їхнього безпосереднього регулювання.
32354.		Поняття правосвідомості. Структура правосвідомості	30 KB
	Правосвідомість це сукупність уявлень і почуттів, що виражають ставлення людей соціальних спільностей класів націй народу до чинного та бажаного права. Будучи суб'єктивною реакцією людини на правову реальність правосвідомість з одного боку представляє форму вигляд суспільної свідомості поряд з моральним політичним релігійним естетичним та ін Право і правосвідомість пов'язані нерозривно. Алексєєва правосвідомість неминучий супутник права.
32355.		Педагогічна діяльність, її структура та специфіка. Вимоги до особистості вчителя	16.92 KB
	Вимоги до особи вчителя. Зміст визначається соцфакторами місце та функція вчителя у суспільстві вимоги суспільства до вчителя та соцпсихологічними факторами очікуваннями оточуючих громадськими очікуваннями та установками. Комунікативне встановлення та підтримка відносин з учнями батьками адміністрацією вчителями. Вчитель повинен знати та враховувати особливості учня які заважають чи допомагають йому і відповідно реагувати на них повільність учня пов'язана з його темпераментом вимагає терпіння та такту.
32356.		Психологічні засади навчання. Вчення як процес і ка діяльність. Основні моделі навчання	17.22 KB
	Основні моделі навчання. Вчення як організований процес є стороною навчання та є продуктом навчальної діяльності. Компоненти навчання: Цільової мети та завдання Зміст навчальна програма Діяльнісна діяльність педагога та учнів Результативна оцінка самооцінка Функції навчання: Освітня засвоєння ЗУНів Виховна ціннісне ставлення до світу Розвиваюча установа взаємозв'язку між явищами та факторами Навчання цілеспрямована пізнавальна
32357.		Загальне поняття про темперамент. Властивості та типи темпераменту, їх прояв у діяльності та поведінці	16.91 KB
	Темперамент вроджені індивідуальні особливості людини, що зумовлюють динамічні характеристики інтенсивності та швидкості реагування ступеня емоційної збудливості та врівноваженості особливості пристосування до навколишнього середовища. Вони визначають динаміку різної діяльності людини ігрової навчальної трудової рекреаційної: Реактивність ступінь мимовільності реакцій людини на зовнішні або внутрішні дії однакової сили. Пластичність легкість гнучкість і швидкість пристосування людини до мінливих зовнішніх...
32358.		Самосвідомість особистості. Структура самосвідомості. Розвиток самосвідомості в онтогенезі	18.56 KB
	Таким чином самосвідомість включає: Самопізнання інтелектуальні аспекти пізнання себе Самовідношення емоційне ставлення до самого себе В цілому можна виділити три пласти свідомості людини: Ставлення до себе Очікування ставлення інших людей до себе атрибутна проекція Ставлення до інших людей: егоцентричний рівень відносин якщо мені допомагають то це хороші люди групоцентричний рівень якщо належить до моєї групи то він хороший просоціальний рівень роби з іншими так як хотів щоб робили стобою...
32359.		Загальні уявлення про характер. Структура характеру. Типологія характеру	13.96 KB
	Структура характеру. Типологія темпераменту. У структурі особистості характеру займає центральне місце поєднуючи всі інші властивості та особливості поведінки: Впливає на пізнавальні процеси. Структура характеру: Риси виражають спрямованість особистості стійкі потреби встановлення інтереси схильності ідеали цілі...
32360.		Групова та спільна діяльність. Фактори ефективності групової та спільної діяльності	15.38 KB
	Фактори ефективності групової та спільної діяльності. Сумісність здатність членів групи до спільної діяльності. Види сумісності: Психофізіологічна певна схожість характеристик людей і на цій основі узгодженість їх емоційних та поведінкових реакцій – синхронізація темпу спільної діяльності. Критерії оцінки: Результати діяльності.
32361.		Психологічна готовність дитини до школи. Методи діагностики психологічної готовності до навчання у школі	13.85 KB
	Психологічна готовність дитини до шкільного навчання необхідний і достатній рівень психічного розвитку для освоєння шкільної навчальної програми за умов навчання у колективі однолітків. Структура компоненти: Психоматорна готовність збалансованість процесів збудження та гальмування яка дозволяє дитині більш тривалий час зосереджувати свою увагу сприяє формуванню довільних форм поведінки та пізнавальних процесів; розвиток дрібних м'язів руки та візуально моторних координацій що створює...

Класифікаційні ознаки

Різновиди систем масового обслуговування

Потік вимог, що входить

Обмеженість вимог

Замкнуті

Відкриті

Закон розподілу

Системи з конкретним законом розподілу вхідного потоку: показовим, Ерланга k-го порядку, пальми, нормальним і т.п.

Черга

Дисципліна черги

З упорядкованою чергою

З невпорядкованою чергою

З пріоритетом обслуговування

Обмеження очікування на обслуговування

З відмовами

З необмеженим очікуванням

З обмеженнями (змішані)

По довжині черги

За часом очікування у черзі

За часом перебування у СМО

Комбіновані

Дисципліна обслуговування

Етапність обслуговування

Однофазні

Багатофазні

Кількість каналів обслуговування

Одноканальні

Багатоканальні

З рівноцінними каналами

З нерівноцінними каналами

Надійність каналів обслуговування

З абсолютно надійними каналами

З ненадійними каналами

Без відновлення

З відновленням

Взаємодопомога каналів

Без взаємодопомоги

З взаємодопомогою

Достовірність обслуговування

З помилками

Без помилок

Розподіл часу обслуговування

Системи з конкретним законом розподілу часу обслуговування: детермінованим, експоненційним, нормальним тощо.

Якщо обслуговування проводиться поетапно деякою послідовністю каналів, то таку СМО називають багатофазний.

У СМО із «взаємодопомогою»між каналами та сама заявка може одночасно обслуговуватися двома і більше каналами. Наприклад, один і той же верстат, що вийшов з ладу, можуть обслуговувати два робочих відразу. Така «взаємодопомога» між каналами може мати місце як у відкритих, так і замкнутих СМО.

У СМО з помилкамизаявка, прийнята до обслуговування в системі, обслуговується не з повною ймовірністю, а з деякою ймовірністю; іншими словами, можуть мати місце помилки в обслуговуванні, результатом яких є те, що деякі заявки, які пішли СМО і нібито «обслужені», насправді залишаються не обслуженими через «шлюб» у роботі СМО.

Прикладами таких систем можуть бути: довідкові бюро, які іноді видають неправильні довідки та вказівки; коректор, який може пропустити помилку або неправильно її виправити; телефонна станція, яка іноді з'єднує абонента не з тим номером; торгово-посередницькі фірми, який завжди якісно й у термін виконують свої зобов'язання, тощо.

Для аналізу процесу, що протікає в СМО, суттєво знати основні параметри системи: число каналів , інтенсивність потоку заявок , продуктивність кожного каналу (середня кількість заявок, що обслуговується в одиницю часу каналом), умови утворення черги, інтенсивність догляду заявок із черги або системи.

Ставлення називають коефіцієнтом завантаження системи. Часто розглядаються лише такі системи, у яких .

Час обслуговування СМО може бути як випадковою, так і не випадковою величиною. Насправді цей час найчастіше приймається розподіленим за показовим законом , .

Основні характеристики СМО порівняно мало залежить від виду закону розподілу часу обслуговування, а залежать головним чином середнього значення . Тому часто користуються припущенням, що час обслуговування розподілено за показовим законом.

Припущення про пуассонівський характер потоку заявок і показовий розподіл часу обслуговування (які ми припускатимемо надалі) цінні тим, що дозволяють застосувати в теорії масового обслуговування апарат так званих марковських випадкових процесів.

Ефективність систем обслуговування залежно та умовами завдань і цілей дослідження можна характеризувати великою кількістю різних кількісних показників.

Найчастіше застосовуються такі показники:

1. Імовірність того, що обслуговуванням зайняті канали – .

Приватним випадком є ​​ймовірність того, що всі канали вільні.

2. Можливість відмови заявки на обслуговуванні .

3. Середня кількість зайнятих каналів характеризує ступінь завантаження системи.

4. Середня кількість каналів, вільних від обслуговування:

5. Коефіцієнт (імовірність) простою каналів.

6. Коефіцієнт завантаження обладнання (імовірність зайнятості каналів)

7. Відносна пропускна спроможність – середня частка заявок, що надійшли, обслуговується системою, тобто. відношення середнього числа заявок, що обслуговуються системою в одиницю часу, до середньої кількості заявок, що надходять за цей час.

8. Абсолютна пропускна спроможність, тобто. кількість заявок (вимог), яку може обслуговувати система за одиницю часу:

9. Середній час простою каналу

Для систем з очікуваннямвикористовують додатково характеристики:

10. Середній час очікування вимог у черзі.

11. Середній час перебування заявки до СМО.

12. Середня довжина черги.

13. Середня кількість заявок у сфері обслуговування (у СМО)

14. Імовірність того, що час перебування заявки в черзі не триватиме більше за певний час.

15. Імовірність того, що кількість вимог у черзі, що очікують початку обслуговування, більша за деяку кількість.

Крім перерахованих критеріїв для оцінки ефективності систем можуть бути використані вартісні показники:

– вартість обслуговування кожної вимоги у системі;

- Вартість втрат, пов'язаних з очікуванням в одиницю часу;

– вартість збитків, пов'язаних із відходом вимог із системи;

- Вартість експлуатації каналу системи в одиницю часу;

- Вартість одиниці простою каналу.

При виборі оптимальних параметрів системи за економічними показниками можна використати наступну функцію вартості втрат:

а) для систем із необмеженим очікуванням

Де – інтервал часу;

б) для систем з відмовами;

в) для змішаних систем.

Варіанти, в яких передбачається будівництво нових елементів системи (наприклад, каналів обслуговування), зазвичай порівнюються за наведеними витратами.

Наведені витрати за кожним варіантом є сума поточних витрат (собівартості) та капітальних вкладень, наведених до однакової розмірності відповідно до нормативу ефективності, наприклад:

(Наведені витрати за рік);

(Наведені витрати за термін окупності),

де – поточні витрати (собівартість) за кожним варіантом, р.;

- Галузевий нормативний коефіцієнт економічної ефективності капітальних вкладень (зазвичай = 0,15 - 0,25);

- капітальні вкладення за кожним варіантом, р.;

– нормативний термін окупності капітальних вкладень, років.

Вираз є сума поточних та капітальних витрат за певний період. Їх називають наведеними, оскільки вони ставляться до фіксованого відрізку часу (у разі до нормативному терміну окупності).

Показники можуть застосовуватися як у вигляді суми капітальних вкладень і собівартості готової продукції, так і у вигляді питомих капітальних вкладеньна одиницю продукції та собівартості одиниці продукції.

Для опису випадкового процесу, що протікає в системі з дискретними станами, часто користуються ймовірностями станів, де - ймовірність того, що в момент система перебуватиме в стані.

Очевидно, що .

Якщо процес, що протікає в системі з дискретними станами та безперервним часом, є марківським, то ймовірностей станів можна скласти систему лінійних диференціальних рівнянь Колмогорова.

Якщо є розмічений граф станів (рис.4.3) (тут над кожною стрілкою, що веде зі стану в стан, проставлена ​​інтенсивність потоку подій, що переводить систему зі стану в стан за даною стрілкою), то систему диференціальних рівнянь для ймовірностей можна відразу написати, користуючись наступним простим правилом.

У лівій частині кожного рівняння стоїть похідна , а правій частині – стільки членів, скільки стрілок пов'язані безпосередньо з цим станом; якщо стрілка веде в

Якщо всі потоки подій, що переводять систему зі стану в стан, стаціонарні, загальна кількість станів звичайно і станів без виходу немає, то граничний режим існує і характеризується граничними ймовірностями .

Досі ми розглядали лише такі СМО, у яких кожна заявка може обслуговуватись лише одним каналом; незайняті канали не можуть «допомагати» зайнятому в обслуговуванні.

Взагалі, це не завжди буває так: зустрічаються системи масового обслуговування, де та сама заявка може одночасно обслуговуватися двома і більше каналами. Наприклад, один і той же верстат, що вийшов з ладу, можуть обслуговувати два робочих відразу. Така «взаємодопомога» між каналами може мати місце як у відкритих, так і замкнутих СМО.

При розгляді СМО із взаємодопомогою між каналами необхідно враховувати два фактори:

1. Наскільки прискорюється обслуговування заявки, коли над ним працює не один, а одразу кілька каналів?

2. Яка «дисципліна взаємодопомоги», тобто коли і як кілька каналів беруть він обслуговування однієї й тієї заявки?

Розглянемо спочатку перше запитання. Природно припустити, що й над обслуговуванням заявки працює не один канал, а кілька каналів, інтенсивність потоку обслуговувань нічого очікувати спадати зі збільшенням k, т. е. представляти собою деяку незменшуючу функцію числа k працюючих каналів. Позначимо цю функцію Можливий вид функції показано на рис. 5.11.

Вочевидь, що необмежену збільшення кількості одночасно працюючих каналів який завжди веде до пропорційного збільшення швидкості обслуговування; природніше припустити, що з деякому критичному значенні подальше збільшення числа зайнятих каналів не підвищує інтенсивності обслуговування.

Для того, щоб проаналізувати роботу СМО із взаємодопомогою між каналами, потрібно, перш за все, задати вид функції

Найпростішим для дослідження буде випадок, коли функція зростає пропорційно k, а при залишається постійною і рівною (див. рис. 5.12). Якщо при цьому загальна кількість каналів, які можуть допомагати один одному, не перевищує

Зупинимося тепер на другому питанні: дисципліні взаємодопомоги. Найпростіший випадок цієї дисципліни ми позначимо умовно "все як один". Це означає, що з появою однієї заявки її починають обслуговувати всі канали відразу і залишаються зайнятими, доки не закінчиться обслуговування цієї заявки; потім всі канали перемикаються на обслуговування іншої заявки (якщо вона є) або чекають її появи, якщо її немає, і т. д. Очевидно, в цьому випадку всі канали працюють як один, СМО стає одноканальною, але з більш високою інтенсивністю обслуговування.

Виникає питання: чи вигідно чи невигідно вводити таку взаємодопомогу між каналами? Відповідь це питання залежить від цього, яка інтенсивність потоку заявок, який вид функції який тип СМО (з відмовами, з чергою), яка величина вибирається як характеристики ефективності обслуговування.

Приклад 1. Є триканальна СМО з відмовами: інтенсивність потоку заявок (заявки за хвилину), середній час обслуговування одноц заявки одним каналом (хв), функція Запитується, чи вигідно з точки зору пропускної здатності СМО вводити взаємодопомогу між каналами за типом «все як один »? Чи це вигідно з точки зору зменшення середнього часу перебування заявки в системі?

Рішення, а. Без взаємодопомоги,

За формулами Ерланга (див. § 4) маємо:

Відносна пропускна здатність СМО;

Абсолютна пропускна спроможність:

Середній час перебування заявки в СМО знайдеться як ймовірність того, що заявку буде прийнято до обслуговування, помножену на середній час обслуговування:

Гсист (хв).

Не треба забувати, що цей середній час відноситься до всіх заявок - як обслуженим, так і необслуженим. Нас може цікавити середній час, який пробуде в системі обслужена заявка. Цей час дорівнює:

6. З взаємодопомогою.

Середній час перебування заявки до СМО:

Середній час перебування обслуженої заявки до СМО:

Таким чином, за наявності взаємодопомоги "все як один" пропускна здатність СМО помітно зменшилася. Це пояснюється збільшенням ймовірності відмови: за час, поки всі канали зайняті обслуговуванням однієї заявки, можуть прийти інші заявки, і, природно, отримати відмову. Щодо середнього часу перебування заявки до СМО, то воно, як і слід було очікувати, поменшало. Якщо, з якихось міркувань, ми прагнемо всемірного зменшення часу, який заявка проводить у СМО (наприклад, якщо перебування в СМО небезпечне для заявки), може виявитися, що, незважаючи на зменшення пропускної спроможності, все ж таки буде вигідно об'єднати три канали в один.

Розглянемо тепер вплив взаємодопомоги типу «все як один» працювати СМО з очікуванням. Візьмемо для простоти лише випадок необмеженої черги. Природно, впливу взаємодопомоги на пропускну здатність СМО в цьому випадку не буде, тому що за будь-яких умов обслужені будуть всі заявки, що прийшли. Виникає питання вплив взаємодопомоги на характеристики очікування: середню довжину черги, середній час очікування, середній час перебування в СМО.

У силу формул (6.13), (6.14) § 6 для обслуговування без взаємодопомоги середня кількість заявок у черзі буде

середній час очікування:

а середній час перебування у системі:

Якщо ж застосовується взаємодопомога типу «все як один», то система працюватиме як одноканальна з параметрами

та її характеристики визначаться формулами (5.14), (5.15) § 5:

Приклад 2. Є триканальна СМО з необмеженою чергою; інтенсивність потоку заявок (заявки за хв.), середній час обслуговування Функція Вигідно маючи на увазі:

Середню довжину черги,

Середній час очікування на обслуговування,

Середній час перебування заявки до СМО

вводити взаємодопомогу між каналами типу "все як один"?

Рішення, а. Без взаємодопомоги.

За формулами (9.1) - (9.4) маємо

(3-2)

б. Із взаємодопомогою

За формулами (9.5) – (9.7) знаходимо;

Таким чином, середня довжина черги та середній час очікування у черзі у разі взаємодопомоги більша, але середній час перебування заявки в системі – менший.

З розглянутих прикладів видно, що взаємодопомога між к? налами типу «все як один», як правило, не сприяє підвищенню ефективності обслуговування: час перебування заявки до СМО зменшується, зате погіршуються інші характеристики обслуговування.

Тому бажано змінити дисципліну обслуговування так, щоб взаємодопомога між каналами не заважала приймати до обслуговування нові заявки, якщо вони з'являться за час, доки всі канали зайняті.

Назвемо умовно «рівномірною взаємодопомогою» наступний тип взаємодопомоги. Якщо заявка надходить у момент, коли всі канали вільні, то всі канали приймаються за її обслуговування; якщо в момент обслуговування заявки приходить ще одна частина каналів перемикається на її обслуговування; якщо, доки обслуговуються ці дві заявки, приходить ще одна, частина каналів переключається на її обслуговування і т. д., доки не виявляться зайнятими всі канали; якщо це так, заявка, що знову прийшла, отримує відмову (у СМО з відмовими) або стає в чергу (у СМО з очікуванням).

За такої дисципліни взаємодопомоги заявка отримує відмову або стає в чергу лише тоді, коли немає можливості її обслужити. Що стосується «простою» каналів, то він у цих умовах мінімальний: якщо в системі є хоча б одна заявка, всі канали працюють.

Вище ми згадали, що з появою нової заявки частина зайнятих каналів звільняється і переключається на обслуговування заявки, що знову прибула. Яка частина? Це залежить від виду функції Якщо вона має вигляд лінійної залежності, як показано на рис. 5.12, і те все одно, яку частину каналів виділити на обслуговування нової заявки, аби всі канали були зайняті (тоді сумарна інтенсивність обслуговувань при будь-якому розподілі каналів за заявками дорівнюватиме ). Можна довести, що якщо крива випукла вгору, як показано на рис. 5.11, то потрібно розподіляти канали за заявками якомога рівномірніше.

Розглянемо роботу -канальної СМО за «рівномірної» взаємодопомоги між каналами.