Kamusta mahal na mga mag-aaral ng Argemona University! Inaanyayahan kita sa susunod na panayam tungkol sa mahika ng mga pag-andar at integral.

Ngayon ay pag-uusapan natin ang tungkol sa hyperbole. Magsimula tayo mula sa simple. Ang pinakasimpleng uri ng hyperbola:

Ang pagpapaandar na ito, hindi katulad ng direkta sa mga pamantayang anyo nito, ay may tampok. Tulad ng alam natin, ang denominator ng isang maliit na bahagi ay hindi maaaring maging zero, dahil hindi ka maaaring hatiin ng zero.
  x ≠ 0
  Mula rito ay tapusin namin na ang domain ay ang buong linya ng numero, maliban sa punto 0: (-∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Kung ang x ay may posibilidad na 0 sa kanan (nakasulat na tulad nito: x-\u003e 0+), i.e. nagiging napakaliit, ngunit nananatiling positibo, at pagkatapos ay nagiging napakalaki, napakalaki ng positibo (y -\u003e + ∞).
  Kung ang x ay may posibilidad na 0 sa kaliwa (x-\u003e 0-), i.e. nagiging modulo din napakaliit, ngunit nananatiling negatibo sa kasong ito, kung gayon u ay magiging negatibo din, ngunit ang modulo ay magiging napakalaking (y -\u003e - ∞).
  Kung ang x ay may posibilidad na dagdagan ang kawalang-hanggan (x -\u003e + ∞), i.e. ay nagiging isang napakalaking positibong numero, kung gayon u ay magiging higit pa at mas maliit na positibong numero, i. ay may posibilidad na 0, mananatiling positibo sa lahat ng oras (y-\u003e 0+).
  Kung ang x ay may posibilidad na mabawasan ang kawalang-hanggan (x -\u003e - ∞), i.e. nagiging malaki sa ganap na halaga, ngunit isang negatibong numero, kung gayon y ay palaging magiging isang negatibong numero, ngunit maliit sa ganap na halaga (y-\u003e 0-).

Y, tulad ng x, ay hindi maaaring kunin ang halaga 0. Ito ay may posibilidad na maging zero. Samakatuwid, ang hanay ng mga halaga ay pareho sa domain ng kahulugan: (-∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Batay sa mga pagsasaalang-alang na ito, maaari naming gumuhit ng eskematiko ang isang graph ng pag-andar

Makikita na ang hyperbola ay binubuo ng dalawang bahagi: ang isa ay nasa sulok ng 1st coordinate, kung saan ang mga halaga ng x at y ay positibo, at ang pangalawang bahagi ay nasa ikatlong sulok ng coordinate, kung saan ang mga halaga ng x at y ay negatibo.
  Kung lilipat tayo mula -∞ hanggang + ∞, pagkatapos ay nakikita natin na ang aming pag-andar ay bumababa mula 0 hanggang -∞, kung gayon mayroong isang matalim na pagtalon (mula -∞ hanggang + ∞) at nagsisimula ang pangalawang sangay ng pag-andar, na bumababa rin, ngunit mula sa + ∞ hanggang 0. Iyon ay, bumababa ang hyperbole na ito.

Kung binago mo ang pag-andar nang kaunti: gamitin ang magic ng minus,

(1")

Ang pagpapaandar na iyon ay mahimalang ilipat mula sa ika-1 at ika-3 na coordinate quarters sa ika-2 at ika-4 na tirahan at magiging pagtaas.

Matatandaan na ang isang function ay tumataaskung para sa dalawang halaga x 1 at x 2 tulad na x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
  At ang pag-andar ay nanghihinakung f (x 1)\u003e f (x 2) para sa parehong mga halaga ng x.

Ang mga sanga ng isang hyperbole ay lumapit sa mga axes, ngunit hindi kailanman i-cross ito. Ang mga nasabing linya, na kung saan ang diskarte ng grap sa diskarte ay hindi lumapit ngunit hindi man lamang intersect, ay tinawag asymptote   ang function na ito.
  Para sa aming pag-andar (1), ang mga asymptotes ay ang mga tuwid na linya x \u003d 0 (axis OY, vertical asymptote) at y \u003d 0 (axis OX, pahalang asymptote).

Ngayon ay kumplikado natin ang pinakasimpleng hyperbole nang kaunti at tingnan kung ano ang mangyayari sa function na graph.

(2)

Idinagdag lamang ang palagiang "a" sa denominador. Ang pagdaragdag ng ilang numero sa denominator bilang isang termino sa x ay nangangahulugang paglilipat ng buong "hyperbolic construction" (kasama ang mga vertical asymptote) sa (-a) mga posisyon sa kanan, kung ang isang ay isang negatibong numero, at sa (-a) posisyon sa kaliwa, kung isang Ay isang positibong numero.

Sa kaliwang graph, ang isang negatibong pare-pareho ay idinagdag sa x (a<0, значит, -a>0), na nagiging sanhi ng tsart na ilipat sa kanan, at sa kanang tsart ay isang positibong pare-pareho (isang\u003e 0), dahil sa kung saan ang tsart ay inilipat sa kaliwa.

At anong magic ang maaaring makaapekto sa paglipat ng "hyperbolic structure" pataas o pababa? Pagdaragdag ng isang pare-pareho sa maliit na bahagi.

(3)

Ngayon ang aming buong pag-andar (parehong mga sanga at ang pahalang na asymptote) ay tumataas ang mga posisyon ng b kung ang b ay isang positibong numero, at bumababa ang mga posisyon ng b kung ang b ay isang negatibong numero.

Tandaan na ang mga asymptotes ay lumipat kasama ang hyperbola, i.e. ang isang hyperbola (pareho ng mga sanga nito) at pareho ng mga asymptotes ay dapat isaalang-alang bilang isang hindi maihahambing na konstruksyon, na gumagalaw sa kaliwa, kanan, pataas o pababa. Napakagandang pakiramdam kapag maaari mong gawin ang buong pag-andar na gumagalaw sa anumang direksyon kasama ang pagdaragdag ng isang tiyak na numero. Ano ang hindi mahika, na maaari mong lubos na makabisado at idirekta ito sa iyong pagpapasya sa tamang direksyon?
  Sa pamamagitan ng paraan, sa ganitong paraan maaari mong kontrolin ang paggalaw ng anumang pag-andar. Sa mga susunod na aralin, ipagsama natin ang kasanayang ito.

Bago itanong sa iyo ang araling-bahay, nais kong iguhit ang iyong pansin sa pagpapaandar na ito

(4)

Ang mas mababang sangay ng hyperbola ay lumilipat mula sa anggulo ng ika-3 na coordinate hanggang sa pangalawa, sa anggulong iyon kung saan ang halaga ng y ay positibo, i.e. ang sangay na ito ay masasalamin ng simetriko tungkol sa axis OX. At ngayon nakakakuha kami ng isang kahit na function.

Ano ang ibig sabihin ng "kahit na gumana"? Tinawag na function kahit nakung nasiyahan ang kondisyon: f (-x) \u003d f (x)
  Tinawag na function kakaibakung nasiyahan ang kondisyon: f (-x) \u003d - f (x)
  Sa ating kaso

(5)

Ang bawat kahit na function ay simetriko tungkol sa OY axis, i.e. ang parchment na may disenyo ng grapiko ay maaaring nakatiklop sa OY axis, at ang dalawang bahagi ng graphic na eksaktong nagkakasabay sa bawat isa.

Tulad ng nakikita mo, ang pagpapaandar na ito ay mayroon ding dalawang mga asymptotes - pahalang at patayo. Hindi tulad ng mga function na isinasaalang-alang sa itaas, ang pagpapaandar na ito ay tumataas sa isang bahagi at bumababa sa iba pa.

Subukan nating gabayan ang graph na ito ngayon, pagdaragdag ng mga patuloy.

(6)

Alalahanin na ang pagdaragdag ng isang pare-pareho bilang isang term sa "x" ay nagiging sanhi ng paglipat ng buong graph (kasama ang patayong asymptote) nang pahalang, kasama ang pahalang na asymptote (pakaliwa o kanan, depende sa palatandaan ng palagiang ito).

(7)

At ang pagdaragdag ng pare-pareho b bilang isang term sa maliit na bahagi ay nagdudulot ng graph pataas o pababa. Ang lahat ay napaka-simple!

Ngayon subukang mag-eksperimento sa gayong magic sa iyong sarili.

Takdang-aralin 1.

Ang bawat isa ay tumatagal ng dalawang mga pag-andar para sa kanyang mga eksperimento: (3) at (7).
  a \u003d ang unang digit ng iyong LD
  b \u003d pangalawang digit ng iyong LD
  Subukan na makarating sa magic ng mga pagpapaandar na ito, na nagsisimula sa pinakasimpleng hyperbole, tulad ng ginawa ko sa aralin, at unti-unting pagdaragdag ng aking mga constants. Maaari ka nang mag-model ng function (7) batay sa pangwakas na anyo ng pag-andar (3). Ipahiwatig ang mga lugar ng kahulugan, hanay ng mga halaga, asymptotes. Paano kumilos ang mga pag-andar: pagbawas, pagtaas. Kahit na - kakaiba. Sa pangkalahatan, subukang gawin ang parehong pananaliksik tulad ng sa aralin. Marahil ay makakahanap ka ng ibang bagay na nakalimutan kong pag-usapan.

Sa pamamagitan ng paraan, ang parehong mga sanga ng pinakasimpleng hyperbola (1) ay simetriko na may paggalang sa bisector 2 at 4 na coordinate anggulo. Ngayon isipin na ang hyperbole ay nagsimulang paikutin sa paligid ng axis na ito. Nakakakuha kami ng gandang figure na maaaring magamit.

Gawain 2. Saan ko magagamit ang figure na ito? Subukang gumuhit ng isang pag-ikot ng figure para sa pag-andar (4) na may kaugnayan sa axis ng symmetry at isaalang-alang kung saan maaaring makahanap ang application ng isang figure.

Alalahanin kung paano sa pagtatapos ng huling aralin nakuha namin ang isang tuwid na linya na may isang punctured na tuldok? At narito ang huli gawain 3.
  Bumuo ng isang graph ng tulad ng isang function:

(8)

Ang mga koepisyent a, b ay pareho sa gawain 1.
  c \u003d ang pangatlong digit ng iyong LD o a-b kung dobleng-digit ang iyong LD.
  Isang maliit na pahiwatig: una, ang maliit na bahagi na nakuha pagkatapos ng pagpapalit ng mga numero ay kailangang gawing simple, at pagkatapos makuha mo ang karaniwang hyperbola, na kailangan mong bumuo, ngunit sa huli kailangan mong isaalang-alang ang kahulugan ng domain ng orihinal na expression.

Ang iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, gumawa kami ng isang Patakaran sa Pagkapribado na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Koleksyon at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnay sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnay ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang mga halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang kinokolekta namin:

• Kapag nag-iwan ka ng isang kahilingan sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kasama ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyon na kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnay sa iyo at mag-ulat sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang maipadala ang mga mahalagang abiso at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng isang pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang mga pag-aaral upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at ibigay sa iyo ang mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung nakikilahok ka sa isang guhit sa premyo, kumpetisyon, o katulad na promosyong kaganapan, maaari naming gamitin ang impormasyong ibinibigay mo upang pamahalaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga third party

Hindi namin isiwalat ang impormasyon na natanggap mula sa iyo sa mga third party.

Pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, ang sistema ng hudisyal, sa paglilitis sa korte, at / o batay sa mga pampublikong mga katanungan o mga katanungan mula sa mga awtoridad ng estado sa Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin naming isiwalat ang impormasyon tungkol sa iyo kung natukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa mga layunin ng seguridad, pagpapanatili ng batas at kaayusan, o iba pang mahahalagang kaso.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsamahin o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyon na kinokolekta namin sa naaangkop na ikatlong partido, ang nagtatalaga.

Proteksyon sa Personal na Impormasyon

Nag-iingat kami - kabilang ang administratibo, teknikal, at pisikal - upang maprotektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago, at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapahiwatig namin ang mga patakaran ng kumpidensyal at seguridad sa aming mga empleyado, at mahigpit na subaybayan ang pagpapatupad ng mga hakbang sa kumpidensyal.

Ang materyal na materyal na ito ay para lamang sa sanggunian at nauugnay sa isang malawak na hanay ng mga paksa. Ang artikulo ay nagbibigay ng isang pangkalahatang-ideya ng mga graph ng mga pangunahing pag-andar sa elementarya at tinutukoy ang pinakamahalagang isyu - kung paano bumuo ng isang tsart nang mabilis at mabilis. Ang pag-aaral ng mas mataas na matematika nang hindi nalalaman ang mga graph ng mga pangunahing pag-andar sa elementarya ay magiging mahirap, kaya napakahalaga na tandaan kung ano ang hitsura ng mga graph ng parabola, hyperbola, sine, cosine, atbp, tandaan ang ilang mga halaga ng mga pag-andar. Gayundin, pag-uusapan natin ang tungkol sa ilang mga katangian ng mga pangunahing pag-andar.

Hindi ako nagpapanggap sa pagkakumpleto at pagiging kumpletong pang-agham ng mga materyales, ang diin ay ilalagay lalo na sa pagsasanay - ang mga bagay na kung saan kailangan mong harapin nang literal sa bawat hakbang, sa anumang paksa ng mas mataas na matematika. Mga tsart para sa mga dummies? Maaari mong sabihin iyon.

Sa pamamagitan ng tanyag na pangangailangan ng mga mambabasa mai-click na talahanayan ng mga nilalaman:

Bilang karagdagan, mayroong isang ultra-maikling buod sa paksa.
   - master 16 mga uri ng mga graph, pagkakaroon ng pinag-aralan na ENAMANG mga pahina!

Seryoso, anim, kahit na ang aking sarili ay nagulat. Ang kompendyum na ito ay naglalaman ng pinahusay na graphics at magagamit para sa isang nominal na bayad, maaaring tingnan ang isang bersyon ng demo. Ito ay maginhawa upang i-print ang file upang ang mga graph ay palaging nasa kamay. Salamat sa pagsuporta sa proyekto!

At agad na magsimula:

Paano bumuo ng coordinate axes?

Sa pagsasagawa, ang mga pagsubok sa papel ay halos palaging isinasagawa ng mga mag-aaral sa magkahiwalay na mga notebook na may linya sa isang hawla. Bakit suriin ang pagmamarka? Pagkatapos ng lahat, ang gawain, sa prinsipyo, ay maaaring gawin sa mga sheet ng A4. Kinakailangan ang isang cell para lamang sa de-kalidad at tumpak na mga guhit ng disenyo.

Ang anumang pagguhit ng isang graph ng pag-andar ay nagsisimula sa coordinate axes.

Ang mga guhit ay two-dimensional at three-dimensional.

Una naming isaalang-alang ang dalawang-dimensional na kaso sistema ng hugis-parihaba na hugis-parihaba:

1) Gumuhit kami ng coordinate axes. Tinawag si Axis axis ng abscissa at ang axis ay ayusin ang axis . Palagi kaming sinusubukan upang iguhit ang mga ito malinis at hindi baluktot. Ang mga arrow ay hindi dapat maging katulad ng balbas ni Papa Carlo.

2) Nilagdaan namin ang mga axes sa mga malalaking titik na "X" at "igrek". Huwag kalimutang lagdaan ang axis.

3) Itinakda namin ang scale sa kahabaan ng mga axes: gumuhit ng zero at dalawa. Kapag nagsasagawa ng pagguhit, ang pinaka-maginhawa at madalas na nakatagpo ng scale ay: 1 yunit \u003d 2 mga cell (pagguhit sa kaliwa) - kung maaari, dumikit dito. Gayunpaman, paminsan-minsan nangyayari na ang pagguhit ay hindi magkasya sa notebook sheet - pagkatapos ay scale namin: 1 yunit \u003d 1 cell (pagguhit sa kanan). Ito ay bihirang, ngunit nangyayari na ang laki ng isang pagguhit ay kailangang mabawasan (o madagdagan) kahit na higit pa

HUWAG "magsulat mula sa machine gun" ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...   Para sa eroplano ng coordinate ay hindi isang bantayog kay Descartes, at ang mag-aaral ay hindi isang kalapati. Inilagay namin zero   at dalawang yunit ng axial. Minsan sa halip na   mga yunit, ito ay maginhawa upang "tuklasin" ang iba pang mga halaga, halimbawa, "dalawa" sa axc ng abscissa at "tatlo" sa ordinate axis - at ang sistemang ito (0, 2, at 3) ay natatanging matukoy din ang coordinate grid.

Ang tinantyang mga sukat sa pagguhit ay pinakamahusay na tinantyang BAGONG pagguhit. Kaya, halimbawa, kung ang gawain ay nangangailangan sa iyo upang gumuhit ng isang tatsulok na may mga vertice,,, pagkatapos ay malinaw na ang tanyag na sukat ng 1 yunit \u003d 2 mga cell ay hindi gagana. Bakit? Tingnan natin ang punto - narito kailangan nating sukatin ang labinlimang sentimetro, at, malinaw naman, ang pagguhit ay hindi magkasya (o bahagyang magkasya) sa kuwaderno. Samakatuwid, pumili kaagad ng isang mas maliit na sukat ng 1 yunit \u003d 1 cell.

Sa pamamagitan ng paraan, tungkol sa mga sentimetro at mga cell ng notebook. Totoo ba na ang 30 na mga cell ng tetrad ay naglalaman ng 15 sentimetro? Sukatin sa isang kuwaderno para sa interes ng 15 sentimetro sa isang pinuno. Sa USSR, marahil ito ay totoo ... Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung susukat mo ang mga parehong sentimetro nang pahalang at patayo, kung gayon ang mga resulta (sa mga cell) ay magkakaiba! Mahigpit na pagsasalita, ang mga modernong notebook ay hindi naka-checker, ngunit hugis-parihaba. Marahil ito ay magiging walang katuturan, ngunit, halimbawa, ang pagguhit ng isang bilog na may isang pares ng mga compass sa ganoong sitwasyon ay napaka-abala. Upang maging matapat, sa mga sandaling ito ay nagsisimula kang mag-isip tungkol sa kawastuhan ni Comrade Stalin, na nagpadala sa mga kampo para sa hackwork sa pabrika, hindi sa banggitin ang industriya ng domestic automotive, bumabagsak na sasakyang panghimpapawid o sumabog na mga halaman ng kuryente.

Nagsasalita ng kalidad, o isang maikling rekomendasyon sa kagamitan sa pagsulat. Ngayon, ang karamihan sa mga notebook ay ibinebenta, nang hindi nagsasabi ng masasamang salita, ganap na homogenous. Sa kadahilanang sila ay basa, at hindi lamang mula sa gel, kundi pati na rin sa mga ballpoint pen! Makatipid sa papel. Inirerekumenda ko ang paggamit ng mga notebook ng Arkhangelsk Pulp at Paper Mill (18 sheet, isang hawla) o Pyaterochka para sa mga pagsusulit sa pagrehistro, kahit na mas mahal ito. Maipapayo na pumili ng isang pen pen, kahit na ang pinakamurang Chinese pen pen ay mas mahusay kaysa sa isang ballpoint pen na smear o pulls papel. Ang tanging "mapagkumpitensya" na panulat ng ballpoint sa aking memorya ay si Erich Krause. Sinusulat niya nang malinaw, maganda at tuloy-tuloy - na may isang buong pangunahing, na may halos walang laman.

Opsyonal: Ang pananaw ng isang hugis-parihaba na coordinate system sa pamamagitan ng mga mata ng analytic geometry ay sakop sa artikulo Ang linear (hindi) pag-asa ng mga vectors. Ang batayan ng mga vectors, para sa detalyadong impormasyon sa mga panig ng coordinate ay matatagpuan sa ikalawang parapo ng aralin Mga hindi pagkakapantay-pantay na linya.

Three-dimensional na kaso

Halos lahat ay pareho din dito.

1) Gumuhit kami ng coordinate axes. Pamantayan: applicate axis   - nakadirekta, axis - nakadirekta sa kanan, axis - kaliwa mahigpit   sa isang anggulo ng 45 degree.

2) Pinirmahan namin ang axis.

3) Itinakda namin ang scale sa kahabaan ng mga axes. Scale ng Axis - kalahati ng laki ng iba pang mga axes. Tandaan din na sa tamang pagguhit ginamit ko ang isang hindi pamantayang "serif" kasama ang axis (ang posibilidad na ito ay nabanggit sa itaas). Sa aking pananaw, mas tumpak, mas mabilis at higit pang aesthetically nakalulugod - hindi mo kailangang tumingin sa ilalim ng mikroskopyo para sa gitna ng cell at "sculpt" ang yunit sa tabi mismo ng pinagmulan.

Kapag gumagawa ng isang three-dimensional na pagguhit, muli - bigyan ang priyoridad sa laki
   1 unit \u003d 2 cells (pagguhit sa kaliwa).

Ano ang lahat ng mga patakaran na ito? Mayroong mga patakaran upang masira ang mga ito. Ano ang gagawin ko ngayon. Ang katotohanan ay ang kasunod na mga guhit ng artikulo ay gagawin sa akin sa Excel, at ang mga koordinasyong axes ay magmumula nang hindi tama mula sa punto ng pagtingin ng wastong disenyo. Maaari kong iguhit ang lahat ng mga grap sa pamamagitan ng kamay, ngunit talagang iguhit ang mga ito bilang kakila-kilabot na nag-aatubili ng Excel ay iguguhit sila nang mas tumpak.

Mga graphic at pangunahing katangian ng elementarya na pag-andar

Ang linear function ay ibinibigay ng equation. Ang linear function na graph ay diretso. Upang makabuo ng isang linya sapat na upang malaman ang dalawang puntos.

Halimbawa 1

Gumawa ng isang graph ng function. Maghanap ng dalawang puntos. Ito ay kapaki-pakinabang na pumili ng zero bilang isa sa mga puntos.

Kung, kung gayon

Kumuha kami ng ilang iba pang mga punto, halimbawa, 1.

Kung, kung gayon

Kapag nakumpleto ang mga gawain, ang mga coordinate ng mga puntos ay karaniwang naitala sa isang talahanayan:

   At ang mga halaga mismo ay kinakalkula nang pasalita o sa isang calculator ng draft.

Natagpuan ang dalawang puntos, isagawa ang pagguhit:

Kapag gumuhit, palagi kaming nag-sign graphics.

Hindi mababaw na maalala ang mga partikular na kaso ng isang guhit na pag-andar:

   Pansinin kung paano ko inayos ang mga caption, ang mga lagda ay hindi dapat maiintindihan sa pag-aaral ng isang pagguhit. Sa kasong ito, labis na hindi kanais-nais na maglagay ng lagda malapit sa intersection point ng mga linya, o sa kanang ibaba sa pagitan ng mga graph.

1) Ang isang linear function ng form () ay tinatawag na direktang proporsyonalidad. Halimbawa,. Ang direktang proporsyonal na graph ay palaging dumadaan sa pinagmulan. Kaya, ang pagtatayo ng linya ay pinasimple - makahanap lamang ng isang punto.

2) Ang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na kahanay sa axis, lalo na, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang function ng graph ay binuo agad, nang hindi nakakahanap ng anumang mga puntos. Iyon ay, ang tala ay dapat maunawaan tulad ng sumusunod: "ang laro ay palaging katumbas ng -4, para sa anumang halaga ng x."

3) Ang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na kahanay sa axis, lalo na, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang function ng graph ay binuo din kaagad. Ang tala ay dapat maunawaan tulad ng sumusunod: "X palagi, para sa anumang halaga ng player, ay pantay sa 1".

Ang ilan ay magtanong, bakit tandaan ang Baitang 6 ?! Kaya't ito, marahil, sa paglipas ng mga taon ng pagsasanay ay nakilala ko ang isang dosenang mga mag-aaral na nainis sa pamamagitan ng gawain ng paglikha ng isang iskedyul tulad ng.

Ang pagtatayo ng isang tuwid na linya ay ang pinaka-karaniwang pagkilos kapag gumuhit.

Ang tuwid na linya ay sinusuri nang detalyado sa kurso ng analytic geometry, at ang mga nais ay maaaring sumangguni sa artikulo Katumbas ng isang linya sa isang eroplano.

Grapiko ng isang kuwadrante, kubiko function, grap ng isang polynomial

Parabola. Quadratic function na graph   () ay isang parabola. Isaalang-alang ang sikat na kaso:

Alalahanin ang ilang mga katangian ng pag-andar.

Kaya, ang solusyon sa aming equation: - sa puntong ito ay matatagpuan ang tuktok ng parabola. Bakit ito ay matatagpuan sa isang teoretikal na artikulo sa isang hinuha at isang aralin sa pagpapaandar ng extrema. Samantala, kinakalkula namin ang kaukulang halaga ng "laro":

Kaya ang vertex ay nasa punto

Ngayon ay nakahanap kami ng iba pang mga punto, habang walang hiya ginagamit namin ang simetrya ng parabola. Dapat pansinin na ang pagpapaandar – hindi manngunit, gayunpaman, walang sinuman ang nagkansela ng simetrya ng parabola.

Sa anong order upang mahanap ang natitirang mga puntos, sa palagay ko ay magiging malinaw mula sa panghuling talahanayan:

Ang algorithm ng konstruksyon na ito ay maaaring matukoy na tinatawag na isang "shuttle" o ang "pabalik-balik" na prinsipyo kasama si Anfisa Chekhova.

Isagawa natin ang pagguhit:

   Mula sa mga graph na napagmasdan, isa pang kapaki-pakinabang na pag-sign ay naalala:

Para sa isang parisukat na pag-andar   () ang sumusunod ay totoo:

Kung, pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta.

Kung, pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta.

Ang malalim na kaalaman sa curve ay maaaring makuha sa aralin na Hyperbola at Parabola.

Ang cubic parabola ay naka-set sa pamamagitan ng pag-andar. Narito ang isang pagguhit na pamilyar mula sa paaralan:

   Inilista namin ang mga pangunahing katangian ng pag-andar

Function graph

Kinakatawan nito ang isa sa mga sanga ng isang parabola. Isagawa natin ang pagguhit:

   Ang pangunahing katangian ng pag-andar:

Sa kasong ito, ang axis ay patayo na asymptote   para sa plot ng hyperbola sa.

Ito ay magiging isang malaking pagkakamali kung, kapag gumuhit ng isang pagguhit sa pamamagitan ng kapabayaan, pinapayagan namin ang intersection ng graph na may asymptote.

Gayundin ang isang panig na mga limitasyon ay nagsasabi sa amin na hyperbole hindi limitado mula sa itaas   at hindi limitado mula sa ibaba.

Pinag-aaralan namin ang pagpapaandar sa kawalang-hanggan: iyon ay, kung sisimulan nating sumama sa axis na kaliwa (o kanan) hanggang sa kawalang-hanggan, kung gayon ang "mga laro" ay magiging isang payat na hakbang walang hanggan malapit   lumapit sa zero, at, nang naaayon, ang mga sanga ng hyperbola walang hanggan malapit   lapitan ang axis.

Kaya ang axis ay pahalang na asymptote   para sa function na graph, kung ang "X" ay may posibilidad na dagdagan o minus na kawalang-hanggan.

Function ay kakaiba, at, samakatuwid, ang hyperbola ay simetriko na may paggalang sa pinanggalingan. Ang katotohanang ito ay halata mula sa pagguhit, bilang karagdagan, madali itong napatunayan ng analitiko: .

Ang isang graph ng isang function ng form () ay kumakatawan sa dalawang sanga ng isang hyperbola.

Kung, pagkatapos ay ang hyperbola ay matatagpuan sa una at ikatlong mga coordinate quarters   (tingnan ang larawan sa itaas).

Kung, pagkatapos ay ang hyperbole ay matatagpuan sa pangalawa at ika-apat na mga coordinate quarters.

Ang ipinahiwatig na pagiging regular ng paninirahan ng hyperbola ay hindi mahirap pag-aralan mula sa punto ng view ng mga geometric na pagbabago ng mga graph.

Halimbawa 3

Bumuo ng tamang sangay ng hyperbole

Ginagamit namin ang matalinong pamamaraan ng konstruksyon, samantalang kapaki-pakinabang na piliin ang mga halaga upang lubusang nahati sila:

Isagawa natin ang pagguhit:

   Hindi magiging mahirap na itayo ang kaliwang sanga ng hyperbola, ang kakatwa ng pag-andar ay makakatulong dito. Matindi ang pagsasalita, sa talahanayan ng matalinong konstruksiyon, itak na magdagdag ng minus sa bawat bilang, ilagay ang kaukulang mga puntos at iguhit ang pangalawang sangay.

Ang detalyadong impormasyon na geometriko tungkol sa linya sa pagsasaalang-alang ay matatagpuan sa artikulong Hyperbola at Parabola.

Exponential function na graph

Sa bahaging ito, isasaalang-alang ko kaagad ang exponential function, dahil sa mga problema ng mas mataas na matematika sa 95% ng mga kaso ito ang exponent.

Naaalala ko sa iyo na ito ay isang hindi makatwiran na numero: kakailanganin ito kapag nagtatayo ng isang iskedyul, na, sa katunayan, magtatayo ako nang walang seremonya. Ang tatlong puntos ay marahil sapat na:

Iwanan natin ang nag-iisa na graph ng function, tungkol dito mamaya.

Ang pangunahing katangian ng pag-andar:

Ang mga graph ng function ay mukhang pareho ang pareho, atbp.

Dapat kong sabihin na ang pangalawang kaso ay hindi gaanong karaniwan sa pagsasanay, ngunit nangyari ito, kaya naisip kong kinakailangang isama ito sa artikulong ito.

Ang graphic ng isang logarithmic function

Isaalang-alang ang isang function na may isang natural na logarithm.
   Gumawa tayo ng isang punto sa pagguhit:

Kung nakalimutan mo kung ano ang logarithm, mangyaring sumangguni sa mga libro sa paaralan.

Ang pangunahing katangian ng pag-andar:

Saklaw:

Saklaw ng mga Pinahahalagahan:.

Ang pag-andar ay hindi limitado mula sa itaas: , kahit na mabagal, ngunit ang sangay ng logarithm ay umakyat hanggang sa kawalang-hanggan.
   Pinag-aaralan namin ang pag-uugali ng pagpapaandar na malapit sa zero sa kanan: . Kaya ang axis ay patayo na asymptote   para sa function na graph na may "x" na tumutukoy sa zero sa kanan.

Siguraduhing malaman at alalahanin ang pangkaraniwang halaga ng logarithm: .

Ang grar ng logarithm ay mukhang pareho sa base: ,, (perpektong logarithm batay sa base 10), atbp. Bukod dito, mas malaki ang base, mas banayad ang iskedyul.

Hindi namin isasaalang-alang ang kaso; Hindi ko naalala ang isang bagay kapag ang huling oras na nagtayo ako ng isang iskedyul na may ganoong kadahilanan. At ang logarithm ay tila isang napakabihirang panauhin sa mas mataas na mga problema sa matematika.

Sa konklusyon, sasabihin ko ang isa pang katotohanan: Ang pagpapaandar ng pag-andar at pag-andar ng logarithmicAy dalawang magkasanib na pag-andar. Kung titingnan mo nang maigi ang graph ng logarithm, maaari mong makita na pareho itong exponent, matatagpuan lamang ito nang kaunti.

Mga graphic ng mga function ng trigonometriko

Ano ang nagsisimula sa pagdurusa sa trigonometriko sa paaralan? Tama. Gamit ang sine

Plano namin ang pag-andar

Ang linya na ito ay tinatawag sine wave.

Naaalala ko sa iyo na ang "pi" ay isang hindi makatwiran na numero:, at sa trigonometrya mula dito ay mga mata sa mga mata.

Ang pangunahing katangian ng pag-andar:

Ang pagpapaandar na ito ay pana-panahon   may tagal. Ano ang ibig sabihin nito? Tingnan natin ang segment. Sa kaliwa at sa kanan nito, eksakto ang parehong piraso ng graph ay paulit-ulit na walang katapusang.

Saklaw:, iyon ay, para sa anumang halaga ng "X" mayroong isang halaga ng sine.

Saklaw ng mga Pinahahalagahan:. Function ay limitado:, iyon ay, ang lahat ng mga "laro" ay nakaupo nang mahigpit sa segment.
   Hindi ito nangyari: o, mas tumpak, nangyayari ito, ngunit ang mga ipinahiwatig na mga equation ay walang solusyon.

Paglalahad at aralin sa paksa:
"Hyperbola, kahulugan, pag-aari ng pag-andar"

Mga karagdagang materyales
Mga minamahal na gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng antivirus software.

Mga manual manual at simulators sa online store na "Integral" para sa grade 8
Mga spreadsheet ng geometry. 7-9 na klase
Mga Spreadsheet sa algebra. Grades 7-9

Hyperbole, kahulugan

  Guys, ngayon ay pag-aralan natin ang isang bagong function at itatayo ang iskedyul nito.
  Isaalang-alang ang pagpapaandar: $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k ≠ 0 $.
  Coefficient $ k $ - maaaring tumagal ng anumang tunay na mga halaga, maliban sa zero. Para sa pagiging simple, sinisimulan namin ang pagsusuri ng pag-andar mula sa kaso kapag $ k \u003d 1 $.
  Pinaplano namin ang pagpapaandar: $ y \u003d \\ frac (1) (x) $.
  Tulad ng dati, magsimula sa pamamagitan ng pagbuo ng isang mesa. Totoo, sa oras na ito kailangan nating hatiin ang aming mesa sa dalawang bahagi. Isaalang-alang ang kaso kapag $ x\u003e 0 $.
  Kailangan nating markahan ang anim na puntos sa mga coordinate $ (x; y) $, na ipinapakita sa talahanayan at ikonekta ang mga ito sa isang linya.
  Ngayon tingnan natin kung ano ang makukuha natin sa negatibong x.   Kumilos kami sa parehong paraan, markahan ang mga puntos at ikonekta ang mga ito sa isang linya.   Nagtayo kami ng dalawang piraso ng graph, pagsamahin natin ang mga ito.

Grap ng pag-andar $ y \u003d \\ frac (1) (x) $.
  Ang graph ng naturang pag-andar ay tinatawag na "Hyperbole."

Mga Katangian ng Hyperbole

  Sumang-ayon, ang graph ay mukhang maganda, at ito ay simetriko tungkol sa pinanggalingan. Kung iguguhit namin ang anumang linya na dumadaan sa pinagmulan mula sa una hanggang sa ikatlong quarter, pagkatapos ay tatawid ito sa aming grap sa dalawang puntos na magkapareho na malayo sa pinanggalingan.
  Ang isang hyperbola ay binubuo ng dalawang bahagi na simetriko tungkol sa pinagmulan. Ang mga bahaging ito ay tinatawag na mga sanga ng hyperbole.
  Ang mga sanga ng hyperbola sa isang direksyon (kaliwa at kanan) ay lalong umaakit sa axis ng abscissa, ngunit hindi ito tatawid. Sa kabilang direksyon (pataas at pababa) ay may posibilidad silang mag-ordinate axis, ngunit hindi rin ito tatawid (dahil imposible na hatiin ng zero). Sa ganitong mga kaso, ang mga kaukulang linya ay tinatawag na mga asymptotes. Ang plot ng hyperbola ay may dalawang asymptotes: ang x axis at ang y axis.

Ang isang hyperbola ay hindi lamang isang sentro ng simetrya, kundi pati na rin isang axis ng simetrya. Mga lalaki, gumuhit ng isang tuwid na linya ng $ y \u003d x $ at tingnan kung paano nahahati ang aming tsart. Mapapansin na kung ang bahagi na matatagpuan sa itaas ng linya na $ y \u003d x $ ay superimposed sa bahagi na matatagpuan sa ibaba, pagkatapos ay nag-tutugma sila, na nangangahulugang simetris na may paggalang sa linya.

Pinlano namin ang pagpapaandar $ y \u003d \\ frac (1) (x) $, ngunit kung ano ang mangyayari sa pangkalahatang kaso $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k\u003e 0 $.
Halos hindi magkakaiba ang mga graph. Ang isang hyperbola na may parehong mga sangay ay makuha, tanging ang higit pang $ k $, ang karagdagang mga sanga ay aalisin mula sa pinanggalingan, at ang mas kaunting $ k $, mas malapit sa pinagmulan.

Halimbawa, ang graph ng pag-andar $ y \u003d \\ frac (10) (x) $ ay ang mga sumusunod.   Ang graph ay naging "mas malawak", lumayo sa pinanggalingan.
  Ngunit ano ang tungkol sa negatibong $ k $? Ang grap ng pag-andar $ y \u003d -f (x) $ ay simetriko sa graph ng $ y \u003d f (x) $ na kamag-anak sa abscissa axis, kailangan mong i-on ito.
  Gagamitin natin ang pag-aari na ito at balangkasin ang function na $ y \u003d - \\ frac (1) (x) $.

  Ibubuod ang kaalamang natamo.
  Ang grap ng pag-andar $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k ≠ 0 $ ay ang hyperbola na matatagpuan sa una at pangatlo (pangalawa at ikaapat) mag-coordinate ng mga tirahan, para sa $ k\u003e 0 $ ($ k

Mga katangian ng pagpapaandar $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k\u003e 0 $

  1. Saklaw: lahat ng mga numero maliban sa $ x \u003d 0 $.
  2. $ y\u003e 0 $ para sa $ x\u003e 0 $, at $ y 3. Ang pag-andar ay bumababa sa mga agwat ng $ (- ∞; 0) $ at $ (0; + ∞) $.



  7. Saklaw ng mga halaga: $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $.

Mga katangian ng pagpapaandar $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k
  1. Saklaw: lahat ng mga numero maliban sa $ x \u003d 0 $.
  2. $ y\u003e 0 $ para sa $ x 0 $.
  3. Ang pag-andar ay nagdaragdag sa pagitan ng $ (- ∞; 0) $ at $ (0; + ∞) $.
  4. Ang pag-andar ay hindi limitado alinman sa itaas o mula sa ibaba.
  5. Walang pinakamalaking o pinakamaliit na halaga.
  6. Ang pagpapaandar ay tuluy-tuloy sa mga agwat ng $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $ at may isang pagkahinto sa puntong $ x \u003d 0 $.
  7. Saklaw ng mga halaga: $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $.

Ang pag-andar ay nakasulat sa pangkalahatang anyo bilang y \u003d o f (x) \u003d

y at x ay magkakaibang proporsyonal na dami, i.e. kapag lumalaki ang isa, bumababa ang iba pa (suriin sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga numero sa pagpapaandar)

Hindi tulad ng nakaraang pag-andar, kung saan ang x 2 ay palaging lumilikha ng mga positibong halaga, narito hindi natin masasabi na - \u003d, dahil ang mga ito ay magiging ganap na kabaligtaran na mga numero. Ang ganitong mga pag-andar ay tinatawag kakaiba.

Halimbawa, balangkas ng y \u003d

Naturally, x ay hindi maaaring maging zero (x ≠ 0)

Mga Sangayang hyperbolas ay namamalagi sa ika-1 at ika-3 bahagi ng mga coordinate.

Maaari silang walang katapusang lapitan ang mga axes ng mga abscissas at ordinates at hindi kailanman maabot ang mga ito, kahit na ang "x" ay magiging katumbas ng isang bilyon. Ang hyperbole ay magiging malapit nang walang hanggan, ngunit hindi pa rin makikipag-intay sa mga axes (tulad ng kalungkutan sa matematika).

Plano namin para sa y \u003d -

At ngayon ang mga sanga ng hyperbola ay nasa pangalawa at ikaapat na quarter ng coordinate eroplano.

Bilang isang resulta, sa pagitan ng lahat ng mga sanga ang isa ay maaaring obserbahan ang kumpletong proporsyon.