Clasificarea sistemelor de aşteptare. QS cu eșecuri și asistență reciprocă completă pentru fluxuri arbitrare. Grafic, sistem de ecuații, relații calculate Și, de asemenea, alte lucrări care te-ar putea interesa

Să luăm în considerare un sistem de așteptare multicanal (n canale în total), care primește cereri cu intensitatea λ și este deservit cu intensitatea μ. O solicitare care ajunge în sistem este deservită dacă cel puțin un canal este liber. Dacă toate canalele sunt ocupate, atunci următoarea solicitare primită în sistem este respinsă și părăsește QS-ul. Să numerotăm stările sistemului după numărul de canale ocupate:

• S 0 – toate canalele sunt gratuite;
• S 1 – un canal este ocupat;
• S 2 – două canale sunt ocupate;
• Sk- ocupat k canale;
• Sn– toate canalele sunt ocupate.

Este evident că sistemul se deplasează de la o stare la alta sub influența fluxului de cereri de intrare. Să construim un grafic de stare pentru acest sistem de așteptare.

Orez. 7.24
Figura 6.24 prezintă un grafic de stare în care Si– numărul canalului; λ – intensitatea cererilor primite; μ – în consecință, intensitatea solicitărilor de service. Solicitările intră în sistemul de așteptare cu intensitate constantă și ocupă treptat canale unul după altul; când toate canalele sunt ocupate, următoarea cerere care ajunge la QS va fi respinsă și va părăsi sistemul.
Să determinăm intensitățile fluxurilor de evenimente care transferă sistemul de la o stare la alta atunci când se deplasează atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga de-a lungul graficului stării.
De exemplu, lăsați sistemul să fie în stare S 1, adică un canal este ocupat, deoarece există o solicitare la intrarea sa. De îndată ce soluționarea cererii este finalizată, sistemul va intra în stare S 0 .
De exemplu, dacă două canale sunt ocupate, atunci fluxul de servicii care transferă sistemul din stat S 2 în stare S 1 va fi de două ori mai intens: 2-μ; în consecință, dacă este ocupat k canale, intensitatea este k-μ.

Procesul de întreținere este un proces de moarte și reproducere. Ecuațiile Kolmogorov pentru acest caz particular vor avea următoarea formă:

(7.25)
Se numesc ecuațiile (7.25). Ecuații Erlang .
Pentru a găsi valorile probabilității stărilor R 0 , R 1 , …, Rn, este necesar să se determine condițiile inițiale:
– R 0 (0) = 1, adică există o solicitare la intrarea sistemului;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, adică în momentul inițial de timp sistemul este liber.
După ce am integrat sistemul de ecuații diferențiale (7.25), obținem valorile probabilităților de stare R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Dar ne interesează mult mai mult probabilitățile limită ale stărilor. Ca t → ∞ și folosind formula obținută când se consideră procesul de moarte și reproducere, obținem o soluție a sistemului de ecuații (7.25):

(7.26)
În aceste formule, raportul de intensitate λ / μ la fluxul de aplicaţii este convenabil să se desemneze ρ .Această cantitate se numește dată fiind intensitatea fluxului de aplicații, adică numărul mediu de aplicații care ajung la QS în timpul mediu de service pentru o aplicație.

Ținând cont de notația făcută, sistemul de ecuații (7.26) va lua următoarea formă:

(7.27)
Aceste formule pentru calcularea probabilităților marginale sunt numite Formule Erlang .
Cunoscând toate probabilitățile stărilor QS, vom găsi caracteristicile eficienței QS, adică debitul absolut A, debit relativ Qși probabilitatea de eșec R deschis
O aplicație primită de sistem va fi respinsă dacă găsește că toate canalele sunt ocupate:

.
Probabilitatea ca cererea să fie acceptată pentru serviciu:

Q = 1 – R deschis,
Unde Q– ponderea medie a cererilor primite deservite de sistem sau numărul mediu de cereri deservite de QS pe unitatea de timp, împărțit la numărul mediu de cereri primite în acest timp:

A=λ·Q=λ·(1-P deschis)
În plus, una dintre cele mai importante caracteristici ale unui QS cu eșecuri este numărul mediu de canale ocupate. ÎN n-canal QS cu defecțiuni, acest număr coincide cu numărul mediu de aplicații din QS.
Numărul mediu de cereri k poate fi calculat direct prin probabilitățile stărilor P 0, P 1, ..., P n:

,
adică găsim așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete care ia o valoare de la 0 la n cu probabilităţi R 0 , R 1 , …, Rn.
Este și mai ușor să exprimați valoarea lui k prin capacitatea absolută a QS, adică. A. Valoarea A este numărul mediu de aplicații care sunt deservite de sistem pe unitatea de timp. Un canal ocupat servește μ cereri pe unitatea de timp, apoi numărul mediu de canale ocupate

Formularea problemei. La intrare n-canalul QS primește cel mai simplu flux de cereri cu densitatea λ. Densitatea celui mai simplu flux de serviciu pentru fiecare canal este μ. Dacă o solicitare primită pentru service găsește toate canalele libere, atunci este acceptată pentru service și deservită simultan l canale ( l < n). În acest caz, fluxul de servicii pentru o aplicație va avea o intensitate l.

Dacă o solicitare primită pentru serviciu găsește o solicitare în sistem, atunci când n ≥ 2l o aplicație nou sosită va fi acceptată pentru service și va fi deservită simultan l canale.

Dacă o cerere primită pentru serviciu este prinsă în sistem i aplicatii ( i= 0,1, ...), în timp ce ( i+ 1)l≤ n, atunci aplicația primită va fi deservită l canale cu performanță generală l. Dacă o aplicație recent primită este prinsă în sistem j aplicații și în același timp două inegalități sunt satisfăcute în comun: ( j + 1)l > nȘi j < n, atunci cererea va fi acceptată pentru service. În acest caz, unele aplicații pot fi deservite l canale, cealaltă parte este mai mică decât l, număr de canale, dar toată lumea va fi ocupată cu service n canale care sunt distribuite aleatoriu între aplicații. Dacă o aplicație recent primită este prinsă în sistem n aplicații, apoi este respinsă și nu va fi deservită. O cerere primită pentru service este deservită până la finalizare (aplicații „pacient”).

Graficul de stare al unui astfel de sistem este prezentat în Fig. 3.8.

Orez. 3.8. Graficul stărilor QS cu defecțiuni și parțiale

asistență reciprocă între canale

Rețineți că graficul de stare al sistemului până la stare X h până la notarea parametrilor de curgere, acesta coincide cu graficul de stare al unui sistem clasic de așteptare cu defecțiuni, prezentat în Fig. 3.6.

Prin urmare,

(i = 0, 1, ..., h).

Graficul stării sistemului pornind de la stare X hși terminând cu statul X n, coincide, până la notație, cu graficul de stare al unui QS cu asistență reciprocă completă prezentat în Fig. 3.7. Prin urmare,

.

Să introducem notația λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, atunci

Ținând cont de starea normalizată, obținem

Pentru a scurta notația suplimentară, introducem notația

Să găsim caracteristicile sistemului.

Probabilitatea de deservire a cererii

Numărul mediu de aplicații din sistem este

Numărul mediu de canale ocupate

.

Probabilitatea ca un anumit canal să fie ocupat

.

Probabilitatea de ocupare a tuturor canalelor sistemului

3.4.4. Sisteme de așteptare cu defecțiuni și fluxuri eterogene

Formularea problemei. La intrare n-sistemul QS canal primește un flux eterogen cel mai simplu cu o intensitate totală λ Σ și

λ Σ = ,

unde λ i– intensitatea aplicaţiilor în i a sursa.

Deoarece fluxul de cereri este considerat ca o suprapunere a cerințelor din diverse surse, fluxul combinat cu suficientă precizie pentru practică poate fi considerat Poisson pentru N = 5...20 și λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Intensitatea serviciului unui dispozitiv este distribuită conform unei legi exponențiale și este egală cu μ = 1/ t. Dispozitivele de service pentru deservirea unei cereri sunt conectate în serie, ceea ce echivalează cu creșterea timpului de service de câte ori este combinat numărul de dispozitive pentru service:

t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,

Unde t obs – solicitati timp de service; k– numărul de dispozitive de service; μ obs – solicitați intensitatea de service.

În cadrul ipotezelor adoptate în capitolul 2, reprezentăm starea QS ca vector, unde k m– numărul de aplicații din sistem, fiecare dintre acestea fiind deservită m dispozitive; L = q max – q min +1 – numărul de fluxuri de intrare.

Apoi numărul de dispozitive ocupate și libere ( n zan ( ),n sv ( )) capabil este definită după cum urmează:

De la stat sistemul poate merge în orice altă stare . Din moment ce sistemul funcționează L fluxuri de intrare, apoi din fiecare stare este posibil posibil L tranziții directe. Cu toate acestea, din cauza resurselor limitate ale sistemului, nu toate aceste tranziții sunt fezabile. Lăsați SMO să fie într-o stare iar o cerere sosește solicitantă m dispozitive. Dacă m≤ n sv ( ), atunci cererea este acceptată pentru service și sistemul intră într-o stare cu intensitatea λ m. Dacă aplicația necesită mai multe dispozitive decât sunt disponibile, atunci serviciul va fi refuzat, iar QS-ul va rămâne în stare . Dacă puteți există aplicații care necesită m dispozitive, apoi fiecare dintre ele este deservit cu intensitatea  m, și intensitatea totală a deservirii unor astfel de solicitări (μ m) este definit ca μ m = k m μ / m. Când deservirea uneia dintre solicitări este finalizată, sistemul va intra într-o stare în care coordonatele corespunzătoare au o valoare mai mică decât în ​​stare. ,=, adică va avea loc tranziția inversă. În fig. 3.9 prezintă un exemplu de model vectorial al unui QS pentru n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intensitatea întreținerii dispozitivului – μ.

Orez. 3.9. Un exemplu de grafic al unui model vectorial al unui QS cu defecțiuni de serviciu

Deci fiecare stat caracterizat prin numărul de aplicații deservite de un anumit tip. De exemplu, într-o stare
o cerere este servită de un dispozitiv și o cerere de două dispozitive. În această stare, toate dispozitivele sunt ocupate, prin urmare, sunt posibile doar tranzițiile inverse (soirea oricărei solicitări în această stare duce la refuzul serviciului). Dacă deservirea unei cereri de primul tip s-a încheiat mai devreme, sistemul va intra în stare (0,1,0) cu intensitatea μ, dar dacă deservirea unei cereri de al doilea tip s-a încheiat mai devreme, atunci sistemul va intra în stare (0,1,0) cu intensitatea μ/2.

Folosind graficul de stare cu intensitățile de tranziție reprezentate, este compilat un sistem de ecuații algebrice liniare. Din rezolvarea acestor ecuații se găsesc probabilitățile R(), prin care sunt determinate caracteristicile QS.

Luați în considerare găsirea R otk (probabilitate de refuz de serviciu).

,

Unde S– numărul de stări ale graficului modelului vectorial QS; R() este probabilitatea ca sistemul să fie în stare .

Numărul de stări conform este determinat după cum urmează:

, (3.22)

;

Să determinăm numărul de stări ale modelului vectorial QS conform (3.22) pentru exemplul prezentat în Fig. 3.9.

.

Prin urmare, S = 1 + 5 + 1 = 7.

Pentru a implementa cerințe reale pentru dispozitivele de service, un număr suficient de mare de n (40, ..., 50), iar cererile pentru numărul de dispozitive de servire într-o aplicație se află în practică în intervalul 8-16. Cu un asemenea raport de instrumente și cereri, modalitatea propusă de găsire a probabilităților devine extrem de greoaie, deoarece modelul vectorial al QS are un număr mare de stări S(50) = 1790, S(60) = 4676, S(70) = = 11075, iar dimensiunea matricei de coeficienți a sistemului de ecuații algebrice este proporțională cu pătratul S, care necesită o cantitate mare de memorie de calculator și o cantitate semnificativă de timp de calculator. Dorința de a reduce cantitatea de calcule a stimulat căutarea capabilităților de calcul recurente R() pe baza formelor multiplicative de reprezentare a probabilităţilor de stare. Lucrarea prezintă o abordare a calculului R():

(3.23)

Utilizarea criteriului de echivalență a echilibrelor globale și detaliate ale lanțurilor Markov propus în lucrare ne permite să reducem dimensiunea problemei și să efectuăm calcule pe un computer de putere medie folosind recurența calculelor. În plus, este posibil să:

– efectuați calcule pentru orice valoare n;

– accelerați calculele și reduceți costurile de timp ale mașinii.

Alte caracteristici ale sistemului pot fi determinate în mod similar.

Informatica, cibernetica si programare

Un sistem de servicii cu n canale de servicii primește un flux Poisson de cereri cu intensitatea λ. Intensitatea deservirii cererilor de către fiecare canal. După încheierea serviciului, toate canalele sunt eliberate. Comportamentul unui astfel de sistem de așteptare poate fi descris printr-un proces aleator Markov t, care reprezintă numărul de cereri din sistem.

2. QS cu refuzuri și asistență reciprocă deplină pentru fluxurile de masă. Grafic, sistem de ecuații, relații calculate.

Formularea problemei.Un sistem de servicii cu n canale de servicii primește un flux Poisson de cereri cu intensitatea λ. Intensitatea deservirii unei aplicații de către fiecare canal este µ. Aplicația este deservită de toate canalele simultan. După încheierea serviciului, toate canalele sunt eliberate. Dacă o solicitare nou sosită primește cererea, aceasta este, de asemenea, acceptată pentru service. Unele canale continuă să servească prima solicitare, în timp ce restul continuă să servească pe cea nouă. Dacă sistemul deservește deja n aplicații, atunci o aplicație nou sosită este respinsă. Comportamentul unui astfel de sistem de așteptare poate fi descris de procesul aleator Markov ξ(t), care este numărul de cereri din sistem.

Stări posibile ale acestui proces E = (0, 1,. . . , n). Să găsim caracteristicile QS-ului considerat în mod staționar.

Graficul corespunzător procesului luat în considerare este prezentat în Figura 1.

Orez. 1. QS cu defecțiuni și asistență reciprocă completă pentru fluxurile Poisson

Să creăm un sistem de ecuații algebrice:

Soluția acestui sistem are forma:

Aici χ =λ/nµ este numărul mediu de cereri care intră în sistem în timpul mediu de deservire a unei cereri de către toate canalele.

Caracteristicile unui sistem de așteptare multicanal cu defecțiuni și asistență reciprocă completă între canale.

1. Probabilitatea de refuzare a serviciului (probabilitatea ca toate canalele să fie ocupate):

2. Probabilitatea de a deservi o cerere (capacitate relativă a sistemului):

Precum și alte lucrări care te-ar putea interesa
32353.		Metode de reglementare juridică (autoritară și autonomă) metode de influență juridică. Tendințele moderne în dezvoltarea metodelor și metodelor de reglementare juridică în dreptul rus	37 KB
	Metode de reglementare juridică: metode autoritare și autonome de influență juridică. Tendințele moderne în dezvoltarea metodelor și metodelor de reglementare juridică în dreptul rus. Știința juridică distinge între conceptele de influență juridică și reglementare juridică. Cu toate acestea, este necesar să se facă distincția între mijloacele strict definite de influență juridică asupra relațiilor sociale care sunt destinate în mod specific reglementării lor directe.
32354.		Conceptul de conștiință juridică. Structura conștiinței juridice	30 KB
	Conștiința juridică este un set de idei și sentimente care exprimă atitudinea oamenilor din comunitățile sociale, clasele de națiuni și oameni față de legea actuală și dorită. Fiind o reacție subiectivă umană la realitatea juridică, conștiința juridică, pe de o parte, reprezintă o formă de conștiință socială alături de morală, politică, religioasă, estetică etc. Legea și conștiința juridică sunt indisolubil legate. Conștiința juridică Alekseev este un partener inevitabil al legii.
32355.		Activitatea pedagogică, structura și specificul ei. Cerințe de personalitate a profesorului	16,92 KB
	Cerințe pentru personalitatea unui profesor. Conținutul este determinat de factori sociali, locul și funcția profesorului în societate, cerințele societății pentru profesor și factorii psihologici sociali, așteptările celorlalți, așteptările și atitudinile sociale. Stabilirea comunicativă și menținerea relațiilor cu elevii, părinții, administrația și profesorii. Profesorul trebuie să cunoască și să țină cont de caracteristicile elevului care îl împiedică sau îl ajută și să reacționeze în consecință la acestea.Lentoarea elevului asociată cu temperamentul său necesită răbdare și tact...
32356.		Bazele psihologice ale învățării. Învățarea ca proces și ca activitate. Modele de învățare de bază	17,22 KB
	Modele de învățare de bază. Predarea ca proces organizat este o latură a învățării și este un produs al activităților educaționale. Componente ale formării: Scopuri și obiective țintă Conținutul curriculumului Activitatea profesorului și a elevilor Evaluarea eficientă a stimei de sine Funcțiile formării: Stăpânirea educațională a cunoștințelor cunoștințelor Valoare educațională Atitudinea față de lume Stabilirea dezvoltării relațiilor dintre fenomene și factori Formarea este o activitate cognitivă intenționată a elevilor care vizează stăpânirea lor...
32357.		Conceptul general de temperament. Proprietăți și tipuri de temperament, manifestarea lor în activitate și comportament	16,91 KB
	Temperamentul este caracteristicile individuale înnăscute ale unei persoane care determină caracteristicile dinamice ale intensității și vitezei de răspuns, gradul de excitabilitate și echilibru emoțional și caracteristicile de adaptare la mediu. Ele determină dinamica diferitelor activități umane, jocuri, educaționale, de muncă, recreative: Reactivitatea este gradul de reacții involuntare ale unei persoane la influențele externe sau interne de aceeași putere. Plasticitate, ușurință, flexibilitate și viteza de adaptare umană la schimbările externe...
32358.		Conștientizarea personală de sine. Structura conștiinței de sine. Dezvoltarea conștiinței de sine în ontogeneză	18,56 KB
	Astfel, conștientizarea de sine include: Cunoașterea de sine Aspecte intelectuale ale cunoașterii de sine Atitudinea de sine Atitudinea emoțională față de sine În general, se pot distinge trei straturi ale conștiinței umane: Atitudinea față de sine Așteptarea atitudinii celorlalți față de sine proiecția atributului Atitudine față de alți oameni: nivel egocentric al relațiilor dacă mă ajută, atunci aceștia sunt oameni buni nivel centrat pe grup dacă aparține grupului meu, atunci este un nivel prosocial bun, tratați-i pe ceilalți așa cum ați vrea să vă trateze...
32359.		Concepte generale despre caracter. Structura caracterului. Tipologia caracterului	13,96 KB
	Structura caracterului. Tipologia caracterului. În structura personalității, caracterul ocupă un loc central, combinând toate celelalte proprietăți și caracteristici comportamentale: Influențează procesele cognitive asupra vieții emoționale asupra motivației și voinței Determină individualitatea și originalitatea unei persoane Caracterul uman este o fuziune a proprietăților înnăscute ale activității nervoase superioare. cu trăsături individuale dobândite în timpul vieţii. Structura caracterului: Trăsături care exprimă orientarea personalității, nevoi stabile, atitudini, interese, înclinații, idealuri, scopuri...
32360.		Activități de grup și comune. Factorii de eficacitate ai activităților de grup și comune	15,38 KB
	Factorii de eficacitate ai activităților de grup și comune. Compatibilitatea este capacitatea membrilor grupului de a lucra împreună. Tipuri de compatibilitate: Psihofiziologice anumite asemănări ale caracteristicilor oamenilor și pe această bază consistența reacțiilor lor emoționale și comportamentale, sincronizarea ritmului activității comune. Criterii de evaluare: Rezultate de performanță.
32361.		Pregătirea psihologică a copilului pentru școală. Metode de diagnosticare a pregătirii psihologice de a studia la școală	13,85 KB
	Pregătirea psihologică a copilului pentru educația școlară este un nivel necesar și suficient de dezvoltare mentală a copilului pentru stăpânirea curriculumului școlar într-un mediu de învățare cu colegii. Structura componente: Pregătirea psihomator, echilibrul proceselor de excitație și inhibiție, care permite copilului să-și concentreze atenția pentru un timp mai îndelungat, contribuie la formarea formelor voluntare de comportament și a proceselor cognitive; dezvoltarea mușchilor mici ai mâinii și a coordonării mână-ochi, care creează...

Caracteristici de clasificare

Tipuri de sisteme de așteptare

Fluxul de cerințe de intrare

Cerințe limitate

Închis

Deschis

Legea distribuției

Sisteme cu o lege specifică de distribuție a fluxului de intrare: exponențial, Erlang k-comanda, Palma, normal etc.

Coadă

Disciplina la coada

Cu o coadă ordonată

Cu o coadă neordonată

Cu prioritate de serviciu

În așteptarea limitelor de service

Cu refuzuri

Cu anticipare nelimitată

Cu restricții (mixte)

După lungimea cozii

Prin timp de așteptare la coadă

După perioada de ședere în SMO

Combinate

Disciplina de serviciu

Etape de întreținere

Fază singulară

Polifazic

Numărul de canale de servicii

Un singur canal

Multicanal

Cu canale egale

Cu canale inegale

Fiabilitatea canalelor de servicii

Cu canale absolut de încredere

Cu canale nesigure

Fără recuperare

Cu restaurare

Asistență reciprocă a canalelor

Fără ajutor reciproc

Cu ajutor reciproc

Fiabilitatea serviciului

Cu greșeli

Fără greșeală

Distribuția timpului de serviciu

Sisteme cu o lege specifică de distribuție a timpului de serviciu: deterministă, exponențială, normală etc.

Dacă întreținerea se efectuează pas cu pas printr-o anumită secvență de canale, atunci se apelează un astfel de QS multifazic.

ÎN OCM cu „ajutor reciproc”între canale, aceeași cerere poate fi deservită simultan de două sau mai multe canale. De exemplu, aceeași mașină spartă poate fi întreținută de doi muncitori simultan. O astfel de „asistență reciprocă” între canale poate avea loc atât în ​​QS-uri deschise, cât și închise.

ÎN QS cu erori o aplicație acceptată pentru service în sistem nu este deservită cu probabilitate totală, ci cu o anumită probabilitate; cu alte cuvinte, pot apărea erori în serviciu, rezultatul cărora este că unele solicitări trimise de QS și presupus „deservite” rămân de fapt neservite din cauza unui „defect” în activitatea QS.

Exemple de astfel de sisteme includ: birourile de informare, care uneori eliberează certificate și instrucțiuni incorecte; un corector care poate să rateze o eroare sau să o corecteze incorect; o centrală telefonică care conectează uneori un abonat la un număr greșit; societăți comerciale și intermediare care nu întotdeauna își îndeplinesc obligațiile în mod eficient și la timp etc.

Pentru a analiza procesul care are loc în QS, este esențial să știți principalii parametri ai sistemului: numărul de canale, intensitatea fluxului de aplicații, productivitatea fiecărui canal (numărul mediu de aplicații deservite pe unitatea de timp de către canal), condițiile de formare a cozii, intensitatea aplicațiilor care părăsesc coada sau sistem.

Atitudinea se numește factor de încărcare a sistemului. Adesea numai sisteme în care .

Timpul de serviciu într-un QS poate fi fie o variabilă aleatoare, fie o variabilă non-aleatoare. În practică, acest timp este cel mai adesea presupus a fi distribuit conform legii exponențiale.

Principalele caracteristici ale QS depind relativ puțin de tipul de lege de distribuție a timpului de serviciu, dar depind în principal de valoarea medie. Prin urmare, se utilizează adesea ipoteza că timpul de serviciu este distribuit conform unei legi exponențiale.

Ipotezele despre natura Poisson a fluxului de cereri și distribuția exponențială a timpului de serviciu (pe care o vom presupune de acum înainte) sunt valoroase prin faptul că ne permit să aplicăm aparatul așa-numitelor procese aleatoare Markov în teoria cozilor de așteptare.

Eficacitatea sistemelor de servicii, în funcție de condițiile sarcinilor și obiectivelor studiului, poate fi caracterizată printr-un număr mare de indicatori cantitativi diferiți.

Cele mai frecvent utilizate sunt următoarele indicatori:

1. Probabilitatea ca canalele să fie ocupate cu service este .

Un caz special este probabilitatea ca toate canalele să fie libere.

2. Probabilitatea refuzului cererii de serviciu.

3. Numărul mediu de canale ocupate caracterizează gradul de încărcare a sistemului.

4. Numărul mediu de canale fără serviciu:

5. Coeficientul (probabilitatea) de oprire a canalului.

6. Factorul de încărcare a echipamentului (probabilitatea de ocupare a canalului)

7. Debit relativ – ponderea medie a cererilor primite deservite de sistem, i.e. raportul dintre numărul mediu de cereri deservite de sistem pe unitatea de timp și numărul mediu de cereri primite în acest timp.

8. Debit absolut, de ex. numărul de aplicații (cerințe) pe care sistemul le poate deservi pe unitatea de timp:

9. Timp mediu de nefuncționare a canalului

Pentru sisteme cu anticipare sunt utilizate caracteristici suplimentare:

10. Timp mediu de așteptare pentru cererile în coadă.

11. Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în CMO.

12. Lungimea medie a cozii.

13. Numărul mediu de cereri în sectorul serviciilor (în SMO)

14. Probabilitatea ca timpul în care o aplicație rămâne în coadă să nu dureze mai mult de un anumit timp.

15. Probabilitatea ca numărul de cereri din coada de așteptare a serviciului să fie mai mare decât un anumit număr.

Pe lângă criteriile enumerate, atunci când se evaluează eficacitatea sistemelor, indicatori de cost:

– costul deservirii fiecărei cerințe din sistem;

– costul pierderilor asociate cu așteptarea pe unitatea de timp;

– costul pierderilor asociate cu plecarea daunelor din sistem;

– costul de operare a unui canal de sistem pe unitatea de timp;

– costul pe unitatea de timp de oprire a canalului.

Atunci când alegeți parametrii optimi ai sistemului pe baza indicatorilor economici, puteți utiliza următoarele funcția de cost de pierdere:

a) pentru sistemele cu așteptare nelimitată

Unde este intervalul de timp;

b) pentru sistemele cu defecțiuni;

c) pentru sisteme mixte.

Opțiunile care implică construirea (introducerea) de noi elemente de sistem (de exemplu, canalele de servicii) sunt de obicei comparate pe baza costurilor reduse.

Costurile date pentru fiecare opțiune sunt suma costurilor (costului) curente și a investițiilor de capital reduse la aceeași dimensiune în conformitate cu standardul de eficiență, de exemplu:

(costuri ajustate pe an);

(costuri ajustate pentru perioada de rambursare),

unde – costurile curente (costul) pentru fiecare opțiune, rub.;

– coeficientul standard al industriei de eficiență economică a investițiilor de capital (de obicei = 0,15 - 0,25);

– investiții de capital pentru fiecare opțiune, rub.;

– perioada standard de rambursare pentru investițiile de capital, ani.

Expresia este suma costurilor curente și de capital pentru o anumită perioadă. Ei sunt numiti, cunoscuti dat, deoarece se referă la o perioadă fixă ​​de timp (în acest caz, perioada standard de rambursare).

Indicatori și pot fi utilizați atât sub forma sumei investițiilor de capital și a costului produselor finite, cât și sub forma investiții de capital specifice pe unitate de producție și cost unitar de producție.

Pentru a descrie un proces aleatoriu care are loc într-un sistem cu stări discrete, probabilitățile de stare sunt adesea folosite, unde este probabilitatea ca în acest moment sistemul să fie în stare.

Este evident că.

Dacă un proces care are loc într-un sistem cu stări discrete și timp continuu este Markovian, atunci pentru probabilitățile stărilor este posibil să se construiască un sistem de ecuații diferențiale liniare Kolmogorov.

Dacă există un grafic de stare marcat (Fig. 4.3) (aici, deasupra fiecărei săgeți care duce de la o stare la alta, este indicată intensitatea fluxului de evenimente care transferă sistemul de la o stare la alta de-a lungul acestei săgeți), atunci un sistem de ecuațiile diferențiale pentru probabilități pot fi scrise imediat folosind următorul simplu regulă.

Pe partea stângă a fiecărei ecuații există o derivată, iar în partea dreaptă sunt atât de mulți termeni câte săgeți sunt asociate direct cu o stare dată; dacă săgeata indică V

Dacă toate fluxurile de evenimente care transferă sistemul de la o stare la alta sunt staționare, numărul total de stări este finit și nu există stări fără ieșire, atunci regimul limitativ există și se caracterizează prin probabilități marginale .

Până acum, am luat în considerare doar astfel de QS-uri în care fiecare cerere poate fi deservită de un singur canal; canalele neocupate nu îi pot „ajuta” pe cei ocupați în service.

În general, acesta nu este întotdeauna cazul: există sisteme de așteptare în care aceeași cerere poate fi deservită simultan de două sau mai multe canale. De exemplu, aceeași mașină spartă poate fi întreținută de doi muncitori simultan. O astfel de „asistență reciprocă” între canale poate avea loc atât în ​​QS-uri deschise, cât și închise.

Când luați în considerare un QS cu asistență reciprocă pe mai multe canale, trebuie să luați în considerare doi factori:

1. Cât de repede se accelerează întreținerea unei aplicații atunci când nu unul, ci mai multe canale lucrează la ea simultan?

2. Ce este „disciplina de ajutor reciproc”, adică când și cum preiau mai multe canale să deservească aceeași cerere?

Să ne uităm mai întâi la prima întrebare. Este firesc să presupunem că, dacă nu un canal, ci mai multe canale lucrează pentru a deservi o aplicație, intensitatea fluxului de serviciu nu va scădea odată cu creșterea k, adică va reprezenta o funcție nedescrescătoare a numărului k de lucru. canale. Să notăm această funcție.O formă posibilă a funcției este prezentată în Fig. 5.11.

Evident, o creștere nelimitată a numărului de canale care funcționează simultan nu duce întotdeauna la o creștere proporțională a vitezei de serviciu; Este mai firesc să presupunem că la o anumită valoare critică, o creștere suplimentară a numărului de canale ocupate nu mai crește intensitatea serviciului.

Pentru a analiza funcționarea unui QS cu asistență reciprocă între canale, este necesar, în primul rând, să se stabilească tipul funcției

Cel mai simplu caz de studiat va fi cazul în care funcția crește proporțional cu k în timp ce și rămâne constantă și egală (vezi Fig. 5.12). Dacă numărul total de canale care se pot ajuta reciproc nu depășește

Să ne oprim acum asupra celei de-a doua întrebări: disciplina asistenței reciproce. Vom numi cel mai simplu caz al acestei discipline „toți ca unul”. Aceasta înseamnă că atunci când apare o solicitare, toate canalele încep să o deservească dintr-o dată și rămân ocupate până când serviciul acestei solicitări se încheie; apoi toate canalele trec la deservirea unei alte cereri (dacă există una) sau așteaptă apariția acesteia dacă nu, etc. Evident, în acest caz, toate canalele funcționează ca unul singur, QS-ul devine monocanal, dar cu un serviciu mai mare intensitate.

Se pune întrebarea: este profitabilă sau neprofitabilă introducerea unei astfel de asistențe reciproce între canale? Răspunsul la această întrebare depinde de care este intensitatea fluxului de cereri, ce tip de funcție, ce tip de QS (cu defecțiuni, cu coadă), ce valoare este aleasă ca caracteristică a eficienței serviciului.

Exemplul 1. Există un QS cu trei canale cu defecțiuni: intensitatea fluxului de aplicații (aplicații pe minut), timpul mediu de deservire a unei cereri de un canal (min), funcția Întrebarea este dacă este benefică din punctul de vedere al debitului QS pentru a introduce asistență reciprocă între canalele de tip „toți ca unul” „? Este acest lucru benefic din punctul de vedere al reducerii timpului mediu de ședere a unei aplicații în sistem?

Soluția a. Fără asistență reciprocă

Folosind formulele Erlang (vezi § 4) avem:

Capacitatea relativă a QS-ului;

Debit absolut:

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în QS se găsește ca probabilitatea ca cererea să fie acceptată pentru serviciu înmulțită cu timpul mediu de serviciu:

Gsist (min).

Nu trebuie să uităm că acest timp mediu se aplică tuturor aplicațiilor - atât deservite, cât și neservite. Ne poate interesa și timpul mediu în care o aplicație deservită va rămâne în sistem. Acest timp este egal cu:

6. Cu ajutor reciproc.

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în CMO:

Timp mediu petrecut de o aplicație deservită în CMO:

Astfel, în prezența asistenței reciproce „toți ca unul”, debitul QS a scăzut considerabil. Acest lucru se explică printr-o creștere a probabilității de refuz: în timp ce toate canalele sunt ocupate cu o solicitare, alte solicitări pot ajunge și, în mod natural, pot fi respinse. În ceea ce privește timpul mediu pe care o aplicație îl petrece în CMO, acesta, așa cum ne-am aștepta, a scăzut. Dacă, dintr-un motiv oarecare, ne străduim să reducem complet timpul pe care o aplicație îl petrece în QS (de exemplu, dacă rămânerea în QS este periculoasă pentru aplicație), se poate dovedi că, în ciuda reducerii debitului, aceasta va este totuși benefic să combinați cele trei canale într-unul singur.

Să luăm acum în considerare influența asistenței reciproce de tip „toți ca unul” asupra activității QS cu așteptare. Pentru simplitate, luăm doar cazul unei cozi nelimitate. Desigur, în acest caz nu va exista nicio influență a asistenței reciproce asupra debitului QS, deoarece în orice condiții toate cererile primite vor fi deservite. Se pune întrebarea despre influența asistenței reciproce asupra caracteristicilor așteptării: lungimea medie a cozii, timpul mediu de așteptare, timpul mediu petrecut în serviciu.

În virtutea formulelor (6.13), (6.14) § 6 pentru serviciul fără asistență reciprocă, numărul mediu de cereri din coadă va fi

timpul mediu de așteptare:

și timpul mediu de rezidență în sistem:

Dacă se utilizează asistență reciprocă de tip „toți ca unul”, atunci sistemul va funcționa ca un singur canal cu parametrii

iar caracteristicile sale sunt determinate de formulele (5.14), (5.15) § 5:

Exemplul 2. Există un QS cu trei canale cu o coadă nelimitată; intensitatea fluxului de aplicații (aplicații pe minut), timp mediu de service Funcție Semnificație benefică:

Lungimea medie a cozii,

Timp mediu de așteptare pentru service,

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în CMO

introduceți asistență reciprocă între canale precum „toți ca unul”?

Soluția a. Fără asistență reciprocă.

Conform formulelor (9.1) - (9.4) avem

(3-2)

b. Cu ajutor reciproc

Folosind formulele (9.5) - (9.7) găsim;

Astfel, lungimea medie a cozii și timpul mediu de așteptare în coadă în cazul asistenței reciproce sunt mai mari, dar timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem este mai mic.

Din exemplele luate în considerare, reiese clar că asistența reciprocă între Tipul de numerar „toți ca unul”, de regulă, nu contribuie la creșterea eficienței serviciului: timpul de păstrare a unei cereri în sistemul de servicii este redus, dar alte caracteristici ale serviciului se deteriorează.

Prin urmare, este de dorit să se schimbe disciplina de serviciu, astfel încât asistența reciprocă între canale să nu interfereze cu acceptarea de noi cereri de serviciu dacă acestea apar în timp ce toate canalele sunt ocupate.

Să numim următorul tip de asistență reciprocă „asistență reciprocă uniformă”. Dacă o solicitare ajunge într-un moment în care toate canalele sunt gratuite, atunci toate canalele sunt acceptate pentru deservirea acesteia; dacă, în momentul deservirii unei aplicații, sosește alta, unele dintre canale trec la deservirea acesteia; dacă, în timp ce aceste două solicitări sunt deservite, sosește o alta, unele dintre canale trec la deservire etc., până când toate canalele sunt ocupate; dacă este așa, aplicația nou sosită este respinsă (într-un QS cu refuzuri) sau este pusă la coadă (într-un QS cu așteptare).

Cu această disciplină de asistență reciprocă, o cerere este refuzată sau pusă la coadă doar atunci când nu este posibilă deservirea acesteia. În ceea ce privește „timpul” al canalelor, acesta este minim în aceste condiții: dacă există cel puțin o solicitare în sistem, toate canalele funcționează.

Am menționat mai sus că, atunci când apare o nouă solicitare, unele dintre canalele ocupate sunt eliberate și trec la deservirea cererii nou sosite. Ce parte? Depinde de tipul funcției.Dacă are forma unei relații liniare, așa cum se arată în Fig. 5.12 și nu contează ce parte a canalelor este alocată pentru a servi o cerere nou primită, atâta timp cât toate canalele sunt ocupate (atunci intensitatea totală a serviciilor pentru orice distribuție a canalelor între cereri va fi egală cu ). Se poate dovedi că dacă curba este convexă în sus, așa cum se arată în Fig. 5.11, atunci trebuie să distribuiți canalele între cereri cât mai uniform posibil.

Să luăm în considerare funcționarea unui QS -canal cu asistență reciprocă „uniformă” între canale.