Татаж авах танилцуулга: нийлмэл тоонуудын гарал үүсэл, тэдгээрийн хэрэглээ. "Комплекс тоонуудын түүх" сэдэвт илтгэл. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

1.85  -2  0.8 Тооны ертөнц хязгааргүй.  Тооны тухай анхны санаанууд нь биетүүдийг (1, 2, 3 гэх мэт) - БАЙГАЛИЙН ТООНЫ тооллогын үр дүнд үүссэн.  Дараа нь урт, жин гэх мэтийг хэмжсэний үр дүнд ФРАКЦИУД үүссэн. ( гэх мэт)  СӨРӨГ ТООН, алгебрийн хөгжлөөр гарч ирсэн Бүхэл тоо (жишээ нь натурал тоо 1, 2, 3 гэх мэт. .), сөрөг тоо ( -1, -2, -3 гэх мэт ба тэг), бутархайг РАЦИОНАЛ ТООН гэж нэрлэдэг. ,  Хажуугийн урт нь хэмжих нэгжтэй тэнцүү бол рационал тоо нь квадратын диагоналын уртыг зөв илэрхийлж чадахгүй. Хэмжээгүй хэрчмүүдийн харилцааг үнэн зөв илэрхийлэхийн тулд та шинэ тоог оруулах хэрэгтэй:  ИРРАЦИОНАЛ (г.м.) Рациональ ба иррационал – багцыг үүсгэнэ: Бодит тоо. Бодит тоонуудыг авч үзэхдээ бодит тоонуудын багцад жишээлбэл квадрат нь тэнцүү тоог олох боломжгүй гэдгийг тэмдэглэв. Сөрөг дискриминант бүхий квадрат тэгшитгэлийг авч үзэхдээ ийм тэгшитгэл нь бодит тоо язгуургүй болохыг тэмдэглэсэн. Ийм асуудлыг шийдвэрлэх боломжтой болгохын тулд шинэ тоонуудыг нэвтрүүлсэн - Цогц тоо Цогцолбор тоо 2 = -1 3 = - = 4 =1 b - Төсөөлөл a + b - Цогцолбор тоо a, b - Аливаа бодит тоо Комплекс тооны өнгөрсөн ба одоо. Цогцолбор тоо 400 гаруй жилийн өмнө математикт үүссэн. Бид сөрөг тооны квадрат язгууртай анх удаа таарлаа. Энэ илэрхийлэл юу болохыг, түүнд ямар утга учрыг өгөх ёстойг хэн ч мэдэхгүй. Аливаа сөрөг тооны квадрат язгуур нь бодит тооны олонлогт ямар ч утгагүй. Квадрат, куб, 4-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ийм зүйл тохиолддог. МАТЕМАТИКИЙН ИТГЭДЭГ: ЛЕОНАРД АЙЛЕР Сөрөг тооны квадрат язгуурууд нь -ээс их, багагүй, тэгтэй тэнцүү биш тул боломжит тоонуудын дунд тоолж болохгүй. Готфрид Уильям Лейбнетс нийлмэл тоог Готфрид Лейбнетс "тэнгэрлэг сүнсний дэгжин бөгөөд гайхамшигтай хоргодох газар", үзэл бодлын ертөнцийн доройтол, орших ба оршихгүй хоёрын хооронд байрладаг бараг давхар оршихуй" гэж нэрлэсэн. Тэр бүү хэл булшин дээрээ нөгөө ертөнцийн билэг тэмдэг болгон тэмдэг зурж өгөхийг гэрээсэлсэн байна. 19-р зууны эхээр К.Гаусс тэдгээрийг "нийлмэл тоо" гэж нэрлэхийг санал болгов. K. F. Gauss Комплекс тооны хэлбэрүүд: Z=a+bi – алгебрийн хэлбэр Z=r() – тригонометр Z=rE - экспоненциал Цогцолбор тоонууд:  Газарзүйн зураг зурахдаа  Агаарын хөлгийн барилгын онолд  Төрөл бүрийн судалгаанд ашигладаг. тооны онол дээр  Цахилгаан механикт  Байгалийн ба хиймэл селестиел биетүүдийн хөдөлгөөнийг судлахдаа гэх мэт. г.Танилцуулгын төгсгөлд “Өөрийгөө сорих” кроссворд шийд 8 1 3 2 7 5 6 4 1. Z=a+bc хэлбэрийн тоог юу гэж нэрлэдэг вэ? 2. Төсөөллийн нэгжийн ямар хүчийг авах вэ? 3.Зөвхөн төсөөллийн хэсгийн тэмдгээр ялгаатай тоог юу гэж нэрлэдэг вэ?4. Вектор урт. 5.Векторын байрлах өнцөг. 6. Цогцолбор тоо ямар хэлбэртэй вэ: Z=r(cos +sin)? 7. Z=re цогцолбор тоо ямар хэлбэртэй вэ? 8. View D=b -4ac, D гэж юу вэ?

Сэдвийг судалсны дараа “Цогц тоо
оюутнууд хийх ёстой:
Мэдэх:
алгебр, геометр, тригонометрийн хэлбэрүүд
нийлмэл тоо.
Боломжтой байх:
нийлмэл тоон дээр нэмэх үйлдлийг гүйцэтгэх;
үржүүлэх, хасах, хуваах, нэмэгдүүлэх, задлах
нийлмэл тооны үндэс;
нийлмэл тоог алгебрийн хэлбэрээс хувиргах
геометр ба тригонометр;
нийлмэл тоонуудын геометрийн тайлбарыг ашиглах;
хамгийн энгийн тохиолдолд тэгшитгэлийн цогц язгуурыг ол
бодит коэффициентүүд.

Та ямар тооны багцыг мэддэг вэ?

I. Шинэ материалыг судлахад бэлтгэх
Та ямар тооны багцыг мэддэг вэ?
Н
З
Q
N Z Q R
Р

Тоон систем
Байгалийн
тоо, Н
Бүхэл тоо, З
Рационал тоо, Q
Бодит тоо,
Р
Цогцолбор
тоо, C
Зөвшөөрөх боломжтой
алгебрийн
үйл ажиллагаа
Нэмэлт,
үржүүлэх
Нэмэх, хасах,
үржүүлэх
Нэмэх, хасах,
үржүүлэх, хуваах
Нэмэх, хасах,
үржүүлэх, хуваах,
rooting
сөрөг бус тоо
Бүх үйл ажиллагаа
Хэсэгчилсэн
хүлээн зөвшөөрөх боломжтой
алгебрийн
үйл ажиллагаа
Хасах, хуваах,
үндэс олборлолт
хэлтэс,
үндэс олборлолт
-аас үндэс гаргаж авах
сөрөг бус
тоо
Үндэс олборлолт
дур зоргоороо
тоо

Хангах ёстой хамгийн бага нөхцөл
нийлмэл тоонууд:
C1) Квадрат язгуур байдаг, i.e. байдаг
квадрат нь тэнцүү цогц тоо.
C2) Комплекс тоонуудын багц нь бүх бодит тоог агуулдаг
тоо.
C3) Нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд
нийлмэл тоо нь ердийн хуулиудыг хангадаг
арифметик үйлдлүүд (хосолсон, солигдох,
хуваарилалт).
Эдгээр хамгийн бага нөхцлийн биелэлт нь тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог
нийлмэл тооны бүхэл C багц.

Төсөөллийн тоо

i = -1, i – төсөөллийн нэгж
i, 2i, -0.3i - цэвэр төсөөллийн тоо
Цэвэр зохиомол тоон дээрх арифметик үйлдлүүд
С3 нөхцлийн дагуу хангагдсан байна.
3i 13i 3 13 би 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
би 7 би 2 би i
3
Ерөнхийдөө арифметик үйлдлийн дүрэм нь зөвхөн төсөөлөлтэй байдаг
тоонууд нь:
a b i;
a bi ab i;
ай би
ai bi a b i;
ай би аби а
a ба b нь бодит тоо.
2

Нарийн төвөгтэй тоо

Тодорхойлолт 1. Комплекс тоо нь нийлбэр юм
бодит тоо ба цэвэр төсөөллийн тоо.
z a bi C a R, b R,
i бол төсөөллийн нэгж юм.
a Re z , b Im z
Тодорхойлолт 2. Хоёр цогц тоог дуудна
тэдгээрийн бодит хэсгүүд тэнцүү ба тэнцүү бол тэнцүү
Тэдний төсөөллийн хэсгүүд:
a bi c di a c, b d .

Комплекс тоонуудын ангилал

Нарийн төвөгтэй тоо
a+bi
Бодит тоо
b=o
Рациональ
тоо
Оновчгүй
тоо
Төсөөллийн тоо
b≠o
-тэй зохиомол тоо
тэг биш
хүчинтэй
хэсэг
a ≠ 0, b ≠ 0.
Цэвэр
төсөөлөлтэй
тоо
a = 0, b ≠ 0.

Комплекс тоон дээрх арифметик үйлдлүүд

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad
2
2
би
2
2
c di (c di) (c di) c d
в г

Нийлмэл комплекс тоо

Тодорхойлолт: Хэрэв комплекс тоо хадгалагдсан бол
Бодит хэсэг ба төсөөллийн хэсгийн тэмдгийг өөрчил, тэгвэл
үр дүн нь өгөгдсөн тоонд нийлдэг комплекс тоо юм.
Өгөгдсөн нийлмэл тоог z үсгээр тэмдэглэсэн бол
нийлмэл тоог z-ээр тэмдэглэнэ:
z x yi z x yi
Бүх нийлмэл тоонуудаас бодит тоонууд (зөвхөн тэдгээр нь)
тэдгээрийн нийлмэл тоотой тэнцүү байна.
a + bi ба a - bi тоонуудыг харилцан нийлдэг тоо гэж нэрлэдэг
нийлмэл тоо.

Хавсарсан тооны шинж чанарууд

1. Хоёр нийлмэл тооны нийлбэр ба үржвэр нь тоо юм
жинхэнэ.
z z (a bi) (a bi) 2a
z z (a bi)(a bi) a 2 (bi) 2 a 2 b 2
2. Хоёр нийлмэл тооны нийлбэрийн нийлмэл тоо нь тэнцүү байна
хавсарсан тоонуудын нийлбэр.
z1 z2 z1 z2
3. Хоёр нийлмэл тооны зөрүүний нийлмэл тоо тэнцүү байна
өгөгдсөн тооны коньюгатуудын ялгаа.
z1 z2 z1 z2
4. Хоёр нийлмэл тооны үржвэрийн коньюгат тоо тэнцүү байна
өгөгдсөн тооны коньюгатуудын үржвэр.
z1z2 z1 z2

Хавсарсан тооны шинж чанарууд

5. z цогцолбор тооны n-р зэрэгтэй нийлдэг тоо,
z тоотой нийлдэг тооны n-р зэрэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.
z n (z)n , n N
6. -аас хоёр нийлмэл тооны нийлмэл тоо
хуваагч нь тэг биш бол хуваагчтай тэнцүү байна
хавсарсан тоонууд, өөрөөр хэлбэл.
а би ба би
c di c di

Төсөөллийн нэгжийн хүч

Тодорхойлолтоор бол i-ийн эхний хүч нь
1
өөрөө
i тоо, хоёр дахь хүч нь -1 тоо:
i1 = i, i2 = -1
.
i-ийн дээд хүчийг дараах байдлаар олно
1
арга:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1 гэх мэт.
Аливаа натурал n тооны хувьд ойлгомжтой
i4n = 1;
i4n +2 = - 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = - i.

Комплекс тоонуудын квадрат язгуурыг алгебрийн хэлбэрээр гаргаж авах.

Тодорхойлолт. w тоог квадрат язгуур гэж нэрлэдэг
2
квадрат нь z-тэй тэнцүү бол z цогцолбор тоо: w z
Теорем. z=a+bi нь тэгээс өөр комплекс тоо байг.
Дараа нь хоёр эсрэг тэсрэг цогцолбор байдаг
квадрат нь z-тэй тэнцүү тоонууд. Хэрэв b≠0 бол энэ хоёр тоо байна
томъёогоор илэрхийлнэ:
w
a2 b2 a
би гарын үсэг зурсан
2
a 2 b 2 a
, Хаана
2
b 0 бол 1
b 0 бол тэмдэг 1
b 0 бол 0
b 0, a 0-ийн хувьд бидэнд: w a, b 0-ийн хувьд, a 0-ийн хувьд: w i a байна.

Комплекс тоонуудын геометрийн дүрслэл.

Координатын хавтгай дээрх z цогцолбор тоо
M(a, b) цэгтэй тохирч байна.
Ихэнхдээ онгоцон дээрх цэгүүдийн оронд тэдгээрийг авдаг
радиус векторууд
ОМ
Тодорхойлолт: Комплекс тооны модуль z = a + bi
сөрөг бус тоогa 2 b2 гэж нэрлэнэ үү
,
М цэгээс эхлэл хүртэлх зайтай тэнцүү байна
z a 2 b2
координатууд
cos
y
М (а, б)
б
φ
О
а
x
а
мөн нүгэл
б
a2 b2
a2 b2
комплекс тооны аргумент
;

Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

z r cos i нүгэл
Энд φ нь комплекс тооны аргумент,
r=
a 2 b2 - комплекс тооны модуль,
cos
а
a2 b2
мөн нүгэл
б
a2 b2

Тригонометрийн хэлбэрээр өгөгдсөн нийлмэл тоог үржүүлэх, хуваах

Теорем
Хэрэв
1.
z1 0, z2 0
Тэгээд
z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 , тэгвэл:
A)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i нүгэл 1 2
б)
z1 r1
учир нь 1 2 би гэм 1 2
z2 r2
Теорем 2 (Мойврын томъёо).
z нь ямар ч тэг биш байг
комплекс тоо, n - дурын бүхэл тоо.
Дараа нь
z r cos i sin r n cosn i sin n .
n
n

Комплекс тооны үндсийг задлах.

Теорем. Аливаа натурал тоо n ба
z-ээс ялгаатай комплекс тоо байдаг
n-язгуурын өөр өөр утгууд.
Хэрэв
z r cos би нүгэл,
Дараа нь эдгээр утгыг томъёогоор илэрхийлнэ
2к
2к
wk r cos
би нүгэл үйлддэг
,
n
n
Энд k 0,1,..., (n 1)

Локтионова Г.Н.

математикийн багш

GAPOU "Тээврийн тээврийн коллеж"

"Цогцолбор тоо ба үйлдлүүд

тэдний дээр"

• Сэдвийг судалсны дараа оюутнууд: Мэдэх:комплекс тоонуудын алгебр, геометр, тригонометрийн хэлбэрүүд. Боломжтой байх:нийлмэл тоог нийлмэл тоон дээр нэмэх, үржүүлэх, хасах, хуваах, нэмэгдүүлэх, язгуур гаргах үйлдлийг гүйцэтгэх; нийлмэл тоог алгебраас геометр, тригонометрийн хэлбэрт шилжүүлэх; нийлмэл тоонуудын геометрийн тайлбарыг ашиглах; хамгийн энгийн тохиолдолд бодит коэффициент бүхий тэгшитгэлийн цогц язгуурыг ол.

• Түүхийн лавлагаа
• Үндсэн ойлголтууд
• Комплекс тоонуудын геометрийн дүрслэл
• Комплекс тоо бичих хэлбэр
• Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд

• Гусак, А.А. Дээд математик: их сургуулийн оюутнуудад зориулсан сурах бичиг: 2 боть. T.1. /А.А. Гандер. - 5 дахь хэвлэл. – Минск: ТетраСистемс, 2004. – 544 х.
• Канатников, А.Н. Шугаман алгебр. / A.N. Канатников, A.P. Крисченко. - М .: MSTU im-ийн хэвлэлийн газар. Н.Э. Бауман, 2001 - 336 х.
• Курош, А.Г. Дээд алгебрийн курс. / A.G. Курош. - М.: Шинжлэх ухаан, 1971-432.
• Бичсэн: D.T. Дээд математикийн лекцийн тэмдэглэл. 1 хэсэг. – 2-р хэвлэл, Илч. – М .: Iris-press, 2003. - 288 х.
• Сикорская, Г.А. Алгебр ба геометрийн лекцийн курс: Тээврийн факультетийн оюутнуудад зориулсан сурах бичиг / Г.А. Сикорская. - Оренбург: IPK GOU OSU, 2007. – 374 х.

х.1 Түүхэн суурь

Комплекс тооны тухай ойлголт нь алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх практик, онолоос үүссэн.

Математикчид анх квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ нийлмэл тоотой тулгарсан. 16-р зууныг хүртэл дэлхийн математикчид квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед үүссэн цогц язгууруудын хүлээн зөвшөөрөгдөх тайлбарыг олоогүй тул тэдгээрийг худал гэж зарлаж, харгалзан үздэггүй байв.

3, 4-р зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхээр ажиллаж байсан Кардано нь нарийн төвөгтэй тоонуудтай албан ёсоор ажилладаг анхны математикчдын нэг байсан боловч тэдгээрийн утга нь түүнд тодорхойгүй хэвээр байв.

Комплекс тооны утгыг Италийн өөр нэг математикч Р.Бомбелли тайлбарлав. Тэрээр "Алгебр" (1572) номондоо нийлмэл тоонуудыг орчин үеийн хэлбэрээр ажиллуулах дүрмийг анх гаргажээ.

Гэсэн хэдий ч 18-р зууныг хүртэл нийлмэл тоо нь "төсөөлөл" бөгөөд ашиггүй гэж үздэг. Бодит тоог тоон шулууны хэрчмүүдээр тодорхойлсон Декарт мэтийн гайхалтай математикч хүртэл нийлмэл тоонуудын бодит тайлбар байхгүй, мөнхөд төсөөлөл, төсөөлөл хэвээр үлдэнэ гэж итгэж байсан нь сонирхолтой юм. Агуу математикч Ньютон, Лейбниц нар ижил төстэй үзэл бодолтой байсан.

Зөвхөн 18-р зуунд математикийн анализ, геометр, механикийн олон асуудал нь нийлмэл тоон дээрх үйлдлүүдийг өргөнөөр ашиглах шаардлагатай болсон нь тэдгээрийн геометрийн тайлбарыг хөгжүүлэх нөхцөлийг бүрдүүлсэн.

18-р зууны дунд үед д'Аламберт, Эйлер нарын хэрэглээний бүтээлүүдэд зохиогчид дурын төсөөллийн хэмжигдэхүүнийг хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг. z=a+ib, энэ нь ийм хэмжигдэхүүнийг координатын хавтгайн цэгүүдээр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Энэ тайлбарыг Гаусс алгебрийн тэгшитгэлийн шийдлийг судлах ажилд ашигласан.

Зөвхөн 19-р зууны эхэн үед математикийн янз бүрийн салбарт нийлмэл тоонуудын үүрэг аль хэдийн тодорхой болсон үед тэдгээрийн маш энгийн бөгөөд байгалийн геометрийн тайлбарыг боловсруулсан нь цогцолбор дээрх үйлдлүүдийн геометрийн утгыг ойлгох боломжийг олгосон юм. тоо.

П. 2 Үндсэн ойлголтууд

Цогцолбор тоо zхэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг z=a+ib, Хаана аТэгээд б- бодит тоо, би – төсөөллийн нэгж, энэ нь хамаарлаар тодорхойлогддог:

Энэ тохиолдолд тоо адуудсан бодит хэсэгтоо z

(а = Re z), А б - төсөөллийн хэсэг (б = Би З).

Хэрэв а = Re z =0 , тэр тоо zболно цэвэр төсөөлөл, Хэрэв б = Би З =0 , дараа нь тоо zболно хүчинтэй .

Тоонууд z=a+ibба дуудагддаг цогцолбор - коньюгат .

Хоёр комплекс тоо z 1 =а 1 +иб 1 Тэгээд z 2 =а 2 +иб 2 гэж нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв тэдгээрийн бодит ба төсөөлөл хэсгүүд нь тэнцүү бол:

а 1 =а 2 ; б 1 =б 2

Бодит болон төсөөллийн хэсгүүд нь 0-тэй тэнцүү бол цогц тоо нь тэгтэй тэнцүү байна.

Цогцолбор тоог мөн маягтаар бичиж болно z=x+iy , z=u+iv .

П. 3 Комплекс тоонуудын геометрийн дүрслэл

Аливаа комплекс тоо z=x+iyцэгээр дүрсэлж болно М(x;y)онгоц xOyтиймэрхүү X = Re z , y = Би З. Мөн эсрэгээр, цэг бүр М(x;y)координатын хавтгайг комплекс тооны дүрс гэж үзэж болно z=x+iy(зураг 1).

Зураг 1

Комплекс тоонуудыг дүрсэлсэн хавтгайг дуудна нарийн төвөгтэй хавтгай .

Абсцисса тэнхлэг гэж нэрлэгддэг бодит тэнхлэг, учир нь энэ нь бодит тоонуудыг агуулдаг z=x+0i=x .

Ординатын тэнхлэг гэж нэрлэгддэг төсөөллийн тэнхлэг, энэ нь төсөөллийн нийлмэл тоонуудыг агуулдаг z=0+yi=yi .

Ихэнхдээ онгоцон дээрх цэгүүдийн оронд тэдгээрийг авдаг радиус векторууд

тэдгээр. цэгээс эхэлсэн векторууд O(0;0), Төгсгөл М(x;y) .

Комплекс тоог илэрхийлэх векторын урт z , дуудсан модульэнэ дугаарыг зааж өгсөн | z|эсвэл r .

Бодит тэнхлэгийн эерэг чиглэл ба комплекс тоог илэрхийлэх векторын хоорондох өнцгийн хэмжээг гэнэ маргаанЭнэ нийлмэл тоог тэмдэглэв Арг zэсвэл φ .

Цогцолбор тооны аргумент z=0тодорхойлогдсон.

Цогцолбор тооны аргумент z ≠ 0 - тоо хэмжээ нь олон утгатай бөгөөд нийлбэр дүнгээр үнэн зөв тодорхойлогддог 2 π k (k=0,-1,1,-2,2,..) :

Арг z=arg z+2 π к,

Хаана arg z - маргааны гол утга , гэж дүгнэв завсрын хугацаанд (- π , π ] .

х.4 Комплекс тоо бичих хэлбэр

Маягт дээр тоо бичих z=x+iyдуудсан алгебрийн хэлбэрнийлмэл тоо.

Зураг 1-ээс харахад энэ нь тодорхой байна x=rco φ , y=rsin φ , тиймээс нарийн төвөгтэй z=x+iyтоог дараах байдлаар бичиж болно.

Энэ бичлэгийн хэлбэрийг нэрлэдэг тригонометрийн тэмдэглэгээнийлмэл тоо.

Модуль r=|z|томъёогоор өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог

Аргумент φ томъёогоор тодорхойлно

Комплекс тооны алгебрийн хэлбэрээс тригонометрийн хэлбэр рүү шилжихдээ зөвхөн цогцолбор тооны аргументын үндсэн утгыг тодорхойлоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. тоолох φ =arg z .

Томъёоноос бид үүнийг олж авдаг

Дотоод цэгүүдийн хувьд I , IVдөрөвний нэг;

Дотоод цэгүүдийн хувьд IIдөрөвний нэг;

Дотоод цэгүүдийн хувьд IIIулирал.

Жишээ 1.Комплекс тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Шийдэл. Цогцолбор тоо z=x+iyтригонометрийн хэлбэрээр хэлбэртэй байна z=r(cos φ +исин φ ) , Хаана

1) z 1 = 1 +i(тоо z 1 харьяалагддаг Iулирал), x=1, y=1.

Тиймээс,

2) (тоо z 2 харьяалагддаг IIулирал)

Түүнээс хойш

Тиймээс,

Хариулт:

Экспоненциал функцийг авч үзье w=e z, Хаана z=x+iy- комплекс тоо.

функц байгааг харуулж болно wдараах байдлаар бичиж болно.

Энэ тэгш байдлыг гэж нэрлэдэг Эйлерийн тэгшитгэл.

Комплекс тоонуудын хувьд дараах шинж чанарууд үнэн байх болно.

Хаана м- бүхэл тоо.

Эйлерийн тэгшитгэлд илтгэгчийг цэвэр төсөөллийн тоо гэж үзвэл ( x=0), дараа нь бид дараахь зүйлийг авна.

Нарийн нийлмэл тооны хувьд бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр хоёр тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна.

Эдгээр томьёог олон өнцгийн функцээр дамжуулан тригонометрийн функцүүдийн чадлын утгыг олоход ашигладаг.

Хэрэв та комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр төлөөлвөл

z=r(cos φ +исин φ )

Эйлерийн томъёог ашиглана д би φ =cos φ +исин φ , дараа нь нийлмэл тоог гэж бичиж болно

z=r e би φ

Үүний үр дүнд үүссэн тэгш байдлыг нэрлэнэ экспоненциал хэлбэрнийлмэл тоо.

П. 5 Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд

1) Алгебрийн хэлбэрээр өгөгдсөн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд

a) Комплекс тооны нэмэх

Дүнхоёр комплекс тоо z 1 =x 1 +y 1 биТэгээд z 2 =x 2 +y 2 би

z 1 +z 2 =(х 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ).

Нэмэх үйлдлийн шинж чанарууд:

1. z 1 +z 2 = z 2 +z 1 ,

2. (з 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) ,

3. z+0=z .

б) Комплекс тоонуудыг хасах

Хасах нь нэмэхийн урвуу гэж тодорхойлогддог.

Ялгаагаархоёр комплекс тоо z 1 =x 1 +y 1 биТэгээд z 2 =x 2 +y 2 биийм нийлмэл тоо гэж нэрлэдэг z, аль, нэмэх үед z 2 , дугаарыг өгнө z 1 тэгш эрхээр тодорхойлогддог

z=z 1 – з 2 =(х 1 –х 2 )+i(y 1 -y 2 ).

в) Комплекс тоог үржүүлэх

Ажилнийлмэл тоо z 1 =x 1 +y 1 биТэгээд z 2 =x 2 +y 2 би, тэгш эрхээр тодорхойлогддог

z=z 1 z 2 =(х 1 x 2 – ж 1 y 2 )+i(x 1 y 2 –х 2 y 1 ).

Эндээс, ялангуяа хамгийн чухал харилцааг дагаж мөрддөг

би 2 = – 1.

Үржүүлэх үйл ажиллагааны шинж чанарууд:

1. z 1 z 2 = z 2 z 1 ,

2. (з 1 z 2 )z 3 =z 1 (з 2 z 3 ) ,

3. z 1 ( z 2 +z 3 ) =z 1 z 2 +z 1 z 3 ,

4 . z ∙ 1 =z .

г) Комплекс тоонуудын хуваагдал

Хуваалтыг үржүүлэхийн урвуу гэж тодорхойлдог.

Хоёр комплекс тооны категори z 1 Тэгээд z 2 ≠ 0 нийлмэл тоо гэж нэрлэдэг z, үүнийг үржүүлэхэд z 2 , дугаарыг өгнө z 1 , өөрөөр хэлбэл Хэрэв z 2 z = z 1 .

Хэрэв та тавьсан бол z 1 =x 1 +y 1 би , z 2 =x 2 +y 2 би ≠ 0, z=x+yi , дараа нь тэгш байдлаас (x+yi)(x 2 +iy 2 )= x 1 +y 1 би,ёстой

Системийг шийдэж, бид утгыг олдог xТэгээд y :

Тиймээс,

Практикт үүссэн томьёоны оронд дараах аргыг ашигладаг: бутархайн хуваагч ба хуваагчийг хуваагчтай нэгтгэсэн тоогоор үржүүлдэг ("хүлээгч дэх төсөөллийг арилгах").

Жишээ 2.Өгөгдсөн комплекс тоо 10+8i , 1+i.Тэдгээрийн нийлбэр, зөрүү, үржвэр, коэффициентийг олъё.

Шийдэл.

A) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

б) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i= 9 + 7 би;

V) (10+8i)(1+i) = 10+10 би +8 би +8 би 2 =2+18i;

д) Алгебрийн хэлбэрээр өгөгдсөн комплекс тоог байгуулах n -р зэрэг

Төсөөллийн нэгжийн бүхэл тоог бичье.

Ерөнхийдөө үр дүнг дараах байдлаар бичиж болно.

Жишээ 3.Тооцоол би 2 092 .

Шийдэл.

• Экспонентийг хэлбэрээр илэрхийлье n = 4к+лба рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглана z 4к+1 =(z 4 ) к ∙ z л .

Бидэнд байгаа: 2092=4 ∙ 523 .

Тиймээс, би 2 092 = би 4 ∙ 523 =(и 4 ) 523 , гэхдээ түүнээс хойш би 4 = 1 , дараа нь бид эцэст нь авна би 2 092 = 1 .

Хариулт: би 2 092 = 1 .

Комплекс тоо байгуулахдаа a+biхоёр, гурав дахь зэрэглэлд хоёр тооны нийлбэрийн квадрат ба шоо томъёог ашиглан, мөн зэрэглэлийг өсгөхдөө. n (n- натурал тоо, n ≥ 4 ) – Ньютоны бином томъёо:

Энэ томьёоны коэффициентийг олохын тулд Паскалийн гурвалжинг ашиглах нь тохиромжтой.

д) Комплекс тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах

Квадрат язгуурКомплекс тооноос квадрат нь өгөгдсөн тоотой тэнцүү цогц тоог нэрлэнэ.

Комплекс тооны квадрат язгуурыг тэмдэглэе x+yiдамжуулан u+vi, дараа нь тодорхойлолтоор

Хайх томъёо уТэгээд vшиг харагдах

Шинж тэмдэг уТэгээд vүр дүнд хүрэхийн тулд сонгосон уТэгээд vсэтгэл хангалуун тэгш байдал 2uv=y .

0, тэгвэл u ба v нь ижил тэмдгийн нэг цогц тоо юм.) Хариулт: агуулга" өргөн = "640"

Жишээ 4.Комплекс тооны квадрат язгуурыг олох z=5+12i .

Шийдэл.

Тооны квадрат язгуурыг тэмдэглэе zдамжуулан u+vi, Дараа нь (u+vi) 2 =5+12i .

Учир нь энэ тохиолдолд x=5 , y=12, дараа нь томъёог (1) ашиглан бид олж авна:

у 2 =9; у 1 =3; у 2 = – 3; v 2 =4; v 1 =2; v 2 = – 2.

Тиймээс квадрат язгуурын хоёр утгыг олно: у 1 +v 1 i=3+2i , у 2 +v 2 i= –3 –2i, . (Тэмдгийг тэгш байдлын дагуу сонгосон 2uv=y, өөрөөр хэлбэл учир нь у=120, Тэр уТэгээд vижил шинж тэмдгүүдийн нэг цогц тоо.)

Хариулт:

2) Тригонометрийн хэлбэрээр өгөгдсөн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд

Хоёр цогц тоог авч үзье z 1 Тэгээд z 2 , тригонометрийн хэлбэрээр өгөгдсөн

a) Комплекс тоонуудын үржвэр

Тоо үржүүлэх үйлдлийг хийж байна z 1 Тэгээд z 2 , бид авдаг

б) Хоёр нийлмэл тооны категори

Комплекс тоо өгье z 1 Тэгээд z 2 ≠ 0 .

Бидэнд байгаа коэффициентийг авч үзье

Жишээ 5. Хоёр комплекс тоо өгөгдсөн

Шийдэл.

1) Томьёог ашиглах. бид авдаг

Тиймээс,

2) Томьёог ашиглах. бид авдаг

Тиймээс,

Хариулт:

V) Тригонометрийн хэлбэрээр өгөгдсөн комплекс тоог бүтээх n -р зэрэг

Комплекс тоог үржүүлэх үйлдлээс дараахь зүйлийг гаргаж болно

Ерөнхийдөө бид дараахь зүйлийг авна.

Хаана n – эерэг бүхэл тоо.

Тиймээс , нийлмэл тоог нэг зэрэглэлд хүргэх үед модулийг ижил түвшинд өсгөж, аргументыг илтгэгчээр үржүүлнэ. .

Илэрхийлэл (2) гэж нэрлэгддэг Мойврын томъёо .

Абрахам де Мойвр (1667 - 1754) - Франц гаралтай англи математикч.

Мойврын гавьяа:

• олсон (1707) тригонометрийн хэлбэрээр өгөгдсөн нийлмэл тоонуудыг экспонентацилах (болон үндсийг гаргаж авах) Moivre-ийн томьёо;
• эхнийх нь хязгааргүй цувралын экспонентацийг ашиглаж эхэлсэн;
• Магадлалын онолд асар их хувь нэмэр оруулсан: тэрээр Лапласын теоремийн онцгой тохиолдлыг нотолсон, мөрийтэй тоглоомын магадлалын судалгаа, хүн амын талаархи олон тооны статистик мэдээллийг хийсэн.

Мойврын томъёог давхар, гурвалсан гэх мэт тригонометрийн функцийг олоход ашиглаж болно. булангууд

Жишээ 6.Томъёо олох нүгэл 2  Тэгээд cos 2  .

Шийдэл.

Зарим нийлмэл тоог авч үзье

Дараа нь нэг талаас

Мойврын томъёоны дагуу:

Тэнцүүлээд бид авна

Учир нь хоёр нийлмэл тоо нь тэдгээрийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд тэнцүү бол тэнцүү байна

Бид сайн мэддэг давхар өнцгийн томъёог олж авсан.

d) Үндэс олборлолт П

Үндэс П -комплекс тооны-р зэрэглэл zнийлмэл тоо гэж нэрлэдэг w, тэгш байдлыг хангах w n =z, өөрөөр хэлбэл Хэрэв w n =z .

Хэрэв бид тавиад дараа нь үндэс ба Мойврын томъёоны тодорхойлолтоор гарна

Эндээс бид байна

Тиймээс тэгш байдал нь хэлбэрийг авдаг

хаана (жишээ нь 0-ээс n-1).

Тиймээс, үндэс олборлолт n -комплекс тооны-р зэрэглэл z үргэлж боломжтой бөгөөд өгдөг n өөр өөр утгатай. Бүх язгуур утга n радиусын тойрог дээр байрладаг th зэрэг төв нь тэг байх ба энэ тойргийг хоёр хуваа n тэнцүү хэсгүүд.

Жишээ 7.Бүх утгыг ол

Шийдэл.

Эхлээд тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье.

Энэ тохиолдолд x=1 , , Тиймээс,

Тиймээс,

Томьёог ашиглах

Хаана k=0,1,2,…,(n-1),бидэнд байгаа:

Бүх утгыг бичье:

Хариулт:

Өөрийгөө хянах асуултууд

1 . Комплекс тооны тодорхойлолтыг томъёол.

2. Ямар цогц тоог цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг вэ?

3. Ямар хоёр нийлмэл тоог нийлмэл тоо гэж нэрлэдэг вэ?

4. Алгебрийн хэлбэрээр өгөгдсөн нийлмэл тоог нэмэх гэж юу болохыг тайлбарлах; цогц тоог бодит тоогоор үржүүлэх.

5. Алгебрийн хэлбэрээр өгөгдсөн нийлмэл тоог хуваах зарчмыг тайлбарла.

6. Төсөөллийн нэгжийн бүхэл тоог ерөнхийд нь бич.

7. Алгебрийн хэлбэрээр өгөгдсөн нийлмэл тоог (n нь натурал тоо) зэрэгт хүргэх нь юу гэсэн үг вэ?

8. Хавтгай дээр нийлмэл тоо хэрхэн дүрслэгдсэнийг бидэнд хэлээрэй.

9 . Тэмдэглэгээний ямар хэлбэрийг комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр гэж нэрлэдэг вэ?

10. Комплекс тооны модуль ба аргументийн тодорхойлолтыг томъёол.

11. Тригонометрийн хэлбэрээр бичигдсэн нийлмэл тоог үржүүлэх дүрмийг томъёол.

12. Тригонометрийн хэлбэрээр өгөгдсөн хоёр нийлмэл тооны категорийг олох дүрмийг томъёол.

13. Тригонометрийн хэлбэрээр өгөгдсөн нийлмэл тоонуудыг зэрэглэлд өсгөх дүрмийг томьё.

14. Тригонометрийн хэлбэрээр өгөгдсөн нийлмэл тооны n-р язгуурыг гаргаж авах дүрмийг томъёол.

15. Нэгдлийн n-р язгуурын утга, хэрэглэх хүрээний талаар ярина уу.

1. Тооны тухай ойлголтыг хөгжүүлэх Сөрөг тооны танилцуулга - үүнийг МЭӨ хоёр зууны үед Хятадын математикчид хийжээ. д. 8-р зуунд аль хэдийн эерэг тооны квадрат язгуур нь эерэг ба сөрөг гэсэн хоёр утгатай бөгөөд сөрөг тооноос квадрат язгуурыг авч болохгүй гэдгийг тогтоосон.

Энэ томьёо нь тэгшитгэл нь нэг жинхэнэ язгууртай, хэрэв гурван бодит язгууртай бол квадрат язгуур тэмдгийн дор сөрөг тоо гарч ирэх тохиолдолд алдаагүй ажилладаг. Эдгээр үндэс рүү хүрэх зам нь сөрөг тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах боломжгүй үйлдлээр дамждаг нь тогтоогджээ.

3. Математикийн нийлмэл тоонуудын илэрхийлэл Кардано ийм хэмжигдэхүүнийг цэвэр сөрөг, бүр боловсронгуй сөрөг гэж нэрлэж, ашиггүй гэж үзэж, ашиглахгүй байхыг хичээсэн. Гэхдээ аль хэдийн 1572 онд Италийн алгебр судлаач Р.Бомбеллигийн ном хэвлэгдэн гарсан бөгөөд үүнд ийм тоон дээр арифметик үйлдлүүдийн анхны дүрмийг тогтоож, тэдгээрээс шоо үндсийг гаргаж авсан байдаг.

Төсөөллийн тооны нэрийг 1637 онд Францын математикч, гүн ухаантан Р.Декарт нэвтрүүлсэн. 1777 онд 18-р зууны хамгийн агуу математикчдын нэг Л.Эйлер франц хэлний imaginaire (төсөөлөл) гэдэг үгийн эхний үсгийг ашиглан тоог (төсөөлөлийн нэгж) тэмдэглэхийг санал болгов. Энэ тэмдэг нь К.Гаусын ачаар нийтийн хэрэглээнд нэвтэрсэн. Комплекс тоо гэсэн нэр томъёог мөн 1831 онд Гаусс нэвтрүүлсэн. 1777 онд 18-р зууны хамгийн агуу математикчдын нэг Л.Эйлер франц хэлний imaginaire (төсөөлөл) гэдэг үгийн эхний үсгийг ашиглан тоог (төсөөлөлийн нэгж) тэмдэглэхийг санал болгов. Энэ тэмдэг нь К.Гаусын ачаар нийтийн хэрэглээнд нэвтэрсэн. Комплекс тоо гэсэн нэр томъёог мөн 1831 онд Гаусс нэвтрүүлсэн.

Цогцолбор гэдэг үг (Латин хэлний kompleksus) нь нэг цогцыг бүрдүүлсэн холболт, нэгдэл, ойлголт, объект, үзэгдлийн цогц гэх мэт утгыг илэрхийлдэг. Цогцолбор гэдэг үг (Латин хэлний kompleksus) нь нэг цогцыг бүрдүүлсэн холболт, нэгдэл, ойлголт, объект, үзэгдлийн цогц гэх мэт утгыг илэрхийлдэг.

Энэ нь экспоненциал функцийг тригонометрийн функцтэй холбосон. Л.Эйлерийн томьёог ашиглан е тоог дурын нийлмэл зэрэгт хүргэх боломжтой байв. Энэ нь экспоненциал функцийг тригонометрийн функцтэй холбосон. Л.Эйлерийн томьёог ашиглан е тоог дурын нийлмэл зэрэгт хүргэх боломжтой байв.

Цогцолбор тоонуудын онолыг бий болгосны дараа гиперкомплекс тоонууд - хэд хэдэн төсөөллийн нэгж бүхий тоонуудын тухай асуулт гарч ирэв. Ийм системийг 1843 онд Ирландын математикч В.Гамилтон бүтээж, тэдгээрийг дөрөвний нэгдэл гэж нэрлэжээ.Комплекс тооны онолыг бий болгосны дараа гиперкомплекс тоо - хэд хэдэн төсөөллийн нэгжтэй тоонууд оршин тогтнох тухай асуулт гарч ирэв. Ийм системийг 1843 онд Ирландын математикч В.Гамилтон бүтээж, тэдгээрийг кватернион гэж нэрлэжээ.

Ийм хавтгайг нарийн төвөгтэй гэж нэрлэдэг. Үүн дээр байгаа бодит тоонууд нь хэвтээ тэнхлэгийг эзэлдэг, төсөөллийн нэгжийг босоо тэнхлэгт нэг гэж дүрсэлсэн; ийм учраас хэвтээ ба босоо тэнхлэгүүдийг тус тус бодит ба төсөөллийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

5. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр. a + bi цогцолбор тооны абсцисса a ба ординат b нь модуль r ба аргумент q-аар илэрхийлэгдэнэ. a + bi цогцолбор тооны абсцисса a ба ординат b нь модуль r ба аргумент q-аар илэрхийлэгдэнэ. Томъёо a = r cos q, r=a/cos q a = r cos q, r=a/cos q b = r sin q, r=b/sin q b = r sin q, r=b/sin q r – векторын урт ( a+bi), q – х тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсэх өнцөг

Цогцолбор тоо нь хуурамч, хүчингүй байсан ч гэсэн маш өргөн хэрэглээтэй байдаг. Тэд зөвхөн математик төдийгүй физик, хими зэрэг шинжлэх ухаанд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Одоогийн байдлаар комплекс тоо нь цахилгаан механик, компьютер, сансрын салбарт идэвхтэй ашиглагдаж байна

0 өөрөөр хэлбэл z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q энд r > 0 i.e. z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q This" title="Тиймээс дурын комплекс тоог r( хэлбэрээр дүрсэлж болно. cos q + i sin q ), r(cos q + i sin q), энд r > 0 өөрөөр хэлбэл z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q энд r > 0 өөрөөр хэлбэл z=a+bi байна. эсвэл z=r*cos q + r*sin q" class="link_thumb"> 25 !}Иймд дурын комплекс тоог r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q) хэлбэрээр илэрхийлж болно, энд r > 0 i.e. z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q энд r > 0 i.e. z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q Энэ илэрхийллийг ердийн тригонометрийн хэлбэр буюу товчхондоо комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр гэж нэрлэдэг. Энэ илэрхийлэлийг ердийн тригонометрийн хэлбэр буюу товчхондоо комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр гэж нэрлэдэг. 0 өөрөөр хэлбэл z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q энд r > 0 i.e. z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q Floor"> 0 өөрөөр хэлбэл z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q энд r > 0 өөрөөр хэлбэл z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q Энэ илэрхийллийг ердийн тригонометрийн хэлбэр буюу товчхондоо комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр гэж нэрлэдэг.Энэ илэрхийллийг хэвийн тригонометрийн хэлбэр, товчоор хэлбэл тригонометрийн хэлбэр гэж нэрлэдэг. комплекс тоо."> 0 тэдгээр. z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q энд r > 0 i.e. z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q This" title="Тиймээс дурын комплекс тоог r( хэлбэрээр дүрсэлж болно. cos q + i sin q ), r(cos q + i sin q), энд r > 0 өөрөөр хэлбэл z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q энд r > 0 өөрөөр хэлбэл z=a+bi байна. эсвэл z=r*cos q + r*sin q"> title="Иймд дурын комплекс тоог r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q) хэлбэрээр илэрхийлж болно, энд r > 0 i.e. z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q энд r > 0 i.e. z=a+bi эсвэл z=r*cos q + r*sin q"> !}