Klasifikacija sustava čekanja. QS s kvarovima i potpunom međusobnom pomoći za proizvoljne tokove. Grafikon, sustav jednadžbi, izračunati odnosi, kao i drugi radovi koji bi vas mogli zanimati


Razmotrimo višekanalni sustav čekanja (ukupno n kanala), koji prima zahtjeve intenzitetom λ, a servisira se intenzitetom μ. Zahtjev koji pristigne u sustav je servisiran ako je barem jedan kanal slobodan. Ako su svi kanali zauzeti, tada se sljedeći zahtjev primljen u sustav odbija i napušta QS. Označimo stanja sustava brojem zauzetih kanala:

  • S 0 – svi kanali su besplatni;
  • S 1 – jedan kanal je zauzet;
  • S 2 – dva kanala su zauzeta;
  • Sk- zaposlen k kanali;
  • Sn– svi kanali su zauzeti.
Očito je da se sustav kreće iz stanja u stanje pod utjecajem ulaznog tijeka zahtjeva. Izgradimo grafikon stanja za ovaj sustav čekanja.

Riža. 7.24
Slika 6.24 prikazuje graf stanja u kojem Sja– broj kanala; λ – intenzitet primljenih zahtjeva; μ – sukladno tome intenzitet servisiranja zahtjeva. Zahtjevi ulaze u sustav čekanja stalnim intenzitetom i postupno zauzimaju kanale jedan za drugim; kada su svi kanali zauzeti, sljedeći zahtjev koji stigne u QS će biti odbijen i napustiti sustav.
Odredimo intenzitete tokova događaja koji prenose sustav iz stanja u stanje kada se krećemo s lijeva na desno i s desna na lijevo po grafu stanja.
Na primjer, neka je sustav u državi S 1, tj. jedan kanal je zauzet, jer postoji zahtjev na njegovom ulazu. Čim se završi servisiranje zahtjeva, sustav prelazi u stanje S 0 .
Na primjer, ako su dva kanala zauzeta, tada je tok usluge koji prenosi sustav iz stanja S 2 u stanju S 1 će biti dvostruko intenzivniji: 2-μ; prema tome, ako je zauzet k kanala, intenzitet je k-μ.

Proces održavanja je proces smrti i reprodukcije. Kolmogorovljeve jednadžbe za ovaj poseban slučaj imat će sljedeći oblik:

(7.25)
Jednadžbe (7.25) nazivaju se Erlangove jednadžbe .
Da bismo pronašli vrijednosti vjerojatnosti stanja R 0 , R 1 , …, Rn, potrebno je odrediti početne uvjete:
– R 0 (0) = 1, tj. postoji zahtjev na ulazu sustava;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, tj. u početnom trenutku vremena sustav je slobodan.
Integrirajući sustav diferencijalnih jednadžbi (7.25), dobivamo vrijednosti vjerojatnosti stanja R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Ali nas mnogo više zanimaju granične vjerojatnosti stanja. Kako je t → ∞ i korištenjem formule dobivene pri razmatranju procesa smrti i reprodukcije, dobivamo rješenje sustava jednadžbi (7.25):

(7.26)
U ovim formulama omjer intenziteta λ / μ tijeku prijava pogodno je odrediti ρ .Ova količina se zove dati intenzitet protoka prijava, odnosno prosječan broj prijava koje stižu u QS tijekom prosječnog vremena opsluživanja jedne prijave.

Uzimajući u obzir napravljenu notaciju, sustav jednadžbi (7.26) će imati sljedeći oblik:

(7.27)
Ove formule za izračunavanje graničnih vjerojatnosti nazivaju se Erlangove formule .
Poznavajući sve vjerojatnosti stanja QS-a, pronaći ćemo karakteristike učinkovitosti QS-a, tj. apsolutnu propusnost A, relativna propusnost Q i vjerojatnost neuspjeha R otvoren
Prijava koju sustav primi bit će odbijena ako utvrdi da su svi kanali zauzeti:

.
Vjerojatnost da će zahtjev biti prihvaćen za uslugu:

Q = 1 – R otvoren,
Gdje Q– prosječni udio primljenih aplikacija koje servisira sustav, ili prosječan broj aplikacija koje QS posluži po jedinici vremena, podijeljen s prosječnim brojem primljenih aplikacija u tom vremenu:

A=λ·Q=λ·(1-P otvoreno)
Osim toga, jedna od najvažnijih karakteristika QS-a s kvarovima je prosječan broj zauzetih kanala. U n-kanalni QS s kvarovima, ovaj broj se podudara s prosječnim brojem prijava u QS-u.
Prosječan broj zahtjeva k može se izračunati izravno preko vjerojatnosti stanja P 0, P 1, ..., P n:

,
tj. nalazimo matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable koja ima vrijednost od 0 do n s vjerojatnostima R 0 , R 1 , …, Rn.
Još je lakše vrijednost k izraziti kroz apsolutni kapacitet QS-a, tj. A. Vrijednost A je prosječan broj aplikacija koje servisira sustav po jedinici vremena. Jedan zauzeti kanal opslužuje μ zahtjeva po jedinici vremena, zatim prosječan broj zauzetih kanala

Formulacija problema. Na ulazu n-kanal QS prima najjednostavniji tok zahtjeva gustoće λ. Gustoća najjednostavnijeg protoka usluge za svaki kanal je μ. Ako primljeni zahtjev za uslugu utvrdi da su svi kanali slobodni, tada se prihvaća za uslugu i servisira se istovremeno l kanali ( l < n). U tom će slučaju protok usluga za jednu aplikaciju imati intenzitet l.

Ako primljeni zahtjev za uslugu pronađe jedan zahtjev u sustavu, tada kada n ≥ 2l novopristigla prijava će biti prihvaćena na servis i istovremeno će biti servisirana l kanala.

Ako je zahtjev primljen za uslugu uhvaćen u sustavu ja aplikacije ( ja= 0,1, ...), dok je ( ja+ 1)l≤ n, tada će zaprimljena prijava biti servisirana l kanala s ukupnom izvedbom l. Ako je novoprimljena prijava uhvaćena u sustavu j primjene i istovremeno su zajedno zadovoljene dvije nejednakosti: ( j + 1)l > n I j < n, tada će zahtjev biti prihvaćen za uslugu. U tom se slučaju neke aplikacije mogu servisirati l kanala, drugi dio je manji od l, broj kanala, ali svi će biti zauzeti servisiranjem n kanali koji su nasumično raspoređeni između aplikacija. Ako je novoprimljena prijava uhvaćena u sustavu n zahtjeva, tada se odbija i neće biti servisiran. Pristigli zahtjev na servis se servisira do kraja (prijave „pacijenata“).

Graf stanja takvog sustava prikazan je na sl. 3.8.

Riža. 3.8. Grafikon QS stanja s kvarovima i djelomičnim

uzajamna pomoć između kanala

Imajte na umu da je grafikon stanja sustava do stanja x h do oznake parametara protoka, podudara se s grafom stanja klasičnog sustava čekanja s kvarovima, prikazanim na sl. 3.6.

Stoga,

(ja = 0, 1, ..., h).

Grafikon stanja sustava počevši od stanja x h a završava s državom x n, podudara se, do oznake, s grafom stanja QS-a s potpunom međusobnom pomoći prikazanom na sl. 3.7. Tako,

.

Uvedimo oznaku λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, tada

Uzimajući u obzir normalizirano stanje, dobivamo

Da bismo skratili daljnji zapis, uvodimo zapis

Pronađimo karakteristike sustava.

Vjerojatnost servisiranja zahtjeva

Prosječan broj prijava u sustavu je

Prosječan broj zauzetih kanala

.

Vjerojatnost da će određeni kanal biti zauzet

.

Vjerojatnost zauzetosti svih kanala sustava

3.4.4. Sustavi čekanja s kvarovima i heterogeni tokovi

Formulacija problema. Na ulazu n-kanalni QS sustav prima heterogeni najjednostavniji tok ukupnog intenziteta λ Σ , a

λ Σ = ,

gdje je λ ja– intenzitet primjene u ja th izvor.

Budući da se tok zahtjeva smatra superpozicijom zahtjeva iz različitih izvora, kombinirani tok s dovoljnom točnošću za praksu može se smatrati Poissonovim za N = 5...20 i λ ja ≈ λ ja +1 (ja1,N). Intenzitet usluge jednog uređaja raspoređen je po eksponencijalnom zakonu i jednak je μ = 1/ t. Servisni uređaji za servisiranje zahtjeva spajaju se u seriju, što je ekvivalentno povećanju servisnog vremena onoliko puta koliko se uređaja kombinira za servisiranje:

t promatranje = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,

Gdje t obs – vrijeme servisiranja zahtjeva; k– broj servisnih uređaja; μ obs – intenzitet servisiranja zahtjeva.

U okviru pretpostavki usvojenih u poglavlju 2, predstavljamo stanje QS-a kao vektor, gdje k m– broj aplikacija u sustavu, od kojih se svaka servisira m uređaji; L = q max – q min +1 – broj ulaznih tokova.

Zatim broj zauzetih i slobodnih uređaja ( n zan ( ),n sv ( )) sposoban definira se na sljedeći način:

Od države sustav može prijeći u bilo koje drugo stanje . Budući da sustav funkcionira L ulaznih tokova, tada je to potencijalno moguće iz svakog stanja L izravni prijelazi. Međutim, zbog ograničenih resursa sustava, nisu svi ovi prijelazi izvedivi. Neka SMO bude u državi a zahtjev stiže zahtjevan m uređaja. Ako m≤ n sv ( ), tada je zahtjev prihvaćen za uslugu i sustav prelazi u stanje intenziteta λ m. Ako aplikacija zahtijeva više uređaja nego što je dostupno, usluga će joj biti odbijena, a QS će ostati u stanju . Ako možeš postoje aplikacije koje zahtijevaju m uređaja, tada se svaki od njih servisira intenzitetom  m, te ukupni intenzitet servisiranja takvih zahtjeva (μ m) definira se kao μ m = k m μ / m. Kada se završi servisiranje jednog od zahtjeva, sustav će prijeći u stanje u kojem odgovarajuća koordinata ima vrijednost za jedan manju nego u stanju ,=, tj. dogodit će se obrnuti prijelaz. Na sl. 3.9 prikazuje primjer vektorskog modela QS za n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intenzitet održavanja uređaja – μ.

Riža. 3.9. Primjer grafa vektorskog modela QS-a s kvarovima servisa

Dakle svaka država karakterizira broj servisiranih aplikacija određene vrste. Na primjer, u državi
jedan zahtjev opslužuje jedan uređaj, a jedan zahtjev dva uređaja. U ovom stanju svi uređaji su zauzeti, stoga su mogući samo obrnuti prijelazi (dolazak bilo kojeg zahtjeva u ovo stanje dovodi do odbijanja usluge). Ako je servisiranje zahtjeva prvog tipa završilo ranije, sustav će prijeći u stanje (0,1,0) intenzitetom μ, ali ako je servisiranje zahtjeva drugog tipa završilo ranije, tada će sustav prijeći u stanje (0,1,0) s intenzitetom μ/2.

Pomoću grafa stanja s ucrtanim intenzitetima prijelaza sastavlja se sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Iz rješenja ovih jednadžbi nalaze se vjerojatnosti R(), kojim se određuju karakteristike QS-a.

Razmislite o pronalasku R otk (vjerojatnost odbijanja usluge).

,

Gdje S– broj stanja grafa vektorskog QS modela; R() je vjerojatnost da je sustav u stanju .

Broj država prema određuje se na sljedeći način:

, (3.22)

;

Odredimo broj stanja vektorskog QS modela prema (3.22) za primjer prikazan na sl. 3.9.

.

Stoga, S = 1 + 5 + 1 = 7.

Za provedbu stvarnih zahtjeva za uslužnim uređajima potreban je dovoljno velik broj n (40, ..., 50), a zahtjevi za brojem uslužnih uređaja u aplikaciji u praksi se kreću u rasponu od 8–16. S ovakvim omjerom instrumenata i zahtjeva, predloženi način pronalaženja vjerojatnosti postaje izuzetno glomazan, jer vektorski model QS-a ima veliki broj stanja S(50) = 1790, S(60) = 4676, S(70) = = 11075, a veličina matrice koeficijenata sustava algebarskih jednadžbi proporcionalna je kvadratu S, što zahtijeva veliku količinu računalne memorije i značajnu količinu računalnog vremena. Želja za smanjenjem količine izračuna potaknula je potragu za mogućnostima ponavljajućeg izračuna R() na temelju multiplikativnih oblika prikaza vjerojatnosti stanja. U radu je prikazan pristup proračunu R():

(3.23)

Korištenje kriterija ekvivalencije globalnih i detaljnih ravnoteža Markovljevih lanaca predloženih u radu omogućuje nam smanjenje dimenzije problema i izvođenje izračuna na računalu srednje snage korištenjem ponavljanja izračuna. Osim toga, moguće je:

– izvršite izračune za bilo koje vrijednosti n;

– ubrzati izračune i smanjiti troškove strojnog vremena.

Na sličan način mogu se odrediti i ostale karakteristike sustava.

Računalstvo, kibernetika i programiranje

Uslužni sustav s n uslužnih kanala prima Poissonov tok zahtjeva intenziteta λ. Intenzitet servisiranja zahtjeva po svakom kanalu. Nakon završetka usluge, svi kanali se oslobađaju. Ponašanje takvog sustava čekanja može se opisati Markovljevim slučajnim procesom t, koji predstavlja broj zahtjeva u sustavu.

2. QS s odbijanjima i potpunom međusobnom pomoći za masene tokove. Graf, sustav jednadžbi, izračunate relacije.

Formulacija problema.Uslužni sustav s n uslužnih kanala prima Poissonov tok zahtjeva intenziteta λ. Intenzitet servisiranja aplikacije po svakom kanalu je µ. Aplikaciju servisiraju svi kanali istovremeno. Nakon završetka usluge, svi kanali se oslobađaju. Ako novopristigli zahtjev uhvati zahtjev, također se prihvaća na uslugu. Neki kanali nastavljaju posluživati ​​prvi zahtjev, dok ostali nastavljaju posluživati ​​novi. Ako sustav već servisira n aplikacija, tada se novopristigla aplikacija odbija. Ponašanje takvog sustava čekanja može se opisati Markovljevim slučajnim procesom ξ(t), što je broj zahtjeva u sustavu.

Moguća stanja ovog procesa E = (0, 1, . . . , n). Nađimo karakteristike razmatranog QS-a u stacionarnom načinu rada.

Grafikon koji odgovara procesu koji se razmatra prikazan je na slici 1.

Riža. 1. QS s kvarovima i potpunom međusobnom pomoći za Poissonove tokove

Kreirajmo sustav algebarskih jednadžbi:

Rješenje ovog sustava ima oblik:

Ovdje je χ =λ/nµ prosječan broj zahtjeva koji ulaze u sustav tijekom prosječnog vremena opsluživanja jednog zahtjeva po svim kanalima.

Karakteristike višekanalnog sustava čekanja s kvarovima i potpunom međusobnom pomoći između kanala.

1. Vjerojatnost odbijanja usluge (vjerojatnost da su svi kanali zauzeti):

2. Vjerojatnost servisiranja zahtjeva (relativni kapacitet sustava):


Kao i druga djela koja bi vas mogla zanimati
32353. Metode pravnog reguliranja (autoritarne i autonomne) metode pravnog utjecaja. Suvremeni trendovi u razvoju metoda i metoda pravne regulacije u ruskom pravu 37 KB
Metode pravnog reguliranja: autoritarne i autonomne metode pravnog utjecaja. Suvremeni trendovi u razvoju metoda i metoda pravne regulacije u ruskom pravu. Pravna znanost razlikuje pojmove pravni utjecaj i pravni propis. Ipak, potrebno je razlikovati strogo određena sredstva pravnog utjecaja na društvene odnose koja su posebno namijenjena njihovom neposrednom uređivanju.
32354. Pojam pravne svijesti. Struktura pravne svijesti 30 KB
Pravna svijest je skup ideja i osjećaja koji izražavaju odnos ljudi društvenih zajednica, klasa naroda i naroda prema važećem i željenom pravu. Kao subjektivna ljudska reakcija na pravnu stvarnost, pravna svijest, s jedne strane, predstavlja oblik društvene svijesti uz moralnu, političku, vjersku, estetsku itd. Pravo i pravna svijest su neraskidivo povezani. Aleksejevska pravna svijest neizbježan je pratilac prava.
32355. Pedagoška djelatnost, njezina struktura i specifičnosti. Zahtjevi osobnosti učitelja 16,92 KB
Zahtjevi za osobnost učitelja. Sadržaj je određen društvenim čimbenicima, mjestom i funkcijom učitelja u društvu, zahtjevima društva prema učitelju i socijalno-psihološkim čimbenicima, očekivanjima drugih, društvenim očekivanjima i stavovima. Komunikativno uspostavljanje i održavanje odnosa s učenicima, roditeljima, upravom i nastavnicima. Učitelj mora poznavati i uvažavati osobine učenika koje ga ometaju ili mu pomažu te na njih reagirati u skladu s tim.Učenikova sporost povezana s njegovim temperamentom zahtijeva strpljenje i takt...
32356. Psihološki temelji učenja. Učenje kao proces i kao aktivnost. Osnovni modeli učenja 17,22 KB
Osnovni modeli učenja. Poučavanje kao organizirani proces dio je učenja i proizvod je obrazovne djelatnosti. Komponente osposobljavanja: Ciljani ciljevi i zadaci Sadržaj nastavnog programa Aktivnost nastavnika i učenika Djelotvorna procjena samopoštovanja Funkcije osposobljavanja: Odgojno ovladavanje znanjem znanja Odgojni vrijednosni odnos prema svijetu Razvojno uspostavljanje odnosa između pojava i čimbenika Osposobljavanje je svrhovita kognitivna aktivnost učenika usmjerena na njihovo ovladavanje...
32357. Opći pojam temperamenta. Svojstva i vrste temperamenta, njihova manifestacija u aktivnosti i ponašanju 16,91 KB
Temperament je urođena individualna osobina osobe koja određuje dinamičke karakteristike intenziteta i brzine reagiranja, stupanj emocionalne razdražljivosti i uravnoteženosti te značajke prilagodbe okolini. Oni određuju dinamiku različitih ljudskih aktivnosti, igranja, obrazovnih, radnih, rekreacijskih: Reaktivnost je stupanj nenamjernih reakcija osobe na vanjske ili unutarnje utjecaje iste snage. Plastičnost, lakoća, fleksibilnost i brzina čovjekove prilagodbe promjenjivim vanjskim...
32358. Osobna samosvijest. Struktura samosvijesti. Razvoj samosvijesti u ontogenezi 18,56 KB
Dakle, samosvijest uključuje: samospoznaju intelektualne aspekte samospoznaje samostav emocionalni odnos prema sebi Općenito, mogu se razlikovati tri sloja ljudske svijesti: stav prema sebi očekivanje stava drugih ljudi prema sebi projekcija atributa stav prema drugim ljudima: egocentrična razina odnosa ako mi pomažu onda su to dobri ljudi grupnocentrična razina ako on pripada mojoj grupi onda je dobra prosocijalna razina ponašaj se prema drugima onako kako bi volio da se oni ponašaju prema tebi...
32359. Opći pojmovi o karakteru. Struktura karaktera. Tipologija karaktera 13,96 KB
Struktura karaktera. Tipologija karaktera. U strukturi osobnosti karakter zauzima središnje mjesto, objedinjujući sva druga svojstva i karakteristike ponašanja: Utječe na kognitivne procese Na emocionalni život Na motivaciju i volju Određuje individualnost i originalnost osobe Ljudski karakter je spoj urođenih svojstava više živčane aktivnosti s individualnim osobinama stečenim tijekom života. Struktura karaktera: Osobine koje izražavaju orijentaciju ličnosti, stabilne potrebe, stavove, interese, sklonosti, ideale, ciljeve...
32360. Grupne i zajedničke aktivnosti. Čimbenici učinkovitosti grupnih i zajedničkih aktivnosti 15,38 KB
Čimbenici učinkovitosti grupnih i zajedničkih aktivnosti. Kompatibilnost je sposobnost članova grupe da rade zajedno. Vrste kompatibilnosti: Psihofiziološka određena sličnost karakteristika ljudi i na temelju toga dosljednost njihovih emocionalnih reakcija i ponašanja, sinkronizacija tempa zajedničke aktivnosti. Kriteriji ocjenjivanja: Rezultati rada.
32361. Psihološka spremnost djeteta za školu. Metode za dijagnosticiranje psihološke spremnosti za učenje u školi 13,85 KB
Psihološka spremnost djeteta za školsko obrazovanje nužna je i dovoljna razina psihičkog razvoja djeteta za svladavanje školskog programa u okruženju učenja s vršnjacima. Struktura komponenti: Psihomotorna spremnost, ravnoteža procesa ekscitacije i inhibicije, koja omogućuje djetetu dulju koncentraciju pažnje, doprinosi formiranju voljnih oblika ponašanja i kognitivnih procesa; razvoj malih mišića šake i koordinacije oko-ruka, što stvara...
Klasifikacijske karakteristike Vrste sustava čekanja
Tijek dolaznih zahtjeva Ograničeni zahtjevi Zatvoreno Otvoren
Zakon raspodjele Sustavi sa specifičnim zakonom raspodjele nadolazećeg toka: eksponencijalni, Erlang k-ti red, Palma, normalno itd.
Red Disciplina čekanja S naručenim redom S neuređenim redom S prioritetom usluge
Čekanje na ograničenja usluge S odbijanjima S neograničenim iščekivanjem S ograničenjima (mješovito)
Po duljini čekanja Po vremenu čekanja u redu Po vremenu boravka u SMO Kombinirano
Disciplina servisa Faze održavanja Jednofazni Polifazni
Broj uslužnih kanala Jednokanalni Višekanalni
Sa jednakim kanalima S nejednakim kanalima
Pouzdanost servisnih kanala S apsolutno pouzdanim kanalima S nepouzdanim kanalima
Nema oporavka S restauracijom
Uzajamna pomoć kanala Bez uzajamne pomoći Uz uzajamnu pomoć
Pouzdanost usluge S greškama Bez grešaka
Raspodjela vremena usluge Sustavi s određenim zakonom raspodjele vremena opsluživanja: deterministički, eksponencijalni, normalni itd.

Ako se servisiranje provodi korak po korak određenim nizom kanala, tada se naziva takav QS višefazni.

U CMO s "uzajamnom pomoći" između kanala, isti zahtjev mogu istovremeno poslužiti dva ili više kanala. Na primjer, isti pokvareni stroj mogu servisirati dva radnika odjednom. Takva "međusobna pomoć" između kanala može se odvijati u otvorenim i zatvorenim QS-ovima.

U QS s greškama aplikacija prihvaćena na servis u sustavu nije servisirana s punom vjerojatnošću, već s određenom vjerojatnošću; drugim riječima, može doći do grešaka u servisu, a rezultat toga je da neki zahtjevi poslani od strane QS-a i navodno „servisirani“ zapravo ostanu neservisirani zbog „defekta“ u radu QS-a.

Primjeri takvih sustava uključuju: informacijske pultove, koji ponekad izdaju netočne potvrde i upute; lektor koji može propustiti pogrešku ili je netočno ispraviti; telefonska centrala koja ponekad pretplatnika spoji na krivi broj; trgovačka i posrednička društva koja svoje obveze ne ispunjavaju uvijek učinkovito i na vrijeme i sl.

Za analizu procesa koji se odvijaju u QS-u bitno je znati glavni parametri sustava: broj kanala, intenzitet protoka aplikacija, produktivnost svakog kanala (prosječan broj aplikacija koje kanal opslužuje u jedinici vremena), uvjeti za formiranje reda čekanja, intenzitet prijava koje napuštaju red čekanja ili sustav.

Stav se zove faktor opterećenja sustava. Često samo sustavi u kojima .

Vrijeme usluge u QS-u može biti slučajna ili neslučajna varijabla. U praksi se najčešće pretpostavlja da je ovo vrijeme raspoređeno po eksponencijalnom zakonu.

Glavne karakteristike QS-a relativno malo ovise o vrsti zakona raspodjele vremena usluge, ali uglavnom ovise o prosječnoj vrijednosti. Stoga se često koristi pretpostavka da je vrijeme usluge raspoređeno prema eksponencijalnom zakonu.

Pretpostavke o Poissonovoj prirodi protoka zahtjeva i eksponencijalnoj distribuciji vremena usluge (koju ćemo od sada pretpostaviti) vrijedne su jer nam omogućuju primjenu aparata takozvanih Markovljevih slučajnih procesa u teoriji čekanja.

Učinkovitost uslužnih sustava, ovisno o uvjetima zadataka i ciljeva studije, može se karakterizirati velikim brojem različitih kvantitativnih pokazatelja.

Najčešće korišteni su sljedeći indikatori:

1. Vjerojatnost da su kanali zauzeti servisiranjem je .

Poseban slučaj je vjerojatnost da su svi kanali slobodni.

2. Vjerojatnost odbijanja zahtjeva za uslugu.

3. Prosječan broj zauzetih kanala karakterizira stupanj opterećenja sustava.

4. Prosječan broj kanala slobodnih od usluge:

5. Koeficijent (vjerojatnost) prekida rada kanala.

6. Faktor opterećenja opreme (vjerojatnost popunjenosti kanala)

7. Relativna propusnost – prosječni udio primljenih zahtjeva koje je sustav opslužio, tj. omjer prosječnog broja aplikacija koje je sustav opslužio po jedinici vremena prema prosječnom broju aplikacija primljenih tijekom tog vremena.

8. Apsolutna propusnost, t.j. broj aplikacija (zahtjeva) koje sustav može poslužiti po jedinici vremena:

9. Prosječno vrijeme prekida rada kanala

Za sustave s iščekivanjem koriste se dodatne karakteristike:

10. Prosječno vrijeme čekanja zahtjeva u redu čekanja.

11. Prosječno vrijeme boravka aplikacije u CMO-u.

12. Prosječna duljina čekanja.

13. Prosječan broj prijava u sektoru usluga (u SMO)

14. Vjerojatnost da vrijeme koje aplikacija ostane u redu čekanja neće trajati duže od određenog vremena.

15. Vjerojatnost da je broj zahtjeva u redu koji čekaju uslugu veći od određenog broja.

Osim navedenih kriterija, pri ocjeni učinkovitosti sustava, pokazatelji troškova:

– trošak servisiranja svakog zahtjeva u sustavu;

– trošak gubitaka povezanih s čekanjem po jedinici vremena;

– trošak gubitaka povezanih s odlaskom potraživanja iz sustava;

– trošak rada kanala sustava po jedinici vremena;

– trošak po jedinici vremena prekida kanala.

Prilikom odabira optimalnih parametara sustava na temelju ekonomskih pokazatelja, možete koristiti sljedeće funkcija troškova gubitka:

a) za sustave s neograničenim čekanjem

Gdje je vremenski interval;

b) za sustave s kvarovima;

c) za mješovite sustave.

Opcije koje uključuju izgradnju (uvođenje) novih elemenata sustava (primjerice servisnih kanala) obično se uspoređuju na temelju smanjenih troškova.

Zadani troškovi za svaku opciju su zbroj tekućih troškova (trošak) i kapitalnih ulaganja svedenih na istu dimenziju u skladu sa standardom učinkovitosti, na primjer:

(prilagođeni troškovi po godini);

(prilagođeni troškovi za razdoblje povrata),

gdje – trenutni troškovi (trošak) za svaku opciju, rub.;

– industrijski standardni koeficijent ekonomske učinkovitosti kapitalnih ulaganja (obično = 0,15 - 0,25);

– kapitalna ulaganja za svaku opciju, rub.;

– standardni rok povrata kapitalnih ulaganja, godina.

Izraz je zbroj tekućih i kapitalnih troškova za određeno razdoblje. Zovu se dano, budući da se odnose na fiksno vremensko razdoblje (u ovom slučaju, standardno razdoblje povrata).

Pokazatelji i mogu se koristiti i u obliku iznosa kapitalnih ulaganja i troškova gotovih proizvoda, iu obliku specifične kapitalne investicije po jedinici proizvodnje i jedinične cijene proizvodnje.

Za opisivanje slučajnog procesa koji se odvija u sustavu s diskretnim stanjima često se koriste vjerojatnosti stanja, gdje je vjerojatnost da će sustav u tom trenutku biti u stanju.

Očito je da .

Ako je proces koji se odvija u sustavu s diskretnim stanjima i kontinuiranim vremenom markovski, tada je za vjerojatnosti stanja moguće konstruirati sustav linearnih Kolmogorovih diferencijalnih jednadžbi.

Ako postoji označeni grafikon stanja (sl. 4.3) (ovdje, iznad svake strelice koja vodi od stanja do stanja, naznačen je intenzitet toka događaja koji prenosi sustav iz stanja u stanje duž ove strelice), tada je sustav diferencijalne jednadžbe za vjerojatnosti mogu se odmah napisati koristeći sljedeće jednostavne Pravilo.

Na lijevoj strani svake jednadžbe nalazi se derivacija, a na desnoj strani ima onoliko članova koliko ima strelica koje su izravno povezane s danim stanjem; ako strelica pokazuje V

Ako su svi tokovi događaja koji prenose sustav iz stanja u stanje stacionarni, ukupan broj stanja je konačan i nema stanja bez izlaza, tada postoji ograničavajući režim i karakterizira ga marginalne vjerojatnosti .

Do sada smo razmatrali samo takve QS-ove u kojima svaki zahtjev može poslužiti samo jedan kanal; nezauzeti kanali ne mogu "pomoći" zauzetima u servisiranju.

Općenito, to nije uvijek slučaj: postoje sustavi čekanja gdje se isti zahtjev može istovremeno opsluživati ​​na dva ili više kanala. Na primjer, isti pokvareni stroj mogu servisirati dva radnika odjednom. Takva "međusobna pomoć" između kanala može se odvijati u otvorenim i zatvorenim QS-ovima.

Kada se razmatra QS s međukanalnom međusobnom pomoći, postoje dva čimbenika koja treba uzeti u obzir:

1. Koliko se ubrzava servisiranje aplikacije kada na njoj ne radi jedan, već nekoliko kanala odjednom?

2. Što je "disciplina uzajamne pomoći", tj. kada i kako više kanala preuzima servisiranje istog zahtjeva?

Pogledajmo prvo prvo pitanje. Prirodno je pretpostaviti da ako ne radi jedan kanal, već nekoliko kanala za opsluživanje aplikacije, intenzitet protoka usluge neće opadati s povećanjem k, tj. predstavljat će neku neopadajuću funkciju broja k radnih kanala. Označimo ovu funkciju. Mogući oblik funkcije prikazan je na sl. 5.11.

Očito, neograničeno povećanje broja istovremeno aktivnih kanala ne dovodi uvijek do proporcionalnog povećanja brzine usluge; Prirodnije je pretpostaviti da pri određenoj kritičnoj vrijednosti daljnji porast broja zauzetih kanala više ne povećava intenzitet usluge.

Kako bi se analizirao rad QS-a uz uzajamnu pomoć između kanala, potrebno je, prije svega, postaviti tip funkcije

Najjednostavniji slučaj za proučavanje bit će slučaj kada funkcija raste proporcionalno k dok i ostaje konstantna i jednaka (vidi sliku 5.12). Ako ukupan broj kanala koji mogu pomoći jedni drugima ne prelazi

Zadržimo se sada na drugom pitanju: disciplini uzajamne pomoći. Najjednostavniji slučaj ove discipline nazvat ćemo "svi kao jedan". To znači da kada se pojavi jedan zahtjev, svi kanali ga počinju opsluživati ​​odjednom i ostaju zauzeti dok usluga ovog zahtjeva ne završi; tada se svi kanali prebacuju na servisiranje drugog zahtjeva (ako postoji) ili čekaju njegovo pojavljivanje ako se ne pojavi, itd. Očito, u ovom slučaju, svi kanali rade kao jedan, QS postaje jednokanalni, ali s višom uslugom intenzitet.

Postavlja se pitanje: je li isplativo ili neisplativo uvesti takvu uzajamnu pomoć između kanala? Odgovor na ovo pitanje ovisi o tome koliki je intenzitet protoka zahtjeva, koja je vrsta funkcije, koji tip QS-a (s kvarovima, s redom), koja je vrijednost odabrana kao karakteristika učinkovitosti usluge.

Primjer 1. Postoji trokanalni QS s kvarovima: intenzitet protoka aplikacija (aplikacija u minuti), prosječno vrijeme opsluživanja jednog zahtjeva po jednom kanalu (min), funkcija Pitanje je ima li koristi od gledišta propusnosti QS-a za uvođenje uzajamne pomoći između kanala tipa „svi kao jedan”? Je li to korisno sa stajališta smanjenja prosječnog vremena koje aplikacija ostaje u sustavu?

Rješenje a. Bez uzajamne pomoći

Koristeći Erlangove formule (vidi § 4) imamo:

Relativni kapacitet QS-a;

Apsolutna propusnost:

Prosječno vrijeme zadržavanja aplikacije u QS-u nalazi se kao vjerojatnost da će aplikacija biti prihvaćena za uslugu pomnožena s prosječnim vremenom usluge:

Gsist (min).

Ne smijemo zaboraviti da se ovo prosječno vrijeme odnosi na sve aplikacije - i servisirane i neservirane.Možda će nas zanimati i prosječno vrijeme koje će servisirana aplikacija ostati u sustavu. Ovo vrijeme je jednako:

6. Uz uzajamnu pomoć.

Prosječno vrijeme koje aplikacija ostaje u CMO-u:

Prosječno vrijeme provedeno servisiranom aplikacijom u CMO-u:

Dakle, uz prisutnost uzajamne pomoći "svi kao jedan", propusnost QS-a je primjetno smanjena. To se objašnjava povećanjem vjerojatnosti odbijanja: dok su svi kanali zauzeti servisiranjem jednog zahtjeva, drugi zahtjevi mogu stići i, naravno, biti odbijeni. Što se tiče prosječnog vremena koje aplikacija provede u CMO-u, ono se, očekivano, smanjilo. Ako iz nekog razloga nastojimo potpuno smanjiti vrijeme koje aplikacija provodi u QS-u (npr. ako je boravak u QS-u opasan za aplikaciju), može se pokazati da će, unatoč smanjenju propusnosti, ipak bi bilo korisno kombinirati tri kanala u jedan.

Razmotrimo sada utjecaj uzajamne pomoći tipa “svi kao jedan” na rad QS-a s očekivanjem. Radi jednostavnosti, uzimamo samo slučaj neograničenog reda čekanja. Naravno, u ovom slučaju neće biti utjecaja uzajamne pomoći na propusnost QS-a, jer će pod bilo kojim uvjetima svi dolazni zahtjevi biti servisirani. Postavlja se pitanje utjecaja uzajamne pomoći na karakteristike čekanja: prosječnu duljinu reda, prosječno vrijeme čekanja, prosječno vrijeme provedeno u službi.

Na temelju formula (6.13), (6.14) § 6 za uslugu bez uzajamne pomoći, prosječan broj zahtjeva u redu čekanja bit će

prosječno vrijeme čekanja:

i prosječno vrijeme boravka u sustavu:

Ako se koristi uzajamna pomoć tipa "svi kao jedan", tada će sustav raditi kao jednokanalni s parametrima

a njegove karakteristike određene su formulama (5.14), (5.15) § 5:

Primjer 2. Postoji trokanalni QS s neograničenim redom; intenzitet protoka aplikacija (aplikacija u minuti), prosječno vrijeme usluge Funkcija Korisno značenje:

Prosječna duljina čekanja,

Prosječno vrijeme čekanja na uslugu,

Prosječno vrijeme boravka aplikacije u CMO-u

uvesti uzajamnu pomoć između kanala poput “svi kao jedan”?

Rješenje a. Nema uzajamne pomoći.

Prema formulama (9.1) - (9.4) imamo

(3-2)

b. Uz uzajamnu pomoć

Koristeći formule (9.5) - (9.7) nalazimo;

Dakle, prosječna duljina reda i prosječno vrijeme čekanja u redu u slučaju međusobne pomoći su veći, ali je prosječno vrijeme zadržavanja aplikacije u sustavu manje.

Iz razmatranih primjera jasno je da uzajamna pomoć između Vrsta gotovine “sve kao jedan” u pravilu ne pridonosi povećanju učinkovitosti usluge: smanjuje se vrijeme zadržavanja zahtjeva u sustavu usluge, ali se pogoršavaju ostale karakteristike usluge.

Stoga je poželjno promijeniti servisnu disciplinu kako međusobna pomoć između kanala ne bi ometala prihvaćanje novih zahtjeva za servisom ako se pojave dok su svi kanali zauzeti.

Nazovimo sljedeću vrstu uzajamne pomoći "ujednačena uzajamna pomoć". Ako zahtjev stigne u vrijeme kada su svi kanali slobodni, tada se svi kanali prihvaćaju za njegovo servisiranje; ako u trenutku servisiranja aplikacije stigne druga, neki od kanala se prebacuje na servisiranje iste; ako za vrijeme servisiranja ova dva zahtjeva stigne još jedan, neki od kanala prelazi na servisiranje i sl., dok svi kanali ne budu zauzeti; ako je to tako, novopristigla prijava se odbija (u QS-u s odbijanjima) ili se stavlja u red čekanja (u QS-u s čekanjem).

Ovom disciplinom uzajamne pomoći zahtjev se odbija ili stavlja u red samo kada ga nije moguće servisirati. Što se tiče "zastoja" kanala, ono je minimalno pod ovim uvjetima: ako u sustavu postoji barem jedan zahtjev, svi kanali rade.

Gore smo spomenuli da kada se pojavi novi zahtjev, neki od zauzetih kanala se oslobađaju i prebacuju na servisiranje novopristiglog zahtjeva. Koji dio? Ovisi o vrsti funkcije.Ako ima oblik linearnog odnosa, kao što je prikazano na sl. 5.12, i nije važno koji je dio kanala dodijeljen za posluživanje novoprimljenog zahtjeva, sve dok su svi kanali zauzeti (tada će ukupni intenzitet usluga za bilo koju distribuciju kanala među zahtjevima biti jednak ). Može se dokazati da ako je krivulja konveksna prema gore, kao što je prikazano na sl. 5.11, tada trebate distribuirati kanale među zahtjevima što je ravnomjernije moguće.

Razmotrimo rad -kanalnog QS-a s "ujednačenom" međusobnom pomoći između kanala.