Jaký druh specifičnosti aktiv existuje. Specifičnost zdrojů a jejich typy

Integrální počet.

Primitivní funkce.

Definice: Je vyvolána funkce F (x) antiderivativní funkce funkce f (x) na segmentu, pokud je v kterémkoli bodě tohoto segmentu rovnost

Je třeba poznamenat, že pro stejnou funkci může být nekonečně mnoho primitivů. Budou se od sebe lišit nějakým konstantním číslem.

Fl (x) \u003d F2 (x) + C.

Neurčitý integrál.

Definice: Neurčitý integrálfunkce f (x) se nazývá množina primitivních funkcí, které jsou definovány vztahem:

Napište:

Podmínkou existence neurčitého integrálu v určitém intervalu je kontinuita funkce v tomto intervalu.

Vlastnosti:

Příklad:

Nalezení hodnoty neurčitého integrálu souvisí hlavně s nalezením primitivní funkce. Pro některé funkce je to poměrně obtížný úkol. Níže se budeme zabývat metodami pro hledání neurčitých integrálů pro hlavní třídy funkcí - racionální, iracionální, trigonometrické, exponenciální atd.

Pro usnadnění jsou hodnoty neurčitých integrálů většiny elementárních funkcí shromažďovány ve zvláštních tabulkách integrálů, které jsou někdy velmi objemné. Zahrnují různé běžné kombinace funkcí. Ale většina vzorců uvedených v těchto tabulkách jsou důsledky navzájem, proto níže je tabulka základních integrálů, se kterými můžete získat hodnoty neurčitých integrálů různých funkcí.

Integrální	Hodnota	Integrální	Hodnota

	lnsinx + C



	ln

Metody integrace.

Zvažte tři hlavní způsoby integrace.

Přímá integrace.

Metoda přímé integrace je založena na předpokladu možné hodnoty antiderivativní funkce s dalším ověřením této hodnoty diferenciací. Obecně poznamenáváme, že diferenciace je výkonným nástrojem pro kontrolu výsledků integrace.

Jako příklad zvažte použití této metody:

Je nutné najít hodnotu integrálu . Na základě dobře známého diferenciačního vzorce
můžeme dojít k závěru, že požadovaný integrál je
kde C je nějaké konstantní číslo. Na druhou stranu však
. Můžeme tedy dojít k závěru:

Všimněte si, že na rozdíl od diferenciace, kde byly pro nalezení derivátu použity jasné metody a metody, pravidla pro nalezení derivátu a konečně definice derivátu, takové metody nejsou k dispozici pro integraci. Pokud jsme při hledání derivátu použili, tak řečeno, konstruktivní metody, které na základě určitých pravidel vedly k výsledku, pak při hledání antiderivativu se musíme spoléhat hlavně na znalost tabulek derivátů a antiderivativ.

Pokud jde o metodu přímé integrace, lze ji použít pouze u některých velmi omezených tříd funkcí. Existuje velmi málo funkcí, pro které můžete okamžitě najít antiderivativní. Proto se ve většině případů používají níže popsané metody.

Metoda substituce (nahrazení proměnných).

Věta Pokud potřebujete najít integrál
, ale je obtížné najít antiderivativní látku, pak pomocí substituce x \u003d  (t) a dx \u003d  (t) dt se ukáže:

Důkaz : Rozlišujeme navrhovanou rovnost:

Podle vlastnosti č. 2 neurčeného integrálu uvažovaného výše:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

což je při zohlednění zavedeného zápisu počáteční předpoklad. Věta je prokázána.

Příklad. Najděte neurčitý integrál
.

Proveďte výměnu t = sinx, dt = cosxdt.

Příklad.

Výměna
Dostáváme:

Další příklady použití substituční metody pro různé typy funkcí budou zvažovány níže.

Integrace v částech.

Metoda je založena na dobře známém vzorci derivátového produktu:

(uv)  \u003d uv + vu

kde u a v jsou některé funkce x.

V diferenciální podobě: d (uv) \u003d udv + vdu

Integrací získáme:
a v souladu s výše uvedenými vlastnostmi neurčitého integrálu:

nebo
;

Získali jsme integrační vzorec po částech, což nám umožňuje najít integrály mnoha elementárních funkcí.

Příklad.

Jak vidíte, důsledná aplikace integračního vzorce v částech vám umožňuje postupně zjednodušit funkci a přivést integrál do tabulky.

Příklad.

Je vidět, že v důsledku opakované aplikace integrace v částech nemohla být funkce zjednodušena na tabulkový tvar. Poslední získaný integrál se však neliší od originálu. Proto ji přeneseme na levou stranu rovnosti.

Integrál je tedy nalezen bez použití tabulek integrálů.

Než podrobně prozkoumáme metody integrace různých tříd funkcí, uvedeme několik příkladů nalezení neurčitých integrálů jejich redukcí na ty tabulkové.

Příklad.

Integrace elementárních zlomků.

Definice: Elementárnínazývají se zlomky následujících čtyř typů:

I.
III.

II.
IV.

m, n jsou přirozená čísla (m  2, n  2) a b 2 - 4ac<0.

První dva typy integrálů z elementárních frakcí jsou poměrně jednoduše redukovány na tabulkovou substituci t \u003d ax + b.

Zvažte metodu integrace elementárních zlomků formy III.

Integrál zlomku typu III může být reprezentován jako:

Zde je obecně znázorněna redukce integrálu zlomku formy III na dva tabulární integrály.

V příkladech zvažte použití výše uvedeného vzorce.

Příklad.

Obecně řečeno, pokud má trinomiální ax 2 + bx + c výraz b2 - 4ac\u003e 0, pak frakce není z definice elementární, nicméně může být přesto integrována výše uvedeným způsobem.

Příklad.

Podívejme se nyní na metody integrace nejjednodušších frakcí typu IV.

Nejprve uvažujeme zvláštní případ pro M \u003d 0, N \u003d 1.

Pak integrál formuláře
může být reprezentován ve jmenovateli celého čtverce ve formě
. Udělejme následující převod:

Druhý integrál této rovnosti bude rozebrán po částech.

Označit:

Za původní integrál dostaneme:

Výsledný vzorec se nazývá rekurzivní. Pokud ji použijete n-1krát, dostanete integrální tabulku
.

Nyní se vracíme k integrálu elementární frakce typu IV v obecném případě.

Ve výsledné rovnosti je prvním integrálem substituce t = u 2 + s sníženo na tabulkové a výše uvedený vzorec opakování se použije na druhý integrál.

Navzdory zjevné složitosti integrace elementární frakce typu IV je v praxi poměrně snadné použít frakce s malým stupněm na univerzálnost a obecnost přístupu umožňuje velmi jednoduchou implementaci této metody v počítači.

Příklad:

Integrace racionálních funkcí.

Integrace racionálních zlomků.

Aby bylo možné integrovat racionální zlomek, je nutné jej rozložit na elementární zlomky.

Věta Pokud
je pravidelný racionální zlomek, jehož jmenovatel P (x) je reprezentován součinem lineárních a kvadratických faktorů (všimněte si, že jakýkoli polynom s reálnými koeficienty může být reprezentován v této podobě: P(x) = (x - a)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), pak lze tuto frakci rozložit na elementární podle následujícího schématu:

kde Ai, B i, M i, N i, Ri, S i jsou některé konstantní hodnoty.

Při integraci racionálních frakcí se uchylují k rozkladu počáteční frakce na elementární. Pro nalezení veličin Ai, B i, M i, N i, R i, S i platí tzv metoda nejistého koeficientu, jehož podstatou je to, že aby se dva polynomy shodovaly stejně, je nezbytné a postačující, aby koeficienty byly stejné pro stejné síly x.

Použití této metody zvážíme na konkrétním příkladu.

Příklad.

Omezením na společného jmenovatele a vyrovnáním odpovídajících čitatelů získáme:

Příklad.

Protože pokud je zlomek špatný, pak by měla být nejprve zvýrazněna celá část:

6x 5 - 8 x 4 - 25 x 3 + 20 x 2 - 76 x 7 x 3 - 4 x 2 - 17 x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 - 76x-7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 - 25x - 25

Faktor jmenovatel výsledné frakce. Je vidět, že při x \u003d 3 se jmenovatel zlomku změní na nulu. Pak:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 x - 3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Tedy 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 \u003d (x - 3) (3x 2 + 5x - 2) \u003d (x - 3) (x + 2) (3x - 1). Pak:

Aby se při hledání nejistých koeficientů zabránilo zveřejnění závorek, seskupení a řešení soustavy rovnic (které se v některých případech mohou ukázat jako poměrně velké), tzv. metoda libovolné hodnoty. Podstata metody spočívá v tom, že několik (podle počtu nedefinovaných koeficientů) libovolných hodnot x se postupně nahradí výrazem získaným výše. Pro zjednodušení výpočtů je obvyklé brát jako libovolné hodnoty body, ve kterých je jmenovatel zlomku nula, tj. v našem případě - 3, -2, 1/3. Dostáváme:

Nakonec dostaneme:

Příklad.

Najděte nedefinované koeficienty:

Pak hodnota daného integrálu:

Integrace některých trigonometrických

funkce.

Může existovat nekonečně mnoho integrálů trigonometrických funkcí. Většinu těchto integrálů nelze vůbec vypočítat analyticky, proto považujeme některé z nejdůležitějších typů funkcí, které lze vždy integrovat.

Zobrazit integrál
.

Zde R je zápis nějaké racionální funkce proměnných sinx a cosx.

Integrály tohoto typu se počítají pomocí substituce
. Tato substituce umožňuje převést trigonometrickou funkci na racionální.

Pak

Tímto způsobem:

Výše popsaná konverze se nazývá univerzální trigonometrická substituce.

Příklad.

Nepochybnou výhodou této substituce je to, že ji lze vždy použít k transformaci trigonometrické funkce na racionální a k výpočtu odpovídajícího integrálu. Nevýhody zahrnují skutečnost, že během transformace se může ukázat poměrně komplikovaná racionální funkce, jejíž integrace bude vyžadovat spoustu času a úsilí.

Pokud však nelze použít racionálnější změnu proměnné, je tato metoda jedinou účinnou.

Příklad.

Zobrazit integrál
pokud

funkceRcosx.

Navzdory možnosti výpočtu takového integrálu pomocí univerzální trigonometrické substituce je racionálnější použít substituci t = sinx.

Funkce
může obsahovat cosx pouze v rovnoměrných silách, a proto může být přeměněn na racionální funkci s ohledem na sinx.

Příklad.

Obecně lze říci, že pro použití této metody je nezbytná pouze zvláštnost funkce vzhledem k kosinu a stupeň sinus zahrnutý ve funkci může být libovolný, buď celé číslo, nebo zlomek.

Zobrazit integrál
pokud

funkceR je lichý relativnísinx.

Analogicky s výše uvedeným případem se provede nahrazení t = cosx.

Příklad.

Zobrazit integrál

funkceR dokonce relativnísinx acosx.

Pro převedení funkce R na racionální používáme substituci

t \u003d tgx.

Příklad.

Integrální produkt sine a cosines

různé argumenty.

V závislosti na typu práce bude použit jeden ze tří vzorců:

Příklad.

Někdy při integraci trigonometrických funkcí je vhodné použít známé trigonometrické vzorce ke snížení pořadí funkcí.

Příklad.

Někdy se používají některé nestandardní techniky.

Příklad.

Integrace některých iracionálních funkcí.

Ne každá iracionální funkce může mít integrál vyjádřený elementárními funkcemi. Abychom našli integrál iracionální funkce, měli bychom použít substituci, která jí umožní transformovat funkci na racionální, jejíž integrál lze nalézt jako vždy známý.

Zvažte některé techniky pro integraci různých typů iracionálních funkcí.

Zobrazit integrál
kdenje přirozené číslo.

Pomocí substituce
funkce zjednodušena.

Příklad.

Pokud složení iracionální funkce zahrnuje kořeny různých stupňů, pak je jako nová proměnná rozumné vzít kořen stupně rovný nejmenšímu společnému násobku stupňů kořenů ve výrazu.

Toto ilustrujeme na příkladu.

Příklad.

Integrace binomických diferenciálů.

Přímá integrace

Základní integrační vzorce

1. C je konstanta	1*.
2., n ≠ –1
3. + C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Volá se výpočet integrálů pomocí přímého použití tabulky nejjednodušších integrálů a základních vlastností neurčitých integrálů přímá integrace.

Příklad 1

Příklad 2

Příklad 3

Toto je nejběžnější metoda integrace komplexní funkce, která spočívá v transformaci integrálu pomocí přechodu na jinou integrační proměnnou.

Pokud je obtížné redukovat integrál na tabulku pomocí elementárních transformací, pak se v tomto případě použije substituční metoda. Podstata této metody spočívá v tom, že zavedením nové proměnné je možné tento integrál redukovat na nový integrál, který lze relativně snadno vzít přímo.

Pro integraci substituční metodou se používá schéma řešení:

2) najít rozdíl od obou částí náhrady;

3) vyjádřit celý integrand prostřednictvím nové proměnné (poté by měl být získán integrál tabulky);

4) najít výslednou tabulku integrální;

5) provést zpětnou výměnu.

Najděte integrály:

Příklad 1 . Náhrada:cosx \u003d t,-sinxdx \u003d dt,

Řešení:

Příklad 2 -E -x3 x 2 dx Náhrada:-x 3 \u003d t, -3x 2 dx \u003d dt, Řešení: ∫e -x3 x 2 dx \u003d ∫e t (-1/3) dt \u003d -1 / 3e t + C \u003d -1 / 3e -x3 + C

Příklad 3Náhrada:1 + sinx \u003d t, cosxdx \u003d dt,

Řešení: .

ODDÍL 1.5. Definitivní integrál, metody jeho výpočtu.

klauzule 1. Pojem určitého integrálu

Výzva. Najděte přírůstek primitivní funkce pro danou funkci f (x)při předávání argumentu x z hodnoty a na hodnotu b.

Řešení. Předpokládejme, že integrací najdeme: ∫ (x) dx \u003d F (x) + C.

Pak F (x) + C1kde C 1 - každé dané číslo bude jednou z primitivních funkcí této funkce f (x). Najděte jeho přírůstek při předávání argumentu z hodnoty a na hodnotu b. Dostáváme:

x \u003d b - x \u003d a \u003d F (b) + C1 - F (a) -C1 \u003d F (b) -F (a)

Jak vidíte, ve výrazu přírůstku antiderivativní funkce F (x) + C1 žádná konstantní hodnota C 1. A od té doby C 1 Protože bylo uvedeno jakékoli číslo, získaný výsledek vede k následujícímu závěru: po předání argumentu x z hodnoty x \u003d a na hodnotu x \u003d b všechny funkce F (x) + Cantideriváty pro danou funkci f (x)mají stejný přírůstek rovný F (b) -F (a).

Tento přírůstek se nazývá určitý integrál a označují symbolem: a číst: integrál ale dříve b funkce f (x) vzhledem k dx nebo zkráceně integrálu ale dříve b z f (x) dx.

Číslo ale volal spodní limit integrační číslo b - top; segment a ≤ x ≤ b - segment integrace. Předpokládá se, že integrand f (x) nepřetržitě pro všechny hodnoty xsplňující podmínky: a  x b

Definice Přírůstek antiderivativních funkcí F (x) + C po předání argumentu x z hodnoty x \u003d a na hodnotu x \u003d brovná se rozdílu F (b) -F (a), se nazývá určitý integrál a je označen symbolem: takže pokud ∫ (x) dx \u003d F (x) + C, potom \u003d F (b) -F (a) -toto rovnost se nazývá Newton-Leibnizova formule.

sekce 2 Základní vlastnosti určitého integrálu

Všechny vlastnosti jsou formulovány v tvrzení, že dotyčné funkce jsou integrovatelné v odpovídajících intervalech.

str. 3 Přímý výpočet určitého integrálu

Pro výpočet určitého integrálu, když najdete odpovídající neurčitý integrál, použijte Newton-Leibnizův vzorec

tj. jistý integrál se rovná rozdílu v hodnotách jakékoli primitivní funkce s horní a dolní mezí integrace.

Z tohoto vzorce můžete vidět postup výpočtu určitého integrálu:

1) najděte neurčitý integrál dané funkce;

2) v získaném antiderivativní látce nejprve namísto argumentu nahraďte horní, poté dolní mez integrálu;

3) odečíst výsledek nahrazení spodní hranice od výsledku nahrazení horní hranice.

Příklad 1: Vypočítejte integrál:

Příklad 2:Vypočítejte integrál:

p.4 Výpočet určitého integrálu substituční metodou

Výpočet určitého integrálu substituční metodou je následující:

1) nahradit část integrandu novou proměnnou;

2) najít nové limity určitého integrálu;

3) najít rozdíl od obou částí náhrady;

4) vyjádřit celý integrand prostřednictvím nové proměnné (poté by měl být získán integrál tabulky); 5) vypočítat získaný konečný integrál.

Příklad 1: Vypočítejte integrál:

Náhrada: 1 + cosx \u003d t,-sinxdx \u003d dt,

ODDÍL 1.6. Geometrický význam určitého integrálu.

Plocha zakřiveného lichoběžníku:

Je známo, že určitým integrálem v segmentu je oblast zakřiveného lichoběžníku ohraničeného grafem funkce f (x).

Oblast obrázku ohraničená určitými čarami lze nalézt pomocí určitých integrálů, pokud jsou rovnice těchto čar známé.

Nechte interval [a; b] při souvislé funkci y \u003d ƒ (x) ≥ 0. Najděte oblast tohoto lichoběžníku.

Oblast obrázku ohraničená osou 0 x, dvě svislé čáry x \u003d a, x \u003d b a graf funkce y \u003d ƒ (x) (obrázek), je určen vzorcem:

Toto je geometrický význam určitého integrálu.

Příklad 1: Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y \u003d x 2. + 2, y \u003d 0, x \u003d -2, x \u003d 1.

Řešení: Provedeme výkres (všimněte si, že rovnice y \u003d 0 definuje osu Ox).

Odpověď zní: S \u003d 9 jednotek 2

Příklad 2: Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y \u003d - e x, x \u003d 1 a souřadnými osami.

Řešení: Provedeme výkres.
Pokud je zakřivený lichoběžník zcela umístěn pod osou, pak jeho oblast lze najít podle vzorce:

V tomto případě:

Pozor! Pokud jste požádáni, abyste našli určitou oblast pomocí určitého integrálu, pak je tato oblast vždy pozitivní! To je důvod, proč se mínus právě objevuje ve zvažovaném vzorci.

ODDÍL 1.7. Aplikace určitého integrálu

str.1 Výpočet objemu rotačního těla

Pokud křivočarý lichoběžník sousedí s osou Ox a přímky y \u003d a, y \u003d b a graf funkce y \u003dF (x) (obr. 1), pak je objem rotačního těla určen vzorcem obsahujícím integrál.

Objem rotačního těla je:

Příklad:

Najděte objem těla ohraničený povrchem rotace linie kolem osy Ox při 0≤ x ≤4.

Řešení:V

jednotky 3. Odpověď: jednotka 3.

ODDÍL 3.1. Obyčejné diferenciální rovnice

klauzule 1. Pojem diferenciální rovnice

Definice Diferenciální rovnice Rovnice se nazývá obsahující funkci množiny proměnných a jejich derivátů.

Obecná podoba takové rovnice \u003d 0, kde F je známá funkce jejích argumentů uvedených v pevné oblasti; x je nezávislá proměnná (proměnná, podle které je diferencovaná); y je závislá proměnná (proměnná, ze které jsou odvozeny deriváty a proměnná, kterou je třeba určit); je derivát závislé proměnné y vzhledem k nezávislé proměnné x.

sekce 2 Základní pojmy diferenciální rovnice

Objednávka diferenciální rovnice se nazývá pořadí nejvyšších derivátů, které do ní vstupují.

Například:

Rovnice druhého řádu je rovnice prvního řádu.

Volá se jakákoli funkce spojující proměnné a převádějící diferenciální rovnici do skutečné rovnosti rozhodnutídiferenciální rovnice.

Obecné rozhodnutídiferenciální rovnice prvního řádu se nazývá funkce a libovolná konstanta C, která proměňuje tuto rovnici s ohledem na identitu.

Volá se obecné řešení, implicitně \u003d 0 obecný integrál.

Soukromé rozhodnutí Rovnice \u003d 0 je řešení získané z obecného řešení pro pevnou hodnotu - pevné číslo.

Problém nalezení konkrétního řešení diferenciální rovnice n-tého řádu (n \u003d 1,2,3, ...), splňující počáteční podmínky formuláře

volal cauchyho úkol.

p.3 Diferenciální rovnice prvního řádu se separovatelnými proměnnými

Diferenciální rovnice prvního řádu se nazývá rovnice s oddělitelnými proměnnými, pokud ji lze reprezentovat ve formě, lze ji přepsat do podoby. Pokud. Integrujeme:

K řešení rovnice tohoto druhu je nutné:

1. Samostatné proměnné;

2. Integrace rovnice s oddělenými proměnnými, najít obecné řešení této rovnice;

3. Najděte konkrétní řešení, které splňuje počáteční podmínky (pokud jsou uvedeny).

Příklad 1Vyřešte rovnici. Najděte konkrétní řešení splňující podmínku y \u003d 4 pro x \u003d -2.

Řešení:Toto je rovnice se samostatnými proměnnými. Integrací najdeme obecné řešení rovnice :. Pro získání jednoduššího obecného řešení ve formě reprezentujeme konstantní člen na pravé straně ve tvaru C / 2. Máme nebo - obecné řešení. Nahrazením hodnot y \u003d 4 a x \u003d -2 do obecného roztoku získáme 16 \u003d 4 + C, odkud C \u003d 12.

Konkrétní řešení rovnice splňující tuto podmínku má tvar

Příklad 2Najděte konkrétní řešení rovnice, pokud .

Řešení:,,,,, obecné řešení.

V konkrétním řešení nahrazujeme hodnoty xay: ,, konkrétní řešení.

Příklad 3 Najděte obecné řešení rovnice . Řešení:,, je obecné řešení.

s. 4 Diferenciální rovnice řádu vyšší než první

Rovnice tvaru nebo je řešena dvojitou integrací: ,, odkud. Integrací této funkce získáme novou funkci f (x), kterou označíme F (x). Tak; . Znovu se integrujeme: nebo y \u003d Φ (x). Získali jsme obecné řešení rovnice obsahující dvě libovolné konstanty a.

Příklad 1Vyřešte rovnici.

Řešení:, , ,

Příklad 2Vyřešte rovnici . Řešení: ,,.

ODDÍL 3.2. Číselná řada, její členové

Definice 1.Numerický dalšívýraz formuláře ++ ... ++ ... se nazývá, (1)

kde ,, ... ,, ... - čísla patřící do určitého číselného systému.

Můžeme tedy hovořit o skutečných sériích, pro které R o složitých sériích, pro které C, i= 1, 2, …, n, ... = =.

Oddíl 3.3. Základy teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky