Ներբեռնեք ներկայացում. կոմպլեքս թվերի ծագումը և դրանց կիրառությունները: «Կոմպլեքս թվերի պատմություն» թեմայով շնորհանդես. Բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև

1,85  -2  0,8 Թվերի աշխարհն անսահման է։  Թվի մասին առաջին պատկերացումներն առաջացել են առարկաները հաշվելուց (1, 2, 3 և այլն)՝ ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐ։  Հետագայում ԿՈՏԱԿՆԵՐԸ առաջացել են երկարությունը, քաշը և այլն չափելու արդյունքում: ( և այլն)  ԲԱՑԱՍԱԿԱՆ ԹՎԵՐ, ի հայտ են եկել հանրահաշվի ամբողջ թվերի (այսինքն՝ բնական թվեր 1, 2, 3 և այլն), բացասական թվերի մշակմամբ։ -1, -2, -3 և այլն և զրո), կոտորակները կոչվում են ՌԱՑԻԱԼ ԹՎԵՐ։ ,  Ռացիոնալ թվերը չեն կարող ճշգրիտ արտահայտել քառակուսու անկյունագծի երկարությունը, եթե կողմի երկարությունը հավասար է չափման միավորին։ Անհամեմատելի հատվածների հարաբերությունները ճշգրիտ արտահայտելու համար անհրաժեշտ է ներմուծել նոր թիվ՝  ԱՆԳՈՐԾԱԿԱՆ (և այլն) Ռացիոնալ և իռացիոնալ - կազմեք մի շարք՝ Իրական թվեր։ Իրական թվերը դիտարկելիս նշվեց, որ իրական թվերի բազմության մեջ անհնար է, օրինակ, գտնել մի թիվ, որի քառակուսին հավասար է։ Բացասական դիսկրիմինանտներով քառակուսի հավասարումները դիտարկելիս նշվեց նաև, որ նման հավասարումները չունեն իրական թվեր: Որպեսզի նման խնդիրները լուծելի լինեն, ներկայացվում են նոր թվեր - Կոմպլեքս թվեր Կոմպլեքս թվեր 2 = -1 3 = - = 4 =1 բ - երևակայական թվեր a + b - Կոմպլեքս թվեր a, b - Անցյալ և ներկա ցանկացած իրական թվեր: կոմպլեքս թվեր. Բարդ թվերը մաթեմատիկայից առաջացել են ավելի քան 400 տարի առաջ: Առաջին անգամ հանդիպեցինք բացասական թվերի քառակուսի արմատներին: Ոչ ոք չգիտեր, թե ինչ է այս արտահայտությունը, ինչ իմաստ պետք է տալ դրան։ Ցանկացած բացասական թվի քառակուսի արմատը իրական թվերի բազմության մեջ նշանակություն չունի: Սա հանդիպում է քառակուսի, խորանարդ և չորրորդ աստիճանի հավասարումներ լուծելիս: ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՆ ՀԱՎԱՏՈՒՄ Է. ԼԵՈՆԱՐԴ ԷՅԼԵՐ Բացասական թվերի քառակուսի արմատները, քանի որ դրանք ոչ մեծ են, ոչ պակաս և ոչ հավասար զրոյի, չեն կարող հաշվվել հնարավոր թվերի մեջ: Գոթֆրիդ Ուիլյամ Լեյբնեթս Գոթֆրիդ Լեյբնեթսը բարդ թվերն անվանեց «աստվածային ոգու նրբագեղ և հրաշալի ապաստան», գաղափարների աշխարհի այլասերվածություն, գրեթե երկակի էակ, որը գտնվում է լինելու և չլինելու միջև: Նա նույնիսկ կտակել է իր գերեզմանի վրա նշան նկարել՝ որպես այլ աշխարհի խորհրդանիշ։ Կ. Գաուսը 19-րդ դարի սկզբին առաջարկեց դրանք անվանել «բարդ թվեր»։ K. F. Gauss Կոմպլեքս թվերի ձևերը. թվերի տեսության մասին  Էլեկտրամեխանիկայում  Բնական և արհեստական ​​երկնային մարմինների շարժումն ուսումնասիրելիս և այլն։ դ Եվ ներկայացման վերջում առաջարկելով Լուծել «Փորձիր ինքդ քեզ» խաչբառը 8 1 3 2 7 5 6 4 1. Ի՞նչ է կոչվում Z=a+bc ձևի մի թիվը: 2. Երևակայական միավորի ո՞ր ուժին է ստացվում: 3.Ի՞նչ են կոչվում այն ​​թվերը, որոնք տարբերվում են միայն երևակայական մասի նշանով:4. Վեկտորի երկարությունը. 5. Անկյունը, որի վրա գտնվում է վեկտորը: 6. Ո՞րն է կոմպլեքս թվի ձևը՝ Z=r(cos +sin): 7. Ո՞րն է Z=re բարդ թվի ձևը: 8. Դիտել D=b -4ac, ինչ է D.

«Բարդ թվեր
ուսանողները պետք է.
Իմանալ.
հանրահաշվական, երկրաչափական և եռանկյունաչափական ձևեր
համալիր համարը.
Ի վիճակի լինել:
կատարել կոմպլեքս թվերի վրա գումարման գործողություններ,
բազմապատկում, հանում, բաժանում, հզորացում, հանում
բարդ թվի արմատ;
կոմպլեքս թվերը հանրահաշվական ձևից վերածել
երկրաչափական և եռանկյունաչափական;
օգտագործել բարդ թվերի երկրաչափական մեկնաբանությունը.
ամենապարզ դեպքերում գտե՛ք հավասարումների բարդ արմատները
իրական գործակիցներ.

Ո՞ր թվային բազմություններին եք ծանոթ:

I. Նոր նյութ ուսումնասիրելու նախապատրաստում
Ո՞ր թվային բազմություններին եք ծանոթ:
Ն
Զ
Ք
Ն Զ Ք Ռ
Ռ

Թվային համակարգ
Բնական
թվեր, Ն
Ամբողջ թվեր, Զ
Ռացիոնալ թվեր, Ք
Իրական թվեր,
Ռ
Համալիր
թվեր, Գ
Ընդունելի
հանրահաշվական
գործառնություններ
Հավելում,
բազմապատկում
Գումարում, հանում,
բազմապատկում
Գումարում, հանում,
բազմապատկում, բաժանում
Գումարում, հանում,
բազմապատկում, բաժանում,
արմատավորումը
ոչ բացասական թվեր
Բոլոր գործողությունները
Մասամբ
ընդունելի
հանրահաշվական
գործառնություններ
Հանում, բաժանում,
արմատների արդյունահանում
բաժին,
արմատների արդյունահանում
Արմատներ հանելը
ոչ բացասական
թվեր
Արմատների արդյունահանում
կամայականից
թվեր

Նվազագույն պայմաններ, որոնք պետք է պահպանվեն
կոմպլեքս թվեր.
C1) Կա քառակուսի արմատ, այսինքն. գոյություն ունի
համալիր թիվ, որի քառակուսին հավասար է.
Գ2) Կոմպլեքս թվերի բազմությունը պարունակում է բոլոր իրական
թվեր։
Գ3) գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման գործողություններ
Կոմպլեքս թվերը բավարարում են սովորական օրենքները
թվաբանական գործողություններ (համակցված, կոմուտատիվ,
բաշխում).
Այս նվազագույն պայմանների կատարումը թույլ է տալիս որոշել
կոմպլեքս թվերի C ամբողջ բազմությունը։

Երևակայական թվեր

i = -1, i – երևակայական միավոր
i, 2i, -0.3i - զուտ երևակայական թվեր
Թվաբանական գործողություններ զուտ երևակայական թվերի վրա
կատարվում են Գ3 պայմանով.
3i 13i 3 13 i 16i
3i 13i 3 13 i 39i 2 39
ես 7 ես 2 ես ի
3
Ընդհանուր առմամբ, թվաբանական գործողությունների կանոնները զուտ երևակայական
թվերն են.
a b i;
a bi ab i;
այ բի
այ բի ա բ ի;
այ բի աբի ա
որտեղ a-ն և b-ն իրական թվեր են:
2

Կոմպլեքս թվեր

Սահմանում 1. Կոմպլեքս թիվը գումարն է
իրական թիվ և զուտ երևակայական թիվ:
z a bi C a R, b R,
ես երևակայական միավորն է:
a Re z , b Im z
Սահմանում 2. Կոչվում են երկու կոմպլեքս թվեր
հավասար են, եթե դրանց իրական մասերը հավասար են և հավասար
նրանց երևակայական մասերը.
ա բի գ դի ա գ, բ դ .

Կոմպլեքս թվերի դասակարգում

Կոմպլեքս թվեր
ա+բի
Իրական թվեր
b=o
Ռացիոնալ
թվեր
Իռացիոնալ
թվեր
Երևակայական թվեր
b≠o
Երևակայական թվերի հետ
ոչ զրոյական
վավեր
մաս
a ≠ 0, b ≠ 0:
Զուտ
երևակայական
թվեր
a = 0, b ≠ 0:

Թվաբանական գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi) (c di) ac bd bc ad
2
2
ես
2
2
գ դի (գ դի) (գ դի) գ դ
գ դ

Խոնարհել բարդ թվեր

Սահմանում. Եթե կոմպլեքս թիվ է պահվում
իրական մասը և փոխել երևակայական մասի նշանը, ապա
արդյունքը տրվածին խոնարհված բարդ թիվ է:
Եթե ​​տրված կոմպլեքս թիվը նշանակվում է z տառով, ապա
խոնարհված թիվը նշանակվում է z-ով.
z x yi z x yi
Բոլոր բարդ թվերից իրական թվերը (և միայն դրանք)
հավասար են իրենց խոնարհ թվերին։
a + bi և a - bi թվերը կոչվում են փոխադարձաբար խոնարհված
կոմպլեքս թվեր.

Խոնարհված թվերի հատկությունները

1. Երկու խոնարհված թվերի գումարը և արտադրյալը թիվ է
իրական.
z z (a bi) (a bi) 2a
z z (a bi) (a bi) a 2 (bi) 2 a 2 b 2
2. Երկու բարդ թվերի գումարի խոնարհ թիվը հավասար է
խոնարհված թվերի գումարը.
z1 z2 z1 z2
3. Երկու կոմպլեքս թվերի տարբերության խոնարհ թիվը հավասար է
տրված թվերի խոնարհումների տարբերությունը.
z1 z2 z1 z2
4. Երկու կոմպլեքս թվերի արտադրյալի խոնարհ թիվը հավասար է
տրված թվերի խոնարհումների արտադրյալը.
z1z2 z1 z2

Խոնարհված թվերի հատկությունները

5. Զ բարդ թվի n-րդ աստիճանին խոնարհված թիվը,
հավասար է z թվին հարակից թվի n-րդ աստիճանին, այսինքն.
z n (z)n , n N
6. Երկու կոմպլեքս թվերի խոնարհված թիվը
որի բաժանարարը զրոյական չէ, հավասար է քանորդին
զուգակցված թվեր, այսինքն.
a bi a bi
գ դի գ դի

Երևակայական միավորի ուժերը

Ըստ սահմանման՝ i թվի առաջին ուժն է
1
ինքն իրեն
i թիվը, իսկ երկրորդ հզորությունը -1 թիվն է:
i1 = i, i2 = -1
.
i-ի ավելի բարձր ուժերը գտնվում են հետևյալ կերպ
1
ճանապարհ:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1 և այլն:
Ակնհայտ է, որ ցանկացած բնական թվի համար n
i4n = 1;
i4n +2 = - 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = - i.

Բարդ թվերի քառակուսի արմատներ հանելը հանրահաշվական ձևով:

Սահմանում. w թիվը կոչվում է քառակուսի արմատ
2
z կոմպլեքս թիվը, եթե նրա քառակուսին հավասար է z-ի. w z
Թեորեմ. Թող z=a+bi լինի ոչ զրոյական կոմպլեքս թիվ։
Այնուհետև կան երկու միմյանց հակադիր բարդույթներ
թվեր, որոնց քառակուսիները հավասար են z-ի: Եթե ​​b≠0, ապա այս երկու թվերը
արտահայտված բանաձևով.
w
a2 b2 a
ես ստորագրում եմ
2
ա 2 բ 2 ա
, Որտեղ
2
1 եթե b 0
նշանb 1, եթե b 0
0, եթե b 0
b 0, a 0-ի համար մենք ունենք՝ w a, b 0, a 0-ի համար ունենք՝ w i a:

Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական պատկերը:

Կոմպլեքս z թիվը կոորդինատային հարթության վրա
համապատասխանում է M(a, b) կետին:
Հաճախ ինքնաթիռի կետերի փոխարեն դրանք վերցվում են
շառավղային վեկտորներ
Օ.Մ
Սահմանում. z = a + bi կոմպլեքս թվի մոդուլ
զանգահարել ոչ բացասական թիվ 2 b2
,
հավասար է M կետից մինչև սկիզբը ընկած հեռավորությանը
z a 2 b2
կոորդինատները
cos
y
M (a, b)
բ
φ
Օ
ա
x
ա
և մեղք
բ
a2 b2
a2 b2
բարդ թվի արգումենտ
;

Բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև

z r cos i մեղք
որտեղ φ կոմպլեքս թվի արգումենտն է,
r=
a 2 b2 - կոմպլեքս թվի մոդուլ,
cos
ա
a2 b2
և մեղք
բ
a2 b2

Եռանկյունաչափական ձևով տրված բարդ թվերի բազմապատկում և բաժանում

Թեորեմ
Եթե
1.
z1 0, z2 0
Եվ
z1 r1 cos 1 i sin 1, z2 r2 cos 2 i sin 2, ապա.
Ա)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 ես մեղք եմ 1 2
բ)
z1 r1
cos 1 2 ես մեղք եմ գործում 1 2
z2 r2
Թեորեմ 2 (Moivre բանաձեւ).
Թող z լինի ցանկացած ոչ զրոյական
համալիր թիվ, n - ցանկացած ամբողջ թիվ:
Հետո
z r cos i sin r n cosn i sin n.
n
n

Կոմպլեքս թվի արմատի հանում:

Թեորեմ. Ցանկացած բնական թվի համար n և
ոչ զրոյական բարդ թիվ z գոյություն ունի
n n-արմատի տարբեր արժեքներ:
Եթե
z r քանի որ ես մեղք եմ գործում,
ապա այս արժեքներն արտահայտվում են բանաձևով
2կ
2կ
wk r cos
մեջ է
,
n
n
որտեղ k 0,1,..., (n 1)

Լոկտիոնովա Գ.Ն.

մաթեմատիկայի ուսուցիչ

ԳԱՊՈՒ «Ավտոտրանսպորտային քոլեջ»

«Բարդ թվեր և գործողություններ

նրանցից վեր»

• Թեման ուսումնասիրելուց հետո ուսանողները պետք է. Իմանալ.կոմպլեքս թվերի հանրահաշվական, երկրաչափական և եռանկյունաչափական ձևերը։ Ի վիճակի լինել:կատարել կոմպլեքս թվերի գումարման, բազմապատկման, հանման, բաժանման, հզորացման և արմատից հանելու գործողություններ բարդ թվերի վրա. կոմպլեքս թվերը հանրահաշվականից վերածել երկրաչափական և եռանկյունաչափական ձևերի; օգտագործել բարդ թվերի երկրաչափական մեկնաբանությունը. ամենապարզ դեպքերում գտե՛ք իրական գործակիցներով հավասարումների բարդ արմատները:

• Պատմական անդրադարձ
• Հիմնական հասկացություններ
• Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական պատկերը
• Բարդ թվեր գրելու ձևերը
• Գործողություններ բարդ թվերի վրա

• Գուսակ, Ա.Ա. Բարձրագույն մաթեմատիկա՝ դասագիրք համալսարանականների համար՝ 2 հատորով. Տ.1. /Ա.Ա. Գանդեր. – 5-րդ հրատ. – Մինսկ: TetraSystems, 2004. – 544 p.
• Կանատնիկով, Ա.Ն. Գծային հանրահաշիվ. / Ա.Ն. Կանատնիկով, Ա.Պ. Կրիշչենկոն։ - Մ.: ՀՊՏՀ իմ. Ն.Է. Bauman, 2001 – 336 p.
• Կուրոշ, Ա.Գ. Բարձրագույն հանրահաշվի դասընթաց. / Ա.Գ. Կուրոշ. - Մ.: Գիտություն, 1971-432:
• Գրավոր Դ.Թ. Դասախոսությունների նշումներ բարձրագույն մաթեմատիկայի վերաբերյալ: 1 մաս. – 2-րդ հրատ., վերանայված։ – M.: Iris-press, 2003. - 288 p.
• Սիկորսկայա, Գ.Ա. Դասախոսությունների դասընթաց հանրահաշիվ և երկրաչափություն. Դասագիրք տրանսպորտի ֆակուլտետի ուսանողների համար / Գ.Ա. Սիկորսկայա. - Օրենբուրգ: IPK GOU OSU, 2007. – 374 p.

կետ 1 Պատմական նախադրյալներ

Կոմպլեքս թվի հասկացությունն առաջացել է հանրահաշվական հավասարումների լուծման պրակտիկայից և տեսությունից։

Մաթեմատիկոսներն առաջին անգամ բախվել են բարդ թվերի հետ քառակուսի հավասարումներ լուծելիս: Մինչև 16-րդ դարը ամբողջ աշխարհի մաթեմատիկոսները, չգտնելով քառակուսի հավասարումներ լուծելիս առաջացած բարդ արմատների համար ընդունելի մեկնաբանություն, դրանք կեղծ էին և հաշվի չէին առնում։

Կարդանոն, ով աշխատում էր 3-րդ և 4-րդ աստիճանների հավասարումների լուծման վրա, առաջին մաթեմատիկոսներից էր, ով պաշտոնապես գործել է բարդ թվերի հետ, թեև նրա համար դրանց նշանակությունը հիմնականում անհասկանալի էր:

Կոմպլեքս թվերի նշանակությունը բացատրել է մեկ այլ իտալացի մաթեմատիկոս Ռ.Բոմբելին։ Իր «Հանրահաշիվ» (1572) գրքում նա նախ սահմանեց ժամանակակից ձևով բարդ թվերի գործարկման կանոնները։

Այնուամենայնիվ, մինչև 18-րդ դարը բարդ թվերը համարվում էին «երևակայական» և անօգուտ։ Հետաքրքիր է նշել, որ նույնիսկ այնպիսի նշանավոր մաթեմատիկոս, ինչպիսին է Դեկարտը, ով իրական թվերը նույնացնում էր թվային ուղղի հատվածների հետ, կարծում էր, որ բարդ թվերի իրական մեկնաբանություն չի կարող լինել, և դրանք հավերժ կմնան երևակայական, երևակայական: Մեծ մաթեմատիկոսներ Նյուտոնը և Լայբնիցը նույն կարծիքին էին։

Միայն 18-րդ դարում մաթեմատիկական վերլուծության, երկրաչափության և մեխանիկայի բազմաթիվ խնդիրներ պահանջում էին բարդ թվերի վրա գործողությունների լայն կիրառում, ինչը պայմաններ էր ստեղծում դրանց երկրաչափական մեկնաբանության զարգացման համար։

18-րդ դարի կեսերին դ'Ալեմբերի և Էյլերի կիրառական աշխատություններում հեղինակները կամայական երևակայական մեծություններ են ներկայացնում ձևով. z=a+ib, որը թույլ է տալիս նման մեծությունները ներկայացնել կոորդինատային հարթության կետերով։ Հենց այս մեկնաբանությունն է կիրառվել Գաուսի կողմից հանրահաշվական հավասարումների լուծումների ուսումնասիրությանը նվիրված աշխատությունում։

Եվ միայն 19-րդ դարի սկզբին, երբ արդեն պարզված էր բարդ թվերի դերը մաթեմատիկայի տարբեր ոլորտներում, մշակվեց դրանց շատ պարզ և բնական երկրաչափական մեկնաբանությունը, ինչը հնարավորություն տվեց հասկանալ բարդի վրա գործողությունների երկրաչափական նշանակությունը: թվեր։

Պ. 2 Հիմնական հասկացություններ

Կոմպլեքս համարը զկոչվում է ձևի արտահայտություն z=a+ib, Որտեղ աԵվ բ- իրական թվեր, ես – երևակայական միավոր, որը որոշվում է հարաբերությամբ.

Այս դեպքում համարը ականչեց իրական մասթվեր զ

(ա = Re զ), Ա բ - երևակայական մաս (բ = ես զ).

Եթե ա = Ռե զ =0 , այդ թիվը զկամք զուտ երևակայական, Եթե բ = ես զ =0 , ապա համարը զկամք վավեր .

Թվեր z=a+ibև կոչվում են բարդ - զուգակցված .

Երկու կոմպլեքս թվեր զ 1 =ա 1 +ib 1 Եվ զ 2 =ա 2 +ib 2 կոչվում են հավասար, եթե դրանց իրական և երևակայական մասերը համապատասխանաբար հավասար են.

ա 1 =ա 2 ; բ 1 =բ 2

Կոմպլեքս թիվը հավասար է զրոյի, եթե իրական և երևակայական մասերը համապատասխանաբար հավասար են զրոյի։

Կոմպլեքս թվերը կարող են գրվել նաև, օրինակ, ձևով z=x+iy , z=u+iv .

Պ. 3 Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական պատկերը

Ցանկացած բարդ թիվ z=x+iyկարող է ներկայացվել կետով M(x;y)Ինքնաթիռ xOyայնպիսին է, որ X = Ռե զ , յ = ես զ. Եվ, ընդհակառակը, յուրաքանչյուր կետ M(x;y)կոորդինատային հարթությունը կարելի է համարել որպես բարդ թվի պատկեր z=x+iy(նկար 1):

Նկար 1

Այն հարթությունը, որի վրա պատկերված են բարդ թվեր, կոչվում է բարդ հարթություն .

Abscissa առանցքը կոչվում է իրական առանցք, քանի որ այն պարունակում է իրական թվեր z=x+0i=x .

y առանցքը կոչվում է երևակայական առանցք, այն պարունակում է երևակայական բարդ թվեր z=0+yi=yi .

Հաճախ ինքնաթիռի կետերի փոխարեն դրանք վերցվում են շառավղով վեկտորներ

դրանք. կետով սկսվող վեկտորներ O(0;0), վերջ M(x;y) .

Համալիր թիվ ներկայացնող վեկտորի երկարությունը զ , կանչեց մոդուլայս թիվը նշանակված է | զ|կամ r .

Իրական առանցքի դրական ուղղության և բարդ թիվ ներկայացնող վեկտորի միջև անկյան մեծությունը կոչվում է. փաստարկայս կոմպլեքս թվով նշվում է Արգ զկամ φ .

Համալիր թվի փաստարկ z=0անորոշ.

Համալիր թվի փաստարկ զ ≠ 0 - քանակությունը բազմարժեք է և ճշգրիտ որոշվում է գումարի չափով 2 π k (k=0,-1,1,-2,2, ..) :

Արգ զ=արգ z+2 π k,

Որտեղ արգ զ - փաստարկի հիմնական իմաստը , եզրափակեց միջանկյալ (- π , π ] .

էջ.4 Բարդ թվեր գրելու ձևեր

Թիվ գրել ձևով z=x+iyկանչեց հանրահաշվական ձևհամալիր համարը.

Նկար 1-ից պարզ է դառնում, որ x=rcos φ , y=րսին φ , հետևաբար, բարդ z=x+iyհամարը կարելի է գրել այսպես.

Ձայնագրման այս ձևը կոչվում է եռանկյունաչափական նշումհամալիր համարը.

Մոդուլ r=|z|եզակիորեն որոշվում է բանաձևով

Փաստարկ φ որոշվում է բանաձևերից

Կոմպլեքս թվի հանրահաշվական ձևից եռանկյունաչափականին անցնելիս բավական է որոշել միայն բարդ թվի փաստարկի հիմնական արժեքը, այսինքն. հաշվել φ =արգ զ .

Քանի որ բանաձևից մենք ստանում ենք դա

Ներքին կետերի համար Ի , IVքառորդներ;

Ներքին կետերի համար IIքառորդներ;

Ներքին կետերի համար IIIքառորդներ.

Օրինակ 1.Ներկայացրե՛ք բարդ թվերը եռանկյունաչափական տեսքով:

Լուծում. Կոմպլեքս համարը z=x+iyեռանկյունաչափական ձևով ունի ձև z=r(cos φ +իսին φ ) , Որտեղ

1) զ 1 = 1 +i(թիվ զ 1 պատկանում է Իքառորդներ), x=1, y=1.

Այսպիսով,

2) (համար զ 2 պատկանում է IIքառորդներ)

Այդ ժամանակվանից

Հետևաբար,

Պատասխան.

Դիտարկենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիան w=e զ, Որտեղ z=x+iy- համալիր համարը.

Կարելի է ցույց տալ, որ ֆունկցիան wկարելի է գրել այսպես.

Այս հավասարությունը կոչվում է Էյլերի հավասարումը.

Կոմպլեքս թվերի համար ճշմարիտ կլինեն հետևյալ հատկությունները.

Որտեղ մ- ամբողջ թիվ.

Եթե ​​Էյլերի հավասարման մեջ ցուցիչը ընդունվում է որպես զուտ երևակայական թիվ ( x=0), ապա մենք ստանում ենք.

Բարդ խոնարհված թվի համար մենք ստանում ենք.

Այս երկու հավասարումներից ստանում ենք.

Այս բանաձևերը օգտագործվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հզորությունների արժեքները գտնելու համար բազմաթիվ անկյունների գործառույթների միջոցով:

Եթե ​​բարդ թիվ եք ներկայացնում եռանկյունաչափական տեսքով

z=r(cos φ +իսին φ )

և օգտագործել Էյլերի բանաձևը ե ես φ =cos φ +իսին φ , ապա կոմպլեքս թիվը կարելի է գրել այսպես

z=r e ես φ

Ստացված հավասարությունը կոչվում է էքսպոնենցիալ ձևհամալիր համարը.

Պ. 5 Գործողություններ բարդ թվերի վրա

1) գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա, որոնք տրված են հանրահաշվական տեսքով

ա) Կոմպլեքս թվերի գումարում

Գումարըերկու կոմպլեքս թվեր զ 1 =x 1 +y 1 եսԵվ զ 2 =x 2 +y 2 ես

զ 1 +z 2 = (x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ).

Լրացման գործողության հատկությունները.

1. զ 1 +z 2 = z 2 +z 1 ,

2. (զ 1 +z 2 )+զ 3 =z 1 +(զ 2 +z 3 ) ,

3. z+0=z .

բ) կոմպլեքս թվերի հանում

Հանումը սահմանվում է որպես գումարման հակադարձ:

Տարբերությամբերկու կոմպլեքս թվեր զ 1 =x 1 +y 1 եսԵվ զ 2 =x 2 +y 2 եսայսպիսի բարդ թիվ է կոչվում զ, որը, երբ ավելացվում է զ 2 , տալիս է համարը զ 1 և սահմանվում է հավասարությամբ

z=z 1 – զ 2 = (x 1 - x 2 )+i(y 1 -y 2 ).

գ) Կոմպլեքս թվերի բազմապատկում

Աշխատանքըբարդ թվեր զ 1 =x 1 +y 1 եսԵվ զ 2 =x 2 +y 2 ես, սահմանվում է հավասարությամբ

z=z 1 զ 2 = (x 1 x 2 - y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 - x 2 y 1 ).

Այստեղից, մասնավորապես, հետևում է ամենակարևոր առնչությանը

ես 2 = – 1.

Բազմապատկման գործողության հատկությունները.

1. զ 1 զ 2 = z 2 զ 1 ,

2. (զ 1 զ 2 )զ 3 =z 1 (զ 2 զ 3 ) ,

3. զ 1 ( զ 2 +z 3 ) =z 1 զ 2 +z 1 զ 3 ,

4 . զ ∙ 1 =z .

դ) Կոմպլեքս թվերի բաժանում

Բաժանումը սահմանվում է որպես բազմապատկման հակադարձ:

Երկու կոմպլեքս թվերի գործակիցը զ 1 Եվ զ 2 ≠ 0 կոչվում է կոմպլեքս թիվ զ, որը երբ բազմապատկվում է զ 2 , տալիս է համարը զ 1 , այսինքն. Եթե զ 2 զ = զ 1 .

Եթե ​​դնեք զ 1 =x 1 +y 1 ես , զ 2 =x 2 +y 2 ես ≠ 0, z=x+yi , ապա հավասարությունից (x+yi) (x 2 +iy 2 )= x 1 +y 1 ես,պետք է

Համակարգը լուծելով՝ մենք գտնում ենք արժեքները xԵվ y :

Այսպիսով,

Գործնականում ստացված բանաձևի փոխարեն օգտագործվում է հետևյալ տեխնիկան՝ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում են հայտարարին խոնարհված թվով («Ազատվել հայտարարի մեջ երևակայականից»)։

Օրինակ 2.Տրված են կոմպլեքս թվեր 10+8i , 1+i.Գտնենք դրանց գումարը, տարբերությունը, արտադրյալը և գործակիցը։

Լուծում.

Ա) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

բ) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i= 9 + 7 ես;

V) (10+8i)(1+i) = 10+10 ես +8 ես +8 ես 2 =2+18i;

ե) Հանրահաշվական ձևով տրված կոմպլեքս թվի կառուցում n րդ աստիճան

Եկեք գրենք երևակայական միավորի ամբողջ թվային հզորությունները.

Ընդհանուր առմամբ, արդյունքը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Օրինակ 3.Հաշվիր ես 2 092 .

Լուծում.

• Ներկայացնենք ցուցանիշը ձևով n = 4k + լև օգտագործել աստիճանի հատկությունը ռացիոնալ ցուցիչով զ 4k + 1 =(զ 4 ) կ ∙ զ լ .

Մենք ունենք: 2092=4 ∙ 523 .

Այսպիսով, ես 2 092 = ես 4 ∙ 523 = (i 4 ) 523 , բայց քանի որ ես 4 = 1 , ապա մենք վերջապես ստանում ենք ես 2 092 = 1 .

Պատասխան. ես 2 092 = 1 .

Կոմպլեքս թիվ կառուցելիս ա+բիերկրորդ և երրորդ ուժերի համար օգտագործեք երկու թվերի գումարի քառակուսի և խորանարդի բանաձևը, և ​​երբ այն բարձրացրեք մինչև n (n- բնական թիվ, n ≥ 4 ) – Նյուտոնի երկանդամ բանաձևը.

Այս բանաձեւում գործակիցները գտնելու համար հարմար է օգտագործել Պասկալի եռանկյունը։

ե) Կոմպլեքս թվի քառակուսի արմատի հանում

Քառակուսի արմատԲարդ թվից կոչվում է այն բարդ թիվը, որի քառակուսին հավասար է տրվածին:

Նշանակենք բարդ թվի քառակուսի արմատը x+yiմիջոցով u+vi, ապա ըստ սահմանման

Գտնելու բանաձևեր uԵվ vնման լինել

Նշաններ uԵվ vընտրվում են այնպես, որ ստացված uԵվ vբավարարված հավասարություն 2uv=y .

0-ը, ապա u-ը և v-ը նույնական նշանների մեկ կոմպլեքս թիվ են։) Պատասխան՝ բովանդակություն" width="640"

Օրինակ 4.Բարդ թվի քառակուսի արմատ գտնելը z=5+12i .

Լուծում.

Նշանակենք թվի քառակուսի արմատը զմիջոցով u+vi, Հետո (u+vi) 2 =5+12i .

Քանի որ այս դեպքում x=5 , y=12, ապա օգտագործելով (1) բանաձևերը ստանում ենք.

u 2 =9; u 1 =3; u 2 = - 3; v 2 =4; v 1 =2; v 2 = – 2.

Այսպիսով, քառակուսի արմատի երկու արժեք է հայտնաբերվել. u 1 +v 1 i=3+2i , u 2 +v 2 i= –3 –2i, . (Նշաններն ընտրվել են ըստ հավասարության 2uv=y, այսինքն. քանի որ y=120, Դա uԵվ vնույնական նշանների մեկ բարդ թվով):

Պատասխան.

2) Գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա տրված եռանկյունաչափական տեսքով

Դիտարկենք երկու բարդ թվեր զ 1 Եվ զ 2 , տրված է եռանկյունաչափական ձևով

ա) կոմպլեքս թվերի արտադրյալ

Կատարում ենք թվերի բազմապատկում զ 1 Եվ զ 2 , ստանում ենք

բ) Երկու կոմպլեքս թվերի քանորդը

Թող տրվեն բարդ թվեր զ 1 Եվ զ 2 ≠ 0 .

Դիտարկենք մեր ունեցած գործակիցը

Օրինակ 5. Տրված է երկու կոմպլեքս թվեր

Լուծում.

1) Օգտագործելով բանաձևը. մենք ստանում ենք

Հետևաբար,

2) Օգտագործելով բանաձևը. մենք ստանում ենք

Հետևաբար,

Պատասխան.

V) Եռանկյունաչափական ձևով տրված կոմպլեքս թվի կառուցում n րդ աստիճան

Կոմպլեքս թվերի բազմապատկման գործողությունից հետևում է, որ

Ընդհանուր դեպքում մենք ստանում ենք.

Որտեղ n – դրական ամբողջ թիվ.

Ուստի , երբ կոմպլեքս թիվը բարձրացվում է մինչև հզորության, մոդուլը բարձրացվում է նույն հզորության, իսկ արգումենտը բազմապատկվում է աստիճանով .

(2) արտահայտությունը կոչվում է Moivre-ի բանաձեւը .

Աբրահամ դե Մոիվր (1667 - 1754) - ֆրանսիական ծագումով անգլիացի մաթեմատիկոս։

Moivre-ի արժանիքները.

• հայտնաբերել է (1707 թ.) Մոյվրի բանաձևը՝ տրված եռանկյունաչափական ձևով կոմպլեքս թվերի աստիճանականացման (և արմատների արդյունահանման).
• առաջինը սկսեց օգտագործել անսահման շարքերի աստիճանականացում;
• Նա մեծ ներդրում ունեցավ հավանականությունների տեսության մեջ. նա ապացուցեց Լապլասի թեորեմի հատուկ դեպքեր, անցկացրեց մոլախաղերի հավանականական ուսումնասիրություն և մի շարք վիճակագրական տվյալներ բնակչության վերաբերյալ:

Moivre-ի բանաձևը կարող է օգտագործվել կրկնակի, եռակի և այլնի եռանկյունաչափական ֆունկցիաները գտնելու համար։ անկյունները

Օրինակ 6.Գտեք բանաձևեր մեղք 2  Եվ cos 2  .

Լուծում.

Դիտարկենք մի քանի բարդ թիվ

Հետո մի կողմից

Ըստ Moivre-ի բանաձևի.

Հավասարեցնելով՝ ստանում ենք

Որովհետեւ երկու կոմպլեքս թվեր հավասար են, եթե դրանց իրական և երևակայական մասերը հավասար են, ապա

Մենք ստացանք երկակի անկյունների հայտնի բանաձևերը:

դ) արմատահանում Պ

Արմատ Պ - կոմպլեքս թվի-րդ հզորությունը զկոչվում է կոմպլեքս թիվ w, բավարարելով հավասարությունը w n =z, այսինքն. Եթե w n =z .

Եթե ​​դնենք, ապա, արմատի սահմանմամբ և Moivre-ի բանաձևով, կստանանք

Այստեղից մենք ունենք

Հետևաբար հավասարությունը ձև է ստանում

որտեղ (այսինքն՝ 0-ից մինչև n-1).

Այսպիսով, արմատների արդյունահանում n - կոմպլեքս թվի-րդ հզորությունը զ միշտ հնարավոր է և տալիս է n տարբեր իմաստներ. Բոլոր արմատային իմաստները n շառավղով շրջանագծի վրա գտնվող րդ աստիճան կենտրոնով զրոյական վրա և այս շրջանագիծը բաժանիր n հավասար մասեր:

Օրինակ 7.Գտեք բոլոր արժեքները

Լուծում.

Նախ, եկեք թիվը ներկայացնենք եռանկյունաչափական տեսքով:

Այս դեպքում x=1 , , Այսպիսով,

Հետևաբար,

Օգտագործելով բանաձև

Որտեղ k=0,1,2,…,(n-1),մենք ունենք:

Եկեք գրենք բոլոր արժեքները.

Պատասխան.

Հարցեր ինքնատիրապետման համար

1 . Ձևակերպե՛ք բարդ թվի սահմանումը.

2. Ո՞ր բարդ թիվն է կոչվում զուտ երևակայական:

3. Ո՞ր երկու բարդ թվերն են կոչվում խոնարհված:

4. Բացատրի՛ր, թե ինչ է նշանակում հանրահաշվական տեսքով տրված կոմպլեքս թվեր գումարել; բազմապատկել բարդ թիվը իրական թվով.

5. Բացատրի՛ր հանրահաշվական տեսքով տրված կոմպլեքս թվերի բաժանման սկզբունքը:

6. Ընդհանուր բառերով գրի՛ր երևակայական միավորի ամբողջ թվային հզորությունները:

7. Ի՞նչ է նշանակում հանրահաշվական ձևով տրված կոմպլեքս թիվը հասցնել ուժի (n-ը բնական թիվ է):

8. Ասա մեզ, թե ինչպես են բարդ թվերը պատկերված հարթության վրա:

9 . Նշման ո՞ր ձևն է կոչվում բարդ թվերի եռանկյունաչափական ձև:

10. Ձևակերպե՛ք բարդ թվի մոդուլի և արգումենտի սահմանումը:

11. Ձևակերպի՛ր եռանկյունաչափական ձևով գրված բարդ թվերի բազմապատկման կանոնը.

12. Եռանկյունաչափական ձևով տրված երկու բարդ թվերի քանորդը գտնելու կանոն ձևակերպի՛ր:

13. Ձևակերպե՛ք եռանկյունաչափական տեսքով տրված բարդ թվերը հզորություններին մեծացնելու կանոնը:

14. Ձևակերպե՛ք եռանկյունաչափական ձևով տրված բարդ թվի n-րդ արմատը հանելու կանոն:

15. Պատմե՛ք միասնության n-րդ արմատի իմաստի և դրա կիրառման շրջանակի մասին։

1. Թվի հայեցակարգի մշակում Բացասական թվերի ներդրումը – դա արվել է չինացի մաթեմատիկոսների կողմից մ.թ.ա. երկու դար: ե. Արդեն 8-րդ դարում հաստատվեց, որ դրական թվի քառակուսի արմատն ունի երկու նշանակություն՝ դրական և բացասական, իսկ քառակուսի արմատը չի կարելի վերցնել բացասական թվերից։

Այս բանաձևն անթերի է գործում այն ​​դեպքում, երբ հավասարումն ունի մեկ իրական արմատ, իսկ եթե ունի երեք իրական արմատ, ապա քառակուսի արմատի նշանի տակ բացասական թիվ է հայտնվում։ Պարզվեց, որ դեպի այս արմատներ տանող ճանապարհը տանում է բացասական թվի քառակուսի արմատը հանելու անհնարին գործողության միջոցով։

3. Մաթեմատիկայում կոմպլեքս թվերի պնդումը Կարդանոն նման մեծություններն անվանել է զուտ բացասական և նույնիսկ սոփեստորեն բացասական, համարել դրանք անօգուտ և փորձել չօգտագործել: Բայց արդեն 1572 թվականին լույս է տեսել իտալացի հանրահաշվագետ Ռ.Բոմբելիի գիրքը, որտեղ սահմանվել են թվաբանական գործողությունների առաջին կանոնները նման թվերի վրա՝ ընդհուպ մինչև դրանցից խորանարդի արմատներ հանելը։

Երևակայական թվեր անվանումը ներկայացվել է 1637 թվականին ֆրանսիացի մաթեմատիկոս և փիլիսոփա Ռ.Դեկարտի կողմից։ 1777 թվականին 18-րդ դարի մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը՝ Լ. Էյլերը, առաջարկեց օգտագործել ֆրանսերեն imaginaire (երևակայական) բառի առաջին տառը՝ թիվը (երևակայական միավոր) նշելու համար։ Այս խորհրդանիշը ընդհանուր օգտագործման մեջ է մտել Կ.Գաուսի շնորհիվ։ Կոմպլեքս թվեր տերմինը ներմուծել է նաև Գաուսը 1831 թվականին։ 1777 թվականին 18-րդ դարի մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը՝ Լ. Էյլերը, առաջարկեց օգտագործել ֆրանսերեն imaginaire (երևակայական) բառի առաջին տառը՝ թիվը (երևակայական միավոր) նշելու համար։ Այս խորհրդանիշը ընդհանուր օգտագործման մեջ է մտել Կ.Գաուսի շնորհիվ։ Կոմպլեքս թվեր տերմինը ներմուծել է նաև Գաուսը 1831 թվականին։

Կոմպլեքս բառը (լատիներեն complexus-ից) նշանակում է կապ, համակցություն, հասկացությունների, առարկաների, երևույթների և այլնի ամբողջություն, որոնք կազմում են մեկ ամբողջություն։ Կոմպլեքս բառը (լատիներեն complexus-ից) նշանակում է կապ, համակցություն, հասկացությունների, առարկաների, երևույթների և այլնի ամբողջություն, որոնք կազմում են մեկ ամբողջություն։

Որը կապեց էքսպոնենցիալ ֆունկցիան եռանկյունաչափականի հետ։ Օգտագործելով Լ.Էյլերի բանաձեւը, հնարավոր եղավ e թիվը հասցնել ցանկացած բարդ հզորության։ որը կապում էր էքսպոնենցիալ ֆունկցիան եռանկյունաչափականի հետ։ Օգտագործելով Լ.Էյլերի բանաձեւը, հնարավոր եղավ e թիվը հասցնել ցանկացած բարդ հզորության։

Կոմպլեքս թվերի տեսության ստեղծումից հետո հարց առաջացավ հիպերկոմպլեքս թվերի՝ մի քանի երևակայական միավորներով թվերի գոյության մասին։ Նման համակարգ կառուցվել է 1843 թվականին իռլանդացի մաթեմատիկոս Վ.Հեմիլթոնի կողմից, ով դրանք անվանել է քառյակներ Կոմպլեքս թվերի տեսության ստեղծումից հետո հարց է առաջացել հիպերբարդ թվերի գոյության մասին՝ թվերի մի քանի երևակայական միավորներով։ Նման համակարգ կառուցվել է 1843 թվականին իռլանդացի մաթեմատիկոս Վ.Հեմիլթոնի կողմից, ով դրանք անվանել է քառատրոններ

Նման ինքնաթիռը կոչվում է բարդ: Դրա վրա իրական թվերը զբաղեցնում են հորիզոնական առանցքը, երևակայական միավորը պատկերված է որպես մեկ ուղղահայաց առանցքի վրա. այդ պատճառով հորիզոնական և ուղղահայաց առանցքները կոչվում են համապատասխանաբար իրական և երևակայական առանցքներ։

5. Կոմպլեքս թվի եռանկյունաչափական ձև. a + bi կոմպլեքս թվի աբսցիսա a և b օրդինատներն արտահայտվում են r մոդուլով և q արգումենտով։ a + bi կոմպլեքս թվի աբսցիսա a և b օրդինատները արտահայտվում են r մոդուլով և q արգումենտով։ Բանաձեւեր a = r cos q, r=a/cos q a = r cos q, r=a/cos q b = r sin q, r=b/sin q b = r sin q, r=b/sin q r – վեկտորի երկարություն ( a+bi), q – այն անկյունը, որը կազմում է x առանցքի դրական ուղղության հետ

Կոմպլեքս թվերը, չնայած իրենց կեղծությանը և անվավերությանը, ունեն շատ լայն կիրառություն։ Նրանք նշանակալի դեր են խաղում ոչ միայն մաթեմատիկայի, այլ նաև այնպիսի գիտությունների մեջ, ինչպիսիք են ֆիզիկան և քիմիան։ Ներկայումս կոմպլեքս թվերն ակտիվորեն օգտագործվում են էլեկտրամեխանիկայի, համակարգչային և տիեզերական արդյունաբերության մեջ

0, այսինքն. z=a+bi կամ z=r*cos q + r*sin q որտեղ r > 0 i.e. z=a+bi or z=r*cos q + r*sin q This" title="Հետևաբար, ցանկացած բարդ թիվ կարող է ներկայացվել ձևով, հետևաբար, ցանկացած բարդ թիվ կարող է ներկայացվել r( cos q + i sin q ), r(cos q + i sin q), որտեղ r > 0 այսինքն z=a+bi կամ z=r*cos q + r*sin q որտեղ r > 0 այսինքն կամ z=r* cos q + r*sin q" class="link_thumb"> 25 !}Հետևաբար, ցանկացած բարդ թիվ կարող է ներկայացվել ձևով Հետևաբար, ցանկացած բարդ թիվ կարող է ներկայացվել r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q) ձևով, որտեղ r > 0 i.e. z=a+bi կամ z=r*cos q + r*sin q որտեղ r > 0 i.e. z=a+bi կամ z=r*cos q + r*sin q Այս արտահայտությունը կոչվում է նորմալ եռանկյունաչափական ձև կամ, կարճ ասած, բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև։ Այս արտահայտությունը կոչվում է նորմալ եռանկյունաչափական ձև կամ, կարճ ասած, բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև։ 0, այսինքն. z=a+bi կամ z=r*cos q + r*sin q որտեղ r > 0 i.e. z=a+bi or z=r*cos q + r*sin q հարկ"> 0 այսինքն z=a+bi կամ z=r*cos q + r*sin q որտեղ r > 0 այսինքն z=a+bi կամ. z=r*cos q + r*sin q Այս արտահայտությունը կոչվում է սովորական եռանկյունաչափական ձև կամ, կարճ ասած, բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև կոմպլեքս թիվ։»> 0. դրանք. z=a+bi կամ z=r*cos q + r*sin q որտեղ r > 0 i.e. z=a+bi or z=r*cos q + r*sin q This" title="Հետևաբար, ցանկացած բարդ թիվ կարող է ներկայացվել ձևով, հետևաբար, ցանկացած բարդ թիվ կարող է ներկայացվել r( cos q + i sin q ), r(cos q + i sin q), որտեղ r > 0 այսինքն z=a+bi կամ z=r*cos q + r*sin q որտեղ r > 0 այսինքն կամ z=r* cos q + r*sin q"> title="Հետևաբար, ցանկացած բարդ թիվ կարող է ներկայացվել ձևով Հետևաբար, ցանկացած բարդ թիվ կարող է ներկայացվել r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q) ձևով, որտեղ r > 0 i.e. z=a+bi կամ z=r*cos q + r*sin q որտեղ r > 0 i.e. z=a+bi կամ z=r*cos q + r*sin q"> !}