Klasifikace systémů hromadné obsluhy. QS s poruchami a plnou vzájemnou pomocí pro libovolné toky. Graf, soustava rovnic, vypočítané vztahy A také další díla, která vás mohou zajímat


Uvažujme vícekanálový systém řazení (celkem n kanálů), který přijímá požadavky s intenzitou λ a je obsluhován s intenzitou μ. Požadavek přicházející do systému je obsluhován, pokud je volný alespoň jeden kanál. Pokud jsou všechny kanály obsazeny, je další požadavek přijatý do systému odmítnut a opustí QS. Očíslujme stavy systému počtem obsazených kanálů:

  • S 0 – všechny kanály jsou zdarma;
  • S 1 – jeden kanál je obsazený;
  • S 2 – dva kanály jsou obsazeny;
  • Sk- zaneprázdněný k kanály;
  • Sn– všechny kanály jsou obsazené.
Je zřejmé, že systém pod vlivem vstupního toku požadavků přechází ze stavu do stavu. Vytvořme stavový graf pro tento systém řazení.

Rýže. 7.24
Obrázek 6.24 ukazuje stavový graf, ve kterém Si– číslo kanálu; λ – intenzita přijatých požadavků; μ – podle toho intenzita požadavků na servis. Požadavky vstupují do systému front s konstantní intenzitou a postupně obsazují kanály jeden po druhém; když jsou všechny kanály obsazeny, další požadavek dorazí na QS bude odmítnut a opustí systém.
Stanovme intenzity toků událostí, které přenášejí systém ze stavu do stavu při pohybu jak zleva doprava, tak zprava doleva po stavovém grafu.
Například ať je systém ve stavu S 1, tj. jeden kanál je obsazený, protože na jeho vstupu je požadavek. Jakmile bude obsluha požadavku dokončena, systém přejde do stavu S 0 .
Pokud jsou například dva kanály obsazené, pak tok služeb, který přenáší systém ze stavu S 2 ve stavu S 1 bude dvakrát intenzivnější: 2-μ; podle toho, pokud je zaneprázdněn k kanálů, intenzita je k-μ.

Proces údržby je procesem smrti a reprodukce. Kolmogorovovy rovnice pro tento konkrétní případ budou mít následující tvar:

(7.25)
Volají se rovnice (7.25). Erlangovy rovnice .
Abychom našli pravděpodobnostní hodnoty stavů R 0 , R 1 , …, Rn, je nutné určit počáteční podmínky:
– R 0 (0) = 1, tj. na vstupu systému je požadavek;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, tj. v počátečním okamžiku je systém volný.
Integrací systému diferenciálních rovnic (7.25) získáme hodnoty stavových pravděpodobností R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Mnohem více nás ale zajímají omezující pravděpodobnosti stavů. Jako t → ∞ a pomocí vzorce získaného při uvažování procesu smrti a rozmnožování získáme řešení soustavy rovnic (7.25):

(7.26)
V těchto vzorcích poměr intenzity λ / μ do toku aplikací je vhodné určit ρ .Toto množství se nazývá vzhledem k intenzitě toku aplikací, tj. průměrný počet aplikací přicházejících na QS během průměrné doby obsluhy jedné aplikace.

S přihlédnutím k provedenému zápisu bude mít soustava rovnic (7.26) tento tvar:

(7.27)
Tyto vzorce pro výpočet mezních pravděpodobností se nazývají Erlangovy vzorce .
Když známe všechny pravděpodobnosti stavů QS, najdeme charakteristiky účinnosti QS, tedy absolutní propustnost A, relativní propustnost Q a pravděpodobnost selhání R OTEVŘENO
Aplikace přijatá systémem bude zamítnuta, pokud zjistí, že všechny kanály jsou obsazené:

.
Pravděpodobnost, že žádost bude přijata do služby:

Q = 1 – R OTEVŘENO,
Kde Q– průměrný podíl přijatých žádostí obsluhovaných systémem nebo průměrný počet žádostí obsluhovaných QS za jednotku času vydělený průměrným počtem žádostí přijatých během této doby:

A=λ·Q=λ·(1-P otevřeno)
Kromě toho je jednou z nejdůležitějších charakteristik QS s poruchami průměrný počet obsazených kanálů. V n-kanál QS s poruchami, toto číslo se shoduje s průměrným počtem aplikací v QS.
Průměrný počet požadavků k lze vypočítat přímo prostřednictvím pravděpodobností stavů P 0, P 1, ..., P n:

,
tj. najdeme matematické očekávání diskrétní náhodné proměnné, která nabývá hodnoty od 0 do n s pravděpodobnostmi R 0 , R 1 , …, Rn.
Ještě jednodušší je vyjádřit hodnotu k prostřednictvím absolutní kapacity QS, tzn. A. Hodnota A je průměrný počet aplikací, které systém obsluhuje za jednotku času. Jeden obsazený kanál obslouží μ požadavků za jednotku času, pak průměrný počet obsazených kanálů

Formulace problému. U vchodu n-channel QS přijímá nejjednodušší tok požadavků s hustotou λ. Hustota nejjednoduššího servisního toku pro každý kanál je μ. Pokud požadavek přijatý na službu zjistí, že všechny kanály jsou volné, je přijat pro službu a současně obsluhován l kanály ( l < n). V tomto případě bude mít tok služeb pro jednu aplikaci intenzitu l.

Pokud požadavek přijatý na službu najde v systému jeden požadavek, pak kdy n ≥ 2l nově doručená žádost bude přijata do služby a bude současně obsluhována l kanály.

Pokud je v systému zachycen požadavek na službu i aplikace ( i= 0,1, ...), zatímco ( i+ 1)l≤ n, pak bude přijatá aplikace obsluhována l kanály s celkovým výkonem l. Pokud je v systému zachycena nově přijatá žádost j aplikace a zároveň jsou uspokojeny dvě nerovnosti společně: ( j + 1)l > n A j < n, pak bude žádost přijata do služby. V tomto případě lze provést servis některých aplikací l kanálů, druhá část je menší než l, počet kanálů, ale všichni budou zaneprázdněni servisem n kanály, které jsou náhodně distribuovány mezi aplikacemi. Pokud je v systému zachycena nově přijatá žádost n aplikací, pak je zamítnut a nebude obsluhován. Žádost přijatá k servisu je obsluhována do konce ("pacientské" žádosti).

Stavový graf takového systému je na Obr. 3.8.

Rýže. 3.8. Graf stavů QS s poruchami a částečnými

vzájemná pomoc mezi kanály

Všimněte si, že graf stavu systému až do stavu X h až po zápis průtokových parametrů se shoduje se stavovým grafem klasického systému hromadné obsluhy s poruchami, znázorněným na Obr. 3.6.

Proto,

(i = 0, 1, ..., h).

Graf stavu systému počínaje stavem X h a končící státem X n, se až do notace shoduje s grafem stavu QS s kompletní vzájemnou pomocí zobrazeným na Obr. 3.7. Tím pádem,

.

Zaveďme označení λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, tedy

S přihlédnutím k normalizovanému stavu získáme

Pro zkrácení dalšího zápisu zavádíme zápis

Pojďme zjistit vlastnosti systému.

Pravděpodobnost servisu poptávky

Průměrný počet aplikací v systému je

Průměrný počet obsazených kanálů

.

Pravděpodobnost, že konkrétní kanál bude zaneprázdněn

.

Pravděpodobnost obsazenosti všech kanálů systému

3.4.4. Systémy hromadné obsluhy s poruchami a heterogenními toky

Formulace problému. U vchodu n-kanálový systém QS přijímá heterogenní nejjednodušší tok s celkovou intenzitou λ Σ a

λ Σ = ,

kde λ i– intenzita aplikací v i zdroj.

Vzhledem k tomu, že tok požadavků je považován za superpozici požadavků z různých zdrojů, lze kombinovaný tok s dostatečnou přesností pro praxi považovat za Poissonův N = 5...20 a λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Intenzita obsluhy jednoho zařízení je rozdělena podle exponenciálního zákona a je rovna μ = 1/ t. Servisní zařízení pro obsluhu požadavku jsou zapojena do série, což odpovídá prodloužení servisního času tolikrát, kolikrát je počet zařízení kombinován pro servis:

t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,

Kde t obs – doba obsluhy požadavku; k– počet servisních zařízení; μ obs – požadavek na intenzitu servisu.

V rámci předpokladů přijatých v kapitole 2 znázorňujeme stav QS jako vektor, kde k m– počet aplikací v systému, z nichž každá je obsluhována m zařízení; L = q max – q min +1 – počet vstupních toků.

Poté počet obsazených a volných zařízení ( n zan ( ),n sv ( )) schopný je definován takto:

Od státu systém může přejít do jakéhokoli jiného stavu . Protože systém funguje L vstupní proudy, pak z každého stavu je to potenciálně možné L přímé přechody. Kvůli omezeným systémovým zdrojům však nejsou všechny tyto přechody proveditelné. Ať je SMO ve stavu a přichází požadavek m zařízení. Li m≤ n sv ( ), poté je požadavek přijat k obsluze a systém přejde do stavu s intenzitou λ m. Pokud aplikace vyžaduje více zařízení, než je k dispozici, bude služba odmítnuta a QS zůstane ve stavu . Jestli můžeš existují aplikace, které vyžadují m zařízení, pak je každé z nich obsluhováno s intenzitou  m a celkovou intenzitu obsluhy takových požadavků (μ m) je definován jako μ m = k m μ / m. Po dokončení obsluhy jednoho z požadavků systém přejde do stavu, ve kterém má odpovídající souřadnice hodnotu o jednu menší než ve stavu ,=, tj. dojde k opačnému přechodu. Na Obr. 3.9 ukazuje příklad vektorového modelu QS for n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intenzita údržby zařízení – μ.

Rýže. 3.9. Příklad grafu vektorového modelu QS s poruchami služby

Takže každý stát charakterizované počtem obsluhovaných aplikací určitého typu. Například ve státě
jeden požadavek je obsluhován jedním zařízením a jeden požadavek dvěma zařízeními. V tomto stavu jsou všechna zařízení zaneprázdněna, proto jsou možné pouze zpětné přechody (příchod jakéhokoli požadavku v tomto stavu vede k odmítnutí služby). Pokud obsluha požadavku prvního typu skončila dříve, systém přejde do stavu (0,1,0) s intenzitou μ, ale pokud obsluha požadavku druhého typu skončila dříve, pak systém přejde do stavu (0,1,0) s intenzitou μ/2.

Pomocí stavového grafu s vykreslenými intenzitami přechodu je sestaven systém lineárních algebraických rovnic. Z řešení těchto rovnic se zjistí pravděpodobnosti R(), kterým se určují vlastnosti QS.

Zvažte nalezení R otk (pravděpodobnost odmítnutí služby).

,

Kde S– počet stavů grafu vektorového QS modelu; R() je pravděpodobnost, že se systém nachází ve stavu .

Počet stavů podle se určuje takto:

, (3.22)

;

Stanovme počet stavů vektorového QS modelu podle (3.22) pro příklad znázorněný na Obr. 3.9.

.

Proto, S = 1 + 5 + 1 = 7.

Pro realizaci skutečných požadavků na servisní zařízení dostatečně velký počet n (40, ..., 50) a požadavky na počet obslužných zařízení v aplikaci se v praxi pohybují v rozmezí 8–16. S takovým poměrem nástrojů a požadavků se navrhovaný způsob zjišťování pravděpodobností stává extrémně těžkopádným, protože vektorový model QS má velký počet stavů S(50) = 1790, S(60) = 4676, S(70) = = 11075 a velikost matice koeficientů soustavy algebraických rovnic je úměrná druhé mocnině S, která vyžaduje velké množství paměti počítače a značné množství počítačového času. Touha snížit množství výpočtů podnítila hledání možností opakujících se výpočtů R() založené na multiplikativních formách reprezentace stavových pravděpodobností. Článek představuje přístup k počítání R():

(3.23)

Použití kritéria ekvivalence globálních a detailních bilancí Markovových řetězců navržené v práci nám umožňuje redukovat rozměr problému a provádět výpočty na středně výkonném počítači s využitím opakování výpočtů. Kromě toho je možné:

– provádět výpočty pro libovolné hodnoty n;

– urychlit výpočty a snížit náklady na strojový čas.

Podobným způsobem lze určit i další charakteristiky systému.

Informatika, kybernetika a programování

Obslužný systém s n obslužnými kanály přijímá Poissonův tok požadavků s intenzitou λ. Intenzita obsluhy požadavků každým kanálem. Po ukončení služby jsou všechny kanály uvolněny. Chování takového systému hromadné obsluhy lze popsat Markovovým náhodným procesem t, který představuje počet požadavků v systému.

2. QS s odmítnutím a plnou vzájemnou pomocí pro hromadné toky. Graf, soustava rovnic, vypočtené vztahy.

Formulace problému.Obslužný systém s n obslužnými kanály přijímá Poissonův tok požadavků s intenzitou λ. Intenzita obsluhy aplikace každým kanálem je µ. Aplikace je obsluhována všemi kanály současně. Po ukončení služby jsou všechny kanály uvolněny. Pokud nově příchozí požadavek zachytí požadavek, je také přijat do služby. Některé kanály nadále obsluhují první požadavek, zatímco ostatní nadále obsluhují nový. Pokud systém již obsluhuje n aplikací, je nově příchozí žádost zamítnuta. Chování takového systému hromadné obsluhy lze popsat Markovovým náhodným procesem ξ(t), což je počet požadavků v systému.

Možné stavy tohoto procesu E = (0, 1, . . . , n). Nalezneme charakteristiky uvažovaného QS ve stacionárním režimu.

Graf odpovídající uvažovanému procesu je uveden na obrázku 1.

Rýže. 1. QS s poruchami a kompletní vzájemná pomoc pro Poissonovy toky

Vytvořme soustavu algebraických rovnic:

Řešení tohoto systému má tvar:

Zde χ =λ/nµ je průměrný počet požadavků vstupujících do systému během průměrné doby vyřízení jednoho požadavku všemi kanály.

Charakteristika vícekanálového systému řazení do front s poruchami a plnou vzájemnou pomocí mezi kanály.

1. Pravděpodobnost odmítnutí služby (pravděpodobnost, že jsou všechny kanály obsazeny):

2. Pravděpodobnost vyřízení požadavku (relativní kapacita systému):


Stejně jako další díla, která by vás mohla zajímat
32353. Metody právní regulace (autonomní a autonomní) metody právního ovlivňování. Moderní trendy ve vývoji metod a metod právní regulace v ruském právu 37 kB
Způsoby právní regulace: autoritářské a autonomní způsoby právního ovlivňování. Moderní trendy ve vývoji metod a metod právní regulace v ruském právu. Právní věda rozlišuje pojmy právní vliv a právní regulace. Přesto je třeba rozlišovat mezi přísně vymezenými prostředky právního ovlivňování společenských vztahů, které jsou specificky určeny k jejich přímé regulaci.
32354. Pojem právní vědomí. Struktura právního vědomí 30 kB
Právní vědomí je soubor myšlenek a pocitů vyjadřujících postoj lidí sociálních společenství, tříd národů a lidí k současnému a žádoucímu právu. Právní vědomí, jakožto subjektivní lidská reakce na právní realitu, představuje na jedné straně formu společenského vědomí spolu s morálním, politickým, náboženským, estetickým atd. Právo a právní vědomí jsou nerozlučně spjaty. Právní vědomí Alekseeva je nevyhnutelným společníkem práva.
32355. Pedagogická činnost, její struktura a specifika. Osobnostní požadavky učitele 16,92 kB
Požadavky na osobnost učitele. Obsah určují sociální faktory, místo a funkce učitele ve společnosti, požadavky společnosti na učitele a sociálně psychologické faktory, očekávání druhých, sociální očekávání a postoje. Komunikativní navazování a udržování vztahů se studenty, rodiči, administrativou a učiteli. Učitel musí znát a brát v úvahu vlastnosti žáka, které mu brání nebo mu pomáhají, a podle toho na ně reagovat. Pomalost žáka spojená s jeho temperamentem vyžaduje trpělivost a takt...
32356. Psychologické základy učení. Učení jako proces a jako činnost. Základní modely učení 17,22 kB
Základní modely učení. Výuka jako organizovaný proces je stránkou učení a je produktem vzdělávacích aktivit. Složky výcviku: Cílové cíle a záměry Obsah učiva Aktivita učitele a žáků Efektivní hodnocení sebeúcta Funkce výcviku: Vzdělávací osvojení znalostí znalostí Vzdělávací hodnotový postoj ke světu Vývojové navazování vztahů mezi jevy a faktory Trénink je cílevědomá poznávací činnost žáků zaměřená na jejich zvládnutí...
32357. Obecný pojem temperamentu. Vlastnosti a druhy temperamentu, jejich projev v aktivitě a chování 16,91 kB
Temperament je vrozené individuální vlastnosti člověka, které určují dynamické vlastnosti intenzity a rychlosti reakce, stupeň emoční vzrušivosti a rovnováhy a rysy adaptace na prostředí. Určují dynamiku různých lidských činností, herních, vzdělávacích, pracovních, rekreačních: Reaktivita je stupeň mimovolních reakcí člověka na vnější nebo vnitřní vlivy stejné síly. Plasticita, snadnost, flexibilita a rychlost lidské adaptace na měnící se vnější...
32358. Osobní sebeuvědomění. Struktura sebeuvědomění. Rozvoj sebeuvědomění v ontogenezi 18,56 kB
Sebevědomí tedy zahrnuje: Sebepoznání intelektuální aspekty sebepoznání Sebepostoj emocionální postoj k sobě samému Obecně lze rozlišit tři vrstvy lidského vědomí: Postoj k sobě samému Očekávání postoje druhých lidí k sobě atribut projekce Postoj vůči ostatním lidem: egocentrická úroveň vztahů, pokud mi pomáhají, pak jsou to dobří lidé skupinově centrická úroveň, pokud patří do mé skupiny, pak je dobrá prosociální úroveň zacházejte s ostatními tak, jak byste chtěli, aby se oni chovali k vám...
32359. Obecné pojmy o charakteru. Struktura postavy. Typologie postavy 13,96 kB
Struktura postavy. Typologie postavy. Ve struktuře osobnosti zaujímá ústřední místo charakter, který spojuje všechny ostatní vlastnosti a charakteristiky chování: Ovlivňuje kognitivní procesy Na citový život Na motivaci a vůli Určuje individualitu a originalitu člověka Lidský charakter je splynutím vrozených vlastností vyšší nervové aktivity s individuálními rysy získanými během života. Povahová struktura: Vlastnosti vyjadřující orientaci osobnosti, stabilní potřeby, postoje, zájmy, sklony, ideály, cíle...
32360. Skupinové a společné aktivity. Faktory efektivity skupinových a společných aktivit 15,38 kB
Faktory efektivity skupinových a společných aktivit. Kompatibilita je schopnost členů skupiny spolupracovat. Typy kompatibility: Psychofyziologická určitá podobnost vlastností lidí a na tomto základě konzistence jejich emočních a behaviorálních reakcí, synchronizace tempa společné činnosti. Kritéria hodnocení: Výsledky výkonu.
32361. Psychická připravenost dítěte na školu. Metody diagnostiky psychické připravenosti ke studiu ve škole 13,85 kB
Psychická připravenost dítěte na školní vzdělávání je nezbytnou a dostatečnou úrovní duševního rozvoje dítěte pro zvládnutí školního kurikula ve vzdělávacím prostředí s vrstevníky. Struktura komponent: Psychomatorická připravenost, rovnováha procesů excitace a inhibice, která umožňuje dítěti soustředit pozornost na delší dobu, přispívá k utváření dobrovolných forem chování a kognitivních procesů; rozvoj drobných svalů ruky a koordinace ruka-oko, čímž vzniká...
Klasifikační charakteristiky Typy systémů hromadné obsluhy
Tok příchozích požadavků Omezené požadavky ZAVŘENO OTEVŘENO
Zákon rozdělování Systémy se specifickým distribučním zákonem příchozího toku: exponenciální, Erlangův k-tý řád, Palma, normální atd.
Fronta Disciplína ve frontě S objednanou frontou S neuspořádanou frontou S prioritou servisu
Čekání na servisní limity S odmítnutím S neomezeným očekáváním S omezeními (smíšené)
Podle délky fronty Podle doby čekání ve frontě Podle doby pobytu v SMO Kombinovaný
Servisní disciplína Etapy údržby Jednofázový Polyfáze
Počet servisních kanálů Jeden kanál Vícekanálový
Se stejnými kanály S nerovnými kanály
Spolehlivost servisních kanálů S naprosto spolehlivými kanály S nespolehlivými kanály
Žádné zotavení S restaurováním
Vzájemná pomoc kanálů Bez vzájemné pomoci Se vzájemnou pomocí
Spolehlivost služby S chybami Žádné chyby
Rozdělení servisního času Systémy se specifickým distribučním zákonem pro provozní dobu: deterministický, exponenciální, normální atd.

Pokud je servis prováděn krok za krokem určitou posloupností kanálů, pak se takový QS volá vícefázový.

V CMO s „vzájemnou pomocí“ mezi kanály může být stejný požadavek současně obsluhován dvěma nebo více kanály. Například stejný rozbitý stroj mohou obsluhovat dva pracovníci najednou. Taková „vzájemná pomoc“ mezi kanály může probíhat v otevřených i uzavřených QS.

V QS s chybami aplikace přijatá do služby v systému není obsluhována s plnou pravděpodobností, ale s určitou pravděpodobností; jinými slovy, mohou se vyskytnout chyby v obsluze, jejichž výsledkem je, že některé požadavky zaslané QS a údajně „obsluhované“ ve skutečnosti zůstanou neobsluhovány kvůli „závadě“ v práci QS.

Příklady takových systémů zahrnují: informační pulty, které někdy vydávají nesprávná osvědčení a pokyny; korektor, který může přehlédnout chybu nebo ji nesprávně opravit; telefonní ústředna, která někdy spojuje účastníka s nesprávným číslem; obchodní a zprostředkovatelské společnosti, které ne vždy plní své závazky efektivně a včas atd.

Pro analýzu procesu probíhajícího v QS je nezbytné vědět hlavní parametry systému: počet kanálů, intenzita toku aplikací, produktivita každého kanálu (průměrný počet aplikací obsluhovaných kanálem za jednotku času), podmínky pro vytvoření fronty, intenzita aplikací opouštějících frontu nebo systém.

Postoj se nazývá faktor zatížení systému. Často pouze systémy, ve kterých .

Doba služby v QS může být náhodná nebo nenáhodná proměnná. V praxi se nejčastěji předpokládá, že tato doba je rozdělena podle exponenciálního zákona.

Hlavní charakteristiky QS závisí relativně málo na typu zákona o rozdělení času služby, ale závisí hlavně na průměrné hodnotě. Proto se často používá předpoklad, že doba služby je rozdělena podle exponenciálního zákona.

Předpoklady o Poissonově povaze toku požadavků a exponenciální distribuci doby obsluhy (kterou budeme od nynějška předpokládat) jsou cenné v tom, že nám umožňují aplikovat aparát tzv. Markovových náhodných procesů v teorii front.

Efektivitu systémů služeb v závislosti na podmínkách úkolů a cílů studie lze charakterizovat velkým množstvím různých kvantitativních ukazatelů.

Nejčastěji používané jsou následující indikátory:

1. Pravděpodobnost, že kanály jsou zaneprázdněny servisem, je .

Speciálním případem je pravděpodobnost, že všechny kanály jsou volné.

2. Pravděpodobnost odmítnutí požadavku na službu.

3. Průměrný počet obsazených kanálů charakterizuje stupeň zatížení systému.

4. Průměrný počet kanálů bez služby:

5. Koeficient (pravděpodobnost) prostoje kanálu.

6. Faktor zatížení zařízení (pravděpodobnost obsazenosti kanálu)

7. Relativní propustnost – průměrný podíl přijatých požadavků obsluhovaných systémem, tzn. poměr průměrného počtu žádostí obsluhovaných systémem za jednotku času k průměrnému počtu žádostí přijatých během této doby.

8. Absolutní propustnost, tzn. počet aplikací (požadavků), které může systém obsloužit za jednotku času:

9. Průměrná prostoje kanálu

Pro systémy s očekáváním používají se další vlastnosti:

10. Průměrná doba čekání na požadavky ve frontě.

11. Průměrná doba, po kterou žádost zůstává v CMO.

12. Průměrná délka fronty.

13. Průměrný počet žádostí v sektoru služeb (v SMO)

14. Pravděpodobnost, že doba, po kterou aplikace zůstane ve frontě, nebude trvat déle než určitou dobu.

15. Pravděpodobnost, že počet požadavků ve frontě čekajících na službu je větší než určitý počet.

Kromě uvedených kritérií při posuzování účinnosti systémů nákladové ukazatele:

– náklady na obsluhu každého požadavku v systému;

– náklady na ztráty spojené s čekáním za jednotku času;

– náklady na ztráty spojené s odchodem nároků ze systému;

– náklady na provoz systémového kanálu za jednotku času;

– náklady na jednotku odstávky kanálu.

Při výběru optimálních parametrů systému na základě ekonomických ukazatelů můžete použít následující funkce ztrátových nákladů:

a) pro systémy s neomezeným čekáním

Kde je časový interval;

b) pro systémy s poruchami;

c) pro smíšené systémy.

Možnosti, které zahrnují výstavbu (zavedení) nových prvků systému (například servisních kanálů), jsou obvykle porovnávány na základě snížených nákladů.

Uvedené náklady pro každou variantu jsou součtem běžných nákladů (nákladů) a kapitálových investic redukovaných na stejnou dimenzi v souladu se standardem efektivity, například:

(upravené náklady za rok);

(upravené náklady za dobu návratnosti),

kde – aktuální náklady (náklady) pro každou možnost, rub.;

– odvětvový standardní koeficient ekonomické efektivnosti kapitálových investic (obvykle = 0,15 - 0,25);

– kapitálové investice pro každou možnost, rub.;

– standardní doba návratnosti kapitálových investic, roky.

Výraz je součtem běžných a kapitálových nákladů za určité období. Se nazývají daný, protože se týkají pevně stanoveného časového období (v tomto případě standardní doby návratnosti).

Ukazatele a lze použít jak ve formě výše kapitálových investic a nákladů na hotové výrobky, tak ve formě specifické kapitálové investice na jednotku výroby a jednotkové výrobní náklady.

K popisu náhodného procesu vyskytujícího se v systému s diskrétními stavy se často používají stavové pravděpodobnosti, kde je pravděpodobnost, že v daném okamžiku bude systém ve stavu.

To je zřejmé.

Je-li proces vyskytující se v systému s diskrétními stavy a spojitým časem Markovian, pak pro pravděpodobnosti stavů lze sestrojit soustavu lineárních Kolmogorovových diferenciálních rovnic.

Je-li vyznačený stavový graf (obr. 4.3) (zde je nad každou šipkou vedoucí ze stavu do stavu vyznačena intenzita toku událostí, která převádí systém ze stavu do stavu podél této šipky), pak systém diferenciální rovnice pro pravděpodobnosti lze okamžitě napsat pomocí následujícího jednoduchého pravidlo.

Na levé straně každé rovnice je derivace a na pravé straně je tolik členů, kolik je šipek spojených přímo s daným stavem; pokud šipka ukazuje PROTI

Pokud jsou všechny toky událostí, které přenášejí systém ze stavu do stavu, stacionární, celkový počet stavů je konečný a neexistují žádné stavy bez výstupu, pak omezující režim existuje a je charakterizován mezní pravděpodobnosti .

Doposud jsme uvažovali pouze takové QS, ve kterých může být každý požadavek obsluhován pouze jedním kanálem; neobsazené kanály nemohou „pomoci“ těm obsazeným v servisu.

Obecně tomu tak není vždy: existují systémy řazení do fronty, kde stejný požadavek může být současně obsluhován dvěma nebo více kanály. Například stejný rozbitý stroj mohou obsluhovat dva pracovníci najednou. Taková „vzájemná pomoc“ mezi kanály může probíhat v otevřených i uzavřených QS.

Při zvažování QS se vzájemnou pomocí napříč kanály je třeba zvážit dva faktory:

1. Jak rychle se zrychlí servis aplikace, když na ní nepracuje jeden, ale několik kanálů najednou?

2. Co je „disciplína vzájemné pomoci“, tj. kdy a jak několik kanálů převezme vyřízení stejné žádosti?

Podívejme se nejprve na první otázku. Je přirozené předpokládat, že pokud ne jeden kanál, ale několik kanálů nepracuje pro obsluhu aplikace, intenzita toku služeb se nebude s rostoucím k snižovat, tj. bude představovat nějakou neklesající funkci počtu k pracujících. kanály. Označme tuto funkci Možná podoba funkce je na Obr. 5.11.

Je zřejmé, že neomezené zvýšení počtu současně pracujících kanálů nevede vždy k úměrnému zvýšení rychlosti služby; Je přirozenější předpokládat, že při určité kritické hodnotě další nárůst počtu obsazených kanálů již nezvyšuje intenzitu služby.

Aby bylo možné analyzovat provoz QS se vzájemnou pomocí mezi kanály, je nutné nejprve nastavit typ funkce

Nejjednodušším případem pro studium bude případ, kdy funkce roste úměrně k while a zůstává konstantní a rovná se (viz obr. 5.12). Pokud celkový počet kanálů, které si mohou navzájem pomoci, nepřekročí

Zastavme se nyní u druhé otázky: disciplíny vzájemné pomoci. Nejjednodušší případ této disciplíny nazveme „vše jako jeden“. To znamená, že když se objeví jeden požadavek, všechny kanály jej začnou obsluhovat najednou a zůstanou zaneprázdněny, dokud služba tohoto požadavku neskončí; pak všechny kanály přejdou na obsluhu dalšího požadavku (pokud existuje) nebo čekají na jeho výskyt, pokud ne, atd. Je zřejmé, že v tomto případě všechny kanály fungují jako jeden, QS se stane jednokanálovým, ale s vyšší službou intenzita.

Nabízí se otázka: je výhodné nebo nerentabilní zavádět takovou vzájemnou pomoc mezi kanály? Odpověď na tuto otázku závisí na tom, jaká je intenzita toku požadavků, jaký typ funkce, jaký typ QS (s poruchami, s frontou), jaká hodnota je zvolena jako charakteristika efektivity služby.

Příklad 1. Existuje tříkanálový QS s poruchami: intenzita toku aplikací (aplikací za minutu), průměrná doba obsluhy jednoho požadavku jedním kanálem (min), funkce Otázkou je, zda je přínosné z z pohledu propustnosti QS zavést vzájemnou pomoc mezi kanály typu „vše jako jeden“ “? Je to výhodné z hlediska snížení průměrné doby, po kterou aplikace zůstává v systému?

Řešení a. Bez vzájemné pomoci

Pomocí Erlangových vzorců (viz § 4) máme:

Relativní kapacita QS;

Absolutní propustnost:

Průměrná doba, po kterou aplikace zůstane v QS, se zjistí jako pravděpodobnost, že aplikace bude přijata do služby, vynásobená průměrnou dobou služby:

Gsist (min).

Nesmíme zapomínat, že tato průměrná doba platí pro všechny aplikace - obsluhované i neobsluhované a může nás zajímat i průměrná doba, po kterou obsluhovaná aplikace zůstane v systému. Tento čas se rovná:

6. Se vzájemnou pomocí.

Průměrná doba, po kterou aplikace zůstává v CMO:

Průměrný čas strávený obsluhovanou aplikací v CMO:

Za přítomnosti vzájemné pomoci „všichni jako jeden“ se tedy propustnost QS znatelně snížila. To je vysvětleno zvýšením pravděpodobnosti odmítnutí: zatímco všechny kanály jsou zaneprázdněny obsluhou jednoho požadavku, mohou přijít další požadavky, které mohou být přirozeně odmítnuty. Pokud jde o průměrnou dobu, kterou aplikace stráví v CMO, ta se, jak by se dalo očekávat, snížila. Pokud se z nějakého důvodu budeme snažit zcela zkrátit čas, který aplikace stráví v QS (např. je-li pobyt v QS pro aplikaci nebezpečný), může se ukázat, že i přes snížení propustnosti bude stále je výhodné spojit tyto tři kanály do jednoho.

Uvažujme nyní s očekáváním vliv vzájemné pomoci typu „all as one“ na práci QS. Pro jednoduchost bereme pouze případ neomezené fronty. Přirozeně v tomto případě nebude mít vzájemná pomoc vliv na propustnost QS, protože za jakýchkoli podmínek budou všechny příchozí požadavky vyřízeny. Nabízí se otázka vlivu vzájemné pomoci na vlastnosti čekání: průměrná délka fronty, průměrná doba čekání, průměrná doba strávená ve službě.

Na základě vzorců (6.13), (6.14) § 6 pro obsluhu bez vzájemné pomoci bude průměrný počet požadavků ve frontě

průměrná čekací doba:

a průměrná doba pobytu v systému:

Pokud je použita vzájemná pomoc typu „vše jako jeden“, bude systém fungovat jako jednokanálový s parametry

a jeho charakteristiky jsou určeny vzorci (5.14), (5.15) § 5:

Příklad 2. Existuje tříkanálový QS s neomezenou frontou; intenzita toku aplikací (aplikací za minutu), průměrná doba obsluhy Funkce Užitný význam:

Průměrná délka fronty,

Průměrná doba čekání na servis,

Průměrná doba, po kterou aplikace zůstává v CMO

zavést vzájemnou pomoc mezi kanály jako „všichni jako jeden“?

Řešení a. Žádná vzájemná pomoc.

Podle vzorců (9.1) - (9.4) máme

(3-2)

b. Se vzájemnou pomocí

Pomocí vzorců (9.5) - (9.7) najdeme;

Průměrná délka fronty a průměrná doba čekání ve frontě v případě vzájemné pomoci jsou tedy větší, ale průměrná doba setrvání aplikace v systému je kratší.

Z uvažovaných příkladů je zřejmé, že vzájemná pomoc mezi Hotovost typu „vše jako jeden“ zpravidla nepřispívá ke zvýšení efektivity služby: zkrátí se doba, po kterou požadavek zůstává v systému služeb, ale zhorší se ostatní charakteristiky služby.

Proto je žádoucí změnit disciplínu služby tak, aby vzájemná pomoc mezi kanály neinterferovala s přijímáním nových požadavků na službu, pokud se objeví, když jsou všechny kanály obsazeny.

Nazvěme následující typ vzájemné pomoci „jednotná vzájemná pomoc“. Pokud požadavek dorazí v době, kdy jsou všechny kanály volné, jsou všechny kanály přijaty pro jeho obsluhu; pokud v době obsluhy aplikace přijde jiná, některé kanály přejdou na její obsluhu; pokud při obsluhování těchto dvou požadavků přijde další, některé kanály přejdou na jeho obsluhu atd., dokud nejsou všechny kanály obsazeny; pokud je tomu tak, nově příchozí žádost je zamítnuta (v QS s odmítnutím) nebo je zařazena do fronty (v QS s čekáním).

Při této disciplíně vzájemné pomoci je žádost zamítnuta nebo zařazena do fronty pouze v případě, že ji není možné obsloužit. Pokud jde o „prostoj“ kanálů, je za těchto podmínek minimální: pokud je v systému alespoň jeden požadavek, všechny kanály fungují.

Výše jsme uvedli, že když se objeví nový požadavek, některé z obsazených kanálů jsou uvolněny a přepnuty na obsluhu nově příchozího požadavku. Která část? Záleží na typu funkce Pokud má tvar lineárního vztahu, jak je znázorněno na Obr. 5.12 a nezáleží na tom, jaká část kanálů je přidělena pro obsluhu nově přijatého požadavku, pokud jsou všechny kanály obsazeny (pak bude celková intenzita služeb pro jakékoli rozdělení kanálů mezi požadavky rovna ). Lze prokázat, že pokud je křivka konvexní směrem nahoru, jak je znázorněno na Obr. 5.11, pak musíte kanály rozdělit mezi požadavky co nejrovnoměrněji.

Uvažujme fungování -kanálového QS s „jednotnou“ vzájemnou pomocí mezi kanály.