Preuzmite prezentaciju: podrijetlo kompleksnih brojeva i njihova primjena. Prezentacija na temu "povijest kompleksnih brojeva." Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

1,85  -2  0,8 Svijet brojeva je beskonačan.  Prve ideje o broju proizašle su iz brojanja predmeta (1, 2, 3 itd.) – PRIRODNIH BROJEVA.  Nakon toga su RAZLOMCI nastali kao rezultat mjerenja duljine, težine itd. (, itd.)  NEGATIVNI BROJEVI, pojavili su se razvojem algebre Cijeli brojevi (tj. prirodni brojevi 1, 2, 3 itd. .), negativni brojevi ( -1, -2, -3 itd. i nula), razlomci se nazivaju RACIONALNI BROJEVI. ,  Racionalni brojevi ne mogu točno izraziti duljinu dijagonale kvadrata ako je duljina stranice jednaka mjernoj jedinici. Za točno izražavanje odnosa nesamjerljivih segmenata potrebno je uvesti novi broj:  IRACIONALNI (itd.) Racionalni i iracionalni – čine skup od: Realnih brojeva. Pri razmatranju realnih brojeva uočeno je da je u skupu realnih brojeva nemoguće, na primjer, pronaći broj čiji je kvadrat jednak. Pri razmatranju kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantima također je uočeno da takve jednadžbe nemaju korijene koji su realni brojevi. Da bi se takvi problemi učinili rješivima, uvode se novi brojevi - Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi 2 = -1 3 = - = 4 =1 b - Imaginarni brojevi a + b - Kompleksni brojevi a, b - Bilo koji realni brojevi Prošlost i sadašnjost kompleksnih brojeva. Kompleksni brojevi nastali su u matematici prije više od 400 godina. Prvi put smo se susreli s kvadratnim korijenom negativnih brojeva. Nitko nije znao kakav je to izraz, kakvo mu značenje treba dati. Kvadratni korijen bilo kojeg negativnog broja nema značenje u skupu realnih brojeva. Ovo se susreće pri rješavanju kvadratnih, kubnih i jednadžbi četvrtog stupnja. MATEMATIKA VJERUJE: LEONARD EULER Kvadratni korijeni negativnih brojeva - budući da nisu veći od, ni manji od, niti jednaki nuli - ne mogu se ubrojiti među moguće brojeve. Gottfried Wilim Leibnets Gottfried Leibnets nazvao je složene brojeve "elegantnim i prekrasnim utočištem božanskog duha", degeneracijom svijeta ideja, gotovo dvojnim bićem, smještenim između bića i nebića. Čak je ostavio da se na njegovom grobu nacrta znak kao simbol drugog svijeta. K. Gauss početkom 19. stoljeća predložio je da ih se nazove "kompleksnim brojevima". K. F. Gaussa Oblici kompleksnih brojeva: Z=a+bi – algebarski oblik Z=r() – trigonometrijski Z=rE - eksponencijalni Kompleksni brojevi se koriste:  Pri izradi geografskih karata  U teoriji konstrukcije zrakoplova  Koriste se u raznim studijama. na teoriji brojeva  U elektromehanici  Pri proučavanju gibanja prirodnih i umjetnih nebeskih tijela i dr. d. I na kraju prezentacije ponuditi Rješavanje križaljke “Testiraj se” 8 1 3 2 7 5 6 4 1. Kako se zove broj oblika Z=a+bc? 2. Na koju potenciju imaginarne jedinice se dobiva jedan? 3.Kako se nazivaju brojevi koji se razlikuju samo po predznaku imaginarnog dijela?4. Duljina vektora. 5. Kut pod kojim se vektor nalazi. 6. Kakav je oblik kompleksnog broja: Z=r(cos +sin)? 7. Kakav je oblik kompleksnog broja Z=re? 8. Pogled D=b -4ac, koliko je D?

Nakon proučavanja teme “Kompleksni brojevi
studenti moraju:
Znati:
algebarske, geometrijske i trigonometrijske forme
složeni broj.
Biti u mogućnosti:
izvoditi operacije zbrajanja na kompleksnim brojevima,
množenje, oduzimanje, dijeljenje, stepenovanje, ekstrakcija
korijen kompleksnog broja;
pretvoriti kompleksne brojeve iz algebarskog oblika u
geometrijski i trigonometrijski;
koristiti se geometrijskom interpretacijom kompleksnih brojeva;
u najjednostavnijim slučajevima pronaći složene korijene jednadžbi s
realni koeficijenti.

Koji su vam skupovi brojeva poznati?

I. Priprema za proučavanje novog gradiva
Koji su vam skupovi brojeva poznati?
N
Z
Q
N Z Q R
R

Numerički sustav
Prirodno
brojevi, N
Cijeli brojevi, Z
Racionalni brojevi, Q
Realni brojevi,
R
Kompleks
brojevi, C
Prihvatljiv
algebarski
operacije
Dodatak,
množenje
Zbrajanje, oduzimanje,
množenje
Zbrajanje, oduzimanje,
množenje, dijeljenje
Zbrajanje, oduzimanje,
množenje, dijeljenje,
navijati
nenegativni brojevi
Sve operacije
Djelomično
prihvatljiv
algebarski
operacije
Oduzimanje, dijeljenje,
vađenje korijena
Podjela,
vađenje korijena
Vađenje korijena iz
nenegativan
brojevima
Vađenje korijena
od proizvoljnog
brojevima

Minimalni uvjeti koji moraju biti ispunjeni
kompleksni brojevi:
C1) Postoji kvadratni korijen od, tj. postoji
kompleksan broj čiji je kvadrat jednak.
C2) Skup kompleksnih brojeva sadrži sve realne
brojevima.
C3) Operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja
kompleksni brojevi zadovoljavaju uobičajene zakone
aritmetičke operacije (kombinativne, komutativne,
distribucija).
Ispunjavanje ovih minimalnih uvjeta omogućuje nam da odredimo
cijeli skup C kompleksnih brojeva.

Imaginarni brojevi

i = -1, i – imaginarna jedinica
i, 2i, -0.3i - čisto imaginarni brojevi
Aritmetičke operacije nad čisto imaginarnim brojevima
ispunjeni su u skladu s uvjetom C3.
3i 13i 3 13 i 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
i 7 i 2 i i
3
Općenito, pravila aritmetičkih operacija s čisto imaginarnim
brojevi su:
a b i;
a bi ab i;
ai bi
ai bi a b i;
ai bi abi a
gdje su a i b realni brojevi.
2

Kompleksni brojevi

Definicija 1. Kompleksni broj je zbroj
realni broj i čisto imaginarni broj.
z a bi C a R, b R,
i je imaginarna jedinica.
a Re z, b Im z
Definicija 2. Pozivaju se dva kompleksna broja
jednaki ako su im pravi dijelovi jednaki i jednaki
njihovi imaginarni dijelovi:
a bi c di a c, b d .

Klasifikacija kompleksnih brojeva

Kompleksni brojevi
a+bi
Realni brojevi
b=o
Racionalno
brojevima
Iracionalno
brojevima
Imaginarni brojevi
b≠o
Imaginarni brojevi sa
različit od nule
važeći
dio
a ≠ 0, b ≠ 0.
Čisto
zamišljena
brojevima
a = 0, b ≠ 0.

Aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad
2
2
ja
2
2
c di (c di)(c di) c d
c d

Konjugirani kompleksni brojevi

Definicija: Ako se čuva složeni broj
realni dio i promijenite predznak imaginarnom dijelu, zatim
rezultat je kompleksan broj konjugiran zadanom.
Ako je zadani kompleksni broj označen slovom z, tada
konjugirani broj je označen sa z:
z x yi z x yi
Od svih kompleksnih brojeva, pravi brojevi (i samo oni)
jednaki su svojim konjugiranim brojevima.
Brojevi a + bi i a - bi nazivaju se međusobno spregnuti
kompleksni brojevi.

Svojstva konjugiranih brojeva

1. Zbroj i umnožak dva konjugirana broja je broj
stvaran.
z z (a bi) (a bi) 2a
z z (a bi)(a bi) a 2 (bi) 2 a 2 b 2
2. Konjugirani broj zbroja dvaju kompleksnih brojeva jednak je
zbroj konjugiranih brojeva.
z1 z2 z1 z2
3. Konjugirani broj razlike dvaju kompleksnih brojeva jednak je
razlika između konjugata zadanih brojeva.
z1 z2 z1 z2
4. Konjugirani broj umnoška dvaju kompleksnih brojeva jednak je
umnožak konjugata zadanih brojeva.
z1z2 z1 z2

Svojstva konjugiranih brojeva

5. Broj konjugiran na n-tu potenciju kompleksnog broja z,
jednaka n-toj potenciji broja konjugiranog na broj z, tj.
z n (z)n , n N
6. Konjugirani broj dvaju kompleksnih brojeva iz
čiji je djelitelj različit od nule jednak je kvocijentu
konjugiranih brojeva, tj.
a bi a bi
c di c di

Moći imaginarne jedinice

Prema definiciji, prva potencija broja i je
1
sebe
broj i, a druga potencija je broj -1:
i1 = i, i2 = -1
.
Više potencije i nalaze se na sljedeći način
1
put:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1, itd.
Očito, za svaki prirodni broj n
i4n = 1;
i4n +2 = - 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = - i.

Vađenje kvadratnih korijena kompleksnih brojeva u algebarskom obliku.

Definicija. Broj w naziva se kvadratni korijen od
2
kompleksni broj z ako mu je kvadrat jednak z: w z
Teorema. Neka je z=a+bi kompleksan broj različit od nule.
Zatim postoje dva međusobno suprotna kompleksa
brojevi čiji su kvadrati jednaki z. Ako je b≠0, tada su ova dva broja
izražen formulom:
w
a2 b2 a
potpisujemb
2
a 2 b 2 a
, Gdje
2
1 ako je b 0
znakb 1 ako je b 0
0 ako je b 0
Za b 0, a 0 imamo: w a , za b 0, a 0 imamo: w i a .

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva.

Kompleksni broj z na koordinatnoj ravnini
odgovara točki M(a, b).
Često, umjesto bodova u avionu, uzimaju ih
radijus vektori
OM
Definicija: Modul kompleksnog broja z = a + bi
nazvati nenegativan broja 2 b2
,
jednaka udaljenosti od točke M do početka
z a 2 b2
koordinate
cos
g
M (a, b)
b
φ
O
a
x
a
i grijeh
b
a2 b2
a2 b2
argument kompleksnog broja
;

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

z r cos i grijeh
gdje je φ argument kompleksnog broja,
r=
a 2 b2 - modul kompleksnog broja,
cos
a
a2 b2
i grijeh
b
a2 b2

Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva danih u trigonometrijskom obliku

Teorema
Ako
1.
z1 0, z2 0
I
z1 r1 cos 1 i sin 1, z2 r2 cos 2 i sin 2, tada:
A)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
b)
z1 r1
jer 1 2 i grijeh 1 2
z2 r2
Teorem 2 (Moivreova formula).
Neka je z bilo koja različita od nule
kompleksni broj, n - bilo koji cijeli broj.
Zatim
z r cos i sin r n cosn i sin n .
n
n

Vađenje korijena kompleksnog broja.

Teorema. Za svaki prirodni broj n i
kompleksni broj z različit od nule postoji
n različitih vrijednosti n-korijena.
Ako
z r jer ja griješim,
onda su te vrijednosti izražene formulom
2k
2k
wk r cos
unutra je
,
n
n
gdje je k 0,1,..., (n 1)

Loktionova G.N.

profesorica matematike

GAPOU "Viša škola za prijevoz vozila"

„Složeni brojevi i akcije

Iznad njih"

• Nakon proučavanja teme, studenti bi trebali: Znati: algebarski, geometrijski i trigonometrijski oblici kompleksnih brojeva. Biti u mogućnosti: izvoditi operacije zbrajanja, množenja, oduzimanja, dijeljenja, potenciranja i vađenja korijena kompleksnog broja na kompleksne brojeve; pretvarati kompleksne brojeve iz algebarskih u geometrijske i trigonometrijske oblike; koristiti se geometrijskom interpretacijom kompleksnih brojeva; u najjednostavnijim slučajevima pronaći složene korijene jednadžbi s realnim koeficijentima.

• Povijesna referenca
• Osnovni koncepti
• Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva
• Oblici zapisivanja kompleksnih brojeva
• Operacije nad kompleksnim brojevima

• Gusak, A.A. Viša matematika: udžbenik za studente sveučilišnih studija: u 2 sveska. T.1. /A.A. Gusak. – 5. izd. – Minsk: TetraSystems, 2004. – 544 str.
• Kanatnikov, A.N. Linearna algebra. / A.N. Kanatnikov, A.P. Kriščenko. - M.: Izdavačka kuća MSTU im. N.E. Bauman, 2001. – 336 str.
• Kurosh, A.G. Viši tečaj algebre. / A.G. Kurosh. - M.: Znanost, 1971-432.
• Napisao D.T. Bilješke s predavanja iz više matematike. 1 dio. – 2. izd., rev. – M.: Iris-press, 2003. - 288 str.
• Sikorskaya, G.A. Tečaj predavanja iz algebre i geometrije: udžbenik za studente prometnog fakulteta / G.A. Sikorskaya. - Orenburg: IPK GOU OSU, 2007. – 374 str.

klauzula 1. Povijesna pozadina

Pojam kompleksnog broja proizašao je iz prakse i teorije rješavanja algebarskih jednadžbi.

Matematičari su se s kompleksnim brojevima prvi put susreli pri rješavanju kvadratnih jednadžbi. Sve do 16. stoljeća matematičari diljem svijeta, ne nalazeći prihvatljivo tumačenje za složene korijene koji su nastajali pri rješavanju kvadratnih jednadžbi, proglašavali su ih lažnima i nisu ih uzimali u obzir.

Cardano, koji je radio na rješavanju jednadžbi 3. i 4. stupnja, bio je jedan od prvih matematičara koji je formalno operirao s kompleksnim brojevima, iako mu je njihovo značenje ostalo uglavnom nejasno.

Značenje kompleksnih brojeva objasnio je još jedan talijanski matematičar R. Bombelli. U svojoj knjizi Algebra (1572.) prvi je postavio pravila za rad s kompleksnim brojevima u modernom obliku.

Međutim, sve do 18. stoljeća kompleksni brojevi smatrani su "imaginarnim" i beskorisnim. Zanimljivo je primijetiti da je čak i tako izvanredan matematičar kao što je Descartes, koji je identificirao stvarne brojeve sa segmentima brojevne linije, vjerovao da ne može biti prave interpretacije za kompleksne brojeve, te će oni zauvijek ostati imaginarni, imaginarni. Veliki matematičari Newton i Leibniz imali su slična stajališta.

Tek u 18. stoljeću mnogi problemi matematičke analize, geometrije i mehanike zahtijevaju široku primjenu operacija nad kompleksnim brojevima, čime su stvoreni uvjeti za razvoj njihove geometrijske interpretacije.

U primijenjenim radovima d'Alemberta i Eulera sredinom 18. stoljeća autori proizvoljne imaginarne veličine predstavljaju u obliku z=a+ib, što omogućuje da se takve količine prikažu točkama koordinatne ravnine. Upravo je to tumačenje koristio Gauss u svom radu posvećenom proučavanju rješenja algebarskih jednadžbi.

I tek početkom 19. stoljeća, kada je uloga kompleksnih brojeva u raznim područjima matematike već bila razjašnjena, razvijena je njihova vrlo jednostavna i prirodna geometrijska interpretacija, koja je omogućila razumijevanje geometrijskog značenja operacija na složenim brojevima.

P. 2 Osnovni koncepti

Složeni broj z naziva izraz forme z=a+ib, Gdje a I b– realni brojevi, ja – imaginarna jedinica, što je određeno relacijom:

U ovom slučaju broj a nazvao pravi dio brojevima z

(a = Ponovno z), A b - imaginarni dio (b = Ja sam z).

Ako a = Re z =0 , taj broj z htjeti čisto imaginarno, Ako b = Ja sam z =0 , zatim broj z htjeti važeći .

Brojke z=a+ib a nazivaju se složeno – konjugirano .

Dva kompleksna broja z 1 =a 1 +ib 1 I z 2 =a 2 +ib 2 se zovu jednak, ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki:

a 1 =a 2 ; b 1 =b 2

Kompleksni broj je jednak nuli ako su realni i imaginarni dio jednaki nuli.

Kompleksni brojevi mogu se pisati i npr. u obliku z=x+iy , z=u+iv .

P. 3 Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva

Bilo koji složeni broj z=x+iy može se prikazati točkom M(x;y) avion xOy takav da x = Re z , g = Ja sam z. I, obrnuto, svaka točka M(x;y) koordinatna ravnina može se smatrati slikom kompleksnog broja z=x+iy(slika 1).

Slika 1

Zove se ravnina na kojoj su prikazani složeni brojevi složena ravnina .

Apscisna os se naziva realna os, budući da sadrži realne brojeve z=x+0i=x .

Y-os se naziva imaginarna os, sadrži imaginarne kompleksne brojeve z=0+yi=yi .

Često umjesto bodova u avionu uzmu ih radijus vektori

oni. vektori koji počinju točkom O(0;0), kraj M(x;y) .

Duljina vektora koji predstavlja kompleksni broj z , nazvao modul ovaj broj je označen | z| ili r .

Kut između pozitivnog smjera realne osi i vektora koji predstavlja kompleksni broj naziva se argument ovog kompleksnog broja označava se Arg z ili φ .

Argument kompleksnog broja z=0 neodređeno.

Argument kompleksnog broja z ≠ 0 - količina je višeznačna i određena je točno do zbroja 2 π k (k=0,-1,1,-2,2,..) :

Arg z=arg z+2 π k,

Gdje arg z - glavno značenje argumenta , zaključio je u međuvremenu (- π , π ] .

str.4 Oblici zapisivanja kompleksnih brojeva

Upisivanje broja u obrazac z=x+iy nazvao algebarski oblik složeni broj.

Sa slike 1 jasno je da x=rcos φ , y=rsin φ , dakle, složeno z=x+iy broj se može napisati kao:

Ovakav oblik snimanja naziva se trigonometrijski zapis složeni broj.

Modul r=|z| je jednoznačno određena formulom

Argument φ određuje se iz formula

Kada se prelazi s algebarskog oblika kompleksnog broja na trigonometrijski, dovoljno je odrediti samo glavnu vrijednost argumenta kompleksnog broja, tj. računati φ = arg z .

Budući da iz formule dobivamo da

Za unutarnje točke ja , IVčetvrtine;

Za unutarnje točke IIčetvrtine;

Za unutarnje točke IIIčetvrtine.

Primjer 1. Predstavite kompleksne brojeve u trigonometrijskom obliku.

Riješenje. Složeni broj z=x+iy u trigonometrijskom obliku ima oblik z=r(cos φ +isin φ ) , Gdje

1) z 1 = 1 +i(broj z 1 pripada jačetvrtine), x=1, y=1.

Tako,

2) (broj z 2 pripada IIčetvrtine)

Od tad

Stoga,

Odgovor:

Razmotrimo eksponencijalnu funkciju w=e z, Gdje z=x+iy- složeni broj.

Može se pokazati da funkcija w može se napisati kao:

Ova jednakost se zove Eulerova jednadžba.

Za kompleksne brojeve vrijedit će sljedeća svojstva:

Gdje m– cijeli broj.

Ako se u Eulerovoj jednadžbi eksponent uzme kao čisto imaginarni broj ( x=0), tada dobivamo:

Za kompleksno konjugirani broj dobivamo:

Iz ove dvije jednadžbe dobivamo:

Ove se formule koriste za pronalaženje vrijednosti potencija trigonometrijskih funkcija kroz funkcije više kutova.

Ako kompleksan broj predstavite u trigonometrijskom obliku

z=r(cos φ +isin φ )

i koristiti Eulerovu formulu e ja φ =cos φ +isin φ , tada se kompleksni broj može napisati kao

z=r e ja φ

Dobivena jednakost naziva se eksponencijalni oblik složeni broj.

P. 5 Operacije nad kompleksnim brojevima

1) Djelovanje na kompleksne brojeve dane u algebarskom obliku

a) Zbrajanje kompleksnih brojeva

Iznos dva kompleksna broja z 1 =x 1 +y 1 ja I z 2 =x 2 +y 2 ja

z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ).

Svojstva operacije sabiranja:

1. z 1 +z 2 = z 2 +z 1 ,

2. (z 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) ,

3. z+0=z .

b) Oduzimanje kompleksnih brojeva

Oduzimanje se definira kao obrnuto zbrajanje.

Po razlici dva kompleksna broja z 1 =x 1 +y 1 ja I z 2 =x 2 +y 2 ja zove se takav složeni broj z, koji, kada se doda z 2 , daje broj z 1 a definirana je jednakošću

z=z 1 – z 2 =(x 1 -x 2 )+i(y 1 -y 2 ).

c) Množenje kompleksnih brojeva

Posao kompleksni brojevi z 1 =x 1 +y 1 ja I z 2 =x 2 +y 2 ja, definiran jednakošću

z=z 1 z 2 =(x 1 x 2 –y 1 g 2 )+i(x 1 g 2 -x 2 g 1 ).

Odavde, posebice, slijedi najvažnija relacija

ja 2 = – 1.

Svojstva operacije množenja:

1. z 1 z 2 = z 2 z 1 ,

2. (z 1 z 2 )z 3 =z 1 (z 2 z 3 ) ,

3. z 1 ( z 2 +z 3 ) =z 1 z 2 +z 1 z 3 ,

4 . z ∙ 1 =z .

d) Dijeljenje kompleksnih brojeva

Dijeljenje se definira kao obrnuto množenje.

Kvocijent dva kompleksna broja z 1 I z 2 ≠ 0 naziva se kompleksan broj z, što kada se pomnoži s z 2 , daje broj z 1 , tj. Ako z 2 z = z 1 .

Ako stavite z 1 =x 1 +y 1 ja , z 2 =x 2 +y 2 ja ≠ 0, z=x+yi , zatim iz jednakosti (x+yi)(x 2 +iy 2 )=x 1 +y 1 ja, trebao bi

Rješavanjem sustava nalazimo vrijednosti x I g :

Tako,

U praksi se umjesto dobivene formule koristi sljedeća tehnika: brojnik i nazivnik razlomka množe s brojem konjugiranim nazivniku ("oslobodite se imaginarnog u nazivniku").

Primjer 2. Zadani kompleksni brojevi 10+8i , 1+i. Nađimo njihov zbroj, razliku, umnožak i kvocijent.

Riješenje.

A) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

b) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i= 9 + 7 ja;

V) (10+8i)(1+i) = 10+10 ja +8 ja +8 ja 2 =2+18i;

e) Konstrukcija kompleksnog broja zadanog u algebarskom obliku u n ti stupanj

Zapišimo cjelobrojne potencije imaginarne jedinice:

Općenito, rezultat se može napisati na sljedeći način:

Primjer 3. Izračunati ja 2 092 .

Riješenje.

• Predstavimo eksponent u obliku n = 4k+l te koristiti svojstvo stupnja s racionalnim eksponentom z 4k+1 =(z 4 ) k ∙ z l .

Imamo: 2092=4 ∙ 523 .

Tako, ja 2 092 = ja 4 ∙ 523 =(i 4 ) 523 , ali od ja 4 = 1 , onda konačno dobivamo ja 2 092 = 1 .

Odgovor: ja 2 092 = 1 .

Kod konstruiranja kompleksnog broja a+bi na drugu i treću potenciju koristite formulu za kvadrat i kub zbroja dvaju brojeva, a pri dizanju na potenciju n (n- prirodni broj, n ≥ 4 ) – Newtonova binomna formula:

Za pronalaženje koeficijenata u ovoj formuli prikladno je koristiti Pascalov trokut.

e) Vađenje kvadratnog korijena kompleksnog broja

Korijen Od kompleksnog broja naziva se kompleksan broj čiji je kvadrat jednak zadanom.

Označimo kvadratni korijen kompleksnog broja x+yi kroz u+vi, onda po definiciji

Formule za pronalaženje u I v izgledati kao

Znakovi u I v biraju se tako da dobiveni u I v zadovoljena jednakost 2uv=y .

0, tada su u i v jedan kompleksan broj istih znakova.) Odgovor: content" width="640"

Primjer 4. Traženje kvadratnog korijena kompleksnog broja z=5+12i .

Riješenje.

Označimo kvadratni korijen broja z kroz u+vi, Zatim (u+vi) 2 =5+12i .

Jer u ovom slučaju x=5 , y=12, tada koristeći formule (1) dobivamo:

u 2 =9; u 1 =3; u 2 = – 3; v 2 =4; v 1 =2; v 2 = – 2.

Dakle, pronađene su dvije vrijednosti kvadratnog korijena: u 1 +v 1 i=3+2i , u 2 +v 2 i= –3 –2i, . (Znakovi su odabrani prema jednakosti 2uv=y, tj. jer y=120, To u I v jedan kompleksan broj istih znakova.)

Odgovor:

2) Operacije nad kompleksnim brojevima danim u trigonometrijskom obliku

Razmotrimo dva kompleksna broja z 1 I z 2 , dan u trigonometrijskom obliku

a) Umnožak kompleksnih brojeva

Množenje brojeva z 1 I z 2 , dobivamo

b) Kvocijent dva kompleksna broja

Neka su zadani kompleksni brojevi z 1 I z 2 ≠ 0 .

Razmotrimo kvocijent koji imamo

Primjer 5. Zadana su dva kompleksna broja

Riješenje.

1) Pomoću formule. dobivamo

Stoga,

2) Korištenje formule. dobivamo

Stoga,

Odgovor:

V) Konstrukcija kompleksnog broja danog u trigonometrijskom obliku u n ti stupanj

Iz operacije množenja kompleksnih brojeva slijedi da

U općem slučaju dobivamo:

Gdje n – pozitivan cijeli broj.

Stoga , kada se kompleksni broj podiže na potenciju, modul se podiže na istu potenciju, a argument se množi s eksponentom .

Izraz (2) naziva se Moivreova formula .

Abraham de Moivre (1667. - 1754.) - engleski matematičar francuskog podrijetla.

Zasluge Moivrea:

• otkrio (1707.) Moivreovu formulu za potenciranje (i izvlačenje korijena) kompleksnih brojeva danih u trigonometrijskom obliku;
• prvi je počeo koristiti potenciranje beskonačnih nizova;
• dao je velik doprinos teoriji vjerojatnosti: dokazao je posebne slučajeve Laplaceova teorema, proveo probabilističku studiju kockanja i niz statističkih podataka o stanovništvu.

Moivreova formula se može koristiti za pronalaženje trigonometrijskih funkcija dvostrukog, trostrukog itd. kutovi

Primjer 6. Pronađite formule grijeh 2  I cos 2  .

Riješenje.

Razmotrimo neki složeni broj

Zatim s jedne strane

Prema Moivreovoj formuli:

Izjednačujući, dobivamo

Jer dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi, dakle

Dobili smo dobro poznate formule dvostrukog kuta.

d) Vađenje korijena P

Korijen P -tu potenciju kompleksnog broja z naziva se kompleksan broj w, zadovoljavajući jednakost w n =z, tj. Ako w n =z .

Ako stavimo i onda, prema definiciji korijena i Moivreovoj formuli, dobivamo

Odavde imamo

Stoga jednakost poprima oblik

gdje (tj. od 0 do n-1).

Tako, vađenje korijena n -tu potenciju kompleksnog broja z uvijek je moguće i daje n različita značenja. Sva značenja korijena n stupanj koji se nalazi na krugu radijusa sa središtem u nuli i podijelite ovaj krug s n jednake dijelove.

Primjer 7. Pronađite sve vrijednosti

Riješenje.

Prvo, predstavimo broj u trigonometrijskom obliku.

U ovom slučaju x=1 , , Tako,

Stoga,

Pomoću formule

Gdje k=0,1,2,…,(n-1), imamo:

Zapišimo sve vrijednosti:

Odgovor:

Pitanja za samokontrolu

1 . Formulirajte definiciju kompleksnog broja.

2. Koji kompleksni broj nazivamo čisto imaginarnim?

3. Koja se dva kompleksna broja nazivaju konjugiranima?

4. Objasniti što znači zbrajati kompleksne brojeve dane u algebarskom obliku; množenje kompleksnog broja realnim brojem.

5. Objasnite princip dijeljenja kompleksnih brojeva danih u algebarskom obliku.

6. Napiši općenito cjelobrojne potencije imaginarne jedinice.

7. Što znači podići kompleksni broj zadan algebarskim oblikom na potenciju (n je prirodan broj)?

8. Recite nam kako su kompleksni brojevi prikazani na ravnini.

9 . Koji se oblik zapisa naziva trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva?

10. Formulirajte definiciju modula i argumenta kompleksnog broja.

11. Formulirajte pravilo množenja kompleksnih brojeva zapisanih u trigonometrijskom obliku.

12. Formulirajte pravilo za određivanje kvocijenta dva kompleksna broja zadana u trigonometrijskom obliku.

13. Formulirajte pravilo za dizanje kompleksnih brojeva danih u trigonometrijskom obliku na potencije.

14. Formulirajte pravilo za izdvajanje n-tog korijena kompleksnog broja zadanog u trigonometrijskom obliku.

15. Recite nam o značenju n-tog korijena jedinice i opsegu njegove primjene.

1. Razvoj pojma broja Uvođenje negativnih brojeva – to su učinili kineski matematičari dva stoljeća pr. e. Već u 8. stoljeću utvrđeno je da kvadratni korijen pozitivnog broja ima dva značenja - pozitivno i negativno, a kvadratni korijen se ne može vaditi iz negativnih brojeva.

Ova formula radi besprijekorno u slučaju kada jednadžba ima jedan realni korijen, a ako ima tri realna korijena, tada se ispod znaka kvadratnog korijena pojavljuje negativan broj. Pokazalo se da put do tih korijena vodi preko nemoguće operacije vađenja kvadratnog korijena negativnog broja.

3. Izjava o složenim brojevima u matematici Cardano je takve količine nazivao čisto negativnim, pa čak i sofistički negativnim, smatrao ih beskorisnima i pokušavao ih ne koristiti. Ali već 1572. godine objavljena je knjiga talijanskog algebraista R. Bombellija, u kojoj su utvrđena prva pravila za aritmetičke operacije s takvim brojevima, sve do vađenja kubnih korijena iz njih.

Naziv imaginarni brojevi uveo je 1637. godine francuski matematičar i filozof R. Descartes. Godine 1777. jedan od najvećih matematičara 18. stoljeća, L. Euler, predložio je upotrebu prvog slova francuske riječi imaginaire (zamišljeno) za označavanje broja (zamišljene jedinice). Ovaj je simbol ušao u opću upotrebu zahvaljujući K. Gaussu. Pojam kompleksni brojevi također je uveo Gauss 1831. Godine 1777. jedan od najvećih matematičara 18. stoljeća, L. Euler, predložio je upotrebu prvog slova francuske riječi imaginaire (zamišljeno) za označavanje broja (zamišljene jedinice). Ovaj je simbol ušao u opću upotrebu zahvaljujući K. Gaussu. Pojam kompleksni brojevi također je uveo Gauss 1831.

Riječ kompleks (od lat. complexus) označava vezu, kombinaciju, skup pojmova, predmeta, pojava i sl. koji čine jedinstvenu cjelinu. Riječ kompleks (od lat. complexus) označava vezu, kombinaciju, skup pojmova, predmeta, pojava i sl. koji čine jedinstvenu cjelinu.

Koji je povezivao eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskom. Koristeći L. Eulerovu formulu, bilo je moguće podići broj e na bilo koju kompleksnu potenciju. koji je povezivao eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskom. Koristeći L. Eulerovu formulu, bilo je moguće podići broj e na bilo koju kompleksnu potenciju.

Nakon stvaranja teorije kompleksnih brojeva, postavilo se pitanje postojanja hiperkompleksnih brojeva - brojeva s više imaginarnih jedinica. Takav sustav izgradio je 1843. godine irski matematičar W. Hamilton, koji ih je nazvao kvaternionima. Nakon stvaranja teorije kompleksnih brojeva, postavilo se pitanje o postojanju hiperkompleksnih brojeva - brojeva s više imaginarnih jedinica. Takav sustav izgradio je 1843. irski matematičar W. Hamilton, koji ih je nazvao kvaternionima

Takva se ravnina naziva složenom. Realni brojevi na njoj zauzimaju vodoravnu os, imaginarna jedinica prikazana je kao jedinica na okomitoj osi; zbog toga se vodoravna i okomita os nazivaju realnom odnosno imaginarnom osi.

5. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Apscisa a i ordinata b kompleksnog broja a + bi izražene su preko modula r i argumenta q. Apscisa a i ordinata b kompleksnog broja a + bi izražene su preko modula r i argumenta q. Formule a = r cos q, r=a/cos q a = r cos q, r=a/cos q b = r sin q, r=b/sin q b = r sin q, r=b/sin q r – duljina vektora ( a+bi), q – kut koji čini s pozitivnim smjerom x-osi

Kompleksni brojevi, unatoč svojoj lažnosti i nevaljanosti, imaju vrlo široku primjenu. Oni igraju značajnu ulogu ne samo u matematici, već iu takvim znanostima kao što su fizika i kemija. Trenutno se kompleksni brojevi aktivno koriste u elektromehanici, računalnoj i svemirskoj industriji

0 tj. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q gdje je r > 0 tj. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q This" title="Stoga se bilo koji kompleksni broj može prikazati u obliku Prema tome, svaki kompleksni broj može se prikazati u obliku r( cos q + i sin q ), r(cos q + i sin q), gdje je r > 0 tj. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q gdje je r > 0 tj. ili z=r* cos q + r*sin q" class="link_thumb"> 25 !} Stoga se svaki kompleksni broj može prikazati u obliku Prema tome, svaki kompleksni broj može se prikazati u obliku r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), gdje je r > 0 tj. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q gdje je r > 0 tj. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q Ovaj izraz se naziva normalni trigonometrijski oblik ili, ukratko, trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Taj se izraz naziva normalni trigonometrijski oblik ili kraće trigonometrijski oblik kompleksnog broja. 0 tj. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q gdje je r > 0 tj. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q Kat"> 0 tj. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q gdje je r > 0 tj. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q Ovaj izraz se naziva normalni trigonometrijski oblik ili, ukratko, trigonometrijski oblik kompleksnog broja Ovaj izraz se naziva normalni trigonometrijski oblik, ili, ukratko, trigonometrijski oblik kompleksan broj."> 0. one. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q gdje je r > 0 tj. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q This" title="Stoga se bilo koji kompleksni broj može prikazati u obliku Prema tome, svaki kompleksni broj može se prikazati u obliku r( cos q + i sin q ), r(cos q + i sin q), gdje je r > 0 tj. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q gdje je r > 0 tj. ili z=r* cos q + r*sin q"> title="Stoga se svaki kompleksni broj može prikazati u obliku Prema tome, svaki kompleksni broj može se prikazati u obliku r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), gdje je r > 0 tj. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q gdje je r > 0 tj. z=a+bi ili z=r*cos q + r*sin q"> !}