Koja vrsta specifičnosti imovine postoji. Specifičnost resursa i njihove vrste

Integralno računanje.

Primitivna funkcija.

definicija: Naziva se funkcija F (x) antiderivativna funkcija funkcija f (x) na segmentu ako je u bilo kojoj točki ovog segmenta jednakost

Treba napomenuti da za istu funkciju može biti beskonačno mnogo primitivaca. Oni će se međusobno razlikovati nekim stalnim brojem.

F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C.

Neodređeni integral.

definicija: Neodređeni integralfunkcija f (x) naziva se skup primitivnih funkcija, koje su definirane relacijom:

Zapiši:

Uvjet postojanja neodređenog integrala na određenom intervalu je kontinuitet funkcije na ovom intervalu.

Značajke:

Primjer:

Pronalaženje vrijednosti neodređenog integrala uglavnom je povezano s pronalaženjem primitivne funkcije. Za neke funkcije to je prilično težak zadatak. U nastavku ćemo razmotriti metode za pronalaženje neodređenih integrala za glavne klase funkcija - racionalne, iracionalne, trigonometrijske, eksponencijalne itd.

Radi praktičnosti, vrijednosti neodređenih integrala većine elementarnih funkcija sakupljaju se u posebne tablice integrala, koje su ponekad vrlo opsežne. Uključuju različite uobičajene kombinacije funkcija. Ali većina formula prikazanih u ovim tablicama posljedice su jedna za drugom, stoga je u nastavku tablica osnovnih integrala pomoću koje možete dobiti vrijednosti neodređenih integrala različitih funkcija.

sastavni	vrijednost	sastavni	vrijednost

	lnsinx + C



	ln

Metode integracije.

Razmotrimo tri glavne metode integracije.

Izravna integracija.

Metoda izravne integracije temelji se na pretpostavci moguće vrijednosti antiderivativne funkcije uz daljnju provjeru ove vrijednosti diferencijacijom. Općenito, primjećujemo da je diferencijacija moćan alat za provjeru rezultata integracije.

Razmotrite primjenu ove metode kao primjer:

Potrebno je pronaći vrijednost integrala , Na temelju poznate formule diferencijacije
možemo zaključiti da je željeni integral
gdje je C neki stalni broj. Međutim, s druge strane
, Dakle, konačno možemo zaključiti:

Imajte na umu da za razliku od diferencijacije, gdje su korištene jasne metode i metode za pronalaženje derivata, pravila za pronalazak derivata i konačno definicija derivata, takve metode nisu dostupne za integraciju. Ako smo prilikom pronalaska izvedenice koristili konstruktivne metode, da tako kažemo, koje su na temelju određenih pravila dovele do rezultata, onda se prilikom pronalaska primitiva moramo oslanjati uglavnom na znanje tablica izvedenica i primitiva.

Što se tiče metode izravne integracije, ona je primjenjiva samo na neke vrlo ograničene klase funkcija. Postoji vrlo malo funkcija za koje možete odmah pronaći antideriva. Stoga se u većini slučajeva koriste metode opisane u nastavku.

Metoda supstitucije (zamjena varijabli).

teorem: Ako trebate pronaći integral
, ali je teško pronaći antiderivativ, pa se pomoću supstitucije x \u003d  (t) i dx \u003d  (t) dt ispada:

dokazi : Razlikujemo predloženu jednakost:

Prema gore spomenutom svojstvu br. 2 neodređenog integralnog sastava:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

koja je, uzimajući u obzir uvedenu notaciju, početna pretpostavka. Teorem je dokazan.

Primjer. Pronađite neodređeni integral
.

Izvršite zamjenu t = sinx, dt = cosxdt.

Primjer.

zamjena
Dobijamo:

U nastavku će se razmatrati drugi primjeri upotrebe metode supstitucije za različite vrste funkcija.

Integracija u dijelovima.

Metoda se temelji na dobro poznatoj derivativnoj formuli proizvoda:

(uv)  \u003d uv + vu

gdje su u i v neke funkcije x.

U diferencijalnom obliku: d (uv) \u003d udv + vdu

Integrirajući, dobivamo:
, a u skladu s gornjim svojstvima neodređenog integral:

ili
;

Formula integracije dobivena je po dijelovima, što nam omogućava pronalaženje integrala mnogih elementarnih funkcija.

Primjer.

Kao što vidite, dosljedna primjena formule integracije u dijelovima omogućuje vam postupno pojednostavljenje funkcije i dovođenje integralnog u tablicu.

Primjer.

Može se vidjeti da se zbog opetovane primjene integracije u dijelovima funkcija ne može pojednostaviti u tabelarni oblik. No, posljednji dobiveni integral ne razlikuje se od originala. Stoga je prenosimo na lijevu stranu jednakosti.

Dakle, integral se nalazi bez korištenja tablica integrala uopće.

Prije nego što detaljno ispitamo metode integriranja različitih klasa funkcija, donosimo još nekoliko primjera pronalaska neodređenih integrala smanjujući ih na tabelarne.

Primjer.

Integracija elementarnih frakcija.

definicija: osnovninazivaju se frakcije sljedećih četiri vrste:

I.
III.

II.
IV.

m, n su prirodni brojevi (m  2, n  2) i b 2 - 4ac<0.

Prve dvije vrste integrala iz elementarnih frakcija jednostavno se svode na tabelarnu supstituciju t \u003d ax + b.

Razmotrimo metodu integracije elementarnih frakcija oblika III.

Integral frakcije tipa III može se predstaviti kao:

Ovdje je u općenitom obliku prikazana redukcija integralnog dijela frakcije III na dva tabelarna integrala.

Razmotrite primjenu gornje formule u primjerima.

Primjer.

Općenito govoreći, ako trinomalna sjekira 2 + bx + c ima izraz b 2 - 4ac\u003e 0, frakcija po definiciji nije elementarna, međutim, ipak se može integrirati na gore navedeni način.

primjer.

Primjer.

Razmotrimo sada metode integriranja najjednostavnijih frakcija tipa IV.

Prvo, smatramo posebnim slučajem za M \u003d 0, N \u003d 1.

Zatim integralni oblik obrasca
može se predstaviti u nazivniku cijelog kvadrata u obliku
, Izvršimo sljedeću pretvorbu:

Drugi integralni dio ove jednakosti bit će dijelom.

označavaju:

Za originalni integral dobivamo:

Dobivena formula se zove periodičan. Ako ga primijenite n-1 puta, dobićete tablicu integralnom
.

Vratimo se sada integralu elementarnog udjela tipa IV u općem slučaju.

U rezultirajućoj jednakosti prvi integral zamjenom t = u 2 + a svedeno na tabelarno , a gore navedena formula recidiva primjenjuje se na drugi integral.

Unatoč prividnoj složenosti integriranja elementarne frakcije tipa IV, u praksi je prilično lako koristiti za frakcije s malim stupnjem n, a univerzalnost i općenitost pristupa omogućuje vrlo jednostavnu primjenu ove metode na računalu.

primjer:

Integracija racionalnih funkcija.

Integracija racionalnih frakcija.

Da bi se integrirala racionalna frakcija, potrebno ju je rastaviti u elementarne frakcije.

teorem: ako
je pravilan racionalni ulomak čiji je nazivnik P (x) predstavljen kao rezultat linearnih i kvadratnih faktora (imajte na umu da bilo koji polinom s stvarnim koeficijentima može biti predstavljen u ovom obliku: P(x) = (x - )  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + a)  ), tada se ovaj fragment može rastaviti u elementarno prema sljedećoj shemi:

gdje su A i, B i, M i, N i, R i, S i neke stalne vrijednosti.

Pri integriranju racionalnih frakcija pribjegavaju se dekompoziciji početne frakcije na elementarne. Da bismo pronašli količine A i, B i, M i, N i, R i, S i primijenimo tzv metoda neizvjesnostičija je suština da su dva polinoma jednaka, potrebno je i dovoljno da su koeficijenti jednaki za iste sile x.

Razmotrit ćemo primjenu ove metode s konkretnim primjerom.

Primjer.

Svodeći na zajednički nazivnik i izjednačivši odgovarajuće brojevnike, dobivamo:

Primjer.

jer ako je ulomak pogrešan, prvo treba istaknuti cijeli dio:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x - 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 - 25x - 25

Faktor dobivamo na naziv rezultirajuće frakcije. Može se vidjeti da se pri x \u003d 3 nazivnik ulomaka pretvara u nulu. zatim:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 x - 3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Tako je 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 \u003d (x - 3) (3x 2 + 5x - 2) \u003d (x - 3) (x + 2) (3x - 1). zatim:

Kako bi se izbjegli, prilikom pronalaženja neizvjesnih koeficijenata, otkrivanja zagrada, grupiranja i rješavanja sustava jednadžbi (koji se u nekim slučajevima može pokazati prilično velikim), metoda proizvoljne vrijednosti, Suština metode je da se nekoliko (po broju nedefiniranih koeficijenata) proizvoljnih vrijednosti x supstituira zauzvrat u gore dobivenom izrazu. Za pojednostavljenje izračuna uobičajeno je kao proizvoljne vrijednosti uzimati točke u kojima je nazivnik ulomaka jednak nuli, tj. u našem slučaju - 3, -2, 1/3. Dobijamo:

Napokon dobivamo:

Primjer.

Pronađite nedefinirane koeficijente:

Tada vrijednost zadanog integrala:

Integracija nekih trigonometrijskih

funkcije.

Može postojati beskonačno mnogo integrala trigonometrijskih funkcija. Većina ovih integrala se uopće ne može izračunati analitički, stoga smatramo neke od najvažnijih vrsta funkcija koje se uvijek mogu integrirati.

Pogledaj integral
.

Ovdje je R oznaka neke racionalne funkcije varijabli sinx i cosx.

Integrali ovog tipa izračunavaju se primjenom supstitucije
, Ova supstitucija omogućuje vam pretvaranje trigonometrijske funkcije u racionalnu.

tada

Na ovaj način:

Navedena je pretvorba opisana gore univerzalna trigonometrijska supstitucija.

Primjer.

Nesumnjiva prednost ove supstitucije je u tome što se ona uvijek može koristiti za pretvaranje trigonometrijske funkcije u racionalnu i izračunavanje odgovarajućeg integrala. Nedostaci uključuju činjenicu da se tijekom transformacije može ispostaviti prilično složena racionalna funkcija, čija će integracija trajati mnogo vremena i truda.

Međutim, ako je nemoguće primijeniti racionalniju promjenu varijable, ova je metoda jedina učinkovita.

Primjer.

Pogledaj integral
ako

funkcijaRcosx.

Unatoč mogućnosti izračunavanja takvog integrala pomoću univerzalne trigonometrijske supstitucije, racionalnije je primijeniti supstituciju t = sinx.

funkcija
može sadržavati cosx samo u jednakim moćima, i, prema tome, može se transformirati u racionalnu funkciju u odnosu na sinx.

Primjer.

Općenito govoreći, za primjenu ove metode potrebna je samo neobičnost funkcije u odnosu na kosinus, a stupanj sinusa uključen u funkciju može biti bilo koji, bilo cijeli ili frakcijski.

Pogledaj integral
ako

funkcijaR neparno je relativnosinx.

Po analogiji s gore razmatranim slučajem, vrši se zamjena t = cosx.

Primjer.

Pogledaj integral

funkcijaR čak i relativnasinx icosx.

Da bismo funkciju R pretvorili u racionalnu, koristimo supstituciju

t \u003d tgx.

Primjer.

Integralni proizvod sinusa i kosinusa

razni argumenti.

Ovisno o vrsti rada, primjenjuje se jedna od tri formule:

Primjer.

Ponekad je pri integriranju trigonometrijskih funkcija korisno koristiti poznate trigonometrijske formule za spuštanje redoslijeda funkcija.

Primjer.

Ponekad se primjenjuju neke nestandardne tehnike.

Primjer.

Integracija nekih iracionalnih funkcija.

Ne može svaka iracionalna funkcija imati integralni izraz koji se iskazuje elementarnim funkcijama. Da bi se pronašao integral iracionalne funkcije, treba primijeniti zamjenu koja omogućuje transformiranje funkcije u racionalnu, čiji se integral može naći kao uvijek poznat.

Razmotrimo neke tehnike integriranja različitih vrsta iracionalnih funkcija.

Pogledaj integral
gdjenprirodni je broj.

Pomoću supstitucije
funkcija je pojednostavljena.

Primjer.

Ako sastav iracionalne funkcije uključuje korijene različitih stupnjeva, tada je kao nova varijabla racionalno uzeti korijen stupnja jednak najmanje uobičajenom višestrukom stupnju korijena u izrazu.

To ilustriramo primjerom.

Primjer.

Integracija binomnih diferencijala.

Izravna integracija

Osnovne integracijske formule

1. C je konstanta	1*.
2., n ≠ –1
3. + C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Naziva se izračun integrala pomoću izravne uporabe tablice najjednostavnijih integrala i osnovnih svojstava neodređenih integrala izravna integracija.

Primjer 1

Primjer 2

Primjer 3

Ovo je najčešća metoda integriranja složene funkcije, koja se sastoji u transformiranju integrala pomoću prijelaza na drugu varijablu integracije.

Ako je teško smanjiti integral u tablicu pomoću elementarnih transformacija, tada se u ovom slučaju koristi metoda supstitucije. Suština ove metode je da se uvođenjem nove varijable ovaj integral može smanjiti na novi integral, što je relativno jednostavno preuzeti izravno.

Za integraciju supstitucijskom metodom koristi se shema rješenja:

2) pronađite razliku od oba dijela zamjene;

3) izraziti cijeli integrand novom varijablom (nakon čega treba dobiti integral tablice);

4) pronaći dobivenu tablicu integral;

5) izvršiti obrnutu zamjenu.

Pronađite integrale:

Primjer 1 . zamjena:cosx \u003d t,-sinxdx \u003d dt,

rješenje:

Primjer 2 ∫e -x3 x 2 dx zamjena:-x 3 \u003d t, -3x 2 dx \u003d dt, rješenje: ∫e -x3 x 2 dx \u003d ∫e t (-1/3) dt \u003d -1 / 3e t + C \u003d -1 / 3e -x3 + C

Primjer 3zamjena:1 + sinx \u003d t, cosxdx \u003d dt,

rješenje: .

ODJELJAK 1.5. Definitivan integral, metode za njegovo izračunavanje.

odredba 1. Pojam određenog integralnog

Zadatak. Pronađite prirast funkcije primitivne za funkciju f (x)pri prosljeđivanju argumenta x od vrijednosti na vrijednost b.

odluka, Pretpostavimo da integracijom pronalazimo: ∫ (x) dx \u003d F (x) + C.

tada F (x) + Cgdje C 1 - bilo koji dati broj bit će jedna od primitivnih funkcija za ovu funkciju f (x), Pronađite njegov priraštaj prilikom donošenja argumenta iz vrijednosti na vrijednost b, Dobijamo:

x \u003d b - x \u003d a \u003d F (b) + C 1 - F (a) -C 1 \u003d F (b) -F (a)

Kao što vidite, u izrazu prirasta antiderivativne funkcije F (x) + C nema stalne vrijednosti C 1, A budući da pod C 1 Budući da se bilo koji dati broj podrazumijeva, dobijeni rezultat vodi do sljedećeg zaključka: nakon donošenja svađe x od vrijednosti x \u003d a na vrijednost x \u003d b sve funkcije F (x) + Cantideritivi za određenu funkciju f (x)imaju isti priraštaj jednak F (b) -F (a).

Taj priraštaj nazivamo određenim integralom i označavaju simbolom: i čitajte: integral od i u b funkcije f (x) u odnosu na dx ili, ukratko, integral od i u b iz f (x) dx.

broj i to se zove donja granica integracijski broj b - vrh; segment a ≤ x ≤ b - segment integracije. Pretpostavlja se da je integrand f (x) kontinuirano za sve vrijednosti xzadovoljavanje uvjeta:  x b

Definicija. Povećanje antiderivativne funkcije F (x) + C nakon donošenja svađe x od vrijednosti x \u003d a na vrijednost x \u003d bjednaka je razlici F (b) -F (a), naziva se definitivnim integralom i označava se simbolom: tako da ako ∫ (x) dx \u003d F (x) + C, zatim \u003d F (b) -F (a) -ovo jednakost se naziva Newton-Leibnizova formula.

odjeljak 2 Osnovna svojstva određenog integralnog dijela

Sva svojstva formulirana su u prijedlogu da su dotične funkcije integrirane u odgovarajućim intervalima.

str. 3 Izravni izračun određenog integrala

Da biste izračunali određeni integral, kada možete pronaći odgovarajući neodređeni integral, koristite Newton-Leibniz formulu

odnosno određeni integral je jednak razlici vrijednosti bilo koje primitivne funkcije s gornjom i donjom granicom integracije.

Iz ove formule možete vidjeti postupak izračuna za određeni integral:

1) pronaći neodređeni integral određene funkcije;

2) u dobivenom antiderivativu zamijenite prvo gornju, a zatim donju granicu integrala umjesto argumenta;

3) oduzeti rezultat zamjene donje granice od rezultata zamjene gornje granice.

Primjer 1: Izračunajte integral:

Primjer 2:Izračunajte integral:

p.4 Izračunavanje određenog integrala metodom supstitucije

Izračunavanje određenog integralnog postupka supstitucije je kako slijedi:

1) zamijeni dio integranda novom varijablom;

2) pronaći nove granice određenog cjelovitog;

3) pronađite razliku od oba dijela zamjene;

4) cjelokupnu integrandu izraziti novom varijablom (nakon čega treba dobiti integral tablice); 5) izračunati dobiveni određeni integral.

Primjer 1: Izračunajte integral:

zamjena: 1 + cosx \u003d t,-sinxdx \u003d dt,

ODJELJAK 1.6. Geometrijsko značenje određenog integrala.

Područje zakrivljenog trapeza:

Poznato je da je određeni integral na segmentu područje zakrivljenog trapeza omeđenog grafom funkcije f (x).

Područje figure omeđeno određenim linijama može se pronaći pomoću određenih integrala ako su poznate jednadžbe tih linija.

Pustite na interval [a; b] s obzirom na kontinuiranu funkciju y \u003d ƒ (x) ≥ 0. Pronađite područje ovog trapeza.

Područje slike omeđeno osom 0 x, dvije okomite crte x \u003d a, x \u003d b a graf funkcije y \u003d ƒ (x) (slika), određuje se formulom:

Ovo je geometrijsko značenje određenog integrala.

Primjer 1: Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y \u003d x 2. + 2, y \u003d 0, x \u003d -2, x \u003d 1.

rješenje: Izvršimo crtež (imajte na umu da jednadžba y \u003d 0 definira os Ox).

Odgovor je: S \u003d 9 jedinica 2

Primjer 2: Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y \u003d - e x, x \u003d 1 i koordinatne osi.

Rješenje: Izvršimo crtež.
Ako je zakrivljeni trapez potpuno smješten ispod osi, tada se njegovo područje može naći formulom:

U ovom slučaju:

Upozorenje! Ako se od vas traži da pronađete određenu cjelinu područje figure, tada je to područje uvijek pozitivno! Zbog toga se minus upravo pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

ODJELJAK 1.7. Primjena određenog integral

str.1 Izračunavanje volumena tijela obrtaja

Ako je krivuljasti trapez u blizini osi Ox, a pravci y \u003d a, y \u003d b i graf funkcije y \u003dF (x) (Sl. 1), tada se volumen tijela obrtaja određuje formulom koja sadrži integral.

Volumen tijela rotacije je:

Primjer:

Pronađite volumen tijela ograničen površinom rotacije crte oko osi Ox na 0≤ x ≤4.

rješenje:V

jedinice 3. Odgovor: jedinica 3.

ODJELJAK 3.1. Obične diferencijalne jednadžbe

odredba 1. Pojam diferencijalne jednadžbe

Definicija. Diferencijalna jednadžba Naziva se jednadžba koja sadrži funkciju skupa varijabli i njihovih derivata.

Opći oblik takve jednadžbe \u003d 0, gdje je F dobro poznata funkcija njenih argumenata danih u fiksnom području; x je neovisna varijabla (varijabla po kojoj je diferencirana); y je ovisna varijabla (ona iz koje su izvedeni derivati \u200b\u200bi ona koja treba odrediti); je izvedenica ovisne varijable y u odnosu na nezavisnu varijablu x.

odjeljak 2 Osnovni pojmovi diferencijalne jednadžbe

postupak diferencijalna jednadžba naziva se red najvećeg derivata koji ulazi u nju.

Na primjer:

Jednadžba drugog reda je jednadžba prvog reda.

Naziva se svaka funkcija koja povezuje varijable i pretvara diferencijalnu jednadžbu u pravu jednakost odlukadiferencijalna jednadžba.

Opća odlukadiferencijalna jednadžba prvog reda naziva se funkcija i proizvoljna konstanta C, što pretvara ovu jednadžbu u identitet s obzirom na.

Naziva se opće rješenje, zapisano implicitno \u003d 0 opći integral.

Privatna odluka jednadžba \u003d 0 je rješenje dobiveno iz općeg rješenja za fiksnu vrijednost - fiksni broj.

Problem pronalaženja određenog rješenja diferencijalne jednadžbe n-tog reda (n \u003d 1,2,3, ...) koji zadovoljava početne uvjete oblika

to se zove cauchy je zadatak.

str.3 Diferencijalne jednadžbe prvog reda s odvojivim varijablama

Diferencijalna jednadžba prvog reda naziva se jednadžba s odvojivim varijablama, ako se može prikazati u obliku, može se prepisati u oblik. Ako. Integriramo:.

Za rješavanje ove jednadžbe potrebno je:

1. Odvojene varijable;

2. Integrirajući jednadžbu s odvojenim varijablama, pronađite opće rješenje ove jednadžbe;

3. Pronađite određeno rješenje koje zadovoljava početne uvjete (ako su dana).

Primjer 1Riješite jednadžbu. Pronađite određeno rješenje koje zadovoljava uvjet y \u003d 4 za x \u003d -2.

rješenje:Ovo je jednadžba s odvojenim varijablama. Integrirajući, nalazimo opće rješenje jednadžbe:. Da bismo dobili jednostavnije opće rješenje u obliku, u obliku C / 2 predstavljamo konstantni pojam na desnoj strani. Imamo ili - opće rješenje. Zamjenjujući vrijednosti y \u003d 4 i x \u003d -2 u općenito rješenje, dobivamo 16 \u003d 4 + C, odakle je C \u003d 12.

Dakle, određeno rješenje jednadžbe koja zadovoljava ovaj uvjet ima oblik

Primjer 2Pronađite rješenje za jednadžbu ako .

rješenje:,,,,, opće rješenje.

Zamjenjujemo vrijednosti x i y u određenom rješenju: ,, posebno rješenje.

Primjer 3 Pronađite općenito rješenje jednadžbe , rješenje :,,,, je opće rješenje.

p. 4 Diferencijalne jednadžbe reda više od prve

Jednadžba oblika ili se rješava dvostrukom integracijom: ,, odakle. Integrirajući ovu funkciju, dobivamo novu funkciju f (x), koju označavamo sa F (x). Dakle, , Opet integriramo: ili y \u003d Φ (x). Dobili smo općenito rješenje jednadžbe koja sadrži dvije proizvoljne konstante i.

Primjer 1Riješite jednadžbu.

rješenje:, , ,

Primjer 2Riješite jednadžbu , Rješenje: ,,.

ODJELJAK 3.2. Serija s brojevima, njeni članovi

Definicija 1.Sljedeća brojčanaizraz oblika ++ ... ++ ... naziva se, (1)

gdje ,, ..., ... - brojevi koji pripadaju nekom određenom brojevnom sustavu.

Dakle, možemo razgovarati o stvarnim serijama za koje R, o složenim serijama za koje C, tj= 1, 2, …, n, ... = =.

Odjeljak 3.3. Osnove teorije vjerojatnosti i matematička statistika