Привіт, дорогі студенти вузу аргемони! Вітаю вас на черговий лекції з магії функцій і інтегралів.

Сьогодні ми поговоримо про гіперболи. Почнемо від простого. Найпростіший вид гіперболи:

Ця функція, на відміну від прямої в її стандарних видах, має особливість. Як ми знаємо, знаменник дробу не може дорівнювати нулю, тому що на нуль ділити не можна.
  x ≠ 0
  Звідси робимо висновок, що областю визначення є вся числова пряма, крім точки 0: (-∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Якщо х прагне до 0 праворуч (записується ось так: х-\u003e 0 +), тобто стає дуже-дуже маленьким, але при цьому залишається позитивним, то у стає дуже-дуже великим позитивним (y -\u003e + ∞).
  Якщо ж х прагне до 0 зліва (x-\u003e 0-), тобто стає по модулю теж дуже-дуже маленьким, але залишається при цьому негативним, то у також буде негативним, але по модулю буде дуже великим (y -\u003e - ∞).
  Якщо ж х прагне в плюс нескінченність (x -\u003e + ∞), тобто стає дуже великим позитивним числом, то у ставатиме все більш і більш меншим позитивним числом, тобто буде прагнути до 0, залишаючись весь час позитивним (y-\u003e 0 +).
  Якщо ж х прагне в мінус нескінченність (x -\u003e - ∞), тобто стає великим по модулю, але негативним числом, то у буде теж негативним завжди числом, але маленьким по модулю (y-\u003e 0-).

У, як і перше, не може приймати значення 0. Він тільки до нуля прагне. Тому безліч значень таке ж, як і область визначення: (-∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Виходячи з цих міркувань, можна схематично намалювати графік функції

Видно, що гіпербола складається з двох частин: одна знаходиться в 1-м координатном кутку, де значення х і у позитивні, а друга частина - в третьому координатном кутку, де значення х і у негативні.
  Якщо рухатися від -∞ до + ∞, то ми бачимо, що функція наша убуває від 0 до -∞, потім відбувається різкий стрибок (від -∞ до + ∞) і починається друга гілка функції, яка теж зменшується, але від + ∞ до 0. тобто, ця гіпербола спадна.

Якщо зовсім трохи змінити функцію: скористатися магією мінуса,

(1")

Те функція чудесним чином переміститься з 1 і 3 координатних чвертей до 2-ї і 4-ю чверті і стане зростаючою.

Нагадаю, що функція є зростаючої, Якщо для двох значень х 1 і х 2, таких, що х 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
  І функція буде спадної, Якщо f (х 1)\u003e f (х 2) для тих же значень х.

Гілки гіперболи наближаються до осей, але ніколи їх не перетинають. Такі лінії, до яких наближається графік функції, але ніколи їх не перетинає, називаються ассімптотой  даної функції.
  Для нашої функції (1) ассімптотамі є прямі х \u003d 0 (вісь OY, вертикальна ассімптота) і у \u003d 0 (вісь OX, горизонтальна ассімптота).

А тепер давайте трохи ускладнити найпростішу гіперболу і подивимося, що станеться з графіком функції.

(2)

Всього-то додали константу "а" в знаменник. Додавання якогось числа в знаменник як доданка до х означає перенесення всієї "гіперболічної конструкції" (разом з вертикальною ассімптотой) на (-a) позицій вправо, якщо а - від'ємне число, і на (-а) позицій вліво, якщо а - додатне число.

На лівому графіку до х додається негативна константа (а<0, значит, -a>0), що викликає перенесення графіка вправо, а на правому графіку - позитивна константа (a\u003e 0), завдяки якій графік переноситься вліво.

А яка магія може вплинути на перенесення "гіперболічної конструкції" вгору або вниз? Додавання константи-складової до дробу.

(3)

Ось тепер вся наша функція (обидві гілочки і горизонтальна ассімптота) підніметься на b позицій вгору, якщо b - позитивне число, і опуститься на b позицій вниз, якщо b - негативне число.

Зверніть увагу, що ассімптоти пересуваються разом з гіперболою, тобто гіперболу (обидві її гілки) і обидві її ассімптоти треба обов'язково розглядати як нерозривний конструкцію, яка єдино пересувається вліво, вправо, вгору або вниз. Дуже приємне відчуття, коли одним додаванням якогось числа можна змушувати функцію цілком рухатися в будь-яку сторону. Чим не магія, опанувати яку можна дуже легко і направляти її на свій розсуд в потрібну сторону?
  До речі, так управляти можна рухом будь-якої функції. На наступних уроках ми це вміння будемо закріплювати.

Перед тим як поставити вам домашнє завдання, я хочу звернути вашу увагу ще ось на таку функцію

(4)

Нижня гілочка гіперболи переміщається з 3-го координатного кута вгору - в другій, в той кут, де значення у позитивне, тобто ця гілочка відбивається симетрично щодо осі ОХ. І тепер ми отримуємо парну функцію.

Що значить "парна функція"? функція називається парної, Якщо виконується умова: f (-x) \u003d f (x)
  функція називається непарної, Якщо виконується умова: f (-x) \u003d - f (x)
  У нашому випадку

(5)

Будь-яка парна функція симетрична щодо осі OY, тобто пергамент з малюнком графіка можна скласти по осі OY, і дві частини графіка точно співпадуть один з одним.

Як бачимо, ця функція теж має дві ассімптоти - горизонтальну і вертикальну. На відміну від розглянутих вище функцій, ця функція є на одній своїй частині зростаючої, на інший - у порядку спадання.

Спробуємо покерувати тепер цим графіком, додаючи константи.

(6)

Згадаймо, що додаток константи в якості доданка до "х" викликає переміщення всього графіка (разом з вертикальною ассімптотой) по горизонталі, уздовж горизонтальної ассімптоти (вліво або вправо в залежності від знака цієї константи).

(7)

А додавання константи b як доданка до дробу викликає переміщення графіка вгору або вниз. Все дуже просто!

А тепер спробуйте самі поекспериментувати з такою магією.

Домашнє завдання 1.

Кожен бере для своїх експериментів дві функції: (3) і (7).
  а \u003d першій цифрі вашого ЛД
  b \u003d другої цифри вашого ЛД
  Спробуйте дістатися до магії цих функцій, починаючи з найпростішої гіперболи, як я це робила на уроці, і поступово додаючи свої константи. Функцію (7) вже можете моделювати, виходячи з кінцевого виду функції (3). Вкажіть області визначення, безліч значень, ассімптоти. Як поводяться функції: зменшуються, зростають. Парні непарні. Загалом, спробуйте провести таке ж дослідження, як було на уроці. Можливо, ви знайдете щось ще, про що я забула розповісти.

До речі, обидві гілки найпростішою гіперболи (1) симетричні щодо бісектриси 2 і 4 координатних кутів. А тепер уявіть, що гіпербола стала обертатися навколо цієї осі. Отримаємо ось таку симпатичну фігуру, якій можна знайти застосування.

завдання 2. Де можна використовувати дану фігуру? Спробуйте намалювати фігуру обертання для функції (4) щодо її осі симетрії і поміркувати, де така фігура може знайти застосування.

Пам'ятайте, як ми в кінці минулого уроку отримали пряму з виколоти точкою? І ось останнє завдання 3.
  Побудувати графік ось такої функції:

(8)

Коефіцієнти a, b - такі ж, як в завданні 1.
  з \u003d третьої цифрі вашого ЛД або a-b, якщо ваше ЛД двозначне.
  Невелика підказка: спочатку отриману після підстановки чисел дріб треба спростити, і потім ви отримаєте звичайну гіперболу, яку і треба побудувати, але в кінці треба врахувати область визначення вихідного вираження.

Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір і використання персональної інформації

Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти тощо

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події.
• Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

винятки:

• У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.

Захист особистих даних

Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

Даний методичний матеріал носить довідковий характер і відноситься до широкого кола тем. У статті наведено огляд графіків основних елементарних функцій і розглянуто найважливіше питання - як правильно і ШВИДКО побудувати графік. В ході вивчення вищої математики без знання графіків основних елементарних функцій доведеться важко, тому дуже важливо згадати, як виглядають графіки параболи, гіперболи, синуса, косинуса і т.д., запам'ятати деякі значення функцій. Також мова піде про деякі властивості основних функцій.

Я не претендую на повноту і наукову обґрунтованість матеріалів, упор буде зроблений, перш за все, на практиці - ті речі, з якими доводиться стикатися буквально на кожному кроці, в будь-якій темі вищої математики. Графіки для чайників? Можна сказати і так.

На численні прохання читачів клікабельно зміст:

Крім того, є сверхкраткій конспект по темі
   - освойте 16 видів графіків, вивчивши ШІСТЬ сторінок!

Серйозно, шість, здивувався навіть я сам. Даний конспект містить покращену графіку і доступний за символічну плaту, демо-версію можна подивитися. Файл зручно роздрукувати, щоб графіки завжди були під рукою. Дякую за підтримку проекту!

І відразу починаємо:

Як правильно побудувати координатні осі?

На практиці контрольні роботи майже завжди оформляються студентами в окремих зошитах, розлінованих в клітку. Навіщо потрібна картата розмітка? Адже роботу, в принципі, можна зробити і на аркушах А4. А клітина необхідна якраз для якісного і точного оформлення креслень.

Будь-креслення графіка функції починається з координатних осей.

Креслення бувають дво- та тривимірні.

Спочатку розглянемо двомірний випадок декартовій прямокутній системи координат:

1) Креслимо координатні осі. ось називається віссю абсцис , А вісь - віссю ординат . Креслити їх завжди намагаємося акуратно і не криво. Стрілки теж не повинні нагадувати бороду Папи Карло.

2) Підписуємо осі великими літерами «ікс» і «ігрек». Не забуваємо підписувати осі.

3) Задаємо масштаб по осях: малюємо нуль і дві одинички. При виконанні креслення найзручніший і найпоширеніший масштаб: 1 одиниця \u003d 2 клітинки (креслення зліва) - по можливості дотримуйтеся саме його. Однак час від часу трапляється так, що креслення не вміщається на аркуш із зошита - тоді масштаб зменшуємо: 1 одиниця \u003d 1 клітинка (креслення праворуч). Рідко, але буває, що масштаб креслення доводиться зменшувати (або збільшувати) ще більше

НЕ ПОТРІБНО «строчити з кулемета» ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....  Бо координатна площину - не пам'ятник Декарту, а студент - не голубий. ставимо нуль  і дві одиниці по осях. іноді замість  одиниць зручно «засікти» інші значення, наприклад, «двійку» на осі абсцис і «трійку» на осі ординат - і ця система (0, 2 і 3) теж однозначно задасть координатну сітку.

Передбачувані розміри креслення краще оцінити ще ДО побудови креслення. Так, наприклад, якщо в завданні потрібно накреслити трикутник з вершинами,,, то абсолютно зрозуміло, що популярний масштаб 1 одиниця \u003d 2 клітинки не підійде. Чому? Подивимося на точку - тут доведеться відміряти п'ятнадцять сантиметрів вниз, і, очевидно, що креслення не вміститься (або вміститься ледве-ледве) на аркуш із зошита. Тому відразу вибираємо дрібніший масштаб 1 одиниця \u003d 1 клітинка.

До речі, про сантиметрах і зошитових клітинах. Чи правда, що в 30 зошитових клітинах міститься 15 сантиметрів? Відміряйте в зошиті для інтересу 15 сантиметрів лінійкою. В СРСР, можливо, це було правдою ... Цікаво відзначити, що якщо відміряти ці самі сантиметри по горизонталі і вертикалі, то результати (в клітинах) будуть різними! Строго кажучи, сучасні зошити НЕ картаті, а прямокутні. Можливо, це здасться нісенітницею, але, креслити, наприклад, окружність циркулем при таких розкладах дуже незручно. Якщо чесно, в такі моменти починаєш замислюватися про правоту товариша Сталіна, який відправляв в табори за халтуру на виробництві, не кажучи вже про вітчизняний автомобілебудуванні, падаючих літаках або вибухають електростанціях.

До слова про якість, або коротка рекомендація по канцтоварам. На сьогоднішній день більшість зошитів у продажу, поганих слів не кажучи, повне гомно. З тієї причини, що вони промокають, причому не тільки від гелевих, але і від кулькових ручок! На папері економлять. Для оформлення контрольних робіт рекомендую використовувати зошити Архангельського ЦПК (18 аркушів, клітинка) або «Пятерочка», правда, вона дорожча. Ручку бажано вибрати гелеву, навіть найдешевший китайський гелевий стрижень набагато краще, ніж кулькова ручка, яка то маже, то дере папір. Єдиною «конкурентоспроможною» кульковою ручкою на моїй пам'яті є «Еріх Краузе». Вона пише чітко, красиво і стабільно - що з повним стрижнем, що з практично порожнім.

додатково: Бачення прямокутної системи координат очима аналітичної геометрії висвітлюється в статті Лінійна (не) залежність векторів. базис векторів, Детальну інформацію про координатних чвертях можна знайти в другому параграфі уроку лінійні нерівності.

тривимірний випадок

Тут майже все так само.

1) Креслимо координатні осі. стандарт: вісь аплікат   - спрямована вгору, вісь - спрямована вправо, вісь - вліво вниз строго  під кутом 45 градусів.

2) Підписуємо осі.

3) Задаємо масштаб по осях. Масштаб по осі - в два рази менше, ніж масштаб по інших осях. Також зверніть увагу, що на правому кресленні я використовував нестандартну «зарубку» по осі (Про таку можливість уже згадано вище). З моєї точки зору, так точніше, швидше і естетичніше - не потрібно під мікроскопом вишукувати середину клітини і «ліпити» одиницю впритул до початку координат.

При виконанні тривимірного креслення знову ж - віддавайте пріоритет масштабу
   1 одиниця \u003d 2 клітини (креслення зліва).

Для чого потрібні всі ці правила? Правила існують для того, щоб їх порушувати. Чим я зараз і займуся. Справа в тому, що наступні креслення статті будуть виконані мною в Ексель, і, координатні осі будуть виглядати некоректно з точки зору правильного оформлення. Я б міг накреслити все графіки від руки, але креслити їх насправді жах як не хочеться Ексель їх накреслить набагато точніше.

Графіки та основні властивості елементарних функцій

Лінійна функція задається рівнянням. Графік лінійної функцій є пряму. Для того, щоб побудувати пряму досить знати дві точки.

приклад 1

Побудувати графік функції. Знайдемо дві точки. В якості однієї з точок вигідно вибрати нуль.

Якщо то

Беремо ще якусь точку, наприклад, 1.

Якщо то

При оформленні завдань координати точок зазвичай зводяться в таблицю:

   А самі значення розраховуються усно або на чернетці, калькуляторі.

Дві точки знайдені, виконаємо креслення:

При оформленні креслення завжди підписуємо графіки.

Не зайвим буде згадати окремі випадки лінійної функції:

   Зверніть увагу, як я розташував підпису, підписи не повинні допускати різночитань при вивченні креслення. В даному випадку вкрай небажано було поставити підпис поряд з точкою перетину прямих, або справа внизу між графіками.

1) Лінійна функція виду () називається прямий пропорційністю. Наприклад,. Графік прямої пропорційності завжди проходить через початок координат. Таким чином, побудова прямої спрощується - достатньо знайти всього одну точку.

2) Рівняння виду задає пряму, паралельну осі, зокрема, сама вісь задається рівнянням. Графік функції будується відразу, без знаходження всяких точок. Тобто, запис слід розуміти так: «ігрек завжди дорівнює -4, при будь-якому значенні ікс».

3) Рівняння виду задає пряму, паралельну осі, зокрема, сама вісь задається рівнянням. Графік функції також будується відразу. Запис слід розуміти так: «ікс завжди, при будь-якому значенні ігрек, дорівнює 1».

Деякі запитають, ну навіщо згадувати 6 клас ?! Так-то воно, може і так, тільки за роки практики я зустрів добрий десяток студентів, яких ставила в тупик завдання побудови графіка на кшталт чи.

Побудова прямої - найпоширеніше дію при виконанні креслень.

Пряма лінія детально розглядається в курсі аналітичної геометрії, і бажаючі можуть звернутися до статті Рівняння прямої на площині.

Графік квадратичної, кубічної функції, графік многочлена

Парабола. Графік квадратичної функції   () Являє собою параболу. Розглянемо знаменитий випадок:

Згадуємо деякі властивості функції.

Отже, рішення нашого рівняння: - саме в цій точці і знаходиться вершина параболи. Чому це так, можна дізнатися з теоретичної статті про похідну і уроку про екстремуми функції. А поки розраховуємо відповідне значення «ігрек»:

Таким чином, вершина знаходиться в точці

Тепер знаходимо інші точки, при цьому нахабно користуємося симметричностью параболи. Слід зауважити, що функція – не є парною, Але, тим не менш, симетричність параболи ніхто не відміняв.

У якому порядку шукати інші точки, думаю, буде зрозуміло з підсумкової таблиці:

Даний алгоритм побудови образно можна назвати «човником» або принципом «туди-сюди» з Анфісою Чеховою.

Виконаємо креслення:

   З розглянутих графіків згадується ще один корисний ознака:

Для квадратичної функції   () Справедливо наступне:

Якщо, то гілки параболи спрямовані вгору.

Якщо, то гілки параболи спрямовані вниз.

Поглиблені знання про криву можна отримати на уроці Гіпербола і парабола.

Кубічна парабола задається функцією. Ось знайомий зі школи креслення:

   Перелічимо основні властивості функції

Графік функції

Він являє собою одну з гілок параболи. Виконаємо креслення:

   Основні властивості функції:

В даному випадку вісь є вертикальної асимптотой   для графіка гіперболи при.

Буде ГРУБОЇ помилкою, якщо при оформленні креслення по недбалості допустити перетин графіка з асимптотой.

Також односторонні межі, говорять нам про те, що гіпербола не обмежена зверху  і не обмежена знизу.

Досліджуємо функцію на нескінченності:, тобто, якщо ми почнемо йти по осі вліво (або вправо) на нескінченність, то «ігреки» струнким кроком будуть нескінченно близько  наближатися до нуля, і, відповідно, гілки гіперболи нескінченно близько  наближатися до осі.

Таким чином, вісь є горизонтальної асимптотой   для графіка функції, якщо «ікс» прагне до плюс або мінус нескінченності.

функція є непарної, А, значить, гіпербола симетрична щодо початку координат. Даний факт очевидний з креслення, крім того, легко перевіряється аналітично: .

Графік функції виду () являє собою дві гілки гіперболи.

Якщо, то гіпербола розташована в першій і третій координатних чвертях  (Див. Рисунок вище).

Якщо, то гіпербола розташована в другій і четвертій координатних чвертях.

Зазначену закономірність місця проживання гіперболи неважко проаналізувати з точки зору геометричних перетворень графіків.

приклад 3

Побудувати праву гілку гіперболи

Використовуємо поточечной метод побудови, при цьому, значення вигідно підбирати так, щоб ділилося без остачі:

Виконаємо креслення:

   Не важко буде побудувати і ліву гілку гіперболи, тут як раз допоможе непарність функції. Грубо кажучи, в таблиці поточечного побудови подумки додаємо до кожного числа мінус, ставимо відповідні точки і прокреслює другу гілку.

Детальну геометричну інформацію про розглянутої лінії можна знайти в статті Гіпербола і парабола.

Графік показовою функції

У цьому параграфі я відразу розгляну експонентну функцію, оскільки в задачах вищої математики в 95% випадків зустрічається саме експонента.

Нагадую, що - це ірраціональне число:, це буде потрібно при побудові графіка, який, власне, я без церемоній і побудую. Трьох точок, мабуть, вистачить:

Графік функції поки залишимо в спокої, про нього пізніше.

Основні властивості функції:

Принципово так само виглядають графіки функцій, і т. Д.

Повинен сказати, що другий випадок зустрічається на практиці рідше, але він зустрічається, тому я вважав за потрібне включити його в дану статтю.

Графік логарифмічної функції

Розглянемо функцію з натуральним логарифмом.
   Виконаємо поточечной креслення:

Якщо забулося, що таке логарифм, будь ласка, зверніться до шкільних підручників.

Основні властивості функції:

Область визначення:

Область значень:.

Функція не обмежена зверху: , Нехай і повільно, але гілка логарифма йде вгору на нескінченність.
   Досліджуємо поведінку функції поблизу нуля справа: . Таким чином, вісь є вертикальної асимптотой   для графіка функції при «ікс» прагне до нуля справа.

Обов'язково потрібно знати і пам'ятати типове значення логарифма: .

Принципово так само виглядає графік логарифма при підставі:,, (десятковий логарифм за основою 10) і т.д. При цьому, чим більше підставу, тим більше пологим буде графік.

Випадок розглядати не будемо, щось я не пригадую, коли востаннє будував графік з такою підставою. Та й логарифм начебто в задачах вищої математики дуууже рідкісний гість.

На закінчення параграфа скажу ще про один факт: Експоненціальна функція і логарифмічна функція- це дві взаємно зворотні функції. Якщо придивитися до графіка логарифма, то можна побачити, що це - та ж сама експонента, просто вона розташована трохи по-іншому.

Графіки тригонометричних функцій

З чого починаються тригонометричні муки в школі? Правильно. З синуса

Побудуємо графік функції

Дана лінія називається синусоїдою.

Нагадую, що «пі» - це ірраціональне число:, і в тригонометрії від нього в очах рябить.

Основні властивості функції:

Ця функція є періодичної  з періодом. Що це означає? Подивимося на відрізок. Ліворуч і праворуч від нього нескінченно повторюється точно такий же шматок графіка.

Область визначення:, Тобто для будь-якого значення «ікс» існує значення синуса.

Область значень:. функція є обмеженою:, Тобто, все «ігреки» сидять строго в відрізку.
   Такого не буває: або, точніше кажучи, буває, але зазначені рівняння не мають рішення.

Презентація та урок на тему:
"Гіпербола, визначення, властивість функції"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Електронні навчальні таблиці з геометрії. 7-9 класи
Електронні навчальні таблиці з алгебри. 7-9 класи "

Гіпербола, визначення

  Хлопці, сьогодні ми з вами вивчимо нову функцію і побудуємо її графік.
  Розглянемо функцію: $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k ≠ 0 $.
  Коефіцієнт $ k $ - може приймати будь-які дійсні значення, крім нуля. Для простоти почнемо розбір функції зі випадку, коли $ k \u003d 1 $.
  Побудуємо графік функції: $ y \u003d \\ frac (1) (x) $.
  Як завжди почнемо з побудови таблиці. Правда цього разу доведеться розділити нашу таблицю на дві частини. Розглянемо випадок, коли $ x\u003e 0 $.
  Нам потрібно відзначити шість точок з координатами $ (x; y) $, які наведені в таблиці і з'єднати їх лінією.
  Тепер подивимося, що у нас виходить при негативних х.   Зробимо тим же чином, відзначимо точки і з'єднаємо їх лінією.   Два шматочка графіка ми побудували, давайте об'єднаємо їх.

Графік функції $ y \u003d \\ frac (1) (x) $.
  Графік такої функції називається "Гіперболою".

властивості гіперболи

  Погодьтеся, графік виглядає досить-таки красиво, і він симетричний відносно початку координат. Якщо провести будь-яку пряму, що проходить через початок координат, з першої до третьої чверть, то вона перетне наш графік в двох точках, які будуть однаково віддалені від початку координат.
  Гіпербола складається з двох, симетричних щодо початку координат, частин. Ці частини називаються, гілками гіперболи.
  Гілки гіперболи в одному напрямку (вліво і вправо) все більше і більше прагнуть до осі абсцис, але ніколи не перетнуть її. В іншому напрямку (вгору і вниз) прагнуть до осі ординат, але також ніколи не перетнуть її (так як на нуль ділити не можна). У таких випадках, відповідні лінії називаються асимптотами. Графік гіперболи має дві асимптоти: вісь х і вісь у.

У гіперболи є не тільки центр симетрії, але і вісь симетрії. Хлопці, проведіть пряму $ y \u003d x $ і подивіться, як розділився наш графік. Можна помітити, що якщо частина, яка розташована вище прямої $ y \u003d x $, накласти на частину, яка розташовується нижче, то вони співпадуть, це і означає симетричність відносно прямої.

Ми побудували графік функції $ y \u003d \\ frac (1) (x) $, але що буде в загальному випадку $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k\u003e 0 $.
Графіки практично не відрізнятимуться. Виходитиме гіпербола з тими ж гілками, тільки чим більше $ k $, тим далі будуть видалені гілки від початку координат, а чим менше $ k $, тим ближче підходити до початку координат.

Наприклад, графік функції $ y \u003d \\ frac (10) (x) $ виглядає наступним чином.   Графік став "ширше", віддалився від початку координат.
  А як бути в разі негативних $ k $? Графік функції $ y \u003d -f (x) $ симетричний графіку $ y \u003d f (x) $ щодо осі абсцис, потрібно перевернути його "догори ногами".
  Давайте скористаємося цією властивістю і побудуємо графік функції $ y \u003d - \\ frac (1) (x) $.

  Узагальнимо отримані знання.
  Графіком функції $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k ≠ 0 $ є гіпербола, розташована в першій і третє (другої та четвертої) координатних чвертях, при $ k\u003e 0 $ ($ k

Властивості функції $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k\u003e 0 $

  1. Область визначення: все числа, крім $ х \u003d 0 $.
  2. $ y\u003e 0 $ при $ x\u003e 0 $, і $ y 3. Функція убуває на проміжках $ (- ∞; 0) $ і $ (0; + ∞) $.



  7. Область значень: $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $.

Властивості функції $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k
  1. Область визначення: все числа крім $ х \u003d 0 $.
  2. $ y\u003e 0 $ при $ x 0 $.
  3. Функція зростає на проміжках $ (- ∞; 0) $ і $ (0; + ∞) $.
  4. Функція не обмежена ні зверху, ні знизу.
  5. Найбільшого і найменшого значень немає.
  6. Функція неперервна на проміжках $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $ і має розрив в точці $ x \u003d 0 $.
  7. Область значень: $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $.

Функція записується в загальному вигляді, як y \u003d або f (x) \u003d

y і x - це обернено пропорційні величини, Тобто коли одна зростає, інша зменшується (перевірте, підставивши числа в функцію)

На відміну від попередньої функції, в якій x 2 завжди створює позитивні значення, тут ми не можемо сказати, що - \u003d, оскільки це будуть абсолютно протилежні числа. Такі функції називають непарними.

Побудуємо для прикладу графік y \u003d

Природно, x не може бути дорівнює нулю (x ≠ 0)

гілкигіперболи лежать в 1-й і 3-й частині координат.

Вони нескінченно можуть наближатися до осей абсцис і ординат і так ніколи їх не досягти, навіть якщо «x» стане дорівнює мільярду. Гіпербола буде нескінченно близько, але все ж так і не перетнеться з осями (така ось математична печалька).

Побудуємо графік для y \u003d -

І тепер гілки гіперболи знаходяться в другій і 4-й чверті частинах координатної площини.

У підсумку, між усіма гілками можна спостерігати повну симетрію.