สวัสดีที่รักนักศึกษามหาวิทยาลัย Argemona! ฉันยินดีต้อนรับคุณสู่การบรรยายครั้งต่อไปเกี่ยวกับความมหัศจรรย์ของฟังก์ชั่นและอินทิกรัล

วันนี้เราจะพูดเกี่ยวกับอติพจน์ เรามาเริ่มจากวิธีง่าย ๆ ไฮเปอร์โบลาที่ง่ายที่สุด:

ฟังก์ชั่นนี้แตกต่างโดยตรงในรูปแบบมาตรฐานมีคุณสมบัติ อย่างที่เราทราบตัวหารของเศษส่วนต้องไม่เป็นศูนย์เพราะคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์
  x ≠ 0
  จากนี้เราสรุปได้ว่าโดเมนคือทั้งจำนวนบรรทัดยกเว้นจุด 0: (-∞; 0) ∪ (0; + ∞)

หาก x มีแนวโน้มเป็น 0 ทางด้านขวา (เขียนดังนี้: x-\u003e 0+) เช่น กลายเป็นเล็กมาก แต่ยังคงเป็นบวกจากนั้นคุณจะกลายเป็นบวกที่มีขนาดใหญ่มาก (y -\u003e +.)
  หาก x มีแนวโน้มเป็น 0 ทางด้านซ้าย (x-\u003e 0-) นั่นคือ กลายเป็นโมดูโล่ขนาดเล็กมาก แต่ยังคงเป็นลบในกรณีนี้จากนั้นคุณก็จะเป็นลบ แต่โมดูโล่จะมีขนาดใหญ่มาก (y -\u003e - ∞)
  หาก x มีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์ (x -\u003e + ∞) เช่น กลายเป็นจำนวนบวกที่มีขนาดใหญ่มากจากนั้นคุณจะกลายเป็นจำนวนบวกที่น้อยลงเช่น i.e จะมีแนวโน้มที่จะเป็น 0 และยังคงเป็นบวกตลอดเวลา (y-\u003e 0+)
  หาก x มีแนวโน้มที่จะลบค่าอินฟินิตี้ (x -\u003e - ∞) เช่น มีขนาดใหญ่ในค่าสัมบูรณ์ แต่เป็นจำนวนลบดังนั้น y ก็จะเป็นจำนวนลบเสมอ แต่เล็กในค่าสัมบูรณ์ (y-\u003e 0-)

Y เช่น x ไม่สามารถรับค่า 0 มันมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เท่านั้น ดังนั้นชุดของค่าจึงเหมือนกับโดเมนของการกำหนด: (-∞; 0) ∪ (0; + ∞)

จากการพิจารณาเหล่านี้เราสามารถวาดกราฟของฟังก์ชัน

จะเห็นได้ว่าไฮเพอร์โบลาประกอบด้วยสองส่วนคือส่วนหนึ่งอยู่ในมุมพิกัดที่ 1 โดยที่ค่า x และ y เป็นค่าบวกและส่วนที่สองอยู่ในมุมพิกัดที่สามโดยที่ค่า x และ y เป็นค่าลบ
  หากเราย้ายจาก-∞ถึง + ∞เราจะเห็นว่าฟังก์ชั่นของเราลดลงจาก 0 ถึง-∞ดังนั้นจึงมีการกระโดดที่คมชัด (จาก-∞ถึง + ∞) และสาขาที่สองของฟังก์ชั่นเริ่มต้นซึ่งลดลง แต่จาก + ∞ถึง 0 นั่นคืออติพจน์นี้ลดลง

หากคุณเปลี่ยนฟังก์ชั่นเล็กน้อย: ใช้เวทย์มนตร์ของลบ

(1")

ฟังก์ชันนั้นจะย้ายจากไตรมาสประสานงานที่ 1 และ 3 อย่างน่าอัศจรรย์ไปยังไตรมาสที่ 2 และ 4 และเพิ่มมากขึ้น

จำได้ว่าเป็นฟังก์ชั่น ที่เพิ่มขึ้นถ้าสองค่า x 1 และ x 2 เป็นเช่นนั้น x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
  และฟังก์ชั่นจะเป็น ลดลงถ้า f (x 1)\u003e f (x 2) สำหรับค่าเดียวกันของ x

กิ่งก้านของอติพจน์จะเคลื่อนเข้าหาแกน แต่ไม่ข้ามมันไป เส้นดังกล่าวซึ่งกราฟของฟังก์ชั่นเข้าใกล้ แต่ไม่เคยตัดกัน assimptotoy  ฟังก์ชั่นนี้
  สำหรับฟังก์ชันของเรา (1) เส้นกำกับคือเส้นตรง x \u003d 0 (แกน OY, เส้นกำกับแนวดิ่ง) และ y \u003d 0 (แกน OX, เส้นกำกับแนวนอน)

ทีนี้เรามาดูไฮเปอร์โบลที่ง่ายที่สุดหน่อยแล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้นกับกราฟฟังก์ชั่น

(2)

เพิ่งเพิ่มค่าคงที่ "a" ในตัวส่วน การเพิ่มจำนวนลงในตัวส่วนเป็นคำที่ x หมายถึงการถ่ายโอน "โครงสร้างไฮเพอร์โบลิก" ทั้งหมด (พร้อมกับเส้นกำกับแนวดิ่ง) ไปยังตำแหน่ง (-a) ทางด้านขวาหาก a เป็นจำนวนลบและตำแหน่งไปทางซ้ายหาก เป็นจำนวนบวก

บนกราฟด้านซ้ายค่าคงที่เชิงลบจะถูกเพิ่มเข้าไปใน x (a<0, значит, -a>0) ซึ่งทำให้แผนภูมิถูกเลื่อนไปทางขวาและบนแผนภูมิขวาคือค่าคงที่บวก (a\u003e 0) เนื่องจากแผนภูมิถูกย้ายไปทางซ้าย

และเวทมนต์อะไรที่มีผลต่อการถ่ายโอน "โครงสร้างไฮเพอร์โบลิก" ขึ้นหรือลง? การเพิ่มค่าคงที่กับเศษส่วน

(3)

ตอนนี้ฟังก์ชั่นทั้งหมดของเรา (ทั้งกิ่งไม้และเส้นกำกับแนวนอน) เพิ่มตำแหน่ง b ขึ้นถ้า b เป็นจำนวนบวกและลดตำแหน่ง b ลงถ้า b เป็นจำนวนลบ

โปรดทราบว่าเส้นกำกับย้ายด้วยไฮเปอร์โบลาเช่น ไฮเปอร์โบลา (ทั้งสองกิ่ง) และทั้งสองต้องได้รับการพิจารณาว่าเป็นสิ่งก่อสร้างที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้ซึ่งเคลื่อนที่ซ้ายขวาขึ้นหรือลง มันเป็นความรู้สึกที่ดีมากเมื่อคุณสามารถทำให้ฟังก์ชั่นทั้งหมดเคลื่อนไหวไปในทิศทางใดก็ได้ด้วยการเพิ่มจำนวนที่แน่นอน ไม่มีเวทมนตร์อะไรที่คุณสามารถควบคุมได้อย่างง่ายดายและควบคุมมันตามดุลยพินิจของคุณในทิศทางที่ถูกต้อง?
  โดยวิธีการนี้คุณสามารถควบคุมการเคลื่อนไหวของฟังก์ชั่นใด ๆ ในบทเรียนต่อไปเราจะรวบรวมทักษะนี้

ก่อนที่จะถามคุณทำการบ้านฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปยังฟังก์ชั่นนี้

(4)

สาขาล่างของไฮเพอร์โบลาเลื่อนขึ้นจากมุมพิกัดที่ 3 เป็นวินาทีเพื่อไปยังมุมนั้นโดยที่ค่าของ y เป็นค่าบวกนั่นคือ สาขานี้สะท้อนให้เห็นถึงสมมาตรเกี่ยวกับแกน OX และตอนนี้เราได้ฟังก์ชั่นที่สม่ำเสมอ

"ฟังก์ชั่นคู่" หมายถึงอะไร? ฟังก์ชั่นที่เรียกว่า แม้แต่ถ้าเงื่อนไขเป็นที่พอใจ: f (-x) \u003d f (x)
  ฟังก์ชั่นที่เรียกว่า แปลกถ้าเงื่อนไขเป็นที่พอใจ: f (-x) \u003d - f (x)
  ในกรณีของเรา

(5)

ทุกฟังก์ชั่นสม่ำเสมอมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน OY เช่น แผ่นพับที่มีการออกแบบกราฟิกสามารถพับได้ตามแนวแกน OY และทั้งสองส่วนของกราฟิกนั้นตรงกันกัน

อย่างที่คุณเห็นฟังก์ชั่นนี้ยังมีสัญลักษณ์กำกับสองรายการคือแนวนอนและแนวตั้ง ฟังก์ชั่นนี้จะเพิ่มขึ้นในส่วนหนึ่งและไม่เหมือนกับฟังก์ชั่นที่พิจารณาข้างต้น

ลองทำแนวทางกราฟนี้ตอนนี้เพิ่มค่าคงที่

(6)

จำได้ว่าการเพิ่มค่าคงที่เป็นคำที่ "x" ทำให้ทั้งกราฟเคลื่อนที่ (พร้อมกับเส้นกำกับแนวดิ่ง) แนวนอนตามแนวเส้นกำกับแนวนอน (ซ้ายหรือขวาขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของค่าคงที่นี้)

(7)

และการเพิ่มค่าคงที่ b เป็นคำหนึ่งในเศษส่วนทำให้กราฟเลื่อนขึ้นหรือลง ทุกอย่างง่ายมาก!

ตอนนี้ลองทำการทดลองด้วยเวทมนตร์เช่นนี้ด้วยตัวเอง

การบ้าน 1.

แต่ละฟังก์ชั่นใช้สองฟังก์ชั่นสำหรับการทดลองของเขา: (3) และ (7)
  a \u003d ตัวเลขแรกของ LD ของคุณ
  b \u003d ตัวเลขสองหลักของ LD ของคุณ
  พยายามเข้าสู่เวทย์มนตร์ของฟังก์ชั่นเหล่านี้โดยเริ่มจากไฮเปอร์โบที่ง่ายที่สุดอย่างที่ฉันทำในบทเรียนและค่อยๆเพิ่มค่าคงที่ของฉัน คุณสามารถสร้างแบบจำลองฟังก์ชัน (7) ตามรูปแบบสุดท้ายของฟังก์ชัน (3) ระบุส่วนต่าง ๆ ของคำจำกัดความชุดของค่าเส้นกำกับ ฟังก์ชั่นการทำงาน: ลดลงเพิ่มขึ้น แม้ - แปลก โดยทั่วไปแล้วพยายามทำวิจัยเช่นเดียวกับในบทเรียน บางทีคุณอาจจะพบสิ่งอื่นที่ฉันลืมที่จะพูดถึง

โดยวิธีการทั้งสองสาขาของไฮเพอร์โบลาที่ง่ายที่สุด (1) มีความสมมาตรเทียบกับมุมแบ่งครึ่งที่ 2 และ 4 ทีนี้ลองจินตนาการว่าอติพจน์เริ่มหมุนรอบแกนนี้ เราได้รูปที่ดีที่สามารถใช้ได้

ภารกิจที่ 2. ฉันจะใช้รูปนี้ได้ที่ไหน ลองวาดรูปหมุนสำหรับฟังก์ชั่น (4) ที่สัมพันธ์กับแกนสมมาตรของมันและพิจารณาตำแหน่งที่ร่างดังกล่าวสามารถหาแอปพลิเคชันได้

จำได้ไหมว่าในตอนท้ายของบทเรียนที่แล้วเรามีเส้นตรงด้วยจุดเจาะ? และนี่คือสิ่งสุดท้าย ภารกิจ 3.
  สร้างกราฟของฟังก์ชั่นดังกล่าว:

(8)

ค่าสัมประสิทธิ์ a, b เป็นเช่นเดียวกับในงานที่ 1
  c \u003d ตัวเลขที่สามของ LD หรือ a-b ถ้า LD ของคุณเป็นตัวเลขสองหลัก
  คำแนะนำเล็กน้อย: อันดับแรกเศษส่วนที่ได้รับหลังจากการแทนที่ตัวเลขนั้นจำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้นจากนั้นคุณจะได้ไฮเปอร์โบลาปกติซึ่งคุณต้องสร้าง แต่ในที่สุดคุณจะต้องคำนึงถึงโดเมนนิยามของนิพจน์ดั้งเดิม

ความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุผลนี้เราจึงพัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีการใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใด ๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุตัวบุคคลหรือติดต่อกับเขา

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของประเภทข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราใช้ข้อมูลดังกล่าว

เรารวบรวมข้อมูลส่วนตัวใดบ้าง:

• เมื่อคุณออกจากคำขอบนเว็บไซต์เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อหมายเลขโทรศัพท์ที่อยู่อีเมลและอื่น ๆ

วิธีที่เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและรายงานข้อเสนอพิเศษโปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้งเราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งการแจ้งเตือนและข้อความที่สำคัญ
• นอกจากนี้เรายังสามารถใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อจุดประสงค์ภายในเช่นการตรวจสอบการวิเคราะห์ข้อมูลและการศึกษาต่าง ๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
• หากคุณเข้าร่วมในการจับรางวัลการแข่งขันหรือกิจกรรมส่งเสริมการขายที่คล้ายกันเราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราจะไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมายระบบศาลในกระบวนการพิจารณาคดีและ / หรือบนพื้นฐานของการสอบถามข้อมูลสาธารณะหรือการสอบถามจากหน่วยงานของรัฐในรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมสำหรับวัตถุประสงค์ด้านความปลอดภัยการรักษากฎหมายและความสงบเรียบร้อยหรือกรณีที่มีความสำคัญต่อสังคม
• ในกรณีที่มีการปรับโครงสร้างการควบรวมกิจการหรือการขายเราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่ได้รับมอบหมาย

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวังรวมถึงการบริหารทางเทคนิคและทางกายภาพเพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหายการโจรกรรมและการใช้งานที่ไม่เป็นธรรมรวมถึงการเข้าถึงการเปิดเผยการเปลี่ยนแปลงและการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การรักษาความเป็นส่วนตัวในระดับ บริษัท ของคุณ

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัยเราได้สื่อสารกฎการรักษาความลับและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและตรวจสอบการปฏิบัติตามมาตรการรักษาความลับอย่างเคร่งครัด

วัสดุวิธีการนี้มีไว้สำหรับอ้างอิงเท่านั้นและเกี่ยวข้องกับหัวข้อที่หลากหลาย บทความแสดงภาพรวมของกราฟของฟังก์ชั่นพื้นฐานและแก้ไขปัญหาที่สำคัญที่สุด - วิธีสร้างแผนภูมิอย่างรวดเร็วและรวดเร็ว. การเรียนคณิตศาสตร์ขั้นสูงโดยไม่ทราบว่ากราฟของฟังก์ชั่นพื้นฐานขั้นพื้นฐานนั้นเป็นเรื่องยากดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องจำกราฟของพาราโบลา, ไฮเพอร์โบลา, ไซน์, โคไซน์, ฯลฯ นอกจากนี้เราจะพูดถึงคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชั่นหลัก

ฉันไม่ได้แสร้งว่ามีความสมบูรณ์และความทั่วถึงทางวิทยาศาสตร์ของวัสดุสิ่งสำคัญจะถูกวางไว้ก่อนอื่นในทางปฏิบัติ - สิ่งเหล่านั้นที่ คุณต้องเผชิญอย่างแท้จริงในทุกขั้นตอนในหัวข้อของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น. แผนภูมิสำหรับหุ่น? คุณสามารถพูดได้ว่า

ตามความต้องการของผู้อ่านที่เป็นที่นิยม สารบัญคลิกได้:

นอกจากนี้ยังมีบทสรุปสั้น ๆ พิเศษในหัวข้อ
   - ต้นแบบกราฟ 16 ชนิดโดยศึกษาหน้า SIX!

อย่างจริงจังหกแม้แต่ตัวฉันเองก็รู้สึกประหลาดใจ บทสรุปนี้ประกอบด้วยกราฟิกที่ได้รับการปรับปรุงและมีให้บริการโดยมีค่าธรรมเนียมเล็กน้อยสามารถดูเวอร์ชั่นตัวอย่างได้ สะดวกในการพิมพ์ไฟล์เพื่อให้กราฟอยู่ในมือเสมอ ขอบคุณสำหรับการสนับสนุนโครงการ!

และทันทีที่เราไป:

จะสร้างแกนพิกัดได้อย่างไร

ในทางปฏิบัตินักเรียนจะทำการทดสอบกระดาษโน๊ตบุ๊คแยกจากกันในกรง ทำไมต้องตรวจสอบการทำเครื่องหมาย? โดยหลักการแล้วสามารถทำงานบนกระดาษ A4 ได้ เซลล์จำเป็นสำหรับภาพวาดการออกแบบที่มีคุณภาพสูงและแม่นยำ

การวาดกราฟฟังก์ชั่นใด ๆ เริ่มต้นด้วยแกนพิกัด.

ภาพวาดเป็นสองมิติและสามมิติ

เราพิจารณากรณีสองมิติก่อน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม:

1) เราวาดแกนพิกัด แกนเรียกว่า แกน abscissa และแกนคือ บวช . เราพยายามวาดมันเสมอ เรียบร้อยและไม่คดเคี้ยว. ลูกศรไม่ควรมีลักษณะคล้ายเคราของ Papa Carlo

2) เราลงชื่อแกนในอักษรตัวใหญ่ "X" และ "igrek" อย่าลืมเซ็นชื่อแกน.

3) เราตั้งมาตราส่วนตามแกน: วาดศูนย์และสองคน. เมื่อเรียกใช้งานรูปวาดมาตราส่วนที่สะดวกที่สุดและพบบ่อยที่สุดคือ: 1 หน่วย \u003d 2 เซลล์ (วาดทางซ้าย) - ถ้าเป็นไปได้ให้ติดกับมัน อย่างไรก็ตามบางครั้งมันเกิดขึ้นที่รูปวาดไม่พอดีกับแผ่นบันทึก - จากนั้นเราย่อขนาดลง: 1 หน่วย \u003d 1 เซลล์ (วาดทางด้านขวา) มันหายาก แต่เกิดขึ้นที่ขนาดของภาพวาดจะต้องลดลง (หรือเพิ่มขึ้น) มากยิ่งขึ้น

อย่า "เขียนลวก ๆ จากปืนกล" ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....  สำหรับระนาบพิกัดไม่ใช่อนุสาวรีย์ของ Descartes และนักเรียนไม่ใช่นกพิราบ เราใส่ ศูนย์  และ หน่วยแกนสอง. บางครั้ง แทน  หน่วยจะสะดวกในการ "ตรวจจับ" ค่าอื่น ๆ เช่น "สอง" บนแกน abscissa และ "สาม" บนแกนกำหนด - และระบบนี้ (0, 2 และ 3) จะตั้งค่าพิกัดพิกัดโดยเฉพาะ

ขนาดภาพวาดโดยประมาณเป็นภาพวาดที่ดีที่สุดก่อนการประมาณ. ตัวอย่างเช่นหากงานต้องการให้คุณวาดรูปสามเหลี่ยมด้วยจุดยอด, ก็เป็นที่ชัดเจนว่าขนาดยอดนิยม 1 หน่วย \u003d 2 เซลล์จะไม่ทำงาน ทำไม? ลองมาดูจุด - ที่นี่เราต้องวัดลงสิบห้าเซนติเมตรและเห็นได้ชัดว่ารูปวาดจะไม่พอดี (หรือแทบจะไม่พอดี) บนแผ่นโน้ตบุ้ค ดังนั้นให้เลือกขนาดที่เล็กกว่า 1 หน่วย \u003d 1 เซลล์ทันที

โดยวิธีการประมาณเซนติเมตรและเซลล์โน๊ตบุ๊ค เป็นความจริงหรือไม่ที่เซลล์ tetrad 30 เซลล์มีขนาด 15 เซนติเมตร? วัดในสมุดบันทึกสำหรับดอกเบี้ย 15 เซนติเมตรด้วยไม้บรรทัด ในสหภาพโซเวียตบางทีนี่อาจเป็นเรื่องจริง ... มันเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะทราบว่าถ้าคุณวัดเซนติเมตรเดียวกันนี้ในแนวนอนและแนวตั้งผลลัพธ์ (ในเซลล์) จะแตกต่างกัน! สมุดบันทึกที่ทันสมัยพูดอย่างเคร่งครัดไม่ได้เป็นตาหมากรุก แต่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า บางทีนี่อาจดูไร้สาระ แต่ยกตัวอย่างเช่นการวาดวงกลมที่มีวงเวียนคู่หนึ่งในสถานการณ์เช่นนั้นไม่สะดวก ตามจริงแล้วในช่วงเวลาดังกล่าวคุณจะเริ่มคิดถึงความถูกต้องของ Comrade Stalin ที่ถูกส่งไปยังค่ายกักกันเพื่อทำการแฮกที่โรงงานไม่ต้องพูดถึงอุตสาหกรรมยานยนต์ในประเทศเครื่องบินตกหรือโรงไฟฟ้าระเบิด

การพูดถึงคุณภาพหรือคำแนะนำสั้น ๆ เกี่ยวกับเครื่องเขียน วันนี้โน๊ตบุ๊คส่วนใหญ่วางขายโดยไม่พูดคำหยาบเป็นเนื้อเดียวกันอย่างสมบูรณ์ สำหรับเหตุผลที่พวกเขาเปียกและไม่เพียง แต่จากเจล แต่ยังมาจากปากกาลูกลื่น! ประหยัดกระดาษ ฉันแนะนำให้ใช้โน๊ตบุ๊คของโรงงานเยื่อกระดาษและกระดาษ Arkhangelsk (18 แผ่น, กรง) หรือ Pyaterochka สำหรับการทดสอบการลงทะเบียนถึงแม้ว่ามันจะแพงกว่าก็ตาม ขอแนะนำให้เลือกปากกาเจลแม้ว่าปากกาเจลจีนราคาถูกที่สุดจะดีกว่าปากกาลูกลื่นที่เปื้อนหรือดึงกระดาษ ปากกาลูกลื่น "ที่แข่งขันได้" ในความทรงจำของฉันคือริชกรอส เธอเขียนอย่างชัดเจนสวยงามและมั่นคง - ด้วยแกนเต็มว่าเกือบจะว่างเปล่า

นอกจากนี้: การมองเห็นของระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านสายตาของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นครอบคลุมในบทความ เส้นตรง (ไม่ใช่) การพึ่งพาของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์สำหรับข้อมูลรายละเอียดเกี่ยวกับไตรมาสประสานงานสามารถพบได้ในย่อหน้าที่สองของบทเรียน ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น.

เคสสามมิติ

เกือบทุกอย่างเหมือนกันที่นี่

1) เราวาดแกนพิกัด มาตรฐาน: แกนแอพลิเคชัน   - ชี้ขึ้น, แกน - ชี้ไปทางขวา, แกน - ซ้ายลง อย่างเคร่งครัด  ที่มุม 45 องศา

2) เราลงนามในแกน

3) เราตั้งสเกลตามแนวแกน สเกลแกน - ขนาดครึ่งหนึ่งของแกนอื่น ๆ. นอกจากนี้โปรดทราบว่าในการวาดภาพที่ถูกต้องฉันใช้ "serif" ที่ไม่ได้มาตรฐานตามแนวแกน (ความเป็นไปได้นี้ได้รับการกล่าวถึงข้างต้น). จากมุมมองของฉันมันแม่นยำยิ่งขึ้นเร็วขึ้นและสวยงามมากขึ้นคุณไม่จำเป็นต้องมองใต้กล้องจุลทรรศน์สำหรับช่วงกลางของเซลล์และ "ปั้น" หน่วยที่อยู่ถัดจากจุดกำเนิด

เมื่อทำการวาดภาพสามมิติให้ทำอีกครั้ง - ให้ความสำคัญกับขนาด
   1 หน่วย \u003d 2 เซลล์ (ภาพวาดด้านซ้าย)

กฎเหล่านี้มีไว้เพื่ออะไร? กฎมีอยู่เพื่อที่จะทำลายพวกเขา ฉันจะทำอะไรตอนนี้ ความจริงก็คือฉันจะสร้างภาพวาดของบทความที่ตามมาใน Excel และแกนพิกัดจะดูไม่ถูกต้องจากมุมมองของการออกแบบที่เหมาะสม ฉันสามารถวาดกราฟทั้งหมดด้วยมือ แต่จริง ๆ แล้ววาดพวกเขาเนื่องจาก Excel ที่ฝืนใจอย่างน่ากลัวจะวาดพวกเขาอย่างแม่นยำมากขึ้น

กราฟและคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชันเชิงเส้นกำหนดโดยสมการ กราฟฟังก์ชั่นเชิงเส้นคือ ตรง. เพื่อสร้างสายมันก็เพียงพอที่จะรู้ว่าสองจุด

ตัวอย่างที่ 1

สร้างกราฟฟังก์ชั่น หาจุดสองจุด มันเป็นข้อได้เปรียบที่จะเลือกศูนย์เป็นหนึ่งในคะแนน

ถ้าเป็นเช่นนั้น

เราหาจุดอื่นเช่น 1

ถ้าเป็นเช่นนั้น

เมื่อทำภารกิจเสร็จแล้วพิกัดของคะแนนจะถูกสรุปในตาราง:

   และค่าตัวเองจะถูกคำนวณด้วยวาจาหรือบนเครื่องคิดเลขฉบับร่าง

พบสองจุดดำเนินการตามรูปวาด:

เมื่อวาดภาพเราจะลงชื่อกราฟิกเสมอ.

มันจะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะจำกรณีเฉพาะของฟังก์ชั่นเชิงเส้น:

   สังเกตว่าฉันจัดเรียงคำบรรยายภาพอย่างไร ลายเซ็นไม่ควรเข้าใจผิดเมื่อศึกษาภาพวาด. ในกรณีนี้มันไม่พึงปรารถนาอย่างยิ่งที่จะวางลายเซ็นใกล้กับจุดตัดของเส้นหรือที่มุมล่างขวาระหว่างกราฟ

1) ฟังก์ชันเชิงเส้นของฟอร์ม () เรียกว่าสัดส่วนโดยตรง ตัวอย่างเช่น กราฟสัดส่วนโดยตรงผ่านจุดกำเนิดเสมอ ดังนั้นการสร้างเส้นจึงง่ายขึ้น - เพียงแค่หาจุดหนึ่ง

2) สมการของรูปแบบกำหนดเส้นตรงขนานกับแกนโดยเฉพาะอย่างยิ่งแกนเองได้รับจากสมการ กราฟฟังก์ชั่นถูกสร้างขึ้นทันทีโดยไม่ต้องค้นหาจุดใด ๆ นั่นคือบันทึกควรจะเข้าใจดังนี้: "เกมนี้มีค่าเท่ากับ –4 เสมอสำหรับค่าใด ๆ ของ x"

3) สมการของรูปแบบกำหนดเส้นตรงขนานกับแกนโดยเฉพาะอย่างยิ่งแกนของตัวเองถูกกำหนดโดยสมการ กราฟฟังก์ชั่นก็ถูกสร้างขึ้นทันที บันทึกควรจะเข้าใจดังนี้: "X เสมอสำหรับค่าใด ๆ ของผู้เล่นเท่ากับ 1"

บางคนจะถามว่าทำไมจำเกรด 6 ได้! ดังนั้นมันอาจเป็นเช่นนั้นในช่วงหลายปีที่ผ่านมาฉันได้พบกับนักเรียนหลายสิบคนที่รู้สึกงุนงงกับงานสร้างตารางเช่นหรือ

การสร้างเส้นตรงคือการกระทำที่พบบ่อยที่สุดเมื่อวาด

เส้นตรงจะถูกตรวจสอบอย่างละเอียดในหลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์และผู้ที่ต้องการสามารถอ้างถึงบทความ สมการของเส้นบนระนาบ.

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง, ลูกบาศก์, กราฟของพหุนาม

รูปโค้ง กราฟฟังก์ชันกำลังสอง   () เป็นรูปโค้ง พิจารณากรณีที่มีชื่อเสียง:

เรียกคืนคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชัน

ดังนั้นวิธีแก้สมการของเรา: - ณ จุดนี้ที่ส่วนบนของพาราโบลาตั้งอยู่ เหตุใดจึงเป็นเช่นนี้สามารถพบได้ในบทความเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับอนุพันธ์และบทเรียนเกี่ยวกับฟังก์ชัน extrema ในระหว่างนี้เราคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของ "เกม":

ดังนั้นจุดยอดจึงอยู่ที่จุดนั้น

ตอนนี้เราพบจุดอื่น ๆ ในขณะที่โจ่งแจ้งเราใช้สมมาตรของพาราโบลา มันควรจะสังเกตว่าฟังก์ชั่น – ไม่แม้แต่แต่อย่างไรก็ตามไม่มีใครยกเลิกสมมาตรของพาราโบลา

เพื่อที่จะหาจุดที่เหลือฉันคิดว่ามันจะชัดเจนจากตารางสุดท้าย:

อัลกอริธึมการก่อสร้างนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "กระสวย" หรือหลักการ "ไปมา" กับ Anfisa Chekhova

ลองวาดรูป:

   จากกราฟที่ตรวจสอบจะมีการเรียกคืนสัญญาณที่มีประโยชน์อื่น:

สำหรับฟังก์ชั่นสมการกำลังสอง   () สิ่งต่อไปนี้เป็นจริง:

ถ้าหากสาขาของพาราโบลาถูกชี้ขึ้น.

ถ้าหากสาขาของพาราโบลาถูกชี้ลง.

ความรู้ในเชิงลึกของเส้นโค้งสามารถรับได้ในบทเรียน Hyperbola และ Parabola

ลูกบาศก์พาราโบลาตั้งตามฟังก์ชั่น นี่คือภาพวาดที่คุ้นเคยจากโรงเรียน:

   เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน

กราฟฟังก์ชั่น

มันหมายถึงหนึ่งในกิ่งก้านของรูปโค้ง ลองวาดรูป:

   คุณสมบัติหลักของฟังก์ชั่น:

ในกรณีนี้แกนคือ เส้นกำกับแนวดิ่ง   สำหรับพล็อตไฮเปอร์โบลาที่

มันจะเป็นความผิดพลาดครั้งใหญ่ถ้าเมื่อเราวาดรูปโดยใช้ความประมาทเราอนุญาตให้จุดตัดของกราฟด้วยเส้นกำกับ

นอกจากนี้ข้อ จำกัด ด้านเดียวบอกเราว่าอติพจน์ ไม่ จำกัด จากด้านบน  และ ไม่ จำกัด จากด้านล่าง.

เราศึกษาฟังก์ชั่นที่อนันต์: นั่นคือถ้าเราเริ่มไปตามแกนซ้าย (หรือขวา) ไปจนถึงอนันต์“ เกม” จะเป็นขั้นตอนที่เรียว ปิดไม่ จำกัด  เข้าหาศูนย์และตามด้วยสาขาของไฮเพอร์โบลา ปิดไม่ จำกัด  เข้าหาแกน

ดังนั้นแกนคือ เส้นกำกับแนวนอน   สำหรับกราฟฟังก์ชั่นหาก“ X” มีแนวโน้มที่จะบวกหรือลบอนันต์

ฟังก์ชั่นคือ แปลกและดังนั้นไฮเพอร์โบลานั้นมีความสมมาตรตามที่มา ความจริงเรื่องนี้เห็นได้ชัดจากภาพวาดนอกจากนี้ยังสามารถตรวจสอบวิเคราะห์ได้อย่างง่ายดาย: .

กราฟของฟังก์ชั่นของฟอร์ม () แสดงถึงกิ่งก้านของไฮเพอร์โบลาสองสาขา.

ถ้าไฮเปอร์โบลาตั้งอยู่ในไตรมาสพิกัดที่หนึ่งและสาม  (ดูภาพด้านบน)

ถ้าอ๊อพเพอร์ตี้นั้นอยู่ในตำแหน่งพิกัดที่สองและสี่.

ความสม่ำเสมอของที่อยู่อาศัยของไฮเพอร์โบลานั้นไม่ยากที่จะวิเคราะห์จากมุมมองของการแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ

ตัวอย่างที่ 3

สร้างสาขาอติพจน์ที่เหมาะสม

เราใช้วิธีการก่อสร้างแบบจุดในขณะที่มันมีประโยชน์ในการเลือกค่าเพื่อให้พวกเขาจะถูกแบ่งออกอย่างสมบูรณ์:

ลองวาดรูป:

   มันจะไม่ยากที่จะสร้างสาขาซ้ายของไฮเปอร์โบลาความแปลกของฟังก์ชั่นจะช่วยได้ที่นี่ ในการพูดแบบคร่าวๆในตารางของการสร้างจุดในใจให้เพิ่มเครื่องหมายลบลงในแต่ละหมายเลขวางจุดที่สอดคล้องกันและวาดกิ่งที่สอง

ข้อมูลทางเรขาคณิตโดยละเอียดเกี่ยวกับเส้นภายใต้การพิจารณาสามารถพบได้ในบทความ Hyperbola และ Parabola

กราฟฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ในส่วนนี้ฉันจะพิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลังทันทีเนื่องจากในปัญหาของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นใน 95% ของกรณีมันเป็นเลขชี้กำลัง

ฉันเตือนคุณว่านี่เป็นจำนวนอตรรกยะ: มันจะต้องใช้เมื่อสร้างตารางซึ่งอันที่จริงแล้วฉันจะสร้างโดยไม่มีพิธี สามคะแนนน่าจะเพียงพอ:

ให้เราออกจากกราฟฟังก์ชั่นเพียงอย่างเดียวในภายหลัง

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชั่น:

กราฟฟังก์ชั่นมีลักษณะโดยทั่วไปเหมือนกัน ฯลฯ

ฉันต้องบอกว่ากรณีที่สองเป็นเรื่องธรรมดาในทางปฏิบัติ แต่มันเกิดขึ้นดังนั้นฉันคิดว่ามันจำเป็นต้องรวมไว้ในบทความนี้

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

พิจารณาฟังก์ชั่นด้วยลอการิทึมธรรมชาติ
   มาวาดจุดกันเถอะ:

หากคุณลืมว่าลอการิทึมนั้นคืออะไรโปรดอ้างอิงจากหนังสือเรียน

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชั่น:

ภูมิภาคกำหนด:

ช่วงของค่า:

ฟังก์ชั่นไม่ จำกัด จากด้านบน: ถึงแม้ว่าจะช้า แต่สาขาของลอการิทึมขึ้นไปไม่สิ้นสุด
   เราศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้ศูนย์ทางด้านขวา: . ดังนั้นแกนคือ เส้นกำกับแนวดิ่ง   สำหรับกราฟฟังก์ชั่นที่มี "x" พุ่งเข้าหาศูนย์ทางด้านขวา

อย่าลืมรู้และจดจำค่าทั่วไปของลอการิทึม: .

กราฟลอการิทึมนั้นมีลักษณะเหมือนกันที่ฐาน: ,, (ลอการิทึมฐานสิบอิงตามฐาน 10) เป็นต้น ยิ่งฐานใหญ่ขึ้นเท่าไหร่ตารางก็จะยิ่งอ่อนโยนเท่านั้น

เราจะไม่พิจารณากรณีนี้ฉันจำบางสิ่งไม่ได้เมื่อครั้งสุดท้ายที่ฉันสร้างตารางด้วยเหตุผลดังกล่าว และลอการิทึมดูเหมือนจะเป็นแขกที่หายากมากในปัญหาคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น

โดยสรุปฉันจะพูดอีกหนึ่งข้อเท็จจริง: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึมมีสองฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน. หากคุณดูกราฟของลอการิทึมอย่างใกล้ชิดคุณจะเห็นว่านี่เป็นเลขชี้กำลังแบบเดียวกันมันแค่อยู่ต่างกันเล็กน้อย

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติทรมานในโรงเรียนเริ่มต้นจากอะไร? ที่เหมาะสม ด้วยไซน์

เราพล็อตฟังก์ชั่น

บรรทัดนี้เรียกว่า คลื่นไซน์.

ฉันเตือนคุณว่า "pi" เป็นจำนวนอตรรกยะ: และในตรีโกณมิติจากมันจะกระเพื่อมในสายตา

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชั่น:

ฟังก์ชั่นนี้คือ เป็นระยะ  ด้วยระยะเวลา สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร ลองดูที่ส่วน ไปทางซ้ายและทางขวาของกราฟกราฟเดียวกันซ้ำทุกครั้งอย่างไม่สิ้นสุด

ภูมิภาคกำหนด: นั่นคือสำหรับค่าใด ๆ ของ "X" มีค่าไซน์

ช่วงของค่า: ฟังก์ชั่นคือ ถูก จำกัด: นั่นคือทั้งหมด "เกม" กำลังนั่งอยู่ในกลุ่มอย่างเคร่งครัด
   สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้น: หรือแม่นยำยิ่งขึ้น แต่สมการที่ระบุไม่มีวิธีแก้ปัญหา

การนำเสนอและบทเรียนในหัวข้อ:
"ออบเจกต์นิยามคุณสมบัติของฟังก์ชัน"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นคำติชมข้อเสนอแนะของคุณ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยซอฟต์แวร์ป้องกันไวรัส

คู่มือการฝึกอบรมและตัวจำลองในร้านค้าออนไลน์ "อินทิกรัล" สำหรับเกรด 8
สเปรดชีตเรขาคณิต เกรด 7-9
สเปรดชีตบนพีชคณิต เกรด 7-9

อนิยาม

  พวกวันนี้เราจะศึกษาฟังก์ชั่นใหม่และสร้างตาราง
  พิจารณาฟังก์ชั่น: $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k ≠ 0 $
  ค่าสัมประสิทธิ์ $ k $ - สามารถรับค่าจริงใด ๆ ยกเว้นศูนย์ เพื่อความง่ายเราจะทำการวิเคราะห์ฟังก์ชั่นจากเคสเมื่อ $ k \u003d 1 $
  เราเขียนฟังก์ชัน: $ y \u003d \\ frac (1) (x) $
  เช่นเคยเริ่มต้นด้วยการสร้างตาราง จริงคราวนี้เราจะต้องแบ่งตารางของเราออกเป็นสองส่วน พิจารณากรณีเมื่อ $ x\u003e 0 $
  เราต้องทำเครื่องหมายหกจุดด้วยพิกัด $ (x; y) $ ซึ่งแสดงในตารางและเชื่อมต่อกับเส้น
  ทีนี้ลองดูสิ่งที่เราได้จากลบ x   เราดำเนินการในลักษณะเดียวกันทำเครื่องหมายจุดและเชื่อมต่อกับเส้น   เราสร้างกราฟสองชิ้นมารวมกัน

กราฟของฟังก์ชัน $ y \u003d \\ frac (1) (x) $
  กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า "Hyperbole"

คุณสมบัติของอติพจน์

  เห็นด้วยกราฟดูสวยและมีความสมมาตรเกี่ยวกับที่มา หากเราวาดเส้นใด ๆ ที่ผ่านจุดกำเนิดจากไตรมาสแรกถึงไตรมาสที่สามมันจะตัดกราฟของเราที่จุดสองจุดที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน
  ไฮเปอร์โบลาประกอบด้วยสองส่วนซึ่งมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด ส่วนเหล่านี้เรียกว่าสาขาอติพจน์
  กิ่งก้านของไฮเพอร์โบลาในทิศทางเดียว (ซ้ายและขวา) พุ่งไปที่แกนแอบซิสซริสมากขึ้น ในอีกทางหนึ่ง (ขึ้นและลง) พวกเขามีแนวโน้มที่จะจัดระเบียบแกน แต่ก็ไม่เคยข้ามมัน (เพราะมันเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์) ในกรณีเช่นนี้เส้นที่เกี่ยวข้องจะถูกเรียกว่าเส้นกำกับ พล็อตไฮเปอร์โบลามีสองเส้นกำกับ: แกน x และแกน y

ไฮเพอร์โบลาไม่เพียง แต่เป็นศูนย์กลางของความสมมาตรเท่านั้น แต่ยังเป็นแกนของสมมาตรด้วย Guys วาดเส้นตรง $ y \u003d x $ และดูว่าแผนภูมิของเราถูกแบ่งออกเป็นอย่างไร มันสามารถสังเกตได้ว่าถ้าส่วนที่อยู่เหนือเส้น $ y \u003d x $ ถูกวางทับบนส่วนที่อยู่ด้านล่างพวกเขาก็ตรงซึ่งหมายความว่าสมมาตรกับเส้น

เราได้วางแผนฟังก์ชัน $ y \u003d \\ frac (1) (x) $ แต่สิ่งที่จะเกิดขึ้นในกรณีทั่วไป $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k\u003e 0 $
กราฟจะแทบแตกต่างกัน ไฮเปอร์โบลาที่มีกิ่งเดียวกันจะได้รับเพียง $ k $ ยิ่งสาขาจะถูกลบออกจากต้นกำเนิดและยิ่งน้อยกว่า $ k $ ใกล้กับจุดเริ่มต้น

ตัวอย่างเช่นกราฟของฟังก์ชัน $ y \u003d \\ frac (10) (x) $ เป็นดังนี้   กราฟได้กลายเป็น "กว้าง" ได้ย้ายออกไปจากแหล่งกำเนิด
  แต่สิ่งที่เกี่ยวกับการลบ $ k $ กราฟของฟังก์ชัน $ y \u003d -f (x) $ มีความสมมาตรกับกราฟของ $ y \u003d f (x) $ เทียบกับแกนของ abscissa คุณจะต้องคว่ำมันลง
  ลองใช้คุณสมบัตินี้และเขียนฟังก์ชัน $ y \u003d - \\ frac (1) (x) $

  สรุปความรู้ที่ได้รับ
  กราฟของฟังก์ชั่น $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k is 0 $ เป็นไฮเปอร์โบลาที่ตั้งอยู่ในไตรมาสที่หนึ่งและที่สาม

คุณสมบัติของฟังก์ชัน $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k\u003e 0 $

  1. ขอบเขต: ตัวเลขทั้งหมดยกเว้น $ x \u003d 0 $
  2. $ y\u003e 0 $ สำหรับ $ x\u003e 0 $ และ $ y 3. ฟังก์ชั่นลดลงตามช่วงเวลา $ (- ∞; 0) $ และ $ (0; + ∞) $



  7. ช่วงของค่า: $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $

คุณสมบัติของฟังก์ชัน $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k
  1. ขอบเขต: ตัวเลขทั้งหมดยกเว้น $ x \u003d 0 $
  2. $ y\u003e 0 $ สำหรับ $ x 0 $
  3. ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา $ (- ∞; 0) $ และ $ (0; + ∞) $
  4. ฟังก์ชั่นไม่ จำกัด ทั้งจากด้านบนและด้านล่าง
  5. ไม่มีค่ามากที่สุดหรือน้อยที่สุด
  6. ฟังก์ชันต่อเนื่องตามช่วงเวลา $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $ และมีความไม่ต่อเนื่องที่จุด $ x \u003d 0 $
  7. ช่วงของค่า: $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $

ฟังก์ชั่นถูกเขียนในรูปแบบทั่วไปเป็น y \u003d หรือ f (x) \u003d

y และ x คือ ค่าสัดส่วนแปรผกผันเช่น เมื่อมีคนโตขึ้นอีกคนหนึ่งจะลดลง (ตรวจสอบโดยการแทนตัวเลขในฟังก์ชัน)

ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชั่นก่อนหน้านี้ซึ่ง x 2 สร้างค่าบวกเสมอที่นี่เราไม่สามารถพูดได้ว่า - \u003d เนื่องจากสิ่งเหล่านี้จะเป็นตัวเลขที่ตรงกันข้าม ฟังก์ชั่นดังกล่าวเรียกว่า แปลก.

ตัวอย่างเช่นพล็อต y \u003d

โดยธรรมชาติแล้ว x ไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ (x ≠ 0)

สาขาไฮเปอร์โบลาอยู่ในส่วนที่ 1 และ 3 ของพิกัด

พวกเขาสามารถเข้าใกล้แกนของโรงสวดและศาสนพิธีอย่างไม่มีที่สิ้นสุดและไม่สามารถเข้าถึงพวกเขาได้แม้ว่า "x" จะกลายเป็นพันล้าน อติพจน์จะปิดไม่สิ้นสุด แต่ก็จะไม่ตัดกับแกน (เช่นความโศกเศร้าทางคณิตศาสตร์)

เราวางแผนสำหรับ y \u003d -

และตอนนี้กิ่งของไฮเปอร์โบลาอยู่ในไตรมาสที่สองและสี่ของระนาบพิกัด

เป็นผลให้ระหว่างสาขาทั้งหมดหนึ่งสามารถสังเกตความสมมาตรสมบูรณ์