Convexitatea ansamblului tehnologic al unui element înseamnă. Teoria manuală a comportamentului consumatorului. Tehnologia eficientă a stabilit limite
Caracteristicile proceselor de inflație în Rusia modernă.
1. Conceptul de producție și PF. Set de productie.
2. Problema maximizării profitului
3. Echilibrul producătorului. Progres tehnic
4. Problemă de minimizare a costurilor.
5. Agregarea în teoria producţiei. Echilibrul firmei și industriei în perioada d/s
(in mod independent) propunere de firme competitive cu obiective alternative
Productie– activitățile care vizează producerea cantității maxime de bunuri materiale depind de numărul de factori de producție utilizați, specificat de aspectul tehnologic al producției.
Orice proces tehnologic poate fi reprezentat folosind un vector de ieșiri nete, pe care îl vom nota cu y. Dacă, conform acestei tehnologii, o companie produce produsul i-lea, atunci coordonata i-a a vectorului y va fi pozitivă. Dacă, dimpotrivă, produsul i-lea este cheltuit, atunci această coordonată va fi negativă. Dacă un anumit produs nu este consumat și produs conform acestei tehnologii, atunci coordonatele corespunzătoare vor fi egale cu 0.
Vom numi mulțimea tuturor vectorilor accesibili din punct de vedere tehnologic ai producției nete pentru o firmă dată setul de producție al firmei și îl vom nota Y.
Proprietățile seturilor de producție:
1. Setul de producție nu este gol, adică. Cel puțin un proces tehnologic este disponibil pentru companie.
2. Setul de producție este închis.
3. Absența unei „cornucopia”: dacă y 0 și y ∊Y, atunci y=0. Nu poți produce ceva fără a cheltui nimic (nu y<0, т.е. ресурсов).
4. Posibilitate de inacțiune (lichidare): 0∊Y. în realitate, pot exista costuri nefondate.
5. Libertatea de a cheltui: y∊Y și y` y, apoi y`∊Y. Setul de producție include nu numai tehnologii optime, ci și tehnologii cu un consum mai mic de producție/resurse.
6. ireversibilitate. Dacă y∊Y și y 0, atunci –y Y. Dacă din 2 unități din primul bun este posibil să se producă 1 din al doilea, atunci procesul invers nu este posibil.
7. Convexitate: dacă y`∊Y, atunci αy + (1-α)y` ∊ Y pentru toate α∊. Convexitate strictă: pentru toate α∊(0,1). Proprietatea 7 vă permite să combinați tehnologii pentru a obține alte tehnologii disponibile.
8. Revenirea la scară:
Dacă, în termeni procentuali, volumul factorilor utilizați s-a modificat cu ∆ N, iar modificarea corespunzătoare a producției a fost ∆Q, atunci apar următoarele situații:
- ∆N = ∆Q există un randament proporțional (o creștere a numărului de factori a dus la o creștere corespunzătoare a producției)
- ∆ N< ∆Q există randamente în creștere (economii de scară pozitive) – i.e. producția a crescut într-o proporție mai mare decât a crescut numărul de factori consumați
- ∆N > ∆Q există randamente descrescătoare (dezeconomii de scară) – i.e. o creștere a costurilor duce la o creștere procentuală mai mică a producției
Economiile de scară sunt relevante pe termen lung. Daca o crestere a scarii productiei nu duce la o modificare a productivitatii muncii, avem de-a face cu randamente constante la scara. Rentabilitatea la scară în scădere este însoțită de o scădere a productivității muncii, în timp ce randamentele crescătoare sunt însoțite de o creștere.
Dacă setul de bunuri care sunt produse este diferit de setul de resurse care sunt utilizate și este produs un singur produs, atunci setul de producție poate fi descris folosind o funcție de producție.
Funcția de producție(PF) - reflectă relația dintre producția maximă și o anumită combinație de factori (muncă și capital) și la un anumit nivel de dezvoltare tehnologică a societății.
Q=f(f1,f2,f3,...fn)
unde Q este producția firmei pentru o anumită perioadă de timp;
fi este cantitatea i-a resursă utilizată în producția de produse;
De obicei, există trei factori de producție: muncă, capital și materiale. Ne vom limita la analiza a doi factori: munca (L) si capitalul (K), apoi functia de productie ia forma: Q =f(K, L).
Tipurile de PF pot varia în funcție de natura tehnologiei și pot fi prezentate în trei tipuri:
Un PF liniar de forma y = ax1 + bx2 este caracterizat de randamente constante la scară.
Leontief PF - în care resursele se completează reciproc, combinația lor este determinată de tehnologie, iar factorii de producție nu sunt interschimbabili.
PF Cobb-Douglas– o funcție în care factorii de producție utilizați au proprietatea de a fi interschimbabili. Vedere generală a funcției:
Unde A este coeficientul tehnologic, α este coeficientul de elasticitate a muncii și β este coeficientul de elasticitate a capitalului.
Dacă suma exponenților (α + β) este egală cu unu, atunci funcția Cobb-Douglas este liniar omogenă, adică demonstrează randamente constante atunci când scara producției se modifică.
Funcția de producție a fost calculată pentru prima dată în anii 1920 pentru industria prelucrătoare din SUA, sub forma egalității.
Pentru Cobb-Douglas PF:
1. Din moment ce a< 1 и b < 1, предельный продукт каждого фактора меньше среднего продукта (МРК < АРК и MPL < APL).
2. Deoarece derivatele secunde ale funcției de producție pentru muncă și capital sunt negative, se poate argumenta că această funcție este caracterizată printr-un produs marginal descrescător atât al muncii cât și al capitalului.
3. Pe măsură ce valoarea MRTSL scade, K scade treptat. Aceasta înseamnă că izocuantele funcției de producție au o formă standard: sunt izocuante netede cu pantă negativă, convexe față de origine.
4. Această funcție este caracterizată printr-o elasticitate de substituție constantă (egală cu 1).
5. Funcția Cobb-Douglas poate caracteriza orice tip de revenire la scară, în funcție de valorile parametrilor a și b
6. Funcția luată în considerare poate servi pentru a descrie diferite tipuri de progres tehnic.
7 Parametrii legii puterii ai funcției sunt coeficienții elasticității producției în raport cu capitalul (a) și munca (b), astfel încât ecuația pentru rata de creștere a producției (8.20) pentru funcția Cobb-Douglas ia forma GQ = Gz + aGK + bGL. Parametrul a, astfel, caracterizează „contribuția” capitalului la creșterea producției, iar parametrul b caracterizează „contribuția” muncii.
PF se bazează pe o serie de „funcții de producție”. Acestea se referă la efectul producției în trei cazuri: (1) o creștere proporțională a tuturor costurilor, (2) o modificare a structurii costurilor cu producție constantă, (3) o creștere a unui factor de producție cu restul neschimbat. cazul (3) se referă la perioada de scurtă durată.
Funcția de producție cu un factor variabil are forma:
Vedem că cea mai eficientă modificare a factorului variabil X se observă pe segmentul de la punctul A la punctul B. Aici produsul marginal (MP), după ce a atins valoarea maximă, începe să scadă, produsul mediu (AP) tot crește. , produsul total (TP) primește cea mai mare creștere.
Legea randamentelor descrescatoare(legea produsului marginal descrescător) - definește o situație în care realizarea anumitor volume de producție duce la o scădere a producției de produse finite pe unitatea de resursă introdusă suplimentar.
De obicei, un anumit volum poate fi produs prin diferite metode de producție. Acest lucru se datorează faptului că factorii de producție sunt interschimbabili într-o anumită măsură. Este posibil să se tragă izocuante corespunzătoare tuturor metodelor de producție necesare pentru a produce un anumit volum. Ca rezultat, obținem o hartă izocuantă, care caracterizează relația dintre toate combinațiile posibile de intrări și niveluri de ieșire și, prin urmare, este o ilustrare grafică a funcției de producție.
izocuanta ( linia de producție egală - izocuanta) – o curbă care reflectă toate combinațiile de factori de producție care asigură aceeași producție.
Un set de izocuanți, fiecare dintre ele indicând rezultatul maxim obținut prin utilizarea anumitor combinații de resurse, se numește hartă izocuantă. Cu cât izocuanta este mai departe de origine, cu atât mai multe resurse sunt implicate în metodele de producție situate pe ea și cu atât dimensiunile de ieșire care sunt caracterizate de această izocuanta sunt mai mari (Q3> Q2> Q1).
Izocuanta și forma sa reflectă dependența specificată de PF. Pe termen lung, există o anumită complementaritate reciprocă (completitudine) a factorilor de producție, cu toate acestea, fără o scădere a producției, este de asemenea probabilă o anumită interschimbabilitate a acestor factori de producție. Astfel, se pot folosi diverse combinații de resurse pentru a produce un bun; este posibil să se producă acest bun folosind mai puțin capital și mai multă muncă și invers. În primul caz, producția este considerată eficientă din punct de vedere tehnic în comparație cu al doilea caz. Cu toate acestea, există o limită la cât de multă muncă poate fi înlocuită cu mai mult capital fără a reduce producția. Pe de altă parte, există o limită a utilizării muncii manuale fără utilizarea mașinilor. Vom lua în considerare izocuanta din zona de substituție tehnică.
Nivelul de interschimbabilitate al factorilor este reflectat de indicator rata maximă de înlocuire tehnică. – proporția în care un factor poate fi înlocuit cu altul menținând același volum de ieșire; reflectă panta izocuantei.
MRTS=- ∆K / ∆ L = MP L / MP K
Pentru ca producția să rămână neschimbată atunci când se modifică cantitatea de factori de producție utilizată, cantitățile de muncă și de capital trebuie să se schimbe în direcții diferite. Dacă suma capitalului scade (AK< 0), то количество труда должно увеличиваться (AL >0). Între timp, rata marginală de substituție tehnică este pur și simplu proporția în care un factor de producție poate fi înlocuit cu altul și, ca atare, este întotdeauna o cantitate pozitivă.
Să continuăm studiul modelelor de creștere economică echilibrată la un nivel mai general și să trecem la modele de bunăstare economică apropiate acestora. Acestea din urmă, ca și modelele de creștere, aparțin modelelor normative.
Când vorbim despre economia bunăstării, ne referim la dezvoltarea ei atunci când toți consumatorii ating în mod uniform maximul de utilitate. Cu toate acestea, în practică, o astfel de situație ideală apare destul de rar, deoarece bunăstarea unora este adesea obținută în detrimentul deteriorării stării altora. Prin urmare, este mai realist să vorbim despre un nivel de distribuție a mărfurilor când niciun consumator nu își poate crește bunăstarea fără a leza interesele altor consumatori.
Dacă, de-a lungul traiectoriei creșterii de echilibru, niciun consumator, ca nici un producător, nu poate cumpăra mai mult fără costuri suplimentare (fără profit în echilibru), atunci când economia se dezvoltă pe traiectoria unei astfel de „bunăstare”, niciun consumator nu poate deveni mai bogat fără a deveni mai sărac în acelaşi timp altul.
Din secțiunea anterioară rezultă că luarea în considerare a factorilor temporari în modelele matematice ale economiei ajută la descoperirea unei legături complet logică între procesele economice și creșterea naturală a capacităților de producție și de consum. În cadrul modelelor liniare, în anumite ipoteze, rata unei astfel de creșteri este egală cu procentul de capital, iar procesul corespunzător de expansiune economică se caracterizează printr-o creștere echilibrată a intensității producției tuturor produselor și o scădere echilibrată a prețurilor acestora. În această secțiune, vom formula un model dinamic general de producție, acoperind modelele liniare discutate anterior ca cazuri speciale și vom studia problemele creșterii echilibrate în acesta.
Generalitatea modelului considerat aici este că procesul de producție este descris nu prin funcția de producție în general și prin funcția de producție liniară (ca în modelele Leontief și Neumann) în special, ci folosind așa-numita set tehnologic.
Set tehnologic(să-l notăm prin simbolul ) - acesta este ansamblul transformărilor economice când producția de produse la costuri este posibilă tehnologic dacă și numai dacă . Perechea este numită proces de producție, prin urmare setul reprezintă ansamblul tuturor proceselor de producție posibile cu o tehnologie dată. De exemplu, în modelul Leontiev setul tehnologic j-a industrie are forma 
unde este producția brută j-al-lea produs și - j coloana a matricei tehnologiei A. Prin urmare, setul tehnologic din modelul lui Leontiev în ansamblu este 
iar în modelul Neumann - 
Procesul de producție, în general, poate conține produse care sunt atât consumate, cât și eliberate (de exemplu, combustibili și lubrifianți, făină, carne etc.). În modelele economice și matematice, pentru o mai mare generalitate, se presupune adesea că fiecare produs poate fi atât consumat, cât și produs (de exemplu, în modelele Leontiev și Neumann). În acest caz vectorii XȘi y au aceeași dimensiune și componentele lor corespunzătoare reprezintă aceleași produse.
Fie volumul consumat i--lea produs și este volumul său de ieșire. Apoi se numește diferența eliberare netăîn curs . Prin urmare, în locul procesului de producție, este adesea considerat vectorul producției nete, caracterizând această diferență ca curgere(sau intensitate), adică cantitatea producției nete pe unitatea de timp. În acest caz, setul tehnologic este înțeles ca ansamblul tuturor ieșirilor pure posibile. iar vectorul este numit proces cu fir.
Să enumerăm câteva proprietăți ale mulțimii tehnologice, care sunt o reflectare a legilor fundamentale ale producției.
Diferite procese de producție pot fi comparate atât din punct de vedere al eficienței, cât și al profitabilității.
Se spune că un proces este mai eficient decât un proces dacă , . Procesul este numit efectiv, cu excepția cazului în care conține procese mai eficiente decât .
Să fie un vector de preț. Ei spun că procesul mai profitabil decât procesul dacă valoarea nu este mai mică decât valoarea .
Aceste două opțiuni pentru evaluarea naturală și a costurilor proceselor se dovedesc a fi practic echivalente.
Teorema 6.1. Să fie un set tehnologic. Atunci a) dacă, având în vedere vectorul preț, procesul maximizează profitul pe mulțime, atunci este un proces eficient; b) dacă u este convex și este un proces eficient, atunci există un vector preț astfel încât profitul atinge un maxim la
Să determinăm structura setului tehnologic pentru acele modele care iau în considerare factorul timp. Să considerăm o perioadă de planificare cu puncte discrete. Să fie economia caracterizată de un stoc de bunuri într-un an (adică la începutul perioadei de planificare) 
În acest caz, se spune că economia este într-o stare de . Până la sfârșitul perioadei, economia ajunge într-o stare diferită, care este predeterminată de starea anterioară. În acest caz, ei spun că procesul de producție a fost implementat acolo unde este un anumit set tehnologic. Aici vectorul este considerat ca fiind costuri suportate la începutul perioadei, iar producția corespunzătoare acestor costuri, produsă cu un decalaj de timp de un an. La următoarele etape de producție avem 
etc. În acest fel se realizează dinamica dezvoltării economice. O astfel de mișcare economică se autosusține, deoarece produsele din sistem sunt reproduse fără niciun aflux din exterior.
Secvența finită de vectori se numește traiectorie economică acceptabilă(descris de setul tehnologic Z) pe un interval de timp dacă fiecare pereche a celor doi membri consecutivi ai săi aparține mulțimii Z, adică 
Să notăm prin mulțimea tuturor traiectoriilor admisibile pe intervalul corespunzător stării inițiale
Lăsa 
Se spune că traiectoria este mai eficientă decât dacă este numită Traiectoria traiectorie eficientă, dacă nu conține o traiectorie mai eficientă decât . Traiectoria se numește mai profitabil decât dacă 
Făcând clic pe butonul „Descărcați arhiva”, veți descărca gratuit fișierul de care aveți nevoie.
Înainte de a descărca acest fișier, gândiți-vă la acele eseuri bune, teste, lucrări, disertații, articole și alte documente care se află nerevendicate pe computerul dvs. Aceasta este munca ta, ar trebui să participe la dezvoltarea societății și să beneficieze oamenii. Găsiți aceste lucrări și trimiteți-le la baza de cunoștințe.
Noi și toți studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vom fi foarte recunoscători.
Pentru a descărca o arhivă cu un document, introduceți un număr de cinci cifre în câmpul de mai jos și faceți clic pe butonul „Descărcați arhiva”
Documente similare
Esența costurilor de producție, clasificarea lor. Principalele direcții de reducere a costurilor de producție. Esența economică și funcțiile profitului. Cheltuieli de exploatare si neexploatare. Studierea relației dintre costurile de producție și profiturile întreprinderii.
lucrare de curs, adăugată 24.05.2014
Subiectul și funcțiile teoriei economice. Produsul și proprietățile acestuia. Principiile utilităţii marginale. Teoria banilor a lui K. Marx. Conceptul de lichiditate, costuri și venituri ale unei companii. Tipuri și caracteristici ale competiției. Modelul cererii și ofertei agregate. Impozite, funcțiile lor.
cheat sheet, adăugată la 01.11.2011
Subiect de teorie economică, structură și funcții. Legile economice și clasificarea lor. Teoria valorii muncii. Produsul și proprietățile acestuia. Natura duală a muncii întruchipată într-un produs. Valoarea produsului. Legea valorii și funcțiile sale.
cheat sheet, adăugată 22.10.2009
Problemele costurilor de producție ca subiect de cercetare de către economiști. Esența costurilor de producție și tipurile acestora. Rolul profitului în dezvoltarea antreprenoriatului. Esența și funcțiile profitului, tipurile sale. Rentabilitatea întreprinderii și indicatorii săi.
lucrare curs, adaugat 28.11.2012
Esența și semnificația creșterii economice. Tipuri și metode de măsurare a creșterii economice. Proprietățile de bază ale funcției Cobb-Douglas. Indicatori și modele de creștere economică. Factori care constrâng creșterea economică. Funcția derivată și proprietățile acesteia.
lucrare de curs, adăugată 26.06.2012
Esența și principalele funcții ale profitului. Eficiența economică a modernizării echipamentelor tehnologice și utilizarea tehnologiilor inovatoare în repararea suprafețelor drumurilor. Rezerve pentru creșterea profitului într-o organizație de construcții.
teză, adăugată 07.04.2013
Esența profitului în știința economică: concept, tipuri, forme, metode de planificare. Esența metodei de numărare directă, calcul combinat. Principalele modalități de creștere a profiturilor la întreprinderile rusești în condiții moderne. Relația dintre salarii și profit.
lucrare curs, adăugată 18.12.2017
Caracterizat prin variabile care participă activ la schimbarea funcției de producție (capital, teren, muncă, timp). Progresul tehnic neutru este determinat de astfel de schimbări tehnice (autonome sau materiale) care nu deranjează echilibrul, adică sigure din punct de vedere economic și social pentru societate. Să ne imaginăm toate acestea sub forma unei diagrame (vezi diagrama 4.1.).
Sunt luate în considerare principalele modele standard de optimizare a activităților de producție ale unei companii cu un set tehnologic liniar, modele statistice și dinamice de planificare a investițiilor în producție, aspecte de analiză economică și matematică a deciziilor de afaceri bazate pe utilizarea aparatului de evaluări duale. Sunt prezentate principalele abordări ale problemei evaluării calității investițiilor în producție, precum și metode și indicatori de evaluare a eficacității acestora.
Să luăm în considerare cazul, care este foarte important pentru aplicațiile de model, când mulțimea tehnologică a unui sistem de producție este o mulțime liniară convexă, adică modelul de producție se dovedește a fi liniar.
Cometariu. Împreună, ipotezele 2.1 și 2.2 înseamnă că mulțimea tehnologică este un con convex. Ipoteza 2.3, care evidențiază tehnologiile liniare, înseamnă că acest con este un poliedru convex într-un semi-spațiu
Este posibil să spunem că în zona economică a unei companii cu un set tehnologic liniar, funcția de producție este monotonă.Cum este raportată definiția funcției de producție cu criteriul de optimitate în problema Kantorovich?
Relația (3.26) face posibilă indicarea unui tip specific de funcție de producție pentru un model de sistem de producție cu un set tehnologic liniar (modelul (1.1)-(1.6) considerat mai sus)
Setul tehnologic general al unui element de producție poate fi obținut ca urmare a combinării tuturor vectorilor de intrare-ieșire acceptabili din punct de vedere al condițiilor (2.1.2) și (2.1.3)
Descrierea ansamblului tehnologic al unui element unic produs dată în paragraful anterior este cea mai simplă. Luarea în considerare a proprietăților suplimentare ale tehnologiei unui element duce la necesitatea suplimentării acestuia cu o serie de caracteristici. Ne vom uita la unele dintre ele în acest paragraf. Desigur, considerentele de mai sus nu epuizează toate posibilitățile disponibile în această direcție.
Model de producție convex separabil. Luarea în considerare a factorului de neliniaritate în modelul constrângerilor de producție descris în exemplul anterior conduce la un model separabil neliniar al unui element multi-produs. Neliniaritatea este luată în considerare prin introducerea de funcții de producție separabile neliniare. Ansamblul tehnologic al unui element multiprodus cu astfel de funcții de producție are forma
În modelele tehnologice considerate ale elementelor de producție, descrierea ansamblului tehnologic este dată prin specificarea unui set de costuri acceptabile și a unui set de rezultate acceptabile pentru fiecare nivel de cost. Descrierile de acest fel sunt convenabile în probleme precum alocarea optimă a resurselor, în care, pentru niveluri date de consum de resurse, este necesar să se determine nivelurile de ieșire acceptabile și cele mai eficiente (în sensul unuia sau altui criteriu). În același timp, în practică (mai ales într-o economie planificată) există și un fel de problemă inversă, când nivelul de producție al elementelor este specificat de plan și este necesar să se determine nivelurile acceptabile și minime ale costurilor de elementele. Problemele de acest fel pot fi numite convențional probleme de implementare optimă a programului de producție planificat. În astfel de probleme, este convenabil să se aplice succesiunea inversă a descrierii setului tehnologic al unui element de producție, mai întâi specificând setul U de ieșiri admisibile și g = U, iar apoi pentru fiecare nivel acceptabil de ieșire - mulțimea V (și) a costurilor admisibile v E = V (şi).
Mulțimea tehnologică generală Y a elementului de producție are forma
În fig. 3.4 această constrângere este satisfăcută de toate punctele ansamblului tehnologic situat deasupra segmentului EC sau situat pe acesta.
În cea mai mare parte, materialul 4.21 este, de asemenea, original. În cadrul lucrărilor a fost efectuată o evaluare a eficacității mecanismelor de piață care asigură existența unui control unificat al echilibrului. Materialul 4.21 este o extensie a acestor lucrări. Luarea în considerare a schemei de licitație în sistemul pieței se realizează conform. Un model cunoscut, considerat ca exemplu în acest paragraf, este modelul economiei de piață. O discuție detaliată despre aceasta poate fi găsită, de exemplu, în lucrări. În 4.21 am presupus că există un echilibru de piață. După cum arată schema de licitație într-un sistem de piață, această situație poate să nu fie întotdeauna cazul. Luarea în considerare a aspectelor legate de existența echilibrului în modelele de piață este una dintre problemele centrale ale economiei matematice. În raport cu modelele economice competitive, existența echilibrului a fost stabilită de o serie de autori sub diferite ipoteze. De obicei, dovada presupune convexitatea funcțiilor de utilitate (sau preferințelor) consumatorilor și a seturilor tehnologice ale producătorilor. Este dată o generalizare a modelului Arrow-Debreu pentru cazul unui continuum de jucători. În același timp, a fost posibil să se abandoneze ipotezele cu privire la convexitatea funcțiilor de preferință a consumatorilor.
Fiecare producător (firmă) j se caracterizează printr-o mulțime tehnologică Y. - un set de vectori l-dimensionali realizabili din punct de vedere tehnologic ai costurilor - producție, componentele lor pozitive corespund cantităților produse, iar cele negative corespund cantităților cheltuite. Se presupune că producătorul alege vectorul input-output astfel încât să obțină profit maxim. În același timp, el, ca și consumatorul, nu încearcă să influențeze prețurile, acceptându-le ca date. Astfel, alegerea sa este o soluție la următoarea problemă
Din (16) urmează și axioma slabă a preferinței revelate. Inegalitatea (16) este cu siguranță satisfăcută dacă cererea fiecărui consumator este strict monotonă și nu sunt impuse cerințe speciale ansamblurilor tehnologice. Sunt prezentate o interpretare a condiției de monotonitate și o serie de rezultate aferente. Pentru funcțiile de cerere în exces netedă, unicitatea echilibrului este asigurată și de condiția unei diagonale dominante. Această condiție înseamnă că modulul derivatului cererii pentru fiecare produs la prețul acestui produs este mai mare decât suma modulelor tuturor derivatelor cererii pentru același
Modelul producatorului. La alegerea volumelor de producție yj = y к, fiecare firmă j e J este limitată de setul său tehnologic YJ cu 1R1. Aceste seturi de tehnologii admisibile pot fi specificate, în special, sub forma funcțiilor de producție (implicite) fj(yj) YJ = УЗ e Rl /,(%) > 0. O altă reprezentare convenabilă (când se produce un singur bun h) este sub forma unei funcții de producție explicite y 0.
Setul tehnologic și proprietățile sale
SET TEHNOLOGIC - vezi Set de producție, Metoda tehnologică.
Vom lua în considerare o descriere a unui tip specific de set tehnologic pentru un element de producție care consumă mai multe tipuri de inputuri și produce produse de un singur tip (element de producție cu un singur produs). Vectorul de stare al unui astfel de element are forma yt- (vtl, adică,..., v. x, ut). Un mod binecunoscut de a descrie ansamblul tehnologic al unui element de produs unic se bazează pe conceptul de funcție de producție și este după cum urmează.
De obicei, se presupune că mulțimea tehnologică a unui element este o submulțime convexă, închisă, a spațiului euclidian Eth de dimensiunea m O E Y d Em care conține elementul zero.
Metodele de reprezentare a seturilor tehnologice de elemente de producție discutate în paragraful anterior caracterizează proprietățile acestora, dar nu specifică în mod explicit descrierea. Pentru elementele de producție cu un singur produs, o descriere explicită a setului tehnologic poate fi specificată folosind conceptul de funcție de producție. În 1.2 am atins deja acest concept și utilizarea lui, în această secțiune vom continua să luăm în considerare aceste aspecte.
Utilizarea funcțiilor de producție cu un singur produs pentru a descrie setul tehnologic al unui element cu mai multe produse. Dacă un element cu mai multe produse produce anumite tipuri de produse, în timp ce consumă tipuri de intrări /gevx, atunci vectorii săi de intrare și de ieșire au forma v = (i>i, vz,..., Vy x) și u = (m1g). w2,... . , respectiv itvykh).
Ea corespunde unei părți din mulțimea tehnologică, limitată de triunghiul curbat AB (marcat cu umbrire în Fig. 3.4).
Modelul Arrow-Deb-re-McKsnzie al unei economii descentralizate. Modelul general al unei economii descentralizate descrie producția, consumul și descentralizat
2. Seturi de producție și funcții de producție
2.1. Seturi de producție și proprietățile acestora
Să luăm în considerare cel mai important participant la procesele economice - un producător individual. Producătorul își realizează obiectivele doar prin intermediul consumatorului și, prin urmare, trebuie să ghicească, să înțeleagă ce vrea și să-și satisfacă nevoile. Vom presupune că există n bunuri diferite, cantitatea celui de-al n-lea produs se notează cu x n, apoi un anumit set de bunuri este notat cu X = (x 1, ..., x n). Vom lua în considerare numai cantități nenegative de bunuri, astfel încât x i 0 pentru orice i = 1, ..., n sau X > 0. Mulțimea tuturor mulțimilor de bunuri se numește spațiul bunurilor C. O mulțime de bunurile pot fi tratate ca un coș în care aceste bunuri se află în cantități adecvate.
Fie economia să funcționeze în spațiul bunurilor C = (X = (x 1, x 2, …, x n): x 1, …, x n 0). Spațiul produs este format din vectori n-dimensionali nenegativi. Să considerăm acum un vector T de dimensiunea n, ale cărui prime m componente sunt nepozitive: x 1, …, x m 0, iar ultimele (n-m) componente sunt nenegative: x m +1, …, x n 0. Vector X = (x 1,…, x m ) să numim vector de cost, iar vectorul Y = (x m+1 , …, x n) – vector de eliberare. Să numim vectorul T = (X,Y) vector de intrare-ieșire sau tehnologie.
În sensul său, tehnologia (X,Y) este o modalitate de procesare a resurselor în produse finite: prin „amestecarea” resurselor în cantitate de X, obținem produse în cantitate de Y. Fiecare producător specific este caracterizat de un anumit set τ de tehnologii, care se numește set de productie. Un set umbrit tipic este prezentat în Fig. 2.1. Acest producător folosește un produs pentru a produce altul.
Orez. 2.1. Set de productie
Setul de producție reflectă amploarea capacităților producătorului: cu cât este mai mare, cu atât capacitățile sale sunt mai largi. Setul de producție trebuie să îndeplinească următoarele condiții:
este închis - asta înseamnă că, dacă vectorul de intrare-ieșire T este aproximat la fel de precis pe cât se dorește de vectorii din τ, atunci T aparține și lui τ (dacă toate punctele vectorului T se află în τ, atunci Tτ vezi Fig. 2,1 punctele C și B) ;
în τ(-τ) = (0), adică dacă Tτ, T ≠ 0, atunci -Tτ – costurile și producția nu pot fi schimbate, adică producția este un proces ireversibil (mult – τ este în al patrulea cadran , unde y este 0);
mulţimea este convexă, această ipoteză duce la o scădere a randamentului resurselor prelucrate cu o creştere a volumelor de producţie (la o creştere a ratei cheltuielilor cu produsele finite). Deci, din fig. 2.1 este clar că y/x scade pe măsură ce x -. În special, ipoteza convexității conduce la o scădere a productivității muncii pe măsură ce producția crește.
Adesea, convexitatea pur și simplu nu este suficientă și atunci este necesară o convexitate strictă a setului de producție (sau a unei părți a acestuia).
2.2. Curba posibilităților de producție
și costuri de oportunitate
Conceptul de producție pus în discuție se distinge printr-un grad ridicat de abstractizare și, datorită generalității sale extreme, este de puțin folos pentru teoria economică.
Luați în considerare, de exemplu, Fig. 2.1. Să începem cu punctele B și C. Costurile pentru aceste tehnologii sunt aceleași, dar rezultatul este diferit. Producătorul, dacă nu este lipsit de bun simț, nu va alege niciodată tehnologia B, deoarece există o tehnologie C mai bună. În acest caz (vezi Fig. 2.1), găsim pentru fiecare x 0 punctul cel mai înalt (x, y). ) în setul de producţie . Evident, la costul x, tehnologia (x, y) este cea mai bună. Nicio tehnologie (x, b) cu funcția de producție b. Definiția exactă a funcției de producție:
Y = f(x)(x, y) τ, iar dacă (x, b) τ și b y, atunci b = x .
Din fig. 2.1 este clar că pentru orice x 0 un astfel de punct y = f(x) este unic, ceea ce, de fapt, ne permite să vorbim despre o funcție de producție. Dar situația este atât de simplă dacă este produs un singur produs. În cazul general, pentru vectorul cost X notăm mulţimea M x = (Y:(X,Y)τ). Set M x – este ansamblul tuturor rezultatelor posibile la costuri X. În această mulțime, luați în considerare „curba” posibilităților de producție K x = (YM x: dacă ZM x și Z Y, atunci Z = X), adică K x – acestea sunt multe dintre cele mai bune versiuni, nu există nici una mai bună. Dacă sunt produse două bunuri, atunci aceasta este o curbă, dar dacă sunt produse mai mult de două bunuri, atunci aceasta este o suprafață, un corp sau un set de dimensiuni și mai mari.
Deci, pentru orice vector de cost X, toate cele mai bune rezultate se află pe curba posibilităților de producție (suprafață). Prin urmare, din motive economice, producătorul trebuie să aleagă tehnologia de acolo. Pentru cazul eliberării a două mărfuri y 1, y 2, imaginea este prezentată în Fig. 2.2.
Dacă operăm doar cu indicatori fizici (tone, metri etc.), atunci pentru un vector de cost dat X trebuie doar să alegem vectorul de ieșire Y pe curba posibilităților de producție, dar care producție specifică trebuie aleasă nu poate fi încă decis. Dacă mulțimea de producție τ în sine este convexă, atunci M x este de asemenea convex pentru orice vector de cost X. În cele ce urmează, vom avea nevoie de convexitatea strictă a mulțimii M x. În cazul producției a două bunuri, aceasta înseamnă că tangenta la curba posibilităților de producție K x are un singur punct comun cu această curbă.
Orez. 2.2. Curba posibilităților de producție
Să luăm acum în considerare întrebarea așa-zisului costuri de oportunitate. Să presupunem că ieșirea este fixă în punctul A(y 1 , y 2), vezi Fig. 2.2. Acum este nevoie să creștem producția celui de-al doilea produs cu y 2, folosind, desigur, același set de costuri. Acest lucru se poate face, după cum se poate observa din fig. 2.2, transferarea tehnologiei la punctul B, pentru care, cu o creștere a producției celui de-al doilea produs cu y 2, va fi necesar să se reducă producția primului produs cu y 1.
Imputatecheltuieliprimul produs în raport cu al doilea la punct A numit
. Dacă curba posibilităților de producție este dată de ecuația implicită F(y 1 ,y 2) = 0, atunci δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), unde derivatele parțiale sunt luate la punctul A. Dacă vă uitați cu atenție la figura în cauză, veți găsi un model interesant: când vă deplasați în jos pe curba posibilităților de producție de la stânga, costurile de oportunitate scad de la valori foarte mari la valori foarte mici. .
2.3. Funcțiile de producție și proprietățile lor
O funcție de producție este o relație analitică care conectează valori variabile ale costurilor (factori, resurse) cu cantitatea de producție. Din punct de vedere istoric, una dintre primele lucrări privind construcția și utilizarea funcțiilor de producție a fost munca de analiză a producției agricole din Statele Unite. În 1909, Mitscherlich a propus o funcție de producție neliniară: îngrășăminte - randament. În mod independent, Spillman a propus o ecuație a randamentului exponențial. Pe baza acestora, au fost construite o serie de alte funcții de producție agrotehnică.
Funcțiile de producție sunt concepute pentru a modela procesul de producție al unei anumite unități economice: o companie separată, industrie sau întreaga economie a statului în ansamblu. Cu ajutorul funcțiilor de producție sunt rezolvate următoarele probleme:
evaluarea returnării resurselor în procesul de producție;
prognozarea creșterii economice;
dezvoltarea de opțiuni pentru un plan de dezvoltare a producției;
optimizarea funcționării unei unități de afaceri supuse unui anumit criteriu și limitări de resurse.
Forma generală a funcției de producție: Y = Y(X 1, X 2, ..., X i, ..., X n), unde Y este un indicator care caracterizează rezultatele producției; X – indicator factor al i-a resursă de producție; n – numărul de indicatori factori.
Funcțiile de producție sunt determinate de două grupe de ipoteze: matematice și economice. Din punct de vedere matematic, funcția de producție este de așteptat să fie continuă și dublu diferențiabilă. Ipotezele economice sunt următoarele: în absența a cel puțin unei resurse de producție, producția este imposibilă, adică Y(0, X 2, ..., X i, ..., X n) =
Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …
Y(X 1, X 2, …, 0, …, X n) = …
Y(X 1, X 2, …, X i, …, 0) = 0.
Cu toate acestea, nu este posibil să se determine în mod satisfăcător singura producție Y pentru costurile date X folosind indicatori naturali: alegerea noastră sa restrâns doar la „curba” posibilităților de producție K x . Din aceste motive, a fost dezvoltată doar teoria funcțiilor de producție ale producătorilor, a cărei producție poate fi caracterizată printr-o singură valoare - fie volumul producției, dacă se produce un singur produs, fie valoarea totală a întregii producții.
Spațiul de cost este m-dimensional. Fiecare punct din spațiul costului X = (x 1, ..., x m) corespunde unei singure rezultate maxime (vezi Fig. 2.1) produsă folosind aceste costuri. Această relație se numește funcție de producție. Cu toate acestea, funcția de producție este de obicei înțeleasă mai puțin restrictiv și orice relație funcțională între intrări și ieșiri este considerată o funcție de producție. În cele ce urmează, vom presupune că funcția de producție are derivatele necesare. Se presupune că funcția de producție f(X) satisface două axiome. Prima dintre acestea afirmă că există un subset de spațiu de cost numit zona economica E, în care o creștere a oricărui tip de intrare nu duce la o scădere a producției. Astfel, dacă X 1, X 2 sunt două puncte ale acestei regiuni, atunci X 1 X 2 implică f(X 1) f(X 2). În formă diferenţială, aceasta se exprimă prin faptul că în această regiune toate derivatele parţiale prime ale funcţiei sunt nenegative: f/x 1 ≥ 0 (pentru orice funcţie crescătoare derivata este mai mare decât zero). Aceste derivate se numesc produse marginale, iar vectorul f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – vector al produselor marginale (arată de câte ori se va schimba producția de producție atunci când costurile se schimbă).
A doua axiomă afirmă că există o submulțime convexă S a domeniului economic pentru care submulțimile (XS:f(X) a) sunt convexe pentru tot a 0. În această submulțime S, matricea hessiană compusă din derivate secunde ale funcției f(X) , este definită negativ, prin urmare, 2 f/x 2 i
Să ne oprim asupra conținutului economic al acestor axiome. Prima axiomă afirmă că funcția de producție nu este o funcție complet abstractă inventată de un teoretician matematic. Ea, deși nu în întregul său domeniu de definire, ci doar parțial, reflectă o afirmație importantă din punct de vedere economic, incontestabilă și în același timp trivială: VÎntr-o economie rezonabilă, o creștere a costurilor nu poate duce la o scădere a producției. Din a doua axiomă vom explica doar sensul economic al cerinței ca derivata 2 f/x 2 i să fie mai mică decât zero pentru fiecare tip de cost. Această proprietate se numește în economie in spateLegea randamentelor descrescatoare sau a randamentelor descrescatoare: pe măsură ce costurile cresc, începând de la un moment dat (la intrarea în regiunea S!), cuprodusul marginal începe să scadă. Exemplul clasic al acestei legi este adăugarea din ce în ce mai multă forță de muncă la producția de cereale pe o bucată fixă de pământ. În cele ce urmează, se presupune că funcția de producție este considerată pe o regiune S în care ambele axiome sunt valabile.
Puteți crea o funcție de producție pentru o anumită întreprindere fără să știți măcar nimic despre ea. Trebuie doar să puneți un contor (fie o persoană, fie un fel de dispozitiv automat) la poarta întreprinderii, care va înregistra X - resursele importate și Y - cantitatea de produse pe care întreprinderea le-a produs. Dacă acumulați o cantitate suficientă de astfel de informații statice și luați în considerare funcționarea întreprinderii în diferite moduri, atunci puteți prezice producția, cunoscând doar volumul resurselor importate, iar aceasta este cunoașterea funcției de producție.
2.4. Funcția de producție Cobb-Douglas
Să luăm în considerare una dintre cele mai comune funcții de producție - funcția Cobb-Douglas: Y = AK L , unde A, , > 0 sunt constante, +
Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.
Negativitatea derivatelor parțiale secundare, adică produse marginale descrescătoare: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.
Să trecem la principalele caracteristici economice și matematice ale funcției de producție Cobb-Douglas. Productivitatea medie a muncii este definit ca y = Y/L – raportul dintre volumul de produs produs și cantitatea de muncă cheltuită; productivitatea medie a capitalului k = Y/K – raportul dintre volumul produsului produs și valoarea fondurilor.
Pentru funcția Cobb-Douglas, productivitatea medie a muncii y = AK L , iar din cauza condiției , cu creșterea costurilor muncii, productivitatea medie a muncii scade. Această concluzie permite o explicație firească - întrucât valoarea celui de-al doilea factor K rămâne neschimbată, înseamnă că forța de muncă nou atrasă nu este dotată cu mijloace de producție suplimentare, ceea ce duce la o scădere a productivității muncii (acest lucru este valabil și în cazul cel mai general – la nivelul seturilor de producţie).
Productivitatea marginală a muncii Y/L = AβK α L β -1 > 0, ceea ce arată că pentru funcția Cobb-Douglas, productivitatea marginală a muncii este proporțională cu productivitatea medie și este mai mică decât aceasta. Productivitatea capitalului medie și marginală sunt determinate în mod similar. Pentru ei este valabil și raportul indicat - productivitatea marginală a capitalului este proporțională cu productivitatea medie a capitalului și este mai mică decât aceasta.
O caracteristică importantă este de exemplu raportul capital-muncă f = K/L, care arată volumul de fonduri per angajat (pe unitate de muncă).
Să aflăm acum elasticitatea muncii a producției:
(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.
Deci sensul este clar parametru - Acest elasticitatea (raportul dintre productivitatea marginală a muncii și productivitatea medie a muncii) producției prin muncă. Elasticitatea forței de muncă a producției înseamnă că pentru a crește producția cu 1%, este necesară creșterea volumului resurselor de muncă cu %. Are o semnificație similară parametru – este elasticitatea producției între fonduri.
Și încă un sens pare interesant. Fie + = 1. Este ușor de verificat că Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (substituind Y/K, Y/L calculate anterior în această formulă). Să presupunem că societatea este formată doar din muncitori și antreprenori. Apoi venitul Y este împărțit în două părți - venitul lucrătorilor și venitul antreprenorilor. Întrucât la dimensiunea optimă a firmei valoarea Y/L - produsul marginal al muncii - coincide cu salariul (se poate dovedi), atunci (Y/L)L reprezintă venitul muncitorilor. În mod similar, valoarea Y/K este randamentul marginal al capitalului, al cărui sens economic este rata profitului, prin urmare, (Y/K)K reprezintă venitul antreprenorilor.
Funcția Cobb-Douglas este cea mai cunoscută dintre toate funcțiile de producție. În practică, la construirea acestuia, uneori se renunță la unele cerințe (de exemplu, suma + poate fi mai mare decât 1 etc.).
Exemplul 1. Fie funcția de producție funcția Cobb-Douglas. Pentru a crește producția cu a = 3%, este necesar să se mărească activele fixe cu b = 6% sau numărul de angajați cu c = 9%. În prezent, un muncitor produce produse în valoare de M = 10 4 ruble pe lună . , iar numărul total de angajați este L = 1000. Mijloacele fixe sunt evaluate la K = 10 8 ruble. Găsiți funcția de producție.
Soluţie. Să aflăm coeficienții , : = a/b = 3/6 = 1/2, = a/c = = 3/9 = 1/3, deci, Y = AK 1/2 L 1/3. Pentru a găsi A, înlocuim valorile K, L, M în această formulă, ținând cont că Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = A(10 8) 1/2 1000 1/3. Prin urmare, A = 100. Astfel, funcția de producție are forma: Y = 100K 1/2 L 1/3.
2.5. Teoria firmei
În secțiunea anterioară, atunci când am analizat și modelat comportamentul producătorului, am folosit doar indicatori naturali și am făcut fără prețuri, dar nu am putut rezolva în cele din urmă problema producătorului, adică să indicam singurul curs de acțiune pentru el în prezent. conditii. Acum să luăm în considerare prețurile. Fie P un vector de preț. Dacă T = (X,Y) este o tehnologie, adică un vector de intrare-ieșire, X este costurile, Y este ieșire, atunci produsul scalar PT = PX + PY este profitul din utilizarea tehnologiei T (costurile sunt cantități negative) . Acum să formulăm o formalizare matematică a axiomei care descrie comportamentul producătorului.
Problema producătorului: producătorul selectează o tehnologie din setul său de producție, având ca scop maximizarea profiturilor . Deci, producătorul rezolvă următoarea problemă: PT→max, Tτ. Această axiomă simplifică foarte mult situația de alegere. Deci, dacă prețurile sunt pozitive, ceea ce este firesc, atunci componenta „ieșire” a soluției acestei probleme se va afla automat pe curba posibilităților de producție. Într-adevăr, să fie T = (X,Y) o soluție la problema producătorului. Atunci există ZK x , Z Y, prin urmare, P(X, Z) P(X, Y), ceea ce înseamnă că punctul (X, Z) este, de asemenea, o soluție la problema producătorului.
Pentru cazul a două tipuri de produse, problema poate fi rezolvată grafic (Fig. 2.3). Pentru a face acest lucru, trebuie să „mutați” o linie dreaptă perpendiculară pe vectorul P în direcția în care arată; atunci ultimul punct, când această dreaptă intersectează încă mulțimea de producție, va fi soluția (în Fig. 2.3 acesta este punctul T). După cum este ușor de văzut, convexitatea strictă a părții necesare a setului de producție în al doilea cadran garantează unicitatea soluției. Același raționament se aplică și în cazul general, pentru un număr mai mare de tipuri de intrări și ieșiri. Cu toate acestea, nu vom urma această cale, ci vom folosi aparatul de funcții de producție și vom numi producătorul o firmă. Deci, producția firmei poate fi caracterizată printr-o singură valoare - fie volumul producției, dacă se produce un produs, fie valoarea totală a întregii producții. Spațiul de cost este m-dimensional, vectorul de cost X = (x 1, ..., x m). Costurile determină în mod unic producția Y, iar această relație este funcția de producție Y = f(X).
Orez. 2.3. Rezolvarea problemei producatorului
În această situație, notăm cu P vectorul prețurilor pentru mărfuri-costuri și fie v prețul unei unități de mărfuri fabricate. Prin urmare, profitul W, care este în cele din urmă o funcție a lui X (și a prețurilor, dar sunt considerate constante), este W(X) = vf(X) – PX→max, X 0. Echivalarea derivatelor parțiale ale funcției W la zero, obținem:
v(f/x j) = p j pentru j = 1, …, m sau v(f/X) = P (2.1)
Vom presupune că toate costurile sunt strict pozitive (zero pot fi pur și simplu excluse din considerare). Atunci punctul dat de relația (2.1) se dovedește a fi intern, adică un punct extremum. Și din moment ce matricea hessiană a funcției de producție f(X) este de asemenea considerată a fi definită negativ (pe baza cerințelor pentru funcțiile de producție), acesta este punctul maxim.
Deci, în ipotezele naturale privind funcțiile de producție (aceste ipoteze sunt îndeplinite pentru un producător cu bun simț și într-o economie rezonabilă), relația (2.1) oferă o soluție la problema firmei, adică determină volumul X * al resurselor prelucrate, rezultând ieșirea Y * = f(X *) Punctul X *, sau (X *,f(X *)) se va numi soluția optimă a companiei. Să ne oprim asupra semnificației economice a relației (2.1). După cum sa menționat, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) se numește vector de produs marginal sau vector de produse marginale, iar f/x i se numește i-a produs marginal, sau eliberați răspunsul la schimbare i - al-lea articol costă. Prin urmare, vf/x i dx i este Preț i -al-lea produs marginal obtinut suplimentar din dx i unitati i resursa. Cu toate acestea, costul unităților dx i ale i-a resursă este egal cu р i dx i , adică s-a obținut un echilibru: este posibil să se implice dx i unități suplimentare ale i-a resursă în producție, cheltuind р i dx i la achiziționarea acestuia, dar nu va exista niciun câștig, t Pentru că după procesarea produselor, vom primi exact aceeași sumă pe care am cheltuit-o. În consecință, punctul optim dat de relația (2.1) este un punct de echilibru - nu mai este posibil să stoarceți mai mult din bunuri-resurse decât a fost cheltuit pentru achiziționarea acestora.
Evident, creșterea producției firmei s-a produs treptat: la început, costul produselor marginale a fost mai mic decât prețul de achiziție al mărfurilor și resurselor necesare producerii acestora. Volumele de producție cresc până când relația (2.1) începe să fie îndeplinită: egalitatea valorii produselor marginale si a pretului de achizitie al bunurilor si resurselor necesare producerii lor.
Să presupunem că în problema firmei W(X) = vf(X) – PX → max, X 0, soluția X * este unică pentru v > 0 și P > 0. Astfel, obținem funcția vectorială X * = X * ( v, P) sau funcțiile x * I = x * i (v, p 1 , p m) pentru i = 1, …, m. Aceste m funcții sunt numite funcţiile cererii de resurse la preţuri date pentru produse şi resurse. În esență, aceste funcții înseamnă că, dacă au fost stabilite prețurile P pentru resurse și prețul v pentru bunurile produse, un producător dat (caracterizat printr-o funcție de producție dată) determină volumul resurselor prelucrate folosind funcțiile x * I = x * i (v, p 1, p m) și solicită aceste volume pe piață. Cunoscând volumele de resurse prelucrate și substituind acestora în funcția de producție, obținem producție în funcție de prețuri; să notăm această funcție cu q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . Se numeste funcția de furnizare a produsuluiîn funcţie de preţul v pentru produse şi preţurile P pentru resurse.
A-priorie, resursă de tip i-a numit de mică valoare, dacă și numai dacă,x * i /v adică, atunci când prețul unui produs crește, cererea pentru o resursă de valoare mică scade. Se poate demonstra o relație importantă: q * /P = -X * /v sau q * /p i = -x * i /v, pentru i = 1, …, m. În consecință, o creștere a prețului unui produs duce la o creștere (scădere) a cererii pentru un anumit tip de resursă dacă și numai dacă o creștere a plății pentru această resursă duce la o reducere (creștere) a producției optime. Aceasta arată principala proprietate a resurselor de valoare mică: o creștere a plății pentru ei duce la o creștere a producției! Cu toate acestea, este posibil să se dovedească cu strictețe existența unor astfel de resurse, o creștere a plății pentru care duce la o scădere a producției (adică, toate resursele nu pot fi de valoare scăzută).
De asemenea, se poate demonstra că x * i /p i sunt complementare dacă x * i /p j sunt interschimbabile dacă x * i /p j > 0. Adică, pentru resursele complementare, o creștere a prețului unul dintre ele duce la o scădere a cererii pentru altul, iar pentru resursele interschimbabile, o creștere a prețului unuia dintre ele duce la o creștere a cererii pentru celălalt. Exemple de resurse complementare: un computer și componentele sale, mobilier și lemn, șampon și balsam pentru acesta. Exemple de resurse fungibile: zahăr și înlocuitori de zahăr (de exemplu, sorbitol), pepeni și pepeni, maioneză și smântână, unt și margarină etc.
Exemplul 2. Pentru o companie cu o funcție de producție Y = 100K 1/2 L 1/3 (din exemplul 1), găsiți dimensiunea optimă dacă perioada de amortizare a mijloacelor fixe este N = 12 luni, salariul angajatului pe lună este a = 1000 ruble .
Soluţie. Mărimea optimă a producției sau a volumului de producție se găsește din relația (2.1). În acest caz, producția este măsurată în termeni monetari, deci v = 1. Costul de întreținere lunar a unei ruble de fonduri este 1/N, adică obținem un sistem de ecuații
, rezolvand care gasim raspunsul: 
, L = 8 . 10 3, K = 144. 10 6.
2.6. Sarcini
1. Fie funcția de producție funcția Cobb-Douglas. Pentru a crește producția cu 1%, este necesară creșterea activelor fixe cu b = 4% sau a numărului de angajați cu c = 3%. În prezent, un muncitor produce produse în valoare de M = 10 5 ruble pe lună . , iar numărul total de muncitori este L = 10 4 . Activele fixe sunt evaluate la K = 10 6 ruble. Aflați funcția de producție, productivitatea medie a capitalului, productivitatea medie a muncii, raportul capital-muncă.
2. Un grup de „navete” în valoare de E a decis să se unească cu N vânzători. Profitul dintr-o zi de muncă (venituri minus cheltuieli, dar nu salarii) este exprimat prin formula Y = 600(EN) 1/3. Salariul lucrătorului navetei este de 120 de ruble. pe zi, vânzător - 80 de ruble. într-o zi. Găsiți compoziția optimă a grupului de „navete” și vânzători, adică câte „navete” ar trebui să existe și câți vânzători.
3. Un om de afaceri a hotărât să înființeze o mică companie de camioane. Familiarizându-se cu statisticile, a văzut că dependența aproximativă a veniturilor zilnice de numărul de mașini A și numărul N este exprimată prin formula Y = 900A 1/2 N 1/4. Amortizarea și alte cheltuieli zilnice pentru o mașină sunt de 400 de ruble, salariul zilnic al unui muncitor este de 100 de ruble. Găsiți numărul optim de muncitori și vehicule.
4. Omul de afaceri a decis să deschidă un bar de bere. Să presupunem că dependența veniturilor Y (minus costul berii și gustărilor) de numărul de mese M și de numărul de chelneri F este exprimată prin formula Y = 200M 2/3 F 1/4. Costul pentru o masă este de 50 de ruble, salariul chelnerului este de 100 de ruble. Găsiți dimensiunea optimă a barului, adică numărul de chelneri și mese.