Descărcați prezentarea: originea numerelor complexe și aplicațiile acestora. Prezentare pe tema „istoria numerelor complexe”. Forma trigonometrică a unui număr complex

1,85  -2  0,8 Lumea numerelor este infinită.  Primele idei despre număr au apărut din numărarea obiectelor (1, 2, 3 etc.) - NUMERE NATURALE.  Ulterior au apărut FRACȚII ca urmare a măsurării lungimii, greutății etc. (, etc.)  NUMERELOR NEGATIVE, au apărut odată cu dezvoltarea algebrei Numerele întregi (adică numerele naturale 1, 2, 3 etc.), numerele negative ( -1, -2, -3 etc. și zero), fracțiile se numesc NUMERE RAȚIONALE. ,  Numerele raționale nu pot exprima cu exactitate lungimea diagonalei unui pătrat dacă lungimea laturii este egală cu unitatea de măsură. Pentru a exprima cu acuratețe relațiile segmentelor incomensurabile trebuie să introduceți un număr nou:  IRAȚIONAL (etc.) Rațional și irațional – formează o mulțime de: Numere reale. Când se iau în considerare numerele reale, s-a observat că în mulțimea numerelor reale este imposibil, de exemplu, să se găsească un număr al cărui pătrat este egal cu. Când se iau în considerare ecuațiile pătratice cu discriminanți negativi, s-a remarcat, de asemenea, că astfel de ecuații nu au rădăcini care sunt numere reale. Pentru a face astfel de probleme rezolvabile se introduc numere noi - Numere complexe Numere complexe 2 = -1 3 = - = 4 =1 b - Numere imaginare a + b - Numere complexe a, b - Orice numere reale Trecut și prezent ale numerelor complexe. Numerele complexe au apărut în matematică cu mai bine de 400 de ani în urmă. Pentru prima dată am întâlnit rădăcini pătrate ale numerelor negative. Nimeni nu știa ce este această expresie, ce sens ar trebui să i se acorde. Rădăcina pătrată a oricărui număr negativ nu are semnificație în mulțimea numerelor reale. Acest lucru se întâlnește la rezolvarea ecuațiilor pătratice, cubice și de gradul patru. MATEMATICĂ CREDUTĂ: LEONARD EULER Rădăcinile pătrate ale numerelor negative - deoarece nu sunt mai mari decât, nu mai mici și nu sunt egale cu zero - nu pot fi numărate printre numerele posibile. Gottfried William Leibnets Gottfried Leibnets a numit numerele complexe „un refugiu elegant și minunat al spiritului divin”, o degenerare a lumii ideilor, o ființă aproape duală, situată între a fi și a nu fi.” El a lăsat chiar moștenire să deseneze pe mormânt un semn ca simbol al lumii celeilalte. K. Gauss a propus, la începutul secolului al XIX-lea, să le numească „numere complexe”. K. F. Gauss Forme ale numerelor complexe: Z=a+bi – forma algebrică Z=r() – trigonometrică Z=rE - exponențial Se folosesc numere complexe:  La întocmirea hărților geografice  În teoria construcției aeronavelor  Folosit în diverse studii pe teoria numerelor  În electromecanică  La studierea mișcării corpurilor cerești naturale și artificiale etc. d. Iar la sfârșitul prezentării, oferind Rezolvați cuvintele încrucișate „Test yourself” 8 1 3 2 7 5 6 4 1. Care este numele unui număr de forma Z=a+bc? 2. La ce putere a unei unități imaginare se obține una? 3.Cum se numesc numerele care diferă doar prin semnul părții imaginare?4. Lungimea vectorului. 5.Unghiul la care se află vectorul. 6. Care este forma numărului complex: Z=r(cos +sin)? 7. Care este forma numărului complex Z=re? 8. Vedeți D=b -4ac, ce este D?

După studierea temei „Numere complexe
elevii trebuie:
Știi:
forme algebrice, geometrice și trigonometrice
număr complex.
A fi capabil să:
efectuează operații de adunare pe numere complexe,
înmulțire, scădere, împărțire, exponențiere, extracție
rădăcina unui număr complex;
converti numere complexe din forma algebrică în
geometrice și trigonometrice;
utilizați interpretarea geometrică a numerelor complexe;
în cele mai simple cazuri, găsiți rădăcini complexe ale ecuațiilor cu
coeficienți reali.

Cu ce ​​seturi de numere sunteți familiarizat?

I. Pregătirea pentru a studia material nou
Cu ce ​​seturi de numere sunteți familiarizat?
N
Z
Q
N Z Q R
R

Sistemul numeric
Natural
numere, N
Numerele întregi, Z
Numere raționale, Q
Numere reale,
R
Complex
numere, C
Acceptabil
algebric
operațiuni
Plus,
multiplicare
adunare, scădere,
multiplicare
adunare, scădere,
înmulțire, împărțire
adunare, scădere,
inmultire, impartire,
înrădăcinare
numere nenegative
Toate operațiunile
Parţial
acceptabil
algebric
operațiuni
Scăderea, împărțirea,
extragerea rădăcinilor
Divizia,
extragerea rădăcinilor
Extragerea rădăcinilor din
nenegativ
numere
Extracția rădăcinilor
din arbitrar
numere

Condiții minime care trebuie îndeplinite
numere complexe:
C1) Există o rădăcină pătrată a, i.e. există
număr complex al cărui pătrat este egal cu.
C2) Mulțimea numerelor complexe conține toate reale
numere.
C3) Operații de adunare, scădere, înmulțire și împărțire
numerele complexe îndeplinesc legile uzuale
operatii aritmetice (combinative, comutative,
distribuție).
Îndeplinirea acestor condiții minime ne permite să stabilim
întreaga mulţime C de numere complexe.

Numerele imaginare

i = -1, i – unitate imaginară
i, 2i, -0.3i - numere pur imaginare
Operații aritmetice pe numere pur imaginare
sunt îndeplinite în conformitate cu condiția C3.
3i 13i 3 13i 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
i 7 i 2 i i
3
În general, regulile operațiilor aritmetice cu pur imaginare
numerele sunt:
a b i;
a bi ab i;
ai bi
ai bi a b i;
ai bi abi a
unde a și b sunt numere reale.
2

Numere complexe

Definiție 1. Un număr complex este suma
număr real și număr pur imaginar.
z a bi C a R, b R,
i este unitatea imaginară.
a Re z , b Im z
Definiția 2. Se numesc două numere complexe
egale dacă părțile lor reale sunt egale și egale
părțile lor imaginare:
a bi c di a c, b d .

Clasificarea numerelor complexe

Numere complexe
a+bi
Numere reale
b=o
Raţional
numere
Iraţional
numere
Numerele imaginare
b≠o
Numere imaginare cu
diferit de zero
valabil
parte
a ≠ 0, b ≠ 0.
Pur
imaginar
numere
a = 0, b ≠ 0.

Operatii aritmetice pe numere complexe

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad
2
2
i
2
2
c di (c di)(c di) c d
c d

Conjugați numere complexe

Definiție: Dacă se păstrează un număr complex
parte reală și schimbă semnul părții imaginare, atunci
rezultatul este un număr complex conjugat cu cel dat.
Dacă un anumit număr complex este notat cu litera z, atunci
numărul conjugat este notat cu z:
z x yi z x yi
Dintre toate numerele complexe, numerele reale (și numai ele)
sunt egale cu numerele lor conjugate.
Numerele a + bi și a - bi se numesc conjugate reciproc
numere complexe.

Proprietățile numerelor conjugate

1. Suma și produsul a două numere conjugate este un număr
real.
z z (a bi) (a bi) 2a
z z (a bi)(a bi) a 2 (bi) 2 a 2 b 2
2. Numărul conjugat al sumei a două numere complexe este egal cu
suma numerelor conjugate.
z1 z2 z1 z2
3. Numărul conjugat al diferenței a două numere complexe este egal cu
diferența dintre conjugatele numerelor date.
z1 z2 z1 z2
4. Numărul conjugat al produsului a două numere complexe este egal cu
produsul conjugatelor numerelor date.
z1z2 z1 z2

Proprietățile numerelor conjugate

5. Numărul conjugat cu puterea a n-a a numărului complex z,
egală cu puterea a n-a a numărului conjugat cu numărul z, adică.
z n (z)n, n N
6. Numărul conjugat a două numere complexe din
al cărui divizor este diferit de zero este egal cu câtul
numere conjugate, adică
a bi a bi
c di c di

Puterile unității imaginare

Prin definiție, prima putere a numărului i este
1
în sine
numărul i, iar a doua putere este numărul -1:
i1 = i, i2 = -1
.
Puterile superioare ale lui i se găsesc după cum urmează
1
cale:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1 etc.
Evident, pentru orice număr natural n
i4n = 1;
i4n +2 = - 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = - i.

Extragerea rădăcinilor pătrate ale numerelor complexe în formă algebrică.

Definiție. Numărul w se numește rădăcină pătrată a lui
2
număr complex z dacă pătratul său este egal cu z: w z
Teorema. Fie z=a+bi un număr complex diferit de zero.
Apoi există două complexe reciproc opuse
numere ale căror pătrate sunt egale cu z. Dacă b≠0, atunci aceste două numere
exprimat prin formula:
w
a2 b2 a
semnez
2
a 2 b 2 a
, Unde
2
1 dacă b 0
semnb 1 dacă b 0
0 dacă b 0
Pentru b 0, a 0 avem: w a , pentru b 0, a 0 avem: w i a .

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

Număr complex z pe planul de coordonate
corespunde punctului M(a, b).
Adesea, în loc de puncte din avion, le iau
vectori cu rază
OM
Definiție: Modulul unui număr complex z = a + bi
numiți un număr nenegativa 2 b2
,
egală cu distanța de la punctul M până la început
z a 2 b2
coordonate
cos
y
M (a, b)
b
φ
O
A
X
A
și păcatul
b
a2 b2
a2 b2
argument de număr complex
;

Forma trigonometrică a unui număr complex

z r cos i sin
unde φ este argumentul unui număr complex,
r=
a 2 b2 - modulul unui număr complex,
cos
A
a2 b2
și păcatul
b
a2 b2

Înmulțirea și împărțirea numerelor complexe date în formă trigonometrică

Teorema
Dacă
1.
z1 0, z2 0
Și
z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 , atunci:
A)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
b)
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2
z2 r2
Teorema 2 (formula Moivre).
Fie z orice diferit de zero
număr complex, n - orice număr întreg.
Apoi
z r cos i sin r n cosn i sin n .
n
n

Extragerea rădăcinii unui număr complex.

Teorema. Pentru orice număr natural n și
există un număr complex diferit de zero z
n valori diferite ale rădăcinii n.
Dacă
z r cos i sin ,
atunci aceste valori sunt exprimate prin formula
2k
2k
wk r cos
este in
,
n
n
unde k 0,1,..., (n 1)

Loktionova G.N.

profesor de matematică

GAPOU „Colegiul de transport de vehicule”

„Numere și acțiuni complexe

deasupra lor"

• După studierea temei, studenții ar trebui: Știi: forme algebrice, geometrice și trigonometrice ale numerelor complexe. A fi capabil să: efectuează operații de adunare, înmulțire, scădere, împărțire, exponențiere și extracție rădăcină a unui număr complex pe numere complexe; converti numere complexe din forme algebrice în forme geometrice și trigonometrice; utilizați interpretarea geometrică a numerelor complexe; în cele mai simple cazuri, găsiți rădăcini complexe ale ecuațiilor cu coeficienți reali.

• Referință istorică
• Noțiuni de bază
• Reprezentarea geometrică a numerelor complexe
• Forme de scriere a numerelor complexe
• Operații pe numere complexe

• Gusak, A.A. Matematică superioară: un manual pentru studenți: în 2 volume. T.1. /A.A. Gander. – Ed. a 5-a. – Minsk: TetraSystems, 2004. – 544 p.
• Kanatnikov, A.N. Algebră liniară. / A.N. Kanatnikov, A.P. Krischenko. - M.: Editura MSTU im. N.E. Bauman, 2001 – 336 p.
• Kurosh, A.G. Curs superior de algebră. / A.G. Kurosh. - M.: Știință, 1971-432.
• Scris D.T. Note de curs despre matematica superioară. 1 parte. – Ed. a II-a, rev. – M.: Iris-press, 2003. - 288 p.
• Sikorskaya, G.A. Un curs de prelegeri de algebră și geometrie: un manual pentru studenții facultății de transport / G.A. Sikorskaya. - Orenburg: IPK GOU OSU, 2007. – 374 p.

clauza 1 Context istoric

Conceptul de număr complex a apărut din practica și teoria rezolvării ecuațiilor algebrice.

Matematicienii au întâlnit pentru prima dată numere complexe atunci când rezolvau ecuații pătratice. Până în secolul al XVI-lea, matematicienii din întreaga lume, negăsind o interpretare acceptabilă pentru rădăcinile complexe apărute la rezolvarea ecuațiilor pătratice, le-au declarat false și nu le-au luat în considerare.

Cardano, care a lucrat la rezolvarea ecuațiilor de gradul 3 și 4, a fost unul dintre primii matematicieni care a operat formal cu numere complexe, deși semnificația lor a rămas în mare parte neclară pentru el.

Sensul numerelor complexe a fost explicat de un alt matematician italian R. Bombelli. În cartea sa Algebra (1572), el a stabilit mai întâi regulile pentru operarea numerelor complexe în formă modernă.

Cu toate acestea, până în secolul al XVIII-lea, numerele complexe erau considerate „imaginare” și inutile. Este interesant de observat că chiar și un matematician remarcabil precum Descartes, care a identificat numerele reale cu segmente ale dreptei numerice, credea că nu poate exista o interpretare reală pentru numerele complexe și că acestea vor rămâne pentru totdeauna imaginare, imaginare. Marii matematicieni Newton și Leibniz au avut opinii similare.

Abia în secolul al XVIII-lea, multe probleme de analiză matematică, geometrie și mecanică au necesitat utilizarea pe scară largă a operațiilor asupra numerelor complexe, ceea ce a creat condițiile pentru dezvoltarea interpretării lor geometrice.

În lucrările aplicate ale lui d'Alembert și Euler la mijlocul secolului al XVIII-lea, autorii reprezintă cantități imaginare arbitrare sub forma z=a+ib, care permite ca astfel de mărimi să fie reprezentate prin puncte de pe planul de coordonate. Această interpretare a fost folosită de Gauss în lucrarea sa dedicată studiului soluțiilor ecuațiilor algebrice.

Și abia la începutul secolului al XIX-lea, când rolul numerelor complexe în diverse domenii ale matematicii a fost deja clarificat, a fost dezvoltată o interpretare geometrică foarte simplă și naturală a acestora, care a făcut posibilă înțelegerea semnificației geometrice a operațiilor pe complexe. numere.

P. 2 Noțiuni de bază

Număr complex z numită expresie a formei z=a+ib, Unde AȘi b- numere reale, i – unitate imaginară, care este determinată de relația:

În acest caz numărul A numit parte reală numere z

(A = Re z), A b - parte imaginară (b = sunt z).

Dacă A = Re z =0 , acel număr z voi pur imaginar, Dacă b = sunt z =0 , apoi numărul z voi valabil .

Numerele z=a+ibși sunt chemați conjugare complexa .

Două numere complexe z 1 =a 1 +ib 1 Și z 2 =a 2 +ib 2 sunt numite egal, dacă părțile lor reale și, respectiv, imaginare sunt egale:

A 1 =a 2 ; b 1 =b 2

Un număr complex este egal cu zero dacă părțile reale și, respectiv, imaginare sunt egale cu zero.

Numerele complexe pot fi scrise, de exemplu, sub formă z=x+iy , z=u+iv .

P. 3 Reprezentarea geometrică a numerelor complexe

Orice număr complex z=x+iy poate fi reprezentat printr-un punct M(x;y) avion xOy astfel încât X = Re z , y = sunt z. Și, invers, fiecare punct M(x;y) planul de coordonate poate fi considerat ca imaginea unui număr complex z=x+iy(imaginea 1).

Poza 1

Se numește planul în care sunt reprezentate numerele complexe plan complex .

Axa absciselor se numește axa reală, deoarece conține numere reale z=x+0i=x .

Axa y se numește axa imaginară, conține numere complexe imaginare z=0+yi=yi .

Adesea, în loc de puncte din avion, sunt luate vectori cu rază

acestea. vectori care încep cu un punct O(0;0), Sfârşit M(x;y) .

Lungimea vectorului care reprezintă un număr complex z , numit modul acest număr este desemnat | z| sau r .

Se numește mărimea unghiului dintre direcția pozitivă a axei reale și vectorul care reprezintă un număr complex argument al acestui număr complex este notat Arg z sau φ .

Argumentul numărului complex z=0 nedefinit.

Argumentul numărului complex z ≠ 0 - cantitatea este multivalorică și este determinată cu precizie la sumand 2 π k (k=0,-1,1,-2,2,..) :

Arg z=arg z+2 π k,

Unde arg z - sensul principal al argumentului , încheiat între timp (- π , π ] .

p.4 Forme de scriere a numerelor complexe

Scrierea unui număr în formular z=x+iy numit forma algebrică număr complex.

Din figura 1 este clar că x=rcos φ , y=rsin φ , deci, complex z=x+iy numarul poate fi scris ca:

Această formă de înregistrare se numește notație trigonometrică număr complex.

Modul r=|z| este determinată în mod unic de formulă

Argument φ determinate din formule

La trecerea de la forma algebrică a unui număr complex la cea trigonometrică, este suficient să se determine doar valoarea principală a argumentului numărului complex, adică. numara φ =arg z .

Deoarece din formulă obținem că

Pentru puncte interioare eu , IV sferturi;

Pentru puncte interioare II sferturi;

Pentru puncte interioare III sferturi.

Exemplul 1. Reprezentați numere complexe în formă trigonometrică.

Soluţie. Număr complex z=x+iyîn formă trigonometrică are forma z=r(cos φ +isin φ ) , Unde

1) z 1 = 1 +i(număr z 1 aparține eu sferturi), x=1, y=1.

Prin urmare,

2) (număr z 2 aparține II sferturi)

De atunci

Prin urmare,

Răspuns:

Luați în considerare funcția exponențială w=e z, Unde z=x+iy- număr complex.

Se poate arăta că funcția w poate fi scris ca:

Această egalitate se numește ecuația lui Euler.

Pentru numerele complexe următoarele proprietăți vor fi adevărate:

Unde m– un număr întreg.

Dacă în ecuația lui Euler, exponentul este considerat un număr pur imaginar ( x=0), atunci obținem:

Pentru un număr conjugat complex obținem:

Din aceste două ecuații obținem:

Aceste formule sunt folosite pentru a găsi valorile puterilor funcțiilor trigonometrice prin funcții de unghiuri multiple.

Dacă reprezentați un număr complex în formă trigonometrică

z=r(cos φ +isin φ )

și folosiți formula lui Euler e i φ =cos φ +isin φ , atunci numărul complex poate fi scris ca

z=r e i φ

Egalitatea rezultată se numește formă exponenţială număr complex.

P. 5 Operații pe numere complexe

1) Acțiuni asupra numerelor complexe date în formă algebrică

a) Adunarea numerelor complexe

Cantitate două numere complexe z 1 =x 1 +y 1 iȘi z 2 =x 2 +y 2 i

z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ).

Proprietățile operației de adăugare:

1. z 1 +z 2 = z 2 +z 1 ,

2. (z 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) ,

3. z+0=z .

b) Scăderea numerelor complexe

Scăderea este definită ca inversul adunării.

Prin diferenta două numere complexe z 1 =x 1 +y 1 iȘi z 2 =x 2 +y 2 i un astfel de număr complex este numit z, care, atunci când se adaugă la z 2 , dă numărul z 1 și este definit de egalitate

z=z 1 – z 2 =(x 1 -X 2 )+i(y 1 -y 2 ).

c) Înmulțirea numerelor complexe

Munca numere complexe z 1 =x 1 +y 1 iȘi z 2 =x 2 +y 2 i, definit prin egalitate

z=z 1 z 2 =(x 1 X 2 – y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 -X 2 y 1 ).

De aici, în special, urmează cea mai importantă relație

i 2 = – 1.

Proprietățile operației de înmulțire:

1. z 1 z 2 = z 2 z 1 ,

2. (z 1 z 2 )z 3 =z 1 (z 2 z 3 ) ,

3. z 1 ( z 2 +z 3 ) =z 1 z 2 +z 1 z 3 ,

4 . z ∙ 1 =z .

d) Împărțirea numerelor complexe

Împărțirea este definită ca inversul înmulțirii.

Coeficientul a două numere complexe z 1 Și z 2 ≠ 0 se numește număr complex z, care atunci când este înmulțit cu z 2 , dă numărul z 1 , adică Dacă z 2 z = z 1 .

Daca pui z 1 =x 1 +y 1 i , z 2 =x 2 +y 2 i ≠ 0, z=x+yi , apoi din egalitate (x+yi)(x 2 +iy 2 )= x 1 +y 1 eu, ar trebui să

Rezolvând sistemul, găsim valorile XȘi y :

Prin urmare,

În practică, în locul formulei rezultate, se folosește următoarea tehnică: se înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu numărul conjugat la numitor („scăpați de imaginarul din numitor”).

Exemplul 2. Datele numere complexe 10+8i , 1+i. Să le găsim suma, diferența, produsul și coeficientul.

Soluţie.

A) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

b) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i= 9 + 7 eu;

V) (10+8i)(1+i) = 10+10 i +8 i +8 i 2 =2+18i;

e) Construcția unui număr complex dat sub formă algebrică în n gradul

Să notăm puterile întregi ale unității imaginare:

În general, rezultatul poate fi scris după cum urmează:

Exemplul 3. calculati i 2 092 .

Soluţie.

• Să reprezentăm exponentul în formă n = 4k+lși folosiți proprietatea unui grad cu un exponent rațional z 4k+1 =(z 4 ) k ∙ z l .

Avem: 2092=4 ∙ 523 .

Prin urmare, i 2 092 = i 4 ∙ 523 =(i 4 ) 523 , dar de atunci i 4 = 1 , apoi ajungem în sfârșit i 2 092 = 1 .

Răspuns: i 2 092 = 1 .

La construirea unui număr complex a+bi la a doua și a treia putere, utilizați formula pentru pătratul și cubul sumei a două numere și atunci când ridicați la o putere n (n- numar natural, n ≥ 4 ) – Formula binomială a lui Newton:

Pentru a găsi coeficienții din această formulă, este convenabil să folosiți triunghiul lui Pascal.

e) Extragerea rădăcinii pătrate a unui număr complex

Rădăcină pătrată Dintr-un număr complex se numește un număr complex al cărui pătrat este egal cu cel dat.

Să notăm rădăcina pătrată a unui număr complex x+yi prin u+vi, apoi prin definiție

Formule de găsire uȘi v arată ca

Semne uȘi v sunt alese astfel încât rezultatul uȘi v egalitate satisfăcută 2uv=y .

0, atunci u și v sunt un număr complex de semne identice.) Răspuns: conținut" width="640"

Exemplul 4. Aflarea rădăcinii pătrate a unui număr complex z=5+12i .

Soluţie.

Să notăm rădăcina pătrată a numărului z prin u+vi, Apoi (u+vi) 2 =5+12i .

Pentru că în acest caz x=5 , y=12, apoi folosind formulele (1) obținem:

u 2 =9; u 1 =3; u 2 = – 3; v 2 =4; v 1 =2; v 2 = – 2.

Astfel, se găsesc două valori ale rădăcinii pătrate: u 1 +v 1 i=3+2i , u 2 +v 2 i= –3 –2i, . (Semnele au fost alese în funcție de egalitate 2uv=y, adică deoarece y=120, Acea uȘi v un număr complex de semne identice.)

Răspuns:

2) Operații pe numere complexe date în formă trigonometrică

Luați în considerare două numere complexe z 1 Și z 2 , dat sub formă trigonometrică

a) Produsul numerelor complexe

Făcând înmulțirea numerelor z 1 Și z 2 , primim

b) Câtul a două numere complexe

Să fie date numere complexe z 1 Și z 2 ≠ 0 .

Să luăm în considerare coeficientul pe care îl avem

Exemplul 5. Date două numere complexe

Soluţie.

1) Folosind formula. primim

Prin urmare,

2) Folosind formula. primim

Prin urmare,

Răspuns:

V) Construcția unui număr complex dat sub formă trigonometrică în n gradul

Din operația de înmulțire a numerelor complexe rezultă că

În cazul general obținem:

Unde n – număr întreg pozitiv.

Prin urmare , când un număr complex este ridicat la o putere, modulul este ridicat la aceeași putere, iar argumentul este înmulțit cu exponent .

Se numește expresia (2). formula lui Moivre .

Abraham de Moivre (1667 - 1754) - matematician englez de origine franceză.

Meritele lui Moivre:

• a descoperit (1707) formula lui Moivre pentru exponențiarea (și extragerea rădăcinilor) numerelor complexe date în formă trigonometrică;
• primul a început să folosească exponențiarea serii infinite;
• a adus o mare contribuție la teoria probabilității: a demonstrat cazuri speciale ale teoremei lui Laplace, a efectuat un studiu probabilistic al jocurilor de noroc și o serie de date statistice privind populația.

Formula lui Moivre poate fi folosită pentru a găsi funcții trigonometrice de dublu, triplu etc. colțuri

Exemplul 6. Găsiți formule păcat 2  Și cos 2  .

Soluţie.

Luați în considerare un număr complex

Apoi, pe de o parte

Conform formulei lui Moivre:

Echivalând, obținem

Deoarece atunci două numere complexe sunt egale dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale

Am obținut binecunoscutele formule de unghi dublu.

d) Extracția rădăcinilor P

Rădăcină P -a-a putere a unui număr complex z se numește număr complex w, satisfacand egalitatea w n =z, adică Dacă w n =z .

Dacă punem și apoi, după definiția unei rădăcini și formula lui Moivre, obținem

De aici avem

Prin urmare, egalitatea ia forma

unde (adică de la 0 la n-1).

Prin urmare, extragerea rădăcinilor n -a-a putere a unui număr complex z este întotdeauna posibil și dă n sensuri diferite. Toate semnificațiile rădăcinilor n gradul situat pe un cerc de rază cu centrul la zero și împarte acest cerc la n părti egale.

Exemplul 7. Găsiți toate valorile

Soluţie.

Mai întâi, să reprezentăm numărul în formă trigonometrică.

În acest caz x=1 , , Prin urmare,

Prin urmare,

Folosind formula

Unde k=0,1,2,…,(n-1), avem:

Să notăm toate valorile:

Răspuns:

Întrebări pentru autocontrol

1 . Formulați definiția unui număr complex.

2. Ce număr complex se numește pur imaginar?

3. Ce două numere complexe se numesc conjugate?

4. Explicați ce înseamnă adăugarea unor numere complexe date sub formă algebrică; înmulțiți un număr complex cu un număr real.

5. Explicați principiul împărțirii numerelor complexe date sub formă algebrică.

6. Scrieți în termeni generali puterile întregi ale unității imaginare.

7. Ce înseamnă ridicarea unui număr complex dat de o formă algebrică la o putere (n este un număr natural)?

8. Spune-ne cum sunt reprezentate numerele complexe pe un plan.

9 . Ce formă de notație se numește forma trigonometrică a numerelor complexe?

10. Formulați definiția modulului și a argumentului unui număr complex.

11. Formulați regula de înmulțire a numerelor complexe scrise sub formă trigonometrică.

12. Formulați o regulă pentru aflarea câtului a două numere complexe date sub formă trigonometrică.

13. Formulați regula de ridicare a numerelor complexe date în formă trigonometrică la puteri.

14. Formulați o regulă pentru extragerea rădăcinii a n-a a unui număr complex dat în formă trigonometrică.

15. Spuneți-ne despre semnificația rădăcinii a n-a a unității și sfera de aplicare a acesteia.

1. Dezvoltarea conceptului de număr Introducerea numerelor negative – aceasta a fost făcută de matematicienii chinezi cu două secole î.Hr. e. Deja în secolul al VIII-lea, s-a stabilit că rădăcina pătrată a unui număr pozitiv are două semnificații - pozitivă și negativă, iar rădăcina pătrată nu poate fi luată din numerele negative.

Această formulă funcționează perfect în cazul în care ecuația are o rădăcină reală, iar dacă are trei rădăcini reale, atunci un număr negativ apare sub semnul rădăcinii pătrate. S-a dovedit că calea către aceste rădăcini duce prin operația imposibilă de extragere a rădăcinii pătrate a unui număr negativ.

3. Enunțul numerelor complexe în matematică Cardano a numit astfel de cantități pur negative și chiar negative din punct de vedere sofistic, le-a considerat inutile și a încercat să nu le folosească. Dar deja în 1572 a fost publicată o carte a algebristului italian R. Bombelli, în care s-au stabilit primele reguli pentru operații aritmetice pe astfel de numere, până la extragerea rădăcinilor cubice din acestea.

Denumirea numere imaginare a fost introdusă în 1637 de matematicianul și filozoful francez R. Descartes. În 1777, unul dintre cei mai mari matematicieni ai secolului al XVIII-lea, L. Euler, a propus folosirea primei litere a cuvântului francez imaginaire (imaginar) pentru a desemna un număr (o unitate imaginară). Acest simbol a intrat în uz general datorită lui K. Gauss. Termenul de numere complexe a fost introdus și de Gauss în 1831. În 1777, unul dintre cei mai mari matematicieni ai secolului al XVIII-lea, L. Euler, a propus utilizarea primei litere a cuvântului francez imaginaire (imaginar) pentru a desemna un număr (o unitate imaginară). Acest simbol a intrat în uz general datorită lui K. Gauss. Termenul de numere complexe a fost introdus și de Gauss în 1831.

Cuvântul complex (din latinescul complexus) înseamnă o legătură, o combinație, un ansamblu de concepte, obiecte, fenomene etc. care formează un singur întreg. Cuvântul complex (din latinescul complexus) înseamnă o legătură, o combinație, un ansamblu de concepte, obiecte, fenomene etc. care formează un singur întreg.

Care a legat între ele funcția exponențială cu cea trigonometrică. Folosind formula lui L. Euler, a fost posibil să se ridice numărul e la orice putere complexă. care lega între ele funcţia exponenţială cu cea trigonometrică. Folosind formula lui L. Euler, a fost posibil să se ridice numărul e la orice putere complexă.

După crearea teoriei numerelor complexe, a apărut întrebarea despre existența numerelor hipercomplexe - numere cu mai multe unități imaginare. Un astfel de sistem a fost construit în 1843 de către matematicianul irlandez W. Hamilton, care le-a numit cuaternioni După crearea teoriei numerelor complexe, a apărut întrebarea despre existența numerelor hipercomplexe - numere cu mai multe unități imaginare. Un astfel de sistem a fost construit în 1843 de către matematicianul irlandez W. Hamilton, care le-a numit cuaternioni.

Un astfel de plan se numește complex. Numerele reale de pe el ocupă axa orizontală, unitatea imaginară este reprezentată ca una pe axa verticală; din acest motiv, axele orizontale și verticale se numesc axe reale și, respectiv, imaginare.

5. Forma trigonometrică a unui număr complex. Abscisa a și ordonata b ale unui număr complex a + bi sunt exprimate în modulul r și argumentul q. Abscisa a și ordonata b ale unui număr complex a + bi sunt exprimate în modulul r și argumentul q. Formule a = r cos q, r=a/cos q a = r cos q, r=a/cos q b = r sin q, r=b/sin q b = r sin q, r=b/sin q r – lungimea vectorului ( a+bi), q – unghiul pe care îl formează cu direcția pozitivă a axei x

Numerele complexe, în ciuda falsității și invalidității lor, au o aplicație foarte largă. Ele joacă un rol semnificativ nu numai în matematică, ci și în științe precum fizica și chimia. În prezent, numerele complexe sunt utilizate în mod activ în electromecanica, industria informatică și spațială

0 adică z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q unde r > 0 i.e. z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q This" title="Prin urmare, orice număr complex poate fi reprezentat sub forma Prin urmare, orice număr complex poate fi reprezentat sub forma r( cos q + i sin q ), r(cos q + i sin q), unde r > 0 adică z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q unde r > 0 adică sau z=r* cos q + r*sin q" class="link_thumb"> 25 !} Prin urmare, orice număr complex poate fi reprezentat sub forma Prin urmare, orice număr complex poate fi reprezentat sub forma r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), unde r > 0 i.e. z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q unde r > 0 i.e. z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q Această expresie se numește forma trigonometrică normală sau, pe scurt, forma trigonometrică a unui număr complex. Această expresie se numește forma trigonometrică normală sau, pe scurt, forma trigonometrică a unui număr complex. 0 adică z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q unde r > 0 i.e. z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q Etaj"> 0 adică z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q unde r > 0 adică z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q Această expresie se numește forma trigonometrică normală sau, pe scurt, forma trigonometrică a unui număr complex. Această expresie se numește forma trigonometrică normală sau, pe scurt, forma trigonometrică a un număr complex."> 0. cei. z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q unde r > 0 i.e. z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q This" title="Prin urmare, orice număr complex poate fi reprezentat sub forma Prin urmare, orice număr complex poate fi reprezentat sub forma r( cos q + i sin q ), r(cos q + i sin q), unde r > 0 adică z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q unde r > 0 adică sau z=r* cos q + r*sin q"> title="Prin urmare, orice număr complex poate fi reprezentat sub forma Prin urmare, orice număr complex poate fi reprezentat sub forma r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), unde r > 0 i.e. z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q unde r > 0 i.e. z=a+bi sau z=r*cos q + r*sin q"> !}