Konveksnost tehnološkog sklopa elementa znači. Udžbenička teorija ponašanja potrošača. Učinkovita tehnologija postavlja granicu
Značajke inflacijskih procesa u modernoj Rusiji.
1. Pojam proizvodnje i PF. Proizvodni set.
2. Problem maksimizacije profita
3. Ravnoteža proizvođača. Tehnički napredak
4. Problem minimizacije troškova.
5. Agregacija u teoriji proizvodnje. Ravnoteža poduzeća i industrije u d/s razdoblju
(samostalno) prijedlog konkurentskih tvrtki koje imaju alternativne ciljeve
Proizvodnja– aktivnosti usmjerene na proizvodnju najveće količine materijalnih dobara ovise o broju korištenih proizvodnih čimbenika, specificiranih tehnološkim aspektom proizvodnje.
Bilo koji tehnološki proces može se prikazati pomoću vektora neto outputa, koji ćemo označiti s y. Ako prema ovoj tehnologiji tvrtka proizvodi i-ti proizvod, tada će i-ta koordinata vektora y biti pozitivna. Ako je, naprotiv, i-ti proizvod potrošen, tada će ta koordinata biti negativna. Ako se određeni proizvod ne konzumira i ne proizvodi prema ovoj tehnologiji, tada će odgovarajuća koordinata biti jednaka 0.
Skup svih tehnološki dostupnih vektora neto outputa za određeno poduzeće nazvat ćemo proizvodnim skupom poduzeća i označiti ga Y.
Svojstva proizvodnih setova:
1. Proizvodni set nije prazan, tj. Poduzeću je na raspolaganju najmanje jedan tehnološki proces.
2. Proizvodni set je zatvoren.
3. Odsutnost “roga obilja”: ako je y 0 i y ∊Y, tada je y=0. Ne možete proizvesti nešto a da ništa ne potrošite (ne y<0, т.е. ресурсов).
4. Mogućnost nedjelovanja (likvidacija): 0∊Y. u stvarnosti, mogu postojati nepovratni troškovi.
5. Sloboda potrošnje: y∊Y i y` y, zatim y`∊Y. Proizvodni set uključuje ne samo optimalne tehnologije, već i tehnologije s manjim učinkom/utroškom resursa.
6. nepovratnost. Ako je y∊Y i y 0, tada je –y Y. Ako je od 2 jedinice prvog dobra moguće proizvesti 1 drugog, tada obrnuti proces nije moguć.
7. Konveksnost: ako je y`∊Y, tada je αy + (1-α)y` ∊ Y za sve α∊. Stroga konveksnost: za sve α∊(0,1). Svojstvo 7 omogućuje vam kombiniranje tehnologija kako biste dobili druge dostupne tehnologije.
8. Povratak na ljestvicu:
Ako se, u postotcima, obujam korištenih faktora promijenio za ∆ N, a odgovarajuća promjena u izlazu bila je ∆Q, tada se javljaju sljedeće situacije:
- ∆N = ∆Q postoji proporcionalni povrat (povećanje broja faktora dovelo je do odgovarajućeg povećanja outputa)
- ∆ N< ∆Q postoje sve veći prinosi (pozitivna ekonomija razmjera) – tj. proizvodnja se povećala u većem omjeru nego što se povećao broj utrošenih faktora
- ∆N > ∆Q postoje opadajući prinosi (disekonomija razmjera) – tj. povećanje troškova dovodi do manjeg postotka povećanja proizvodnje
Ekonomija razmjera je relevantna dugoročno. Ako povećanje obujma proizvodnje ne dovodi do promjene produktivnosti rada, imamo posla sa stalnim povratom na obujam. Smanjenje prinosa na obujam prati smanjenje produktivnosti rada, dok povećanje prinosa prati povećanje.
Ako se skup proizvedenih dobara razlikuje od skupa resursa koji se koriste, a proizveden je samo jedan proizvod, tada se proizvodni skup može opisati pomoću proizvodne funkcije.
Proizvodna funkcija(PF) – odražava odnos između maksimalne proizvodnje i određene kombinacije čimbenika (rad i kapital) i na danoj razini tehnološkog razvoja društva.
Q=f(f1,f2,f3,…fn)
gdje je Q proizvodnja poduzeća za određeno vremensko razdoblje;
fi je količina i-tog resursa koji se koristi u proizvodnji proizvoda;
Tipično, postoje tri faktora proizvodnje: rad, kapital i materijali. Ograničit ćemo se na analizu dva faktora: rada (L) i kapitala (K), tada proizvodna funkcija poprima oblik: Q =f(K, L).
Vrste PF-a mogu varirati ovisno o prirodi tehnologije i mogu se predstaviti u tri vrste:
Linearni PF oblika y = ax1 + bx2 karakteriziraju konstantni prinosi na razmjer.
Leontief PF - u kojem se resursi međusobno nadopunjuju, njihovu kombinaciju određuje tehnologija, a faktori proizvodnje nisu međusobno zamjenjivi.
PF Cobb-Douglas– funkcija u kojoj korišteni čimbenici proizvodnje imaju svojstvo međusobno zamjenjivosti. Opći prikaz funkcije:
Gdje je A tehnološki koeficijent, α koeficijent elastičnosti rada, a β koeficijent elastičnosti kapitala.
Ako je zbroj eksponenata (α + β) jednak jedan, tada je Cobb-Douglasova funkcija linearno homogena, odnosno pokazuje konstantne povrate kada se mijenja opseg proizvodnje.
Proizvodna funkcija je prvi put izračunata 1920-ih za američku proizvodnu industriju, u obliku jednakosti
Za Cobb-Douglas PF:
1. Od a< 1 и b < 1, предельный продукт каждого фактора меньше среднего продукта (МРК < АРК и MPL < APL).
2. Budući da su druge derivacije proizvodne funkcije za rad i kapital negativne, može se tvrditi da ovu funkciju karakterizira opadajući granični proizvod i rada i kapitala.
3. Kako se vrijednost MRTSL smanjuje, K postupno opada. To znači da izokvante proizvodne funkcije imaju standardni oblik: to su glatke izokvante s negativnim nagibom, konveksne prema ishodištu.
4. Ovu funkciju karakterizira konstantna (jednaka 1) elastičnost supstitucije.
5. Cobb-Douglasova funkcija može karakterizirati bilo koju vrstu povrata na razmjer, ovisno o vrijednostima parametara a i b
6. Funkcija koja se razmatra može poslužiti za opisivanje različitih vrsta tehničkog napretka.
7 Parametri zakona snage funkcije su koeficijenti elastičnosti outputa u odnosu na kapital (a) i rad (b), tako da jednadžba za stopu rasta outputa (8.20) za Cobb-Douglasovu funkciju ima oblik GQ = Gz + aGK + bGL. Parametar a, dakle, karakterizira "doprinos" kapitala povećanju outputa, a parametar b karakterizira "doprinos" rada.
PF se temelji na brojnim "proizvodnim značajkama". Oni se tiču učinka outputa u tri slučaja: (1) proporcionalno povećanje svih troškova, (2) promjena strukture troškova uz konstantan output, (3) povećanje jednog faktora proizvodnje uz nepromijenjeni ostatak. slučaj (3) odnosi se na kratkoročno razdoblje.
Proizvodna funkcija s jednim varijabilnim faktorom ima oblik:
Vidimo da se najučinkovitija promjena faktora varijable X opaža na segmentu od točke A do točke B. Ovdje se granični proizvod (MP), nakon što je dosegnuo svoju maksimalnu vrijednost, počinje smanjivati, prosječni proizvod (AP) i dalje raste , ukupni proizvod (TP) prima najveći rast.
Zakon opadajućih povrata(zakon opadajućeg graničnog proizvoda) - definira situaciju u kojoj postizanje određenih obujma proizvodnje dovodi do smanjenja proizvodnje gotovih proizvoda po dodatno uvedenoj jedinici resursa.
Obično se određena količina može proizvesti različitim proizvodnim metodama. To je zbog činjenice da su čimbenici proizvodnje u određenoj mjeri međusobno zamjenjivi. Moguće je nacrtati izokvante koje odgovaraju svim proizvodnim metodama potrebnim za proizvodnju određenog volumena. Kao rezultat toga, dobivamo mapu izokvante, koja karakterizira odnos između svih mogućih kombinacija ulaznih i izlaznih razina i stoga je grafički prikaz proizvodne funkcije.
Izokvanta ( linija jednakog outputa - izokvanta) – krivulja koja odražava sve kombinacije faktora proizvodnje koji osiguravaju isti output.
Skup izokvanti, od kojih svaka pokazuje maksimalni učinak postignut korištenjem određenih kombinacija resursa, naziva se karta izokvanti. Što je izokvanta dalje od ishodišta, to je više resursa uključeno u proizvodne metode smještene na njoj i veće su veličine izlaza koje karakterizira ova izokvanta (Q3> Q2> Q1).
Izokvanta i njezin oblik odražavaju ovisnost koju određuje PF. Dugoročno gledano, postoji određena međusobna komplementarnost (potpunost) faktora proizvodnje, međutim, bez smanjenja outputa, vjerojatna je i određena zamjenjivost ovih faktora proizvodnje. Stoga se različite kombinacije resursa mogu koristiti za proizvodnju dobra; moguće je proizvesti ovo dobro koristeći manje kapitala i više rada, i obrnuto. U prvom slučaju proizvodnja se smatra tehnički učinkovitom u usporedbi s drugim slučajem. Međutim, postoji ograničenje koliko se rada može zamijeniti s više kapitala bez smanjenja proizvodnje. S druge strane, postoji ograničenje upotrebe ručnog rada bez upotrebe strojeva. Razmotrit ćemo izokvantu u zoni tehničke supstitucije.
Razinu zamjenjivosti faktora odražava pokazatelj maksimalna stopa tehničke zamjene. – omjer u kojem se jedan faktor može zamijeniti drugim uz zadržavanje istog volumena proizvodnje; odražava nagib izokvante.
MRTS=- ∆K / ∆ L = MP L / MP K
Kako bi output ostao nepromijenjen kada se promijeni količina korištenih čimbenika proizvodnje, količine rada i kapitala moraju se mijenjati u različitim smjerovima. Ako se iznos kapitala smanji (AK< 0), то количество труда должно увеличиваться (AL >0). U međuvremenu, granična stopa tehničke supstitucije jednostavno je omjer u kojem se jedan čimbenik proizvodnje može zamijeniti drugim i, kao takva, uvijek je pozitivna veličina.
Nastavimo proučavati modele uravnoteženog ekonomskog rasta na općenitijoj razini i prijeđimo na modele ekonomskog blagostanja koji su im bliski. Potonji, kao i modeli rasta, pripadaju normativnim modelima.
Kada govorimo o ekonomiji blagostanja, mislimo na njen razvoj kada svi potrošači ravnomjerno dostignu maksimum svoje korisnosti. Međutim, u praksi se takva idealna situacija događa vrlo rijetko, budući da se dobrobit jednih često postiže na račun pogoršanja stanja drugih. Stoga je realnije govoriti o razini distribucije dobara kada nijedan potrošač ne može povećati svoje blagostanje a da ne zadire u interese drugih potrošača.
Ako, duž putanje ravnotežnog rasta, niti jedan potrošač, kao ni proizvođač, ne može kupiti više bez dodatnih troškova (nema profita u ravnoteži), onda kada se gospodarstvo razvija duž putanje takvog "blagostanja", nijedan potrošač ne može postati bogatiji a da ne postane siromašniji u isto vrijeme drugi.
Iz prethodnog odjeljka proizlazi da uzimanje u obzir privremenih čimbenika u matematičkim modelima gospodarstva pomaže otkriti sasvim logičnu vezu između ekonomskih procesa i prirodnog rasta proizvodnih i potrošačkih sposobnosti. Prema linearnim modelima, uz određene pretpostavke, stopa takvog rasta jednaka je postotku kapitala, a odgovarajući proces ekonomske ekspanzije karakterizira ravnomjerno povećanje intenziteta proizvodnje svih proizvoda i ravnomjerno smanjenje njihovih cijena. U ovom ćemo odjeljku formulirati opći dinamički model proizvodnje, pokrivajući prethodno razmatrane linearne modele kao posebne slučajeve, te proučavati pitanja uravnoteženog rasta u njemu.
Općenitost modela koji se ovdje razmatra je da se proizvodni proces opisuje ne kroz proizvodnu funkciju općenito, a posebno kroz linearnu proizvodnu funkciju (kao u modelima Leontief i Neumann), već pomoću tzv. tehnološki set.
Tehnološki set(označimo ga simbolom ) - to je skup ekonomskih transformacija kada je proizvodnja proizvoda po troškovima tehnološki moguća ako i samo ako . Par se zove proces proizvodnje, stoga skup predstavlja skup svih proizvodnih procesa mogućih s određenom tehnologijom. Na primjer, u modelu Leontieva tehnološki skup j-th industrija ima oblik 
gdje je bruto proizvodnja j-ti proizvod, i - j stupac tehnološke matrice A. Dakle, tehnološki sklop u Leontjevljevom modelu kao cjelini jest 
a u Neumannovom modelu - 
Proces proizvodnje, općenito govoreći, može sadržavati proizvode koji se troše i puštaju u promet (na primjer, goriva i maziva, brašno, meso itd.). U ekonomskim i matematičkim modelima, radi veće općenitosti, često se pretpostavlja da se svaki proizvod može i potrošiti i proizvesti (na primjer, u modelima Leontiev i Neumann). U ovom slučaju vektori x I g imaju iste dimenzije i njihove odgovarajuće komponente predstavljaju iste proizvode.
Neka bude potrošeni volumen ja-ti proizvod, a je njegov izlazni volumen. Tada se razlika zove neto izdanje u nastajanju . Stoga se umjesto proizvodnog procesa često razmatra vektor neto outputa, karakterizirajući ovu razliku kao teći(ili intenzitet), tj. iznos neto outputa po jedinici vremena. Pod tehnološkim se skupom u ovom slučaju podrazumijeva skup svih mogućih čistih outputa. a vektor se zove obraditi koncem.
Nabrojimo neka svojstva tehnološkog sklopa, koja su odraz temeljnih zakona proizvodnje.
Različiti proizvodni procesi mogu se usporediti u smislu učinkovitosti i profitabilnosti.
Za proces se kaže da je učinkovitiji od procesa ako , . Proces se zove djelotvoran, osim ako ne sadrži učinkovitije procese od .
Neka je vektor cijene. Kažu proces isplativije nego proces ako vrijednost nije manja od vrijednosti .
Ove dvije opcije za prirodnu i troškovnu procjenu procesa ispadaju gotovo jednake.
Teorem 6.1. Neka bude tehnološki skup. Tada a) ako, s obzirom na vektor cijene, proces maksimizira profit na skupu, tada je to učinkovit proces; b) ako je u konveksan i učinkovit je proces, tada postoji vektor cijene takav da profit doseže maksimum pri
Odredimo strukturu tehnološkog sklopa za one modele koji uzimaju u obzir faktor vremena. Razmotrimo plansko razdoblje s diskretnim točkama. Neka gospodarstvo karakterizira zaliha robe u godini (tj. na početku planskog razdoblja) 
U ovom slučaju kaže se da je ekonomija u stanju . Do kraja razdoblja ekonomija dolazi u drugo stanje, koje je predodređeno prethodnim stanjem. U ovom slučaju kažu da je proizvodni proces proveden tamo gdje je zadani tehnološki sklop. Ovdje se vektor smatra troškovima nastalim na početku razdoblja i kao output koji odgovara tim troškovima, proizveden s vremenskim odmakom od jedne godine. U sljedećim fazama proizvodnje imamo 
itd. Na ovaj način se provodi dinamika ekonomskog razvoja. Takvo ekonomsko kretanje je samoodrživo, jer se proizvodi u sustavu reproduciraju bez ikakvog priljeva izvana.
Konačni niz vektora naziva se prihvatljiva ekonomska putanja(opisano tehnološkim skupom Z) na vremenskom intervalu ako svaki par njegova dva uzastopna člana pripada skupu Z, tj. 
Označimo sa skup svih dopustivih trajektorija na intervalu koji odgovara početnom stanju
Neka 
Za putanju se kaže da je učinkovitija nego ako se pozove Putanja učinkovita putanja, ako ne sadrži učinkovitiju putanju od . Putanja se zove isplativije nego ako 
Klikom na gumb "Preuzmi arhivu" potpuno besplatno preuzimate potrebnu datoteku.
Prije nego što preuzmete ovu datoteku, razmislite o onim dobrim esejima, testovima, seminarskim radovima, disertacijama, člancima i drugim dokumentima koji leže nezatraženi na vašem računalu. Ovo je vaš rad, treba sudjelovati u razvoju društva i koristiti ljudima. Pronađite ove radove i pošaljite ih u bazu znanja.
Mi i svi studenti, diplomanti, mladi znanstvenici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu bit ćemo vam jako zahvalni.
Za preuzimanje arhive s dokumentom unesite peteroznamenkasti broj u polje ispod i kliknite gumb "Preuzmi arhivu"
Slični dokumenti
Bit troškova proizvodnje, njihova klasifikacija. Glavni pravci smanjenja troškova proizvodnje. Ekonomska bit i funkcije profita. Poslovni i neposlovni troškovi. Proučavanje odnosa između troškova proizvodnje i dobiti poduzeća.
kolegij, dodan 24.05.2014
Predmet i funkcije ekonomske teorije. Proizvod i njegova svojstva. Načela granične korisnosti. Teorija novca K. Marxa. Pojam likvidnosti, troškova i prihoda poduzeća. Vrste i obilježja konkurencije. Model agregatne ponude i potražnje. Porezi, njihove funkcije.
varalica, dodano 01.11.2011
Predmet ekonomske teorije, struktura i funkcije. Ekonomski zakoni i njihova klasifikacija. Radna teorija vrijednosti. Proizvod i njegova svojstva. Dvojna priroda rada utjelovljena u proizvodu. Vrijednost proizvoda. Zakon vrijednosti i njegove funkcije.
varalica, dodano 22.10.2009
Problemi troškova proizvodnje kao predmet istraživanja ekonomista. Suština troškova proizvodnje i njihove vrste. Uloga dobiti u razvoju poduzetništva. Bit i funkcije profita, njegove vrste. Profitabilnost poduzeća i njeni pokazatelji.
kolegij, dodan 28.11.2012
Bit i značaj gospodarskog rasta. Vrste i metode mjerenja gospodarskog rasta. Osnovna svojstva Cobb-Douglasove funkcije. Pokazatelji i modeli gospodarskog rasta. Čimbenici ograničenja gospodarskog rasta. Derivacija funkcije i njezina svojstva.
kolegij, dodan 26.06.2012
Bit i glavne funkcije profita. Ekonomska učinkovitost modernizacije tehnološke opreme i korištenja inovativnih tehnologija u sanaciji cestovnih površina. Rezerve za povećanje dobiti u građevinskoj organizaciji.
diplomski rad, dodan 04.07.2013
Bit profita u ekonomskoj znanosti: pojam, vrste, oblici, metode planiranja. Suština metode izravnog brojanja, kombinirani obračun. Glavni načini povećanja dobiti u ruskim poduzećima u modernim uvjetima. Odnos između plaća i dobiti.
kolegij, dodan 18.12.2017
Karakteriziraju ga varijable koje aktivno sudjeluju u promjeni proizvodne funkcije (kapital, zemlja, rad, vrijeme). Neutralni tehnički napredak određen je takvim tehničkim promjenama (autonomnim ili materijalnim) koje ne narušavaju ravnotežu, odnosno ekonomski i socijalno sigurnim za društvo. Zamislimo sve to u obliku dijagrama (vidi dijagram 4.1.).
Razmatraju se glavni standardni modeli za optimizaciju proizvodnih aktivnosti poduzeća s linearnim tehnološkim sklopom, statistički i dinamički modeli za planiranje proizvodnih ulaganja, pitanja ekonomske i matematičke analize poslovnih odluka temeljena na korištenju aparata dualnih procjena. Navedeni su glavni pristupi problemu ocjene kvalitete proizvodnih ulaganja, metode i pokazatelji za ocjenu njihove učinkovitosti.
Razmotrimo slučaj, koji je vrlo važan za primjenu modela, kada je tehnološki skup proizvodnog sustava linearan konveksan skup, tj. kada se proizvodni model pokaže linearnim.
Komentar. Zajedno, pretpostavke 2.1 i 2.2 znače da je tehnološki skup konveksni stožac. Pretpostavka 2.3, ističući linearne tehnologije, znači da je ovaj stožac konveksni poliedar u poluprostoru
Može li se reći da je u gospodarskom području poduzeća s linearnim tehnološkim sklopom proizvodna funkcija monotona. Kako je definiranje proizvodne funkcije povezano s kriterijem optimalnosti u Kantorovichevom problemu?
Relacija (3.26) omogućuje označavanje specifične vrste proizvodne funkcije za model proizvodnog sustava s linearnim tehnološkim skupom (model (1.1)-(1.6) razmatran gore)
Opći tehnološki skup elementa proizvodnje može se dobiti kao rezultat kombiniranja svih input-output vektora prihvatljivih sa stajališta uvjeta (2.1.2) i (2.1.3)
Opis tehnološkog sklopa jednoproizvodnog elementa iz prethodnog odlomka je najjednostavniji. Uzimanje u obzir dodatnih svojstava tehnologije elementa dovodi do potrebe da se nadopuni nizom značajki. U ovom ćemo odlomku pogledati neke od njih. Naravno, gornja razmatranja ne iscrpljuju sve mogućnosti dostupne u tom smjeru.
Odvojivi konveksni proizvodni model. Uzimanje u obzir faktora nelinearnosti u modelu proizvodnih ograničenja opisanog u prethodnom primjeru dovodi do nelinearnog odvojivog modela elementa s više proizvoda. Nelinearnost se uzima u obzir uvođenjem nelinearnih odvojivih proizvodnih funkcija. Tehnološki sklop višeproizvodnog elementa s takvim proizvodnim funkcijama ima oblik
U razmatranim tehnološkim modelima proizvodnih elemenata, opis tehnološkog skupa dat je specificiranjem skupa prihvatljivih troškova i skupa prihvatljivih outputa za svaku razinu troškova. Opisi ove vrste prikladni su u problemima kao što je optimalna alokacija resursa, u kojima je za zadane razine potrošnje resursa potrebno odrediti prihvatljive i najučinkovitije (u smislu jednog ili drugog kriterija) razine izlaza. Istovremeno, u praksi (osobito u planskom gospodarstvu) postoji i neka vrsta obrnutog problema, kada je razina proizvodnje elemenata određena planom i potrebno je odrediti prihvatljive i minimalne razine troškova elementi. Problemi ove vrste mogu se konvencionalno nazvati problemima optimalne realizacije planiranog proizvodnog programa. U takvim problemima prikladno je primijeniti obrnuti slijed opisa tehnološkog skupa proizvodnog elementa, prvo specificirajući skup U dopuštenih učinaka i g = U, a zatim za svaku prihvatljivu razinu učinka - skup V (i) dopuštenih troškova v E = V (i).
Opći tehnološki sklop Y proizvodnog elementa ima oblik
Na sl. 3.4 ovo ograničenje zadovoljavaju sve točke tehnološkog skupa koje se nalaze iznad segmenta EC ili leže na njemu.
Izvorni je najvećim dijelom i materijal 4.21. U radu je provedena procjena učinkovitosti tržišnih mehanizama koji osiguravaju postojanje jedinstvene kontrole ravnoteže. Materijal 4.21 je proširenje ovih radova. Razmatranje dražbene sheme u tržišnom sustavu provodi se prema. Dobro poznati model, razmatran kao primjer u ovom paragrafu, je model tržišne ekonomije. Detaljna rasprava o tome može se naći, na primjer, u djelima. U 4.21 pretpostavili smo da tržišna ravnoteža postoji. Kao što pokazuje razmatranje dražbene sheme u tržišnom sustavu, ova situacija ne mora uvijek biti slučaj. Razmatranje pitanja vezanih uz postojanje ravnoteže u tržišnim modelima jedno je od središnjih pitanja matematičke ekonomije. U odnosu na konkurentske ekonomske modele, postojanje ravnoteže utvrdio je niz autora pod različitim pretpostavkama. Tipično, dokaz pretpostavlja konveksnost funkcija korisnosti (ili preferencija) potrošača i tehnoloških skupova proizvođača. Dana je generalizacija Arrow-Debreuovog modela za slučaj kontinuuma igrača. Istodobno je bilo moguće napustiti pretpostavke o konveksnosti funkcija preferencija potrošača.
Svakog proizvođača (tvrtku) j karakterizira tehnološki skup Y. - skup tehnološki izvedivih l-dimenzionalnih vektora troškova - outputa, čije pozitivne komponente odgovaraju proizvedenim količinama, a negativne utrošenim količinama. Pretpostavlja se da proizvođač odabire input-output vektor tako da ostvari maksimalnu dobit. Istodobno, on, poput potrošača, ne pokušava utjecati na cijene, prihvaćajući ih kao dane. Stoga je njegov izbor rješenje sljedećeg problema
Iz (16) također slijedi slabi aksiom otkrivene preferencije. Nejednakost (16) je sigurno zadovoljena ako je potražnja svakog potrošača strogo monotona i ne postavljaju se posebni zahtjevi na tehnološke skupove. Tumačenje uvjeta monotonosti i niz povezanih rezultata dani su u. Za glatke funkcije viška potražnje, jedinstvenost ravnoteže također je osigurana uvjetom dominantne dijagonale. Ovaj uvjet znači da je modul derivacije potražnje za svaki proizvod po cijeni tog proizvoda veći od zbroja modula svih derivacija potražnje za istim.
Model proizvođača. Pri izboru obujma proizvodnje yj = y k, svaka tvrtka j e J ograničena je svojim tehnološkim skupom YJ s 1R1. Ovi skupovi dopuštenih tehnologija mogu se specificirati, posebice, u obliku (implicitnih) proizvodnih funkcija fj(yj) YJ = UZ e Rl /,(%) > 0. Drugi prikladan prikaz (kada se proizvodi samo jedno dobro h) je u obliku eksplicitne proizvodne funkcije y 0.
Tehnološki skup i njegova svojstva
TEHNOLOŠKI SKUP - vidi Proizvodni set, Tehnološki način.
Razmotrit ćemo opis jednog specifičnog tipa tehnološkog sklopa za proizvodni element koji troši više vrsta inputa i proizvodi proizvode samo jedne vrste (jednoproizvodni proizvodni element). Vektor stanja takvog elementa ima oblik yt- (vtl, viz,..., v. x, ut). Dobro poznati način opisivanja tehnološkog skupa elementa jednog proizvoda temelji se na konceptu proizvodne funkcije i glasi kako slijedi.
Obično se pretpostavlja da je tehnološki skup elementa konveksni, zatvoreni podskup euklidskog prostora Eth dimenzije m O E Y d Em koji sadrži nulti element.
Metode za predstavljanje tehnoloških skupova proizvodnih elemenata razmatrane u prethodnom odlomku karakteriziraju njihova svojstva, ali ne specificiraju eksplicitno opis. Za jednoproizvodne proizvodne elemente eksplicitni opis tehnološkog sklopa može se specificirati pomoću koncepta proizvodne funkcije. U 1.2 već smo se dotakli ovog koncepta i njegove upotrebe, u ovom odjeljku nastavit ćemo razmatrati ta pitanja.
Korištenje proizvodnih funkcija jednog proizvoda za opisivanje tehnološkog sklopa elementa više proizvoda. Ako element s više proizvoda proizvodi određene vrste proizvoda, dok troši /gevx vrste inputa, tada njegovi ulazni i izlazni vektori imaju oblik v = (i>i, vz,..., Vy x) i u = (m1g w2,... , itvykh).
Odgovara dijelu tehnološkog sklopa, ograničenom zakrivljenim trokutom AB (označen sjenčanjem na sl. 3.4).
Arrow-Deb-re-McKsnziejev model decentralizirane ekonomije. Opći model decentralizirane ekonomije opisuje proizvodnju, potrošnju i decentralizirano gospodarstvo
2. Proizvodni skupovi i proizvodne funkcije
2.1. Proizvodni setovi i njihova svojstva
Razmotrimo najvažnijeg sudionika u ekonomskim procesima - pojedinačnog proizvođača. Proizvođač ostvaruje svoje ciljeve samo preko potrošača i stoga mora pogoditi, razumjeti što on želi i zadovoljiti njegove potrebe. Pretpostavit ćemo da postoji n različitih dobara, količina n-tog proizvoda označena je s x n, zatim je određeni skup dobara označen s X = (x 1, ..., x n). Razmatrat ćemo samo nenegativne količine dobara, tako da je x i 0 za bilo koji i = 1, ..., n ili X > 0. Skup svih skupova dobara naziva se prostor dobara C. Skup od roba se može tretirati kao košarica u kojoj ta roba leži u odgovarajućim količinama.
Neka ekonomija djeluje u prostoru dobara C = (X = (x 1, x 2, …, x n): x 1, …, x n 0). Prostor proizvoda sastoji se od nenegativnih n-dimenzionalnih vektora. Razmotrimo sada vektor T dimenzije n, čijih je prvih m komponenata nepozitivnih: x 1, …, x m 0, a zadnjih (n-m) komponenti su nenegativnih: x m +1, …, x n 0. Vektor X = (x 1,…, x m ) nazovimo vektor troškova, i vektor Y = (x m+1 , …, x n) – vektor oslobađanja. Nazovimo vektor T = (X,Y) input-output vektor, odnosno tehnologija.
Tehnologija (X,Y) je u svom značenju način prerade resursa u gotove proizvode: “miješanjem” resursa u količini X dobivamo proizvode u količini Y. Svakog specifičnog proizvođača karakterizira određeni skup τ tehnologija, što je tzv set za proizvodnju. Tipičan osjenčani skup prikazan je na sl. 2.1. Ovaj proizvođač koristi jedan proizvod za proizvodnju drugog.
Riža. 2.1. Proizvodni set
Proizvodni set odražava širinu mogućnosti proizvođača: što je veći, to su njegove mogućnosti šire. Proizvodni set mora zadovoljiti sljedeće uvjete:
zatvoren je - to znači da ako je ulazno-izlazni vektor T aproksimiram onoliko točno koliko je potrebno vektorima iz τ, tada T također pripada τ (ako sve točke vektora T leže u τ, tada je Tτ vidi sl. 2.1 točke C i B);
u τ(-τ) = (0), tj. ako je Tτ, T ≠ 0, tada -Tτ – troškovi i učinak se ne mogu zamijeniti, tj. proizvodnja je ireverzibilan proces (set – τ je u četvrtom kvadrantu , gdje je y 0);
skup je konveksan, ova pretpostavka dovodi do smanjenja povrata na obrađene resurse s povećanjem obujma proizvodnje (do povećanja stope izdataka za gotove proizvode). Dakle, sa Sl. 2.1 jasno je da y/x opada kao x -. Konkretno, pretpostavka konveksnosti dovodi do smanjenja produktivnosti rada kako se proizvodnja povećava.
Često konveksnost jednostavno nije dovoljna, pa je tada potrebna stroga konveksnost proizvodnog seta (ili nekog njegovog dijela).
2.2. Krivulja proizvodnih mogućnosti
i oportunitetni troškovi
Koncept proizvodnog skupa koji se razmatra odlikuje se visokim stupnjem apstrakcije i, zbog svoje krajnje općenitosti, malo je koristan za ekonomsku teoriju.
Razmotrite, na primjer, Sl. 2.1. Počnimo s točkama B i C. Troškovi za ove tehnologije su isti, ali je učinak drugačiji. Proizvođač, ako nije lišen zdravog razuma, nikada neće izabrati tehnologiju B, budući da postoji bolja tehnologija C. U ovom slučaju (vidi sl. 2.1), nalazimo za svaki x 0 najvišu točku (x, y ) u proizvodnom setu . Očito, po cijeni x, tehnologija (x, y) je najbolja. Nema tehnologije (x, b) s b proizvodnom funkcijom. Točna definicija proizvodne funkcije:
Y = f(x)(x, y) τ, a ako je (x, b) τ i b y, tada je b = x .
Od sl. 2.1 jasno je da je za svaki x 0 takva točka y = f(x) jedinstvena, što nam, zapravo, omogućuje govoriti o proizvodnoj funkciji. Ali situacija je tako jednostavna ako se proizvodi samo jedan proizvod. U općem slučaju za vektor troškova X označavamo skup M x = (Y:(X,Y)τ). Postavite M x – je skup svih mogućih outputa po troškovima X. U ovom skupu, razmotrite "krivulju" proizvodnih mogućnosti K x = (YM x: ako ZM x i Z Y, tada je Z = X), tj. K x – ovo su mnoga od najboljih izdanja, nema boljeg. Ako se proizvode dva dobra, onda je to krivulja, ali ako se proizvode više od dva dobra, onda je to ploha, tijelo ili skup još većih dimenzija.
Dakle, za bilo koji vektor troškova X, svi najbolji rezultati leže na krivulji proizvodnih mogućnosti (površini). Stoga, iz ekonomskih razloga, proizvođač mora odabrati tehnologiju od tamo. Za slučaj puštanja dva dobra y 1, y 2, slika je prikazana na sl. 2.2.
Ako radimo samo s fizičkim pokazateljima (tonama, metrima, itd.), tada za dani vektor troškova X moramo odabrati samo vektor outputa Y na krivulji proizvodnih mogućnosti, ali još se ne može odlučiti koji konkretni output treba izabrati. Ako je sam proizvodni skup τ konveksan, tada je M x također konveksan za bilo koji vektor troškova X. U nastavku će nam trebati stroga konveksnost skupa M x. U slučaju outputa dva dobra to znači da tangenta na krivulju proizvodnih mogućnosti K x ima samo jednu zajedničku točku s tom krivuljom.
Riža. 2.2. Krivulja mogućnosti proizvodnje
Razmotrimo sada pitanje tzv oportunitetni troškovi. Pretpostavimo da je izlaz fiksiran u točki A(y 1 , y 2), vidi sliku. 2.2. Sada postoji potreba za povećanjem outputa 2. proizvoda za y 2, koristeći, naravno, isti skup troškova. To se može učiniti, kao što se može vidjeti na sl. 2.2, prijenos tehnologije u točku B, za koju će, s povećanjem proizvodnje drugog proizvoda za y 2, biti potrebno smanjiti proizvodnju prvog proizvoda za y 1.
Pripisanotroškoviprvi proizvod u odnosu na drugi u točki A nazvao
. Ako je krivulja proizvodnih mogućnosti dana implicitnom jednadžbom F(y 1 ,y 2) = 0, tada je δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), gdje je parcijalne derivacije uzimaju se u točki A. Ako pažljivo pogledate predmetnu sliku, naći ćete zanimljiv obrazac: kada se krivulja proizvodnih mogućnosti pomiče s lijeve strane, oportunitetni troškovi se smanjuju od vrlo velikih vrijednosti do vrlo malih .
2.3. Proizvodne funkcije i njihova svojstva
Proizvodna funkcija je analitički odnos koji povezuje varijabilne vrijednosti troškova (čimbenika, resursa) s količinom outputa. Povijesno gledano, jedan od prvih radova na izgradnji i korištenju proizvodnih funkcija bio je rad na analizi poljoprivredne proizvodnje u Sjedinjenim Državama. Godine 1909. Mitscherlich je predložio nelinearnu funkciju proizvodnje: gnojiva - prinos. Neovisno, Spillman je predložio jednadžbu eksponencijalnog prinosa. Na njihovoj osnovi izgrađen je niz drugih agrotehničkih proizvodnih funkcija.
Proizvodne funkcije dizajnirane su za modeliranje proizvodnog procesa određene gospodarske jedinice: zasebne tvrtke, industrije ili cjelokupnog gospodarstva države u cjelini. Uz pomoć proizvodnih funkcija rješavaju se sljedeći problemi:
procjena povrata resursa u procesu proizvodnje;
predviđanje gospodarskog rasta;
izrada opcija za plan razvoja proizvodnje;
optimiziranje funkcioniranja poslovne jedinice prema zadanom kriteriju i ograničenjima resursa.
Opći oblik proizvodne funkcije: Y = Y(X 1, X 2, ..., X i, ..., X n), gdje je Y pokazatelj koji karakterizira rezultate proizvodnje; X – pokazatelj faktora i-tog proizvodnog resursa; n – broj faktorskih pokazatelja.
Proizvodne funkcije određuju dvije skupine pretpostavki: matematičke i ekonomske. Matematički, očekuje se da proizvodna funkcija bude kontinuirana i dvostruko diferencijabilna. Ekonomske pretpostavke su sljedeće: u nedostatku barem jednog proizvodnog resursa, proizvodnja je nemoguća, tj. Y(0, X 2, ..., X i, ..., X n) =
Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …
Y(X 1, X 2, …, 0, …, X n) = …
Y(X 1, X 2, …, X i, …, 0) = 0.
Međutim, jedini učinak Y za zadane troškove X nije moguće na zadovoljavajući način odrediti prirodnim pokazateljima: naš izbor suzio se samo na “krivulju” proizvodnih mogućnosti K x . Iz tih razloga razvijena je samo teorija proizvodnih funkcija proizvođača čiji se output može karakterizirati jednom vrijednošću - ili obujmom outputa, ako se proizvodi jedan proizvod, ili ukupnom vrijednošću cjelokupnog outputa.
Troškovni prostor je m-dimenzionalan. Svaka točka u prostoru troškova X = (x 1, ..., x m) odgovara pojedinačnom maksimalnom učinku (vidi sliku 2.1) proizvedenom korištenjem tih troškova. Taj se odnos naziva proizvodna funkcija. Međutim, proizvodna se funkcija obično shvaća manje restriktivno i svaki funkcionalni odnos između inputa i outputa smatra se proizvodnom funkcijom. U nastavku ćemo pretpostaviti da proizvodna funkcija ima potrebne derivacije. Pretpostavlja se da proizvodna funkcija f(X) zadovoljava dva aksioma. Prvi od njih navodi da postoji podskup prostora troškova tzv gospodarsko područje E, u kojem povećanje bilo koje vrste inputa ne dovodi do smanjenja outputa. Dakle, ako su X 1, X 2 dvije točke ovog područja, tada X 1 X 2 implicira f(X 1) f(X 2). U diferencijalnom obliku, to se izražava u činjenici da su u ovom području sve prve parcijalne derivacije funkcije nenegativne: f/x 1 ≥ 0 (za svaku rastuću funkciju derivacija je veća od nule). Te se izvedenice nazivaju marginalni proizvodi, a vektor f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – vektor marginalnih proizvoda (pokazuje koliko će se puta proizvodnja promijeniti kada se promijene troškovi).
Drugi aksiom kaže da postoji konveksni podskup S ekonomske domene za koji su podskupovi (XS:f(X) a) konveksni za sve a 0. U ovom podskupu S, Hessova matrica sastavljena od druge derivacije funkcije f(X) , negativno je određena, dakle, 2 f/x 2 i
Zadržimo se na ekonomskom sadržaju ovih aksioma. Prvi aksiom kaže da proizvodna funkcija nije neka potpuno apstraktna funkcija koju je izmislio matematički teoretičar. Ona, doduše ne u čitavom domenu definicije, nego samo u jednom njezinom dijelu, odražava ekonomski važnu, neosporivu i ujedno trivijalnu tvrdnju: VU razumnoj ekonomiji povećanje troškova ne može dovesti do smanjenja proizvodnje. Iz drugog aksioma objasnit ćemo samo ekonomsko značenje zahtjeva da derivacija 2 f/x 2 i bude manja od nule za svaku vrstu troška. Ovo se svojstvo u ekonomiji naziva izaZakon opadajućih prinosa ili opadajući prinosi: kako troškovi rastu, počevši od određenog trenutka (prilikom ulaska u regiju S!), pogranični proizvod se počinje smanjivati. Klasičan primjer ovog zakona je dodavanje sve više i više rada u proizvodnju žitarica na fiksnom komadu zemlje. U nastavku se pretpostavlja da se proizvodna funkcija razmatra na području S u kojem vrijede oba aksioma.
Možete stvoriti proizvodnu funkciju za određeno poduzeće, a da o njoj ne znate ništa. Samo trebate postaviti brojač (bilo osobu ili neku vrstu automatskog uređaja) na vrata poduzeća, koji će bilježiti X - uvezene resurse i Y - količinu proizvoda koje je poduzeće proizvelo. Ako akumulirate dovoljnu količinu takvih statičkih informacija i uzmete u obzir rad poduzeća na različite načine, tada možete predvidjeti proizvodnju, znajući samo količinu uvezenih resursa, a to je poznavanje proizvodne funkcije.
2.4. Cobb-Douglasova proizvodna funkcija
Razmotrimo jednu od najčešćih proizvodnih funkcija - Cobb-Douglasovu funkciju: Y = AK L , gdje su A, , > 0 konstante, +
Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.
Negativnost druge djelomične derivacije, tj. opadajućih graničnih proizvoda: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.
Prijeđimo na glavne ekonomske i matematičke karakteristike Cobb-Douglasove proizvodne funkcije. Prosječna produktivnost rada definira se kao y = Y/L – omjer obujma proizvedenog proizvoda i količine utrošenog rada; prosječna produktivnost kapitala k = Y/K – omjer obujma proizvedenog proizvoda i vrijednosti sredstava.
Za Cobb-Douglasovu funkciju prosječna produktivnost rada y = AK L , a zbog uvjeta s povećanjem troškova rada prosječna produktivnost rada opada. Ovaj zaključak dopušta prirodno objašnjenje - budući da vrijednost drugog faktora K ostaje nepromijenjena, to znači da novoprivučena radna snaga nema dodatna sredstva za proizvodnju, što dovodi do smanjenja produktivnosti rada (to vrijedi i za najopćenitiji slučaj – na razini proizvodnih skupova).
Granična produktivnost rada Y/L = AβK α L β -1 > 0, što pokazuje da je za Cobb-Douglasovu funkciju granična produktivnost rada proporcionalna prosječnoj produktivnosti i manja od nje. Prosječna i granična produktivnost kapitala određuju se na sličan način. Za njih također vrijedi navedeni omjer - granična produktivnost kapitala proporcionalna je prosječnoj produktivnosti kapitala i manja je od nje.
Važna karakteristika je kao što je odnos kapitala i rada f = K/L, iskazivanje obujma sredstava po zaposlenom (po jedinici rada).
Nađimo sada radnu elastičnost proizvodnje:
(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.
Dakle, smisao je jasan parametar - Ovo elastičnost (omjer granične produktivnosti rada i prosječne produktivnosti rada) outputa po radu. Radna elastičnost proizvodnje znači da je za povećanje proizvodnje za 1% potrebno povećati obujam resursa rada za %. Ima slično značenje parametar – je elastičnost proizvodnje između fondova.
I još jedno značenje se čini zanimljivim. Neka je + = 1. Lako je provjeriti da je Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (zamjenjujući prethodno izračunate Y/K, Y/L u ovu formulu). Pretpostavimo da se društvo sastoji samo od radnika i poduzetnika. Tada se dohodak Y dijeli na dva dijela – dohodak radnika i dohodak poduzetnika. Budući da se pri optimalnoj veličini poduzeća vrijednost Y/L - granični proizvod rada - podudara s nadnicom (ovo se može dokazati), tada (Y/L)L predstavlja dohodak radnika. Slično, vrijednost Y/K je granični povrat na kapital čije je ekonomsko značenje profitna stopa, dakle, (Y/K)K predstavlja prihod poduzetnika.
Cobb-Douglasova funkcija najpoznatija je među svim proizvodnim funkcijama. U praksi se pri njegovoj konstrukciji ponekad odustaje od nekih zahtjeva (npr. zbroj + može biti veći od 1 itd.).
Primjer 1. Neka proizvodna funkcija bude Cobb-Douglasova funkcija. Za povećanje outputa za a = 3%, potrebno je povećati dugotrajnu imovinu za b = 6% ili broj zaposlenih za c = 9%. Trenutno jedan radnik proizvodi proizvode u vrijednosti M = 10 4 rubalja mjesečno . , a ukupan broj zaposlenih je L = 1000. Osnovna sredstva procijenjena su na K = 10 8 rubalja. Pronađite proizvodnu funkciju.
Riješenje. Nađimo koeficijente , : = a/b = 3/6 = 1/2, = a/c = = 3/9 = 1/3, dakle, Y = AK 1/2 L 1/3. Da bismo pronašli A, zamijenimo vrijednosti K, L, M u ovu formulu, imajući na umu da je Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = A(10 8) 1/2 1000 1/3. Stoga je A = 100. Dakle, proizvodna funkcija ima oblik: Y = 100K 1/2 L 1/3.
2.5. Teorija poduzeća
U prethodnom odjeljku, pri analizi i modeliranju ponašanja proizvođača, koristili smo se samo prirodnim pokazateljima i bez cijena, ali nismo mogli konačno riješiti problem proizvođača, odnosno naznačiti jedini pravac njegovog djelovanja u trenutnoj Uvjeti. Razmotrimo sada cijene. Neka je P vektor cijene. Ako je T = (X,Y) tehnologija, tj. input-output vektor, X su troškovi, Y je output, tada je skalarni produkt PT = PX + PY dobit od korištenja tehnologije T (troškovi su negativne količine) . Sada formulirajmo matematičku formalizaciju aksioma koji opisuje ponašanje proizvođača.
Problem proizvođača: Proizvođač odabire tehnologiju iz svog proizvodnog seta, s ciljem maksimiziranja profita . Dakle, proizvođač rješava sljedeći problem: PT→max, Tτ. Ovaj aksiom uvelike pojednostavljuje situaciju izbora. Dakle, ako su cijene pozitivne, što je prirodno, tada će "output" komponenta rješenja ovog problema automatski ležati na krivulji proizvodnih mogućnosti. Doista, neka je T = (X,Y) neko rješenje za problem proizvođača. Tada postoji ZK x , Z Y, dakle, P(X, Z) P(X, Y), što znači da je točka (X, Z) također rješenje problema proizvođača.
Za slučaj dvije vrste proizvoda problem se može riješiti grafički (slika 2.3). Da biste to učinili, morate "pomaknuti" ravnu liniju okomitu na vektor P u smjeru u kojem pokazuje; onda će posljednja točka, kada ova ravna crta još uvijek siječe proizvodni skup, biti rješenje (na slici 2.3 to je točka T). Kao što je lako vidjeti, stroga konveksnost potrebnog dijela proizvodnog skupa u drugom kvadrantu jamči jedinstvenost rješenja. Isto razmišljanje vrijedi iu općem slučaju, za veći broj vrsta ulaza i izlaza. Međutim, mi nećemo slijediti ovaj put, već ćemo koristiti aparat proizvodnih funkcija i nazivati proizvođača firmom. Dakle, output poduzeća može se okarakterizirati jednom vrijednošću - ili obujmom outputa, ako se proizvodi jedan proizvod, ili ukupnom vrijednošću cjelokupnog outputa. Troškovni prostor je m-dimenzionalan, troškovni vektor X = (x 1, ..., x m). Troškovi jednoznačno određuju output Y, a taj odnos je proizvodna funkcija Y = f(X).
Riža. 2.3. Rješavanje problema proizvođača
U ovoj situaciji, označimo s P vektor cijena za robu-troškove i neka v bude cijena jedinice proizvedene robe. Stoga je profit W, koji je u konačnici funkcija X (i cijena, ali se one smatraju konstantnima), W(X) = vf(X) – PX→max, X 0. Izjednačavanje parcijalnih derivacija funkcije W na nulu, dobivamo:
v(f/x j) = p j za j = 1, …, m ili v(f/X) = P (2.1)
Pretpostavit ćemo da su svi troškovi strogo pozitivni (nula jedinica se jednostavno može isključiti iz razmatranja). Tada se točka dana relacijom (2.1) pokazuje unutarnjom, tj. točkom ekstrema. A budući da se također pretpostavlja da je Hessova matrica proizvodne funkcije f(X) također negativno definirana (na temelju zahtjeva za proizvodne funkcije), ovo je najveća točka.
Dakle, pod prirodnim pretpostavkama o proizvodnim funkcijama (ove pretpostavke su zadovoljene za proizvođača sa zdravim razumom i u razumnoj ekonomiji), relacija (2.1) daje rješenje problema poduzeća, tj. određuje volumen X * prerađenih resursa, što rezultira izlazom Y * = f(X *) Točka X *, ili (X *,f(X *)) nazvat ćemo optimalno rješenje poduzeća. Zadržimo se na ekonomskom značenju relacije (2.1). Kao što je navedeno, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) se naziva vektor graničnog proizvoda, odnosno vektor graničnih proizvoda, a f/x i naziva se i-ti granični proizvod, ili otpustite odgovor na promjenu ja -ta stavka troškova. Prema tome, vf/x i dx i je cijena ja -th granični proizvod dodatno dobiven iz dx i jedinice ja th resurs. Međutim, trošak dx i jedinica i-tog resursa jednak je r i dx i , tj. postignuta je ravnoteža: moguće je uključiti dodatnih dx i jedinica i-tog resursa u proizvodnju, trošeći r i dx i na njegovu kupnju, ali neće biti dobiti, t Budući da ćemo nakon obrade proizvoda dobiti točno onoliko koliko smo potrošili. Sukladno tome, optimalna točka dana relacijom (2.1) je točka ravnoteže - iz dobara-resursa više nije moguće istisnuti više nego što je potrošeno za njihovu kupnju.
Očito je povećanje proizvodnje poduzeća postupno: u početku je trošak marginalnih proizvoda bio manji od nabavne cijene dobara i resursa potrebnih za njihovu proizvodnju. Obim proizvodnje raste sve dok se ne počne ispunjavati relacija (2.1): jednakost vrijednosti graničnih proizvoda i nabavne cijene dobara i sredstava potrebnih za njihovu proizvodnju.
Pretpostavimo da je u problemu poduzeća W(X) = vf(X) – PX → max, X 0, rješenje X * jedinstveno za v > 0 i P > 0. Dakle, dobivamo vektorsku funkciju X * = X * ( v, P), ili funkcije x * I = x * i (v, p 1 , p m) za i = 1, …, m. Tih m funkcija nazivamo funkcije potražnje resursa po danim cijenama za proizvode i resurse. U biti, ove funkcije znače da ako su utvrđene cijene P za resurse i cijena v za proizvedenu robu, dani proizvođač (karakteriziran danom proizvodnom funkcijom) određuje obujam prerađenih resursa pomoću funkcija x * I = x * i (v, p 1, p m) i traži te količine na tržištu. Poznavajući količine prerađenih resursa i zamjenjujući ih u proizvodnu funkciju, dobivamo output kao funkciju cijena; označimo ovu funkciju s q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . To se zove funkcija ponude proizvoda ovisno o cijeni v za proizvode i cijeni P za resurse.
A-priorat, resurs i-te vrste nazvao male vrijednosti, ako i samo ako,x * i /v tj. kada cijena proizvoda raste, potražnja za resursom niske vrijednosti se smanjuje. Moguće je dokazati važnu relaciju: q * /P = -X * /v ili q * /p i = -x * i /v, za i = 1, …, m. Posljedično, povećanje cijene proizvoda dovodi do povećanja (smanjenja) potražnje za određenom vrstom resursa ako i samo ako povećanje plaćanja za taj resurs dovodi do smanjenja (povećanja) optimalnog outputa. Ovo pokazuje glavno svojstvo resursa niske vrijednosti: povećanje plaćanja za njih dovodi do povećanja proizvodnje! Međutim, moguće je striktno dokazati postojanje takvih resursa čije povećanje plaćanja dovodi do smanjenja outputa (tj. svi resursi ne mogu biti male vrijednosti).
Također je moguće dokazati da su x * i /p i komplementarni ako su x * i /p j međusobno zamjenjivi ako je x * i /p j > 0. To jest, za komplementarne resurse, povećanje cijene jedan od njih dovodi do pada potražnje za drugim, a za međusobno zamjenjive resurse, povećanje cijene jednog od njih dovodi do povećanja potražnje za drugim. Primjeri komplementarnih izvora: računalo i njegove komponente, namještaj i drvo, šampon i balzam za njega. Primjeri zamjenjivih izvora: šećer i zamjene za šećer (na primjer, sorbitol), lubenice i dinje, majoneza i kiselo vrhnje, maslac i margarin itd.
Primjer 2. Za tvrtku s proizvodnom funkcijom Y = 100K 1/2 L 1/3 (iz primjera 1), pronađite optimalnu veličinu ako je razdoblje amortizacije dugotrajne imovine N = 12 mjeseci, mjesečna plaća zaposlenika je a = 1000 rubalja .
Riješenje. Optimalna veličina outputa ili obujma proizvodnje nalazi se iz relacije (2.1). U ovom slučaju, output se mjeri u monetarnim terminima, tako da je v = 1. Trošak mjesečnog održavanja jedne rublje sredstava je 1/N, tj. dobivamo sustav jednadžbi
, čijim rješavanjem nalazimo odgovor: 
, L = 8 . 10 3, K = 144. 10 6.
2.6. Zadaci
1. Neka je proizvodna funkcija Cobb-Douglasova funkcija. Za povećanje proizvodnje za 1% potrebno je povećati dugotrajnu imovinu za b = 4% ili broj zaposlenih za c = 3%. Trenutno jedan radnik proizvodi proizvode u vrijednosti M = 10 5 rubalja mjesečno . , a ukupan broj radnika je L = 10 4 . Dugotrajna imovina procjenjuje se na K = 10 6 rubalja. Nađite proizvodnu funkciju, prosječnu produktivnost kapitala, prosječnu produktivnost rada, odnos kapitala i rada.
2. Grupa "šatlova" u iznosu od E odlučila se ujediniti s N prodavača. Dobit od radnog dana (prihodi minus troškovi, ali ne i plaće) izražava se formulom Y = 600(EN) 1/3. Plaća radnika shuttlea je 120 rubalja. po danu, prodavač - 80 rubalja. u danu. Naći optimalan sastav grupe „šatlova“ i prodavača, odnosno koliko „šatlova“ treba biti, a koliko prodavača.
3. Poslovni čovjek je odlučio osnovati malu autoprijevozničku tvrtku. Upoznavši se sa statistikom, vidio je da je približna ovisnost dnevnog prihoda o broju automobila A i broju N izražena formulom Y = 900A 1/2 N 1/4. Amortizacija i drugi dnevni troškovi za jedan stroj iznose 400 rubalja, dnevna plaća radnika je 100 rubalja. Pronađite optimalan broj radnika i vozila.
4. Poslovni čovjek je odlučio otvoriti pivnicu. Pretpostavimo da je ovisnost prihoda Y (minus trošak piva i grickalica) o broju stolova M i broju konobara F izražena formulom Y = 200M 2/3 F 1/4. Trošak za jedan stol je 50 rubalja, plaća konobara je 100 rubalja. Pronađite optimalnu veličinu šanka, odnosno broj konobara i stolova.