Kvadratne i kubične funkcije. Kvadratne i kubične funkcije Reflektivno-evaluacijski stupanj
Izgradite funkciju
Predstavljamo Vam uslugu za online iscrtavanje funkcionalnih grafova na koju sva prava pripadaju tvrtki Desmos. Koristite lijevi stupac za unos funkcija. Možete unijeti ručno ili pomoću virtualne tipkovnice na dnu prozora. Da biste povećali prozor grafikona, možete sakriti i lijevi stupac i virtualnu tipkovnicu.
Prednosti online crtanja
- Vizualni prikaz uvedenih funkcija
- Izrada vrlo složenih grafova
- Iscrtavanje implicitno definiranih grafova (npr. elipsa x^2/9+y^2/16=1)
- Mogućnost spremanja grafikona i dobivanja poveznice na njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
- Kontrola skale, boja linije
- Mogućnost iscrtavanja grafova po točkama, korištenje konstanti
- Konstrukcija više grafova funkcija u isto vrijeme
- Ucrtavanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ(\theta))
S nama je lako izgraditi grafikone različite složenosti na mreži. Izgradnja je gotova trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje točaka presjeka funkcija, za prikaz grafova za njihov daljnji prijenos u Word dokument kao ilustracije za rješavanje problema, za analizu karakteristika ponašanja funkcijskih grafova. Najbolji preglednik za rad s grafikonima na ovoj stranici stranice je Google Chrome. Kada koristite druge preglednike, ispravan rad nije zajamčen.
Odjeljci: Matematika
Tema:"Ucrtavanje kvadratne funkcije koja sadrži modul."
(Na primjeru grafa funkcije y \u003d x 2 - 6x + 3.)
Cilj.
- Istražite položaj grafa funkcije na koordinatnoj ravnini ovisno o modulu.
- Razviti vještine crtanja funkcije koja sadrži modul.
Tijekom nastave.
1. Faza ažuriranja znanja.
a) Provjera domaće zadaće.
Primjer 1 Konstruirajte graf funkcije y \u003d x 2 - 6x + 3. Pronađite nule funkcije.
Riješenje.
2. Koordinate vrha parabole: x= - b/2a = - (-6)/2=3, y(3) = 9 - 18 + 3 = - 6, A(3; -6).
4. Nule funkcije: y(x) = 0, x 2 - 6x + 3 = 0, D = 36 - 4 3 = 36 - 12 = 24, D> 0,
x 1,2 = (6 ± ) / 2 = 3 ± ; B(3 -;0), C(3 +;0).
Grafikon na sl.1.
Algoritam za crtanje grafa kvadratne funkcije.
1. Odrediti smjer "grana" parabole.
2. Izračunajte koordinate vrha parabole.
3. Zapišite jednadžbu osi simetrije.
4. Izračunajte više bodova.
b) Razmotrimo konstrukciju grafova linearnih funkcija koji sadrže modul:
1. y = |x|. Grafikon funkcije na slici 2.
2.y = |x| + 1. Grafikon funkcije na slici 3.
3. y = |x + 1|. Grafikon funkcije na slici 4.
Izlaz.
1. Grafikon funkcije y = |x| + 1 se dobiva iz grafa funkcije y = |x| paralelni prijenos na vektor (0;1).
2. Grafikon funkcije y = |x + 1| dobiveno iz grafa funkcije y = |x| paralelni prijenos na vektor (-1; 0).
2. Operativni i izvršni dio.
Faza istraživanja. Grupni rad.
Grupa 1. Konstruirajte grafove funkcija:
a) y \u003d x 2 - 6 | x | + 3,
b) y \u003d |x 2 - 6x + 3 |.
Riješenje.
1. Konstruirajte graf funkcije y \u003d x 2 -6x + 3.
2. Prikažite ga simetrično oko osi Oy.
Grafikon na slici 5.
b) 1. Grafikujte funkciju y \u003d x 2 - 6x + 3.
2. Prikažite ga simetrično oko x-osi.
Grafikon funkcije na slici 6.
Izlaz.
1. Graf funkcije y \u003d f (|x |) dobiva se iz grafa funkcije y = f (x), preslikavanjem u odnosu na os Oy.
2. Grafikon funkcije y = |f(x)| dobiva se iz grafa funkcije y \u003d f (x), preslikavanjem oko osi Ox.
Grupa 2. Konstruirajte grafove funkcija:
a) y = |x 2 - 6|x| + 3|;
b) y = |x 2 - 6x + 3| - 3.
Riješenje.
1. Prikazuje se graf funkcije y = x 2 + 6x + 3 u odnosu na os Oy, dobivamo graf funkcije y \u003d x 2 - 6 | x | + 3.
2. Dobiveni graf prikazuje se simetrično oko x-osi.
Grafikon funkcije na slici 7.
Izlaz.
Grafikon funkcije y = |f (|x|)| dobiva se iz grafa funkcije y = f (x), uzastopnim prikazom u odnosu na koordinatne osi.
1. Grafikon funkcije y \u003d x 2 - 6x + 3 prikazuje se u odnosu na os Ox.
2. Prenesite rezultirajući graf u vektor (0;-3).
Grafikon funkcije na slici 8.
Izlaz. Grafikon funkcije y = |f(x)| + a se dobiva iz grafa funkcije y = |f(x)| paralelni prijenos na vektor (0,a).
Grupa 3. Grafički prikaz funkcije:
a) y = |x|(x - 6) + 3; b) y = x|x - 6| + 3.
Riješenje.
a) y = |x| (x - 6) + 3, imamo skup sustava:
Gradimo graf funkcije y \u003d -x 2 + 6x + 3 za x< 0 для точек у(0) = 3, у(- 1) = - 4.
Grafikon funkcije na slici 9.
b) y \u003d x | x - 6 | + 3, imamo skup sustava:
Gradimo graf funkcije y \u003d - x 2 + 6x + 3 za x 6.
2. Koordinate vrha parabole: x = - b/2a = 3, y(3) =1 2, A(3;12).
3. Jednadžba osi simetrije: x = 3.
4. Nekoliko točaka: y(2) = 11, y(1) = 3; y(-1) = - 4.
Gradimo graf funkcije y = x 2 - 6x + 3 za x = 7 y (7) \u003d 10.
Grafikon na sl.10.
Izlaz. Prilikom rješavanja ove skupine jednadžbi potrebno je uzeti u obzir nule modula sadržanih u svakoj od jednadžbi. Zatim izgradite graf funkcije na svakom od dobivenih intervala.
(Prilikom crtanja ovih funkcija svaka je skupina ispitala utjecaj modula na izgled grafa funkcije i donijela odgovarajuće zaključke.)
Dobili smo sažetu tablicu za grafove funkcija koje sadrže modul.
Tablica za crtanje funkcija koja sadrži modul.
Grupa 4
Nacrtaj funkciju:
a) y \u003d x 2 - 5x + |x - 3 |;
b) y = |x 2 - 5x| + x - 3.
Riješenje.
a) y \u003d x 2 - 5x + | x - 3 |, idite na skup sustava:
Gradimo graf funkcije y \u003d x 2 -6x + 3 na x 3,
zatim graf funkcije y \u003d x 2 - 4x - 3 za x\u003e 3 u točkama y (4) = -3, y (5) \u003d 2, y (6) \u003d 9.
Grafikon funkcije na slici 11.
b) y \u003d |x 2 - 5x | + x - 3, prelazimo na skup sustava:
Svaki graf gradimo na odgovarajućem intervalu.
Grafikon funkcije na slici 12.
Izlaz.
Otkrili smo utjecaj modula u svakom terminu na izgled grafa.
Samostalan rad.
Nacrtaj funkciju:
a) y \u003d |x 2 - 5x + |x - 3 ||,
b) y= ||x 2 - 5x| + x - 3|.
Riješenje.
Prethodni grafikoni su prikazani u odnosu na os Ox.
Grupa.5
Napravi graf funkcije: y = | x - 2| (|x| - 3) - 3.
Riješenje.
Razmotrimo nule dvaju modula: x = 0, x - 2 = 0. Dobivamo intervale konstantnog predznaka.
Imamo skup sustava jednadžbi:
Za svaki od intervala gradimo graf.
Grafikon na slici 15.
Izlaz. Dva modula u predloženim jednadžbama značajno kompliciraju konstrukciju općeg grafa koji se sastoji od tri odvojena grafa.
Učenici su bilježili nastupe svake od skupina, zapisivali zaključke i sudjelovali u samostalnom radu.
3. Domaća zadaća.
Konstruirajte grafove funkcija s različitim lokacijama modula:
1. y \u003d x 2 + 4x + 2;
2. y \u003d - x 2 + 6x - 4.
4. Reflektivno – evaluacijska faza.
1. Ocjene za lekciju sastoje se od ocjena:
a) za rad u grupi;
b) za samostalan rad.
2. Koji je bio najzanimljiviji trenutak na satu?
3. Je li domaća zadaća teška?
Funkcija y=x^2 naziva se kvadratna funkcija. Graf kvadratne funkcije je parabola. Opći izgled parabole prikazan je na donjoj slici.
kvadratna funkcija
Slika 1. Opći pogled na parabolu
Kao što se može vidjeti iz grafikona, simetrična je oko osi Oy. Os Oy naziva se os simetrije parabole. To znači da ako nacrtate ravnu liniju paralelnu s osi Ox iznad ove osi na grafikonu. Zatim siječe parabolu u dvije točke. Udaljenost od ovih točaka do y-osi bit će ista.
Os simetrije dijeli graf parabole, takoreći, na dva dijela. Ti se dijelovi nazivaju granama parabole. A točka parabole koja leži na osi simetrije naziva se vrh parabole. To jest, os simetrije prolazi kroz vrh parabole. Koordinate ove točke su (0;0).
Osnovna svojstva kvadratne funkcije
1. Za x=0, y=0 i y>0 za x0
2. Kvadratna funkcija doseže svoju minimalnu vrijednost na svom vrhu. Ymin pri x=0; Također treba napomenuti da maksimalna vrijednost funkcije ne postoji.
3. Funkcija se smanjuje na intervalu (-∞; 0] i raste na intervalu )