Pozdrav dragi studenti sveučilišta Argemona! Pozdravljam vas na sljedećem predavanju o magiji funkcija i integrala.

Danas ćemo razgovarati o hiperboli. Krenimo od jednostavnog. Najjednostavnija vrsta hiperbole:

Ova funkcija, za razliku od izravne u svojim standardnim oblicima, ima značajku. Kao što znamo, nazivnik ulomka ne može biti jednak nuli, jer ga ne možete podijeliti s nulom.
  x ≠ 0
  Iz ovoga zaključujemo da je domena cijeli redni broj, osim točke 0: (-∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Ako x teži 0 na desnoj strani (napisano ovako: x-\u003e 0+), tj. postaje vrlo, vrlo mali, ali ostaje pozitivan, tada y postaje vrlo, vrlo velik pozitivan (y -\u003e + ∞).
  Ako x teži 0 na lijevoj strani (x-\u003e 0-), tj. postaje modulo također vrlo vrlo mali, ali ostaje negativan u ovom slučaju, tada će i u biti negativan, ali modulo će biti vrlo velik (y -\u003e - ∞).
  Ako x teži plusu beskonačnosti (x -\u003e + ∞), tj. postaje vrlo velik pozitivan broj, tada će i sve više i više biti manji pozitivni broj, tj. težit će do 0, ostajući uvijek pozitivan (y-\u003e 0+).
  Ako x teži minusu beskonačnosti (x -\u003e - ∞), tj. postaje velik u apsolutnoj vrijednosti, ali u negativnom broju, tada će i y uvijek biti negativan broj, ali mali u apsolutnoj vrijednosti (y-\u003e 0-).

Y, poput x, ne može prihvatiti vrijednost 0. Ona teži samo nuli. Prema tome, skup vrijednosti isti je kao i domena definicije: (-∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Na temelju tih razmatranja, shematski možemo nacrtati graf funkcije

Može se vidjeti da se hiperbola sastoji od dva dijela: jedan se nalazi u prvom koordinatnom kutu, gdje su vrijednosti x i y pozitivne, a drugi dio u trećem koordinatnom kutu, gdje su vrijednosti x i y negativne.
  Ako pređemo iz -∞ na + ∞, tada vidimo da se naša funkcija smanjuje od 0 do -∞, tada dolazi do oštrog skoka (od -∞ do + ∞) i počinje druga grana funkcije, koja se također smanjuje, ali s + ∞ na 0. To jest, ova hiperbola opada.

Ako malo promijenite funkciju: upotrijebite magiju minusa,

(1")

Ta će se funkcija čudom premjestiti iz 1. i 3. u koordinatne četvrti u 2. i 4. četvrtinu i postajati sve veća.

Podsjetimo da je funkcija povećavajućiako su za dvije vrijednosti x 1 i x 2 takve da je x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
  A funkcija će biti smanjujeako je f (x 1)\u003e f (x 2) za iste vrijednosti x.

Grane hiperbole približavaju se osovinama, ali ih nikad ne prelaze. Takve se linije, kojima se graf funkcije približava, ali nikad ne presijecaju, nazivaju assimptotoy   ova funkcija.
  Za našu funkciju (1), asimptote su ravne linije x \u003d 0 (os OY, vertikalna asimptota) i y \u003d 0 (os OX, vodoravna asimptota).

Sada malo zakompliciramo najjednostavniju hiperbolu i pogledajmo što se događa s grafikonom funkcije.

(2)

Upravo je u nazivniku dodana konstanta "a". Dodavanje nekog broja u nazivnik kao izraz x znači prenošenje čitave "hiperboličke konstrukcije" (zajedno s vertikalnom asimptotom) na (-a) položaje desno, ako je negativni broj, i (-a) pozicije na lijevo, ako je a Pozitivan je broj.

Na lijevom je grafu negativna konstanta dodana u x (a<0, значит, -a>0), što uzrokuje pomicanje grafikona udesno, a na desnoj je tablici pozitivna konstanta (a\u003e 0), zbog čega se grafikon pomiče u lijevu stranu.

A koja magija može utjecati na prijenos "hiperboličke strukture" gore ili dolje? Frakcija dodaje konstantu.

(3)

Sada se cijela naša funkcija (obje grane i horizontalna asimptota) podiže b pozicije prema gore ako je b pozitivan broj, a pada b pozicije prema dolje ako je b negativan broj.

Napominjemo da se asimptote kreću hiperbolom, tj. hiperbola (obje njene grane) i obje njezine asimptote moraju se smatrati neraskidivom konstrukcijom koja se kreće lijevo, desno, gore ili dolje. Vrlo je ugodan osjećaj kada možete pomaknuti cijelu funkciju u bilo kojem smjeru, uz dodavanje određenog broja. Što nije magija, koju možete vrlo lako savladati i usmjeriti prema vlastitom nahođenju u pravom smjeru?
  Usput, na ovaj način možete kontrolirati kretanje bilo koje funkcije. U sljedećim lekcijama učvrstit ćemo ovu vještinu.

Prije nego što vam postavim domaću zadaću, želim vam skrenuti pozornost na ovu funkciju

(4)

Donja grana hiperbole pomiče se od trećeg koordinatnog kuta do drugog, do tog kuta gdje je vrijednost y pozitivna, tj. ova grana se reflektira simetrično oko osi OX. A sada smo dobili ravnomjernu funkciju.

Što znači "čak i funkcioniranje"? Zvana funkcija jošako je uvjet zadovoljen: f (-x) \u003d f (x)
  Zvana funkcija neparanako je uvjet zadovoljen: f (-x) \u003d - f (x)
  U našem slučaju

(5)

Svaka parna funkcija je simetrična oko OY osi, tj. pergament s grafičkim dizajnom može se presaviti duž osi OY, a dva dijela grafičke slike točno se podudaraju jedan s drugim.

Kao što vidite, ova funkcija također ima dvije asimptote - vodoravnu i okomitu. Za razliku od gore razmotrenih funkcija, ova se funkcija povećava s jedne strane, a s druge smanjuje.

Pokušajmo sada voditi ovaj grafikon dodajući konstante.

(6)

Podsjetimo da dodavanje konstante kao izraza "x" uzrokuje pomicanje čitavog grafa (zajedno s vertikalnom asimptotom) vodoravno, duž vodoravne asimptote (lijevo ili desno, ovisno o znaku ove konstante).

(7)

A dodavanje konstante b kao termina u frakciju uzrokuje pomicanje grafa gore ili dolje. Sve je vrlo jednostavno!

Sada pokušajte sami eksperimentirati s takvom magijom.

Domaća zadaća 1.

Svaka od njih ima dvije funkcije za svoje eksperimente: (3) i (7).
  a \u003d prva znamenka vašeg LD-a
  b \u003d druga znamenka vašeg LD-a
  Pokušajte doći do magije ovih funkcija, počevši od najjednostavnije hiperbole, kao što sam učinio na predavanju, i postupno dodavajući svoje konstante. Već možete modelirati funkciju (7) na temelju konačnog oblika funkcije (3). Naznačite područja definicije, skup vrijednosti, asimptote. Kako se ponašaju funkcije: smanjuje, povećava. Čak - čudno. Općenito, pokušajte napraviti ista istraživanja kao u lekciji. Možda ćete pronaći nešto drugo o čemu sam zaboravio razgovarati.

Usput, obje grane najjednostavnije hiperbole (1) su simetrične u odnosu na kut koordinate bisektora 2 i 4. Sada zamislite da se hiperbola počela okretati oko ove osi. Dobivamo tako lijepu figuru koja se može koristiti.

Zadatak 2, Gdje mogu upotrijebiti ovu figuru? Pokušajte nacrtati rotacijsku figuru za funkciju (4) u odnosu na njenu os simetrije i razmotrite gdje takva figura može naći primjenu.

Sjećate se kako smo na kraju posljednje lekcije dobili ravnu crtu s probušenom točkom? A evo i posljednjeg zadatak 3.
  Napravite graf takve funkcije:

(8)

Koeficijenti a, b isti su kao u zadatku 1.
  c \u003d treća znamenka vašeg LD ili a-b ako je vaš LD dvocifreni.
  Mali savjet: najprije treba pojednostaviti frakciju dobivenu nakon zamjene brojeva, a zatim dobivate uobičajenu hiperbolu, koju morate izgraditi, ali na kraju morate uzeti u obzir definicijsku domenu izvornog izraza.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Pravilnik o privatnosti koji opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i uporaba osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili za kontakt s njom.

Od vas će se možda tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Ispod je nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada na web mjestu ostavite zahtjev, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i prijavimo jedinstvene ponude, promocije i druge događaje i nadolazeće događaje.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i poruka.
• Osobne podatke možemo koristiti i u interne svrhe, poput provođenja revizije, analize podataka i različitih studija kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i pružili vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u nagradnom izvlačenju, natjecanju ili sličnom promotivnom događaju, možemo koristiti podatke koje dajete za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Ne otkrivamo podatke dobivene od vas trećim stranama.

iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, pravosudni sustav, u sudskim postupcima i / ili na temelju javnih upita ili upita državnih tijela Ruske Federacije - otkriva vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno u sigurnosne svrhe, održavanje reda i mira ili druge društveno važne slučajeve.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, osobne podatke koje prikupljamo možemo prenijeti odgovarajućoj trećoj strani, primatelju.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjena i uništenja.

Poštujte privatnost na razini tvrtke

Da bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, djelatnicima prenosimo pravila o povjerljivosti i sigurnosti i strogo nadgledamo provedbu mjera povjerljivosti.

Ovaj je metodološki materijal samo za referencu i odnosi se na širok raspon tema. U članku se daje pregled grafova osnovnih elementarnih funkcija i rješava najvažnije pitanje - kako brzo i brzo sastaviti grafikon, Proučavanje više matematike bez poznavanja grafova osnovnih elementarnih funkcija bit će teško, pa je vrlo važno sjetiti se kako izgledaju grafikoni parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa itd., Sjetiti se nekih vrijednosti funkcija. Također, govorit ćemo o nekim svojstvima glavnih funkcija.

Ne pretvaram se u cjelovitost i znanstvenu temeljnost materijala, naglasak će biti stavljen prije svega na praksu - one stvari s kojima morate se suočiti doslovno na svakom koraku, u bilo kojoj temi više matematike, Karte za lutke? Mogli biste to reći.

Po popularnoj potražnji čitatelja tablica sadržaja koju je moguće kliknuti:

Uz to, postoji ultra kratak sažetak na tu temu.
   - master 16 vrsta grafova, proučavajući ŠEST stranica!

Ozbiljno, šest, čak sam se iznenadio. Ovaj sažetak sadrži poboljšanu grafiku i dostupan je uz nominalnu naknadu, može se pogledati i demo verzija. Prikladno je ispisati datoteku tako da su grafovi uvijek pri ruci. Hvala na podršci projektu!

I odmah započinjemo:

Kako izgraditi koordinatne osi?

U praksi ispitne radove učenici gotovo uvijek izvode u zasebnim bilježnicama smještenim u kavezu. Zašto provjeriti markup? Napokon, rad se, u načelu, može obaviti na listovima A4. Ćelija je potrebna samo za kvalitetne i točne crteže dizajna.

Svako crtanje grafikona funkcije započinje koordinatnim osovinama.

Crteži su dvodimenzionalni i trodimenzionalni.

Prvo razmotrimo dvodimenzionalni slučaj kartezijanski pravokutni koordinatni sustav:

1) Nacrtamo koordinatne osi. Zove se osovina os apscize a os je ordinatna os , Uvijek ih pokušavamo nacrtati uredan i nekrivljen, Strelice također ne bi trebale nalikovati bradi tate Carla.

2) Sjekire potpisujemo velikim slovima "X" i "igrek". Ne zaboravite potpisati osovinu.

3) ljestvicu postavljamo duž osi: nacrtati nulu i dvije, Prilikom izvođenja crteža najpovoljnija i najčešće susretana ljestvica je: 1 jedinica \u003d 2 ćelije (crtež na lijevoj strani) - ako je moguće, pridržavajte se. Međutim, s vremena na vrijeme dogodi se da crtež ne stane na list bilježnice - tada skaliramo prema dolje: 1 jedinica \u003d 1 ćelija (crtanje desno). Rijetki su, ali se dogodi da se crtež crteža mora još više smanjiti (ili povećati)

NE "piskajte iz mitraljeza" ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....   Jer koordinatna ravnina nije spomenik Descartesu, a student nije golub. Stavili smo nula   i dvije aksijalne jedinice, ponekad umjesto da   Jedinice, prikladno je "otkriti" ostale vrijednosti, na primjer, "dvije" na osi apscese i "tri" na osi ordinata - i ovaj će sustav (0, 2 i 3) također jedinstveno odrediti koordinatnu mrežu.

Procijenjene dimenzije crteža najbolje su procijenjene PRIJE crteža, Na primjer, ako zadatak zahtijeva da nacrtate trokut s vrhovima ,,, onda je jasno da popularna ljestvica od 1 jedinice \u003d 2 ćelije neće raditi. Zašto? Pogledajmo točku - ovdje moramo izmjeriti petnaest centimetara dolje i, očito, crtež neće stati (ili se jedva uklapa) na list bilježnice. Stoga odmah odaberite manju ljestvicu od 1 jedinice \u003d 1 ćelija.

Usput, oko centimetara i ćelija za bilježnice. Je li točno da 30 tetradnih stanica sadrži 15 centimetara? Izmjerite u bilježnici za kamate 15 centimetara s ravnalom. U SSSR-u je to možda bilo točno ... Zanimljivo je primijetiti da ako izmjerite te iste centimetre vodoravno i okomito, tada će rezultati (u ćelijama) biti različiti! Strogo govoreći, moderne bilježnice nisu karirane, već pravokutne. Možda će se to činiti besmislicom, ali, na primjer, crtanje kruga s parom kompasa u takvoj je situaciji vrlo nezgodno. Da budem iskren, u takvim trenucima počinjete razmišljati o ispravnosti drugova Staljina, koji je u kampove poslao kampove u tvornicu, a da ne spominjemo domaću automobilsku industriju, pad zrakoplova ili eksplodirajuće elektrane.

Kada govorimo o kvaliteti ili kratkoj preporuci za tiskanice. Danas je većina prijenosnih računala u prodaji, bez izgovaranja loših riječi, potpuno homogena. Iz razloga što se vlaže, i to ne samo od gela, već i od kemijskih olovki! Spremite na papir. Preporučujem korištenje bilježnica Arkhangelske tvornice celuloze i papira (18 listova, kavez) ili Pyaterochka za registracijske testove, iako su one skuplje. Preporučljivo je odabrati gel olovku, čak je i najjeftinija kineska kemijska olovka puno bolja od kemijske olovke kojom se papir razmazuje ili trga. Jedina „natjecateljska“ kemijska olovka u mom sjećanju je Erich Krause. Piše jasno, lijepo i postojano - s potpunom jezgrom, s gotovo praznom.

dodatno: Vizija pravokutnog koordinatnog sustava kroz oči analitičke geometrije obrađena je u članku Linearna (ne) ovisnost vektora. Osnove vektora, a detaljne informacije o koordinatnim četvrtinama mogu se naći u drugom stavku lekcije Linearne nejednakosti.

Trodimenzionalni slučaj

Gotovo je sve isto ovdje.

1) Nacrtamo koordinatne osi. standard: aplicirana os   - usmjerena prema gore, os - usmjerena udesno, os - lijevo dolje strogo   pod kutom od 45 stupnjeva.

2) Potpisujemo os.

3) ljestvicu postavljamo duž osi. Osovinska ljestvica - upola manja od ostalih osi, Također imajte na umu da sam na desnom crtežu koristio nestandardni "serif" duž osi (ta je mogućnost već spomenuta gore), Iz mog stajališta, to je preciznije, brže i estetskije ugodnije - ne morate gledati pod mikroskop na sredini ćelije i "isklesati" jedinicu odmah do izvora.

Kada radite trodimenzionalni crtež, opet - dajte prednost skali
   1 jedinica \u003d 2 ćelije (crtež na lijevoj strani).

Čemu su sva ta pravila? Postoje pravila da ih prekršim. Što ću sada učiniti. Činjenica je da ću naredne crteže članka izraditi ja u Excelu, a koordinatne će osi izgledati netočno s gledišta pravilnog dizajna. Mogao bih sve crteže nacrtati rukom, ali zapravo bih ih nacrtao kao užasno nevoljko Excel nacrtao bi ih mnogo točnije.

Grafikoni i osnovna svojstva elementarnih funkcija

Linearna funkcija dana je jednadžbom. Graf linearne funkcije je ravno, Za izgradnju linije dovoljno je znati dvije točke.

Primjer 1

Izgradite grafikon funkcije. Pronađite dvije točke. Povoljno je odabrati nulu kao jednu od točaka.

Ako, onda

Uzmimo neku drugu točku, na primjer, 1.

Ako, onda

Kad ispunjavate zadatke, koordinate točaka obično se rezimiraju u tablici:

   A same vrijednosti izračunavaju se usmeno ili na skici kalkulatora.

Dvije točke su pronađene, izvršite crtež:

Pri crtanju uvijek potpisujemo grafiku.

Neće biti suvišno prisjetiti se pojedinačnih slučajeva linearne funkcije:

   Primijetite kako sam složio titlove, ne treba pogrešno shvatiti potpise prilikom proučavanja crteža, U ovom je slučaju bilo krajnje nepoželjno stavljati potpis blizu točke sjecišta linija ili u donjem desnom kutu između grafova.

1) Linearna funkcija oblika () naziva se izravnom proporcionalnošću. Na primjer,. Graf izravne proporcionalnosti uvijek prolazi kroz izvor. Dakle, izgradnja linije je pojednostavljena - samo pronađite jednu točku.

2) Jednadžba oblika definira ravnu liniju paralelnu s osi, a posebice je sama osi dana jednadžbom. Grafikon funkcije izrađuje se odmah, bez pronalaženja bodova. To jest, zapis treba shvatiti na sljedeći način: "igra je uvijek jednaka -4, za bilo koju vrijednost x."

3) Jednadžba oblika definira ravnu liniju koja je paralelna s osi, a posebno je sama osovina dana jednadžbom. Grafikon funkcije također se izrađuje odmah. Zapis treba shvatiti na sljedeći način: "X je uvijek, za bilo koju vrijednost igrača, jednak 1".

Neki će pitati, zašto se sjećati 6. razreda ?! Tako je, možda je to tako, samo tijekom godina prakse upoznao sam desetak studenata koji su bili zbunjeni zadaćom stvaranja rasporeda poput ili.

Izgradnja ravne linije najčešći je postupak pri crtanju.

Ravna linija detaljno se ispituje u toku analitičke geometrije, a oni koji to žele mogu se obratiti na članak Jednadžba pravca na ravnini.

Graf kvadratne, kubične funkcije, graf polinoma

Parabola. Graf kvadratne funkcije   () je parabola. Razmotrite poznati slučaj:

Podsjetimo na neka svojstva funkcije.

Dakle, rješenje naše jednadžbe: - Upravo se u tom trenutku nalazi vrh parabole. Zašto je to tako, možete naći u teorijskom članku o izvedenici i lekciji o funkcijskom ekstremu. U međuvremenu, izračunavamo odgovarajuću vrijednost "igre":

Dakle, vrh je u točki

Sada nalazimo druge točke, dok hrabro koristimo simetriju parabole. Treba napomenuti da je funkcija – čak niali, ipak, nitko nije otkazao simetriju parabole.

Kako bi se pronašli preostali bodovi, mislim da će to biti jasno iz finalnog stola:

Ovaj algoritam konstrukcije može se figurativno nazvati "shuttle" ili princip "naprijed-natrag" s Anfisom Čehovom.

Izvršimo crtež:

   Iz pregledanih grafova podsjeća se još jedan koristan znak:

Za kvadratnu funkciju   () vrijedi sljedeće:

Ako, tada su grane parabole usmjerene prema gore.

Ako, tada su grane parabole usmjerene prema dolje.

Iscrpno znanje o krivulji može se dobiti u lekciji Hiperbola i Parabola.

Kubična parabola je postavljena funkcijom. Evo crteža poznatog iz škole:

   Navodimo glavna svojstva funkcije

Grafikon funkcije

Predstavlja jednu od grana parabole. Izvršimo crtež:

   Glavna svojstva funkcije:

U ovom slučaju je os vertikalna asimptota   za zaplet hiperbole na.

Bit će to VELIKA greška ako prilikom nepažnji crtanja crteža dopustimo sjecište grafikona s asimptotom.

Također nam jednostrane granice govore o toj hiperboli nije ograničeno odozgo   i nije ograničeno odozdo.

Proučavamo funkciju u beskonačnosti: to jest, ako krenemo duž osi lijevo (ili desno) do beskonačnosti, tada će "igre" biti vitki korak beskrajno blizu   približiti se nuli i, u skladu s tim, granama hiperbole beskrajno blizu   približiti se osi.

Znači osa je vodoravna asimptota   za grafikon funkcije, ako "X" teži plusu ili minusu beskonačnosti.

Funkcija je neparan, i, stoga, hiperbola je simetrična s obzirom na podrijetlo. Ta je činjenica očita iz crteža, a osim toga, to se lako analitički provjerava: .

Graf funkcije oblika () predstavlja dvije grane hiperbole.

Ako je, tada se hiperbola nalazi u prvom i trećem četvrtu koordinata   (vidi sliku gore).

Ako je, tada se hiperbola nalazi u drugom i četvrtom koordinatnom kvartu.

Navedena pravilnost boravka hiperbole nije teško analizirati sa stajališta geometrijskih transformacija grafova.

Primjer 3

Izgradite pravu granu hiperbole

Koristimo metodu točkaste konstrukcije, dok je korisno odabrati vrijednosti tako da se one potpuno podijele:

Izvršimo crtež:

   Neće biti teško izgraditi lijevu granu hiperbole, ovdje će pomoći čudnost funkcije. Grubo govoreći, u tablici konstrukcije s točkama mentalno dodajte minus svakom broju, stavite odgovarajuće točke i nacrtajte drugu granu.

Detaljne geometrijske informacije o predmetnoj liniji mogu se naći u članku Hyperbola and Parabola.

Grafikon eksponencijalne funkcije

U ovom ću dijelu odmah razmotriti eksponencijalnu funkciju, jer je u problemima više matematike u 95% slučajeva to eksponent.

Podsjećam da je ovo neracionalni broj: bit će potreban pri izradi rasporeda, koji ću, u stvari, izgraditi bez ceremonije. Vjerojatno su dovoljna tri boda:

Ostavimo graf funkcije sami, o tome kasnije.

Glavna svojstva funkcije:

Grafovi funkcija izgledaju u osnovi isto, itd.

Moram reći da je drugi slučaj manje uobičajen u praksi, ali se događa, pa sam smatrao da je potrebno uključiti ga u ovaj članak.

Grafikon logaritamske funkcije

Razmotrimo funkciju s prirodnim logaritamom.
   Napravimo točkast crtež:

Ako ste zaboravili što je logaritam, pogledajte školske knjige.

Glavna svojstva funkcije:

određivanje regija:

Raspon vrijednosti:.

Funkcija nije ograničena odozgo: , ali polako, ali grana logaritma ide sve do beskonačnosti.
   Proučavamo ponašanje funkcije blizu nule s desne strane: , Znači osa je vertikalna asimptota   za grafikon funkcije s "x" koji teži nuli s desne strane.

Obavezno znate i zapamtite tipičnu vrijednost logaritma: .

Graf logaritma u osnovi izgleda isto u bazi: ,, (decimalni logaritam na osnovi 10) itd. Štoviše, što je baza veća, raspored će biti nježniji.

Nećemo razmatrati slučaj; ne sjećam se nečega kad sam zadnji put sastavio raspored s takvim razlogom. I čini se da je logaritam vrlo rijedak gost u višim matematičkim problemima.

Zaključno ću reći još jednu činjenicu: Eksponencijalna funkcija i logaritamska funkcijaPostoje dvije međusobno obrnute funkcije, Ako pomno pogledate grafikon logaritma, možete vidjeti da je to isti eksponent, samo je smješten malo drugačije.

Grafikoni trigonometrijskih funkcija

Čime počinju trigonometrijske muke u školi? Tako je. S sinusom

Iscrtavamo funkciju

Ta se linija zove sinusni val.

Podsjećam vas da je "pi" iracionalni broj:, iu trigonometriji iz njega pukne u očima.

Glavna svojstva funkcije:

Ova funkcija je periodni   s razdobljem. Što to znači? Pogledajmo segment. S lijeve i desne strane točno se isti dio grafa ponavlja beskrajno.

određivanje regija:, to jest, za svaku vrijednost "X" postoji sinusna vrijednost.

Raspon vrijednosti:. Funkcija je ograničen:, to jest, sve "igre" sjede strogo u segmentu.
   To se ne događa: ili, točnije, događa se, ali naznačene jednadžbe nemaju rješenje.

Prezentacija i lekcija o temi:
"Hiperbola, definicija, svojstvo funkcije"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge. Svi materijali se provjeravaju antivirusnim softverom.

Priručnici za obuku i simulatori u internetskoj trgovini "Integral" za 8. razred
Proračunske tablice o geometriji. 7-9 razreda
Proračunske tablice o algebri. 7-9 razreda

Hiperbola, definicija

  Ljudi, danas ćemo proučavati novu funkciju i graditi njen raspored.
  Razmotrimo funkciju: $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k ≠ 0 $.
  Koeficijent $ k $ - može uzeti bilo koju stvarnu vrijednost, osim nule. Radi jednostavnosti, analizu funkcije započinjemo iz slučaja kada je $ k \u003d 1 $.
  Nacrtujemo funkciju: $ y \u003d \\ frac (1) (x) $.
  Kao i uvijek, počnite s izradom stola. Istina, ovaj put ćemo svoj stol morati podijeliti u dva dijela. Razmotrimo slučaj kad je $ x\u003e 0 $.
  Moramo označiti šest točaka s koordinatama $ (x; y) $, koje su prikazane u tablici, i povezati ih linijom.
  A sada da vidimo što ćemo dobiti s negativnim x.   Ponašamo na isti način, označavamo točke i povezujemo ih crtom.   Izgradili smo dva dijela grafa, kombinirajmo ih.

Grafikon funkcije $ y \u003d \\ frac (1) (x) $.
  Graf takve funkcije naziva se "hiperbola".

Svojstva hiperbole

  Slažete se, graf izgleda prilično lijepo, a porijeklo je simetrično. Ako povučemo bilo koju liniju koja prolazi kroz ishodište od prve do treće četvrtine, tada će ona preći naš graf u dvije točke koje će biti podjednako udaljene od podrijetla.
  Hiperbola se sastoji od dva dijela koja su simetrična po podrijetlu. Ti se dijelovi nazivaju hiperbole grane.
  Grane hiperbole u jednom smjeru (lijevo i desno) sve se više naginju osi apscese, ali nikad je ne prelaze. U drugom smjeru (gore i dolje) oni imaju tendenciju prema ordinatnoj osi, ali također nikad je ne prelaze (jer je nemoguće podijeliti na nulu). U takvim se slučajevima odgovarajuće linije nazivaju asimptote. Grafikon hiperbole ima dvije asimptote: os x i osi y.

Hiperbola nema samo središte simetrije, već i os simetrije. Ljudi, nacrtajte ravnu liniju $ y \u003d x $ i pogledajte kako je podijeljen naš grafikon. Može se primijetiti da ako se dio koji se nalazi iznad crte $ y \u003d x $ naloži na dio koji se nalazi ispod, tada se podudaraju, što znači simetriju u odnosu na liniju.

Iscrtali smo funkciju $ y \u003d \\ frac (1) (x) $, ali što će se dogoditi u općem slučaju $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k\u003e 0 $.
Grafikoni će se teško razlikovati. Dobit će se hiperbola s istim granama, samo što je više $ k $, što dalje se grane uklanjaju od podrijetla, a što manje $ k $, to je bliže izvoru.

Na primjer, graf funkcije $ y \u003d \\ frac (10) (x) $ je sljedeći.   Graf je postao "širi", odmaknuo se od podrijetla.
  Ali što je s negativnim $ k $? Graf funkcije $ y \u003d -f (x) $ simetričan je prema grafu $ y \u003d f (x) $ u odnosu na os apscesije, morate je okrenuti naopako.
  Koristimo ovo svojstvo i crtajmo funkciju $ y \u003d - \\ frac (1) (x) $.

  Sažmi stečeno znanje.
  Graf funkcije $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k ≠ 0 $ je hiperbola koja se nalazi u prvom i trećem (drugom i četvrtom) koordinatnom kvartu, za $ k\u003e 0 $ ($ k

Svojstva funkcije $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k\u003e 0 $

  1. Opseg: svi brojevi osim $ x \u003d 0 $.
  2. $ y\u003e 0 $ za $ x\u003e 0 $ i $ y 3. Funkcija se smanjuje na intervale $ (- ∞; 0) $ i $ (0; + ∞) $.



  7. Raspon vrijednosti: $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $.

Svojstva funkcije $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k
  1. Opseg: svi brojevi osim $ x \u003d 0 $.
  2. $ y\u003e 0 $ za $ x 0 $.
  3. Funkcija se povećava na intervalima $ (- ∞; 0) $ i $ (0; + ∞) $.
  4. Funkcija nije ograničena ni odozgo niti odozdo.
  5. Ne postoji najveća ni najmanja vrijednost.
  6. Funkcija je kontinuirana u intervalima $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $ i ima diskontinuitet u točki $ x \u003d 0 $.
  7. Raspon vrijednosti: $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $.

Funkcija se u općenitom obliku piše kao y \u003d ili f (x) \u003d

y i x su obrnuto proporcionalne vrijednosti, tj. kada jedan raste, drugi opada (provjerite zamjenom brojeva u funkciji)

Za razliku od prethodne funkcije, u kojoj x 2 uvijek stvara pozitivne vrijednosti, ovdje to ne možemo reći - \u003d, jer će to biti potpuno suprotni brojevi. Takve se funkcije nazivaju neparan.

Na primjer, zaplet y \u003d

Naravno, x ne može biti nula (x ≠ 0)

granehiperbole leže u 1. i 3. dijelu koordinata.

Oni se mogu beskrajno približavati osovinama apsize i ordinata i nikad ih ne dostižu, čak i ako "x" postane jednak milijardi. Hiperbola će biti beskonačno bliska, ali još uvijek se neće presijecati osovinama (takva je matematička tuga).

Nacrtujemo za y \u003d -

A sada su grane hiperbole u drugom i četvrtom četvrtinu koordinatne ravnine.

Kao rezultat toga, između svih grana može se promatrati potpuna simetrija.