Stáhnout prezentaci: původ komplexních čísel a jejich aplikace. Prezentace na téma "historie komplexních čísel." Trigonometrický tvar komplexního čísla

1,85  -2  0,8 Svět čísel je nekonečný.  První představy o čísle vznikly počítáním předmětů (1, 2, 3 atd.) - PŘIROZENÝCH ČÍSEL.  Následně vznikly ZLOMKY jako výsledek měření délky, hmotnosti atd. ( atd.)  ZÁPORNÁ ČÍSLA, se objevila s rozvojem algebry Celá čísla (tj. přirozená čísla 1, 2, 3 atd.), záporná čísla ( -1, -2, -3 atd. a nula), zlomky se nazývají RACIONÁLNÍ ČÍSLA. ,  Racionální čísla nemohou přesně vyjádřit délku úhlopříčky čtverce, pokud je délka strany rovna měrné jednotce. Pro přesné vyjádření vztahů nesouměřitelných segmentů je třeba zavést nové číslo:  IRAČNÍ (atd.) Racionální a iracionální - tvoří množinu: Reálných čísel. Při zvažování reálných čísel bylo poznamenáno, že v množině reálných čísel je například nemožné najít číslo, jehož druhá mocnina je rovna. Při zvažování kvadratických rovnic se zápornými diskriminanty bylo také poznamenáno, že takové rovnice nemají kořeny, které jsou reálnými čísly. Aby byly takové problémy řešitelné, zavádějí se nová čísla - Komplexní čísla Komplexní čísla 2 = -1 3 = - = 4 =1 b - Imaginární čísla a + b - Komplexní čísla a, b - Libovolná reálná čísla Minulost a přítomnost komplexních čísel. Komplexní čísla vznikla v matematice před více než 400 lety. Poprvé jsme se setkali s odmocninami záporných čísel. Nikdo nevěděl, co to je za výraz, jaký význam by měl mít. Odmocnina libovolného záporného čísla nemá v množině reálných čísel žádný význam. S tím se setkáváme při řešení kvadratických, kubických rovnic a rovnic čtvrtého stupně. MATEMATIKA VĚŘIL: LEONARD EULER Druhé odmocniny záporných čísel - protože nejsou větší, ne menší než a nerovnají se nule - nelze počítat mezi možná čísla. Gottfried William Leibnets Gottfried Leibnets nazval komplexní čísla „elegantním a úžasným útočištěm božského ducha“, degenerací světa idejí, téměř dvojího bytí, které se nachází mezi bytím a nebytím. Dokonce odkázal nakreslit na jeho hrob znamení jako symbol onoho světa. K. Gauss na počátku 19. století navrhl nazývat je „komplexními čísly“. K. F. Gauss Tvary komplexních čísel: Z=a+bi – algebraický tvar Z=r() – trigonometrický Z=rE - exponenciální Komplexní čísla se používají:  Při sestavování zeměpisných map  V teorii konstrukce letadel  Používá se v různých studiích o teorii čísel  V elektromechanice  Při studiu pohybu přírodních a umělých nebeských těles atp. d. A na závěr prezentace nabídka Vyluštění křížovky „Otestujte se“ 8 1 3 2 7 5 6 4 1. Jak se nazývá číslo ve tvaru Z=a+bc? 2. Na jakou mocninu imaginární jednotky se získá? 3.Jak se nazývají čísla, která se liší pouze znaménkem imaginární části?4. Délka vektoru. 5.Úhel, pod kterým se vektor nachází. 6. Jaký je tvar komplexního čísla: Z=r(cos +sin)? 7. Jaký je tvar komplexního čísla Z=re? 8. Zobrazení D=b -4ac, co je D?

Po prostudování tématu „Komplexní čísla
studenti musí:
Vědět:
algebraické, geometrické a trigonometrické formy
komplexní číslo.
Být schopný:
provádět operace sčítání na komplexních číslech,
násobení, odčítání, dělení, umocňování, extrakce
kořen komplexního čísla;
převést komplexní čísla z algebraické formy do
geometrické a trigonometrické;
používat geometrickou interpretaci komplexních čísel;
v nejjednodušších případech najděte složité kořeny rovnic s
reálné koeficienty.

Jaké sady čísel znáte?

I. Příprava na studium nového materiálu
Jaké sady čísel znáte?
N
Z
Q
N Z Q R
R

Číselná soustava
Přírodní
čísla, N
celá čísla, Z
Racionální čísla, Q
reálná čísla,
R
Komplex
čísla, C
Přijatelný
algebraický
operace
Přidání,
násobení
Sčítání, odčítání,
násobení
Sčítání, odčítání,
násobení, dělení
Sčítání, odčítání,
násobení, dělení,
zakořenění
nezáporná čísla
Všechny operace
Částečně
přijatelný
algebraický
operace
Odčítání, dělení,
extrakce kořenů
Divize,
extrakce kořenů
Extrakce kořenů z
nezáporné
čísla
Extrakce kořenů
od svévolného
čísla

Minimální podmínky, které musí být splněny
komplexní čísla:
C1) Existuje druhá odmocnina z, tzn. existuje
komplexní číslo, jehož druhá mocnina se rovná.
C2) Množina komplexních čísel obsahuje všechna reálná
čísla.
C3) Operace sčítání, odčítání, násobení a dělení
komplexní čísla splňují obvyklé zákony
aritmetické operace (kombinativní, komutativní,
rozdělení).
Splnění těchto minimálních podmínek nám umožňuje určit
celou množinu C komplexních čísel.

Imaginární čísla

i = -1, i – imaginární jednotka
i, 2i, -0,3i - čistě imaginární čísla
Aritmetické operace na čistě imaginárních číslech
jsou splněny v souladu s podmínkou C3.
3i 13i 3 13 i 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
i 7 i 2 i i
3
Obecně platí, že pravidla aritmetických operací jsou čistě imaginární
čísla jsou:
a b i;
a bi ab i;
ai bi
ai bi a b i;
ai bi abi a
kde a a b jsou reálná čísla.
2

Komplexní čísla

Definice 1. Komplexní číslo je součet
reálné číslo a čistě imaginární číslo.
z a bi C a R, b R,
i je pomyslná jednotka.
a Re z , b Im z
Definice 2. Volají se dvě komplexní čísla
stejné, pokud jsou jejich skutečné části stejné a stejné
jejich imaginární části:
a bi c di a c, b d .

Klasifikace komplexních čísel

Komplexní čísla
a+bi
Reálná čísla
b=o
Racionální
čísla
Iracionální
čísla
Imaginární čísla
b≠o
Imaginární čísla s
nenulové
platný
část
a ≠ 0, b ≠ 0.
Čistě
imaginární
čísla
a = 0, b ≠ 0.

Aritmetické operace s komplexními čísly

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi) (c di) ac bd bc ad
2
2
i
2
2
c di (c di) (c di) c d
c d

Konjugujte komplexní čísla

Definice: Pokud je zachováno komplexní číslo
skutečné části a změňte znaménko imaginární části
výsledkem je komplexní číslo konjugované s daným.
Pokud je dané komplexní číslo označeno písmenem z, pak
konjugované číslo je označeno z:
z x yi z x yi
Ze všech komplexních čísel jsou reálná čísla (a jen ta)
se rovnají jejich konjugovaným číslům.
Čísla a + bi a a - bi se nazývají vzájemně konjugované
komplexní čísla.

Vlastnosti konjugovaných čísel

1. Součet a součin dvou sdružených čísel je číslo
nemovitý.
z z (a bi) (a bi) 2a
z z (a bi) (a bi) a 2 (bi) 2 a 2 b 2
2. Konjugované číslo součtu dvou komplexních čísel je rovno
součet konjugovaných čísel.
z1 z2 z1 z2
3. Konjugované číslo rozdílu dvou komplexních čísel je rovno
rozdíl mezi konjugáty daných čísel.
z1 z2 z1 z2
4. Konjugované číslo součinu dvou komplexních čísel je rovno
součin konjugátů daných čísel.
z1z2 z1 z2

Vlastnosti konjugovaných čísel

5. Číslo konjugované s n-tou mocninou komplexního čísla z,
rovna n-té mocnině čísla konjugovaného s číslem z, tzn.
z n (z) n, n N
6. Konjugované číslo dvou komplexních čísel z
jehož dělitel je nenulový se rovná podílu
konjugovaná čísla, tj.
a bi a bi
c di c di

Mocniny imaginární jednotky

Podle definice je první mocninou čísla i
1
sám
číslo i a druhá mocnina je číslo -1:
i1 = i, i2 = -1
.
Vyšší mocniny i se nacházejí následovně
1
cesta:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1 atd.
Je zřejmé, že pro jakékoli přirozené číslo n
i4n = 1;
i4n +2 = -1
i4n+l = i;
i4n+3 = - i.

Získávání odmocnin komplexních čísel v algebraickém tvaru.

Definice. Číslo w se nazývá odmocnina z
2
komplexní číslo z, je-li jeho druhá mocnina rovna z: w z
Teorém. Nechť z=a+bi je nenulové komplexní číslo.
Pak existují dva vzájemně opačné komplexy
čísla, jejichž druhé mocniny se rovnají z. Pokud b≠0, pak tato dvě čísla
vyjádřeno vzorcem:
w
a2 b2 a
podepisuji se
2
a 2 b 2 a
, Kde
2
1, pokud b 0
signb 1, pokud b 0
0, pokud b 0
Pro b 0, a 0 máme: w a , pro b 0, a 0 máme: w i a .

Geometrická reprezentace komplexních čísel.

Komplexní číslo z na souřadnicové rovině
odpovídá bodu M(a, b).
Často místo bodů na rovině berou je
poloměrové vektory
OM
Definice: Modul komplexního čísla z = a + bi
zavolejte nezáporné čísloa 2 b2
,
rovná vzdálenosti od bodu M k začátku
z a 2 b2
souřadnice
cos
y
M (a, b)
b
φ
Ó
A
X
A
a hřích
b
a2 b2
a2 b2
argument komplexního čísla
;

Trigonometrický tvar komplexního čísla

z r cos i sin
kde φ je argument komplexního čísla,
r=
a 2 b2 - modul komplexního čísla,
cos
A
a2 b2
a hřích
b
a2 b2

Násobení a dělení komplexních čísel zadaných v goniometrickém tvaru

Teorém
Li
1.
z1 0, z2 0
A
z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 , pak:
A)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i hřích 1 2
b)
z1 r1
protože 1 2 i hřích 1 2
z2 r2
Věta 2 (Moivreův vzorec).
Nechť z je libovolné nenulové
komplexní číslo, n - libovolné celé číslo.
Pak
z r cos i sin r n cosn i sin n .
n
n

Extrahování odmocniny komplexního čísla.

Teorém. Pro libovolné přirozené číslo n a
nenulové komplexní číslo z existuje
n různých hodnot n-kořenu.
Li
z r protože jsem hřích,
pak jsou tyto hodnoty vyjádřeny vzorcem
2k
2k
wk r cos
hřeším
,
n
n
kde k 0,1,..., (n 1)

Loktionová G.N.

učitel matematiky

GAPOU "Vehicle Transport College"

„Složitá čísla a akce

nad nimi"

• Po prostudování tématu by studenti měli: Vědět: algebraické, geometrické a goniometrické formy komplexních čísel. Být schopný: provádět operace sčítání, násobení, odčítání, dělení, umocňování a odmocňování komplexního čísla na komplexních číslech; převádět komplexní čísla z algebraických na geometrické a trigonometrické formy; používat geometrickou interpretaci komplexních čísel; v nejjednodušších případech najděte složité kořeny rovnic s reálnými koeficienty.

• Historický odkaz
• Základní pojmy
• Geometrická reprezentace komplexních čísel
• Formy zápisu komplexních čísel
• Operace s komplexními čísly

• Gusak, A.A. Vyšší matematika: učebnice pro vysokoškoláky: ve 2 dílech. T.1. /A.A. Houser. – 5. vyd. – Minsk: TetraSystems, 2004. – 544 s.
• Kanatnikov, A.N. Lineární algebra. / A.N. Kanatnikov, A.P. Kriščenko. - M.: Vydavatelství MSTU im. N.E. Bauman, 2001 – 336 s.
• Kurosh, A.G. Vyšší kurz algebry. / A.G. Kurosh. - M.: Věda, 1971-432.
• Napsal D.T. Poznámky k přednáškám z vyšší matematiky. 1 díl. – 2. vyd., rev. – M.: Iris-press, 2003. - 288 s.
• Sikorskaya, G.A. Kurz přednášek z algebry a geometrie: učebnice pro studenty dopravní fakulty / G.A. Sikorská. - Orenburg: IPK GOU OSU, 2007. – 374 s.

článek 1 Historické pozadí

Pojem komplexní číslo vzešel z praxe a teorie řešení algebraických rovnic.

S komplexními čísly se matematici poprvé setkali při řešení kvadratických rovnic. Až do 16. století matematici po celém světě nenašli přijatelnou interpretaci složitých kořenů, které vznikly při řešení kvadratických rovnic, prohlašovali je za nepravdivé a nebrali je v úvahu.

Cardano, který řešil rovnice 3. a 4. stupně, byl jedním z prvních matematiků, kteří formálně operovali s komplexními čísly, i když mu jejich význam zůstal do značné míry nejasný.

Význam komplexních čísel vysvětlil další italský matematik R. Bombelli. Ve své knize Algebra (1572) poprvé stanovil pravidla pro provozování komplexních čísel v moderní podobě.

Až do 18. století však byla komplexní čísla považována za „imaginární“ a zbytečná. Je zajímavé, že i tak vynikající matematik jako Descartes, který ztotožňoval reálná čísla se segmenty číselné osy, věřil, že pro komplexní čísla nemůže existovat žádná skutečná interpretace a že navždy zůstanou imaginární, imaginární. Velcí matematici Newton a Leibniz zastávali podobné názory.

Teprve v 18. století si mnoho problémů matematické analýzy, geometrie a mechaniky vyžádalo široké použití operací s komplexními čísly, což vytvořilo podmínky pro rozvoj jejich geometrické interpretace.

V užitých dílech d'Alemberta a Eulera v polovině 18. století autoři představují libovolné imaginární veličiny ve formě z=a+ib, který umožňuje takové veličiny reprezentovat body na souřadnicové rovině. Právě tento výklad použil Gauss ve své práci věnované studiu řešení algebraických rovnic.

A teprve na počátku 19. století, kdy již byla objasněna úloha komplexních čísel v různých oblastech matematiky, byla vyvinuta jejich velmi jednoduchá a přirozená geometrická interpretace, která umožnila pochopit geometrický význam operací na složitých čísla.

P. 2 Základní pojmy

Komplexní číslo z nazvaný výraz formy z=a+ib, Kde A A b- reálná čísla, i – pomyslná jednotka, který je určen vztahem:

V tomto případě číslo A volal reálná částčísla z

(A = Re z), A b - imaginární část (b = jsem z).

Li A = Re z =0 , to číslo z vůle čistě imaginární, Pokud b = jsem z =0 , pak číslo z vůle platný .

Čísla z=a+ib a jsou voláni komplex - konjug .

Dvě komplexní čísla z 1 =a 1 +ib 1 A z 2 =a 2 +ib 2 jsou nazývány rovnat se, pokud jsou jejich skutečné a imaginární části stejné:

A 1 =a 2 ; b 1 =b 2

Komplexní číslo se rovná nule, pokud se skutečná a imaginární část rovná nule.

Komplexní čísla lze psát i např. ve tvaru z=x+iy , z=u+iv .

P. 3 Geometrická reprezentace komplexních čísel

Jakékoli komplexní číslo z=x+iy může být znázorněno tečkou M(x;y) letadlo xOy takové, že X = Re z , y = jsem z. A naopak každý bod M(x;y) souřadnicovou rovinu lze považovat za obraz komplexního čísla z=x+iy(obrázek 1).

Obrázek 1

Rovina, na které jsou komplexní čísla zobrazena, se nazývá komplexní rovina .

Osa úsečky se nazývá reálná osa, protože obsahuje reálná čísla z=x+0i=x .

Osa y se nazývá pomyslná osa, obsahuje imaginární komplexní čísla z=0+yi=yi .

Často místo bodů na rovině berou je poloměrové vektory

těch. vektory začínající bodem O(0;0), konec M(x;y) .

Délka vektoru reprezentujícího komplexní číslo z , volal modul toto číslo je určeno | z| nebo r .

Velikost úhlu mezi kladným směrem reálné osy a vektorem reprezentujícím komplexní číslo se nazývá argument tohoto komplexního čísla je označeno Arg z nebo φ .

Komplexní číselný argument z=0 neurčitý.

Komplexní číselný argument z ≠ 0 - množství je vícehodnotové a je určeno přesně na součet 2 π k (k=0,-1,1,-2,2,..) :

Arg z=arg z+2 π k,

Kde arg z - hlavní smysl argumentu , uzavřel v mezidobí (- π , π ] .

str.4 Formy psaní komplexních čísel

Zápis čísla do formuláře z=x+iy volal algebraický tvar komplexní číslo.

Z obrázku 1 je zřejmé, že x=rcos φ , y=rsin φ , tedy komplexní z=x+iyčíslo lze zapsat jako:

Tato forma záznamu se nazývá trigonometrický zápis komplexní číslo.

Modul r=|z| je jednoznačně určen vzorcem

Argument φ určeno ze vzorců

Při přechodu z algebraického tvaru komplexního čísla na goniometrický stačí určit pouze hlavní hodnotu argumentu komplexního čísla, tzn. počet φ =arg z .

Protože ze vzorce to dostaneme

Pro vnitřní body já , IV ubikace;

Pro vnitřní body II ubikace;

Pro vnitřní body IIIčtvrtletí.

Příklad 1 Reprezentovat komplexní čísla v goniometrickém tvaru.

Řešení. Komplexní číslo z=x+iy v trigonometrickém tvaru má tvar z=r(cos φ + isin φ ) , Kde

1) z 1 = 1 +i(číslo z 1 patří jáčtvrtletí), x=1, y=1.

Tím pádem,

2) (číslo z 2 patří IIčtvrtletí)

Od té doby

Proto,

Odpovědět:

Zvažte exponenciální funkci w=e z, Kde z=x+iy- komplexní číslo.

Lze ukázat, že funkce w lze napsat jako:

Tato rovnost se nazývá Eulerova rovnice.

Pro komplexní čísla platí následující vlastnosti:

Kde m– celé číslo.

Pokud je v Eulerově rovnici exponent považován za čistě imaginární číslo ( x=0), pak dostaneme:

Pro komplexně konjugované číslo dostaneme:

Z těchto dvou rovnic dostaneme:

Tyto vzorce se používají k nalezení hodnot mocnin goniometrických funkcí pomocí funkcí více úhlů.

Pokud reprezentujete komplexní číslo v goniometrickém tvaru

z=r(cos φ + isin φ )

a použijte Eulerův vzorec E i φ = cos φ + isin φ , pak lze komplexní číslo zapsat jako

z=r e i φ

Výsledná rovnost se nazývá exponenciální forma komplexní číslo.

P. 5 Operace s komplexními čísly

1) Akce na komplexních číslech v algebraickém tvaru

a) Sčítání komplexních čísel

Množství dvě komplexní čísla z 1 =x 1 +y 1 i A z 2 =x 2 +y 2 i

z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ).

Vlastnosti operace sčítání:

1. z 1 +z 2 = z 2 +z 1 ,

2. (z 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) ,

3. z+0=z .

b) Odčítání komplexních čísel

Odečítání je definováno jako převrácená hodnota sčítání.

Rozdílem dvě komplexní čísla z 1 =x 1 +y 1 i A z 2 =x 2 +y 2 i takové komplexní číslo se nazývá z, který, když se přidá do z 2 , dává číslo z 1 a je definována rovností

z=z 1 – z 2 =(x 1 -X 2 )+i(y 1 -y 2 ).

c) Násobení komplexních čísel

Práce komplexní čísla z 1 =x 1 +y 1 i A z 2 =x 2 +y 2 i, definovaný rovností

z=z 1 z 2 =(x 1 X 2 –y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 -X 2 y 1 ).

Odtud zejména vyplývá nejdůležitější vztah

i 2 = – 1.

Vlastnosti operace násobení:

1. z 1 z 2 = z 2 z 1 ,

2. (z 1 z 2 )z 3 =z 1 (z 2 z 3 ) ,

3. z 1 ( z 2 +z 3 ) =z 1 z 2 +z 1 z 3 ,

4 . z ∙ 1 =z .

d) Dělení komplexních čísel

Dělení je definováno jako převrácená hodnota násobení.

Podíl dvou komplexních čísel z 1 A z 2 ≠ 0 se nazývá komplexní číslo z, což při vynásobení z 2 , dává číslo z 1 , tj. Li z 2 z = z 1 .

Pokud dáte z 1 =x 1 +y 1 i , z 2 =x 2 +y 2 i ≠ 0, z=x+yi , pak z rovnosti (x+yi) (x 2 +iy 2 )= x 1 +y 1 já, by měl

Řešením systému najdeme hodnoty X A y :

Tím pádem,

V praxi se místo výsledného vzorce používá tato technika: násobí čitatel a jmenovatel zlomku číslem konjugovaným se jmenovatelem („zbavte se imaginárního ve jmenovateli“).

Příklad 2 Daná komplexní čísla 10+8i , 1+i. Najdeme jejich součet, rozdíl, součin a kvocient.

Řešení.

A) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

b) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i= 9 + 7 i;

PROTI) (10+8i)(1+i) = 10+10 i +8 i +8 i 2 =2+18i;

e) Konstrukce komplexního čísla daného v algebraickém tvaru v n stupeň

Zapišme si celočíselné mocniny imaginární jednotky:

Obecně lze výsledek zapsat takto:

Příklad 3 Vypočítat i 2 092 .

Řešení.

• Představme si exponent ve tvaru n = 4k+l a použít vlastnost stupně s racionálním exponentem z 4k+1 =(z 4 ) k ∙ z l .

My máme: 2092=4 ∙ 523 .

Tím pádem, i 2 092 = i 4 ∙ 523 =(i 4 ) 523 , ale od i 4 = 1 , tak se konečně dočkáme i 2 092 = 1 .

Odpovědět: i 2 092 = 1 .

Při konstrukci komplexního čísla a+bi na druhou a třetí mocninu použijte vzorec pro druhou mocninu a třetí mocninu součtu dvou čísel a při umocňování n (n- přirozené číslo, n ≥ 4 ) – Newtonův binomický vzorec:

Pro nalezení koeficientů v tomto vzorci je vhodné použít Pascalův trojúhelník.

E) Extrahování druhé odmocniny komplexního čísla

Odmocnina Z komplexního čísla se volá komplexní číslo, jehož druhá mocnina je rovna danému.

Označme druhou odmocninu komplexního čísla x+yi přes u+vi, pak podle definice

Vzorce pro hledání u A proti vypadat jako

Známky u A proti se volí tak, aby výsledný u A proti spokojená rovnost 2uv=y .

0, pak u a v jsou jedno komplexní číslo shodných znamének.) Odpověď: content" width="640"

Příklad 4. Hledání druhé odmocniny komplexního čísla z=5+12i .

Řešení.

Označme druhou odmocninu čísla z přes u+vi, Pak (u+vi) 2 =5+12i .

Protože v tomto případě x=5 , y=12, pak pomocí vzorců (1) získáme:

u 2 =9; u 1 =3; u 2 = – 3; proti 2 =4; proti 1 =2; proti 2 = – 2.

Jsou tedy nalezeny dvě hodnoty odmocniny: u 1 +v 1 i=3+2i , u 2 +v 2 i= –3 –2i, . (Znamení byla vybrána podle rovnosti 2uv=y, tj. protože y=120, Že u A proti jeden komplexní počet stejných znaků.)

Odpovědět:

2) Operace s komplexními čísly v goniometrickém tvaru

Uvažujme dvě komplexní čísla z 1 A z 2 , udává se v trigonometrickém tvaru

a) Součin komplexních čísel

Dělat násobení čísel z 1 A z 2 , dostaneme

b) Podíl dvou komplexních čísel

Nechť jsou dána komplexní čísla z 1 A z 2 ≠ 0 .

Uvažujme kvocient, který máme

Příklad 5. Jsou dána dvě komplexní čísla

Řešení.

1) Pomocí vzorce. dostaneme

Proto,

2) Pomocí vzorce. dostaneme

Proto,

Odpovědět:

PROTI) Konstrukce komplexního čísla daného v goniometrickém tvaru v n stupeň

Z operace násobení komplexních čísel vyplývá, že

V obecném případě dostaneme:

Kde n – kladné celé číslo.

Proto , při zvýšení komplexního čísla na mocninu se modul zvýší na stejnou mocninu a argument se vynásobí exponentem .

Výraz (2) se nazývá Moivreův vzorec .

Abraham de Moivre (1667 - 1754) - anglický matematik francouzského původu.

Přednosti Moivre:

• objevil (1707) Moivreův vzorec pro umocňování (a extrakci odmocnin) komplexních čísel zadaných v trigonometrickém tvaru;
• první začal používat umocňování nekonečných řad;
• významně přispěl k teorii pravděpodobnosti: dokázal speciální případ Laplaceovy věty, provedl pravděpodobnostní studii hazardu a řadu statistických údajů o populaci.

Moivreův vzorec lze použít k nalezení goniometrických funkcí dvojité, trojité atd. rohy

Příklad 6. Najděte vzorce hřích 2  A cos 2  .

Řešení.

Zvažte nějaké komplexní číslo

Pak na jednu stranu

Podle Moivreova vzorce:

Přirovnáváme, dostáváme

Protože dvě komplexní čísla jsou si rovna, pokud jsou jejich reálné a imaginární části stejné

Získali jsme známé vzorce dvojitého úhlu.

d) Extrakce kořenů P

Vykořenit P -tá mocnina komplexního čísla z se nazývá komplexní číslo w, splňující rovnost w n =z, tj. Li w n =z .

Pokud dáme a pak podle definice kořene a Moivreova vzorce dostaneme

Odtud máme

Rovnost má tedy formu

kde (tj. od 0 do n-1).

Tím pádem, extrakce kořenů n -tá mocnina komplexního čísla z je vždy možné a dává n různé významy. Všechny kořenové významy n stupeň umístěný na kružnici o poloměru se středem na nule a tuto kružnici vydělte n stejnými díly.

Příklad 7. Najděte všechny hodnoty

Řešení.

Nejprve si číslo znázorněme v trigonometrickém tvaru.

V tomto případě x=1 , , Tím pádem,

Proto,

Pomocí vzorce

Kde k=0,1,2,…,(n-1), my máme:

Zapišme si všechny hodnoty:

Odpovědět:

Otázky pro sebeovládání

1. Formulujte definici komplexního čísla.

2. Jaké komplexní číslo se nazývá čistě imaginární?

3. Která dvě komplexní čísla se nazývají konjugovaná?

4. Vysvětlete, co znamená sčítání komplexních čísel zadaných v algebraickém tvaru; vynásobte komplexní číslo skutečným číslem.

5. Vysvětlete princip dělení komplexních čísel uvedených v algebraickém tvaru.

6. Napište obecně celočíselné mocniny imaginární jednotky.

7. Co znamená umocnit komplexní číslo dané algebraickým tvarem na mocninu (n je přirozené číslo)?

8. Řekněte nám, jak jsou komplexní čísla znázorněna v rovině.

9. Jaká forma zápisu se nazývá trigonometrická forma komplexních čísel?

10. Formulujte definici modulu a argumentu komplexního čísla.

11. Formulujte pravidlo pro násobení komplexních čísel zapsaných v goniometrickém tvaru.

12. Formulujte pravidlo pro zjištění podílu dvou komplexních čísel zadaných v goniometrickém tvaru.

13. Formulujte pravidlo pro umocňování komplexních čísel uvedených v goniometrickém tvaru na mocniny.

14. Formulujte pravidlo pro extrakci n-té odmocniny komplexního čísla zadaného v goniometrickém tvaru.

15. Řekněte nám o významu n-té odmocniny jednoty ao rozsahu jejího použití.

1. Vývoj pojmu číslo Zavedení záporných čísel – to provedli čínští matematici dvě století před naším letopočtem. E. Již v 8. století bylo stanoveno, že odmocnina kladného čísla má dva významy – kladný a záporný, přičemž odmocninu nelze brát ze záporných čísel.

Tento vzorec funguje bezchybně v případě, kdy má rovnice jeden reálný kořen, a pokud má tři reálné kořeny, pak se pod znaménkem druhé odmocniny objeví záporné číslo. Ukázalo se, že cesta k těmto kořenům vede přes nemožnou operaci extrahování druhé odmocniny záporného čísla.

3. Výrok komplexních čísel v matematice Cardano nazval takové veličiny čistě negativní a dokonce až sofisticky negativní, považoval je za zbytečné a snažil se je nepoužívat. Ale již v roce 1572 vyšla kniha italského algebraisty R. Bombelliho, ve které byla stanovena první pravidla pro aritmetické operace s takovými čísly, až po extrakci odmocnin z nich.

Název imaginární čísla zavedl v roce 1637 francouzský matematik a filozof R. Descartes. V roce 1777 navrhl jeden z největších matematiků 18. století L. Euler používat první písmeno francouzského slova imaginaire (imaginární) k označení čísla (imaginární jednotky). Tento symbol se dostal do všeobecného užívání díky K. Gaussovi. Termín komplexní čísla také zavedl Gauss v roce 1831. V roce 1777 navrhl jeden z největších matematiků 18. století L. Euler používat první písmeno francouzského slova imaginaire (imaginární) k označení čísla (imaginární jednotky). Tento symbol se dostal do všeobecného užívání díky K. Gaussovi. Termín komplexní čísla také zavedl Gauss v roce 1831.

Slovo komplex (z latinského complexus) znamená spojení, kombinaci, soubor pojmů, předmětů, jevů atd., které tvoří jeden celek. Slovo komplex (z latinského complexus) znamená spojení, kombinaci, soubor pojmů, předmětů, jevů atd., které tvoří jeden celek.

Což propojilo exponenciální funkci s trigonometrickou. Pomocí vzorce L. Eulera bylo možné zvýšit číslo e na libovolnou komplexní mocninu. které spojovaly exponenciální funkci s trigonometrickou. Pomocí vzorce L. Eulera bylo možné zvýšit číslo e na libovolnou komplexní mocninu.

Po vytvoření teorie komplexních čísel vyvstala otázka existence hyperkomplexních čísel - čísel s několika imaginárními jednotkami. Takový systém sestrojil v roce 1843 irský matematik W. Hamilton, který je nazval kvaterniony Po vytvoření teorie komplexních čísel vyvstala otázka existence hyperkomplexních čísel - čísel s několika imaginárními jednotkami. Takový systém sestrojil v roce 1843 irský matematik W. Hamilton, který je nazval quaterniony

Taková rovina se nazývá komplexní. Reálná čísla na něm zaujímají vodorovnou osu, imaginární jednotka je znázorněna jako jedna na svislé ose; z tohoto důvodu se vodorovné a svislé osy nazývají skutečné a imaginární osy.

5. Goniometrický tvar komplexního čísla. Úsečka a a pořadnice b komplexního čísla a + bi jsou vyjádřeny pomocí modulu r a argumentu q. Úsečka a a pořadnice b komplexního čísla a + bi jsou vyjádřeny pomocí modulu r a argumentu q. Vzorce a = r cos q, r=a/cos q a = r cos q, r=a/cos q b = r sin q, r=b/sin q b = r sin q, r=b/sin q r – délka vektoru ( a+bi), q – úhel, který svírá s kladným směrem osy x

Komplexní čísla mají i přes svou nepravdivost a neplatnost velmi široké uplatnění. Hrají významnou roli nejen v matematice, ale také v takových vědách, jako je fyzika a chemie. V současné době se komplexní čísla aktivně používají v elektromechanice, počítačovém a kosmickém průmyslu

0 tj. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q kde r > 0, tj. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q This" title="Proto každé komplexní číslo může být reprezentováno ve tvaru Proto každé komplexní číslo může být reprezentováno ve tvaru r( cos q + i sin q ), r (cos q + i sin q), kde r > 0 tj. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q kde r > 0 tj. nebo z=r* cos q + r*sin q" class="link_thumb"> 25 !} Jakékoli komplexní číslo tedy může být reprezentováno ve tvaru Proto jakékoli komplexní číslo může být reprezentováno ve tvaru r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), kde r > 0 tzn. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q kde r > 0, tj. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q Tento výraz se nazývá normální goniometrický tvar nebo zkráceně trigonometrický tvar komplexního čísla. Tento výraz se nazývá normální trigonometrický tvar nebo zkráceně trigonometrický tvar komplexního čísla. 0 tj. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q kde r > 0, tj. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q Podlaha"> 0 tj. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q kde r > 0 tj. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q Tento výraz se nazývá normální trigonometrický tvar nebo zkráceně trigonometrický tvar komplexního čísla. Tento výraz se nazývá normální trigonometrický tvar nebo zkráceně trigonometrický tvar komplexní číslo."> 0. těch. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q kde r > 0, tj. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q This" title="Proto každé komplexní číslo může být reprezentováno ve tvaru Proto každé komplexní číslo může být reprezentováno ve tvaru r( cos q + i sin q ), r (cos q + i sin q), kde r > 0 tj. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q kde r > 0 tj. nebo z=r* cos q + r*sin q"> title="Jakékoli komplexní číslo tedy může být reprezentováno ve tvaru Proto jakékoli komplexní číslo může být reprezentováno ve tvaru r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), kde r > 0 tzn. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q kde r > 0, tj. z=a+bi nebo z=r*cos q + r*sin q"> !}