Taqdimotni yuklab oling: kompleks sonlarning kelib chiqishi va ularning qo'llanilishi. "Kompleks sonlar tarixi" mavzusida taqdimot. Kompleks sonning trigonometrik shakli

1,85  -2  0,8 Sonlar olami cheksizdir.  Son haqidagi dastlabki g`oyalar predmetlarni (1, 2, 3 va hokazo) - TABIY SONLARni sanashdan kelib chiqqan.  Keyinchalik, FRAKSIYALAR uzunlik, og'irlik va hokazolarni o'lchash natijasida paydo bo'lgan (va boshqalar)  MANF SONLAR, algebra rivojlanishi bilan paydo bo'lgan Butun sonlar (ya'ni 1, 2, 3, va hokazo. natural sonlar .), manfiy sonlar ( -1, -2, -3, va hokazo va nol), kasrlar RATIONAL SONLAR deyiladi. ,  Ratsional sonlar kvadrat diagonalining uzunligini to’g’ri ifodalay olmaydi, agar tomoni uzunligi o’lchov birligiga teng bo’lsa. O'lchovsiz bo'laklarning munosabatlarini to'g'ri ifodalash uchun yangi sonni kiritish kerak:  IRRATIONAL (va hokazo) Ratsional va irratsional - to'plamni hosil qiling: Haqiqiy sonlar. Haqiqiy sonlarni ko'rib chiqishda, haqiqiy sonlar to'plamida, masalan, kvadrati teng bo'lgan sonni topish mumkin emasligi qayd etildi. Manfiy diskriminantli kvadrat tenglamalarni ko'rib chiqishda bunday tenglamalarning haqiqiy sonlar bo'lgan ildizlari yo'qligi ham qayd etildi. Bunday muammolarni yechish uchun yangi sonlar kiritiladi - Kompleks sonlar Kompleks sonlar 2 = -1 3 = - = 4 =1 b - Xayoliy sonlar a + b - Kompleks sonlar a, b - Har qanday haqiqiy sonlar Kompleks sonlarning o'tmishi va hozirgi davri. Kompleks sonlar matematikada 400 yildan ko'proq vaqt oldin paydo bo'lgan. Biz birinchi marta manfiy sonlarning kvadrat ildizlariga duch keldik. Bu ibora nima ekanligini, unga qanday ma’no berish kerakligini hech kim bilmas edi. Har qanday manfiy sonning kvadrat ildizi haqiqiy sonlar to‘plamida hech qanday ma’noga ega emas. Bu kvadrat, kub va to‘rtinchi darajali tenglamalarni yechishda uchraydi. MATEMATIKA ISHLAB CHIQISH: LEONARD EULER Salbiy sonlarning kvadrat ildizlarini - chunki ular noldan katta emas, kam emas va nolga teng emas - mumkin bo'lgan sonlar qatoriga kiritib bo'lmaydi. Gotfrid Uilyam Leybnets Gotfrid Leybnets murakkab raqamlarni "ilohiy ruhning nafis va ajoyib panohi", g'oyalar olamining tanazzulga uchrashi, mavjudlik va mavjudlik o'rtasida joylashgan deyarli ikki tomonlama mavjudot deb atadi. Hatto qabriga narigi dunyoning ramzi sifatida belgi qo‘yishni vasiyat qilgan. K. Gauss 19-asrning boshlarida ularni "murakkab raqamlar" deb atashni taklif qildi. K. F. Gauss Kompleks sonlarning shakllari: Z=a+bi – algebraik ko‘rinishi Z=r() – trigonometrik Z=rE – ko‘rsatkichli Kompleks sonlardan foydalaniladi:  Geografik xaritalarni tuzishda  Samolyot qurilishi nazariyasida  Turli tadqiqotlarda qo‘llaniladi. sonlar nazariyasi boʻyicha  Elektromexanikada  Tabiiy va sunʼiy osmon jismlarining harakatini oʻrganishda va hokazo. d. Taqdimot oxirida “O'zingizni sinab ko'ring” krossvordni yechish taklifi 8 1 3 2 7 5 6 4 1. Z=a+bc ko'rinishdagi son qanday nomlanadi? 2. Xayoliy birlikning qaysi kuchiga birlik olinadi? 3.Faqat xayoliy qismning belgisi bilan farq qiluvchi sonlar qanday nomlanadi?4. Vektor uzunligi. 5.Vektor joylashgan burchak. 6. Kompleks son qanday shaklga ega: Z=r(cos +sin)? 7. Z=re kompleks son qanday ko‘rinishga ega? 8. Ko'rish D=b -4ac, D nima?

“Kompleks sonlar
talabalar:
Biling:
algebraik, geometrik va trigonometrik shakllar
murakkab son.
Imkoniyatiga ega bo'lish:
kompleks sonlar ustida qo‘shish amallarini bajarish;
ko‘paytirish, ayirish, bo‘lish, darajaga ko‘tarish, ayirish
murakkab sonning ildizi;
Kompleks sonlarni algebraik ko'rinishga o'tkazish
geometrik va trigonometrik;
kompleks sonlarning geometrik talqinidan foydalanish;
eng oddiy hollarda bilan tenglamalarning murakkab ildizlarini toping
real koeffitsientlar.

Qaysi raqamlar to'plamini bilasiz?

I. Yangi materialni o'rganishga tayyorgarlik
Qaysi raqamlar to'plamini bilasiz?
N
Z
Q
N Z Q R
R

Raqamli tizim
Tabiiy
raqamlar, N
Butun sonlar, Z
Ratsional sonlar, Q
Haqiqiy raqamlar,
R
Kompleks
raqamlar, C
Qabul qilinadi
algebraik
operatsiyalar
Qo'shimcha,
ko'paytirish
Qo'shish, ayirish,
ko'paytirish
Qo'shish, ayirish,
ko'paytirish, bo'lish
Qo'shish, ayirish,
ko'paytirish, bo'lish,
ildiz otish
manfiy bo'lmagan raqamlar
Barcha operatsiyalar
Qisman
qabul qilinadi
algebraik
operatsiyalar
Ayirish, bo'lish,
ildiz chiqarish
Bo'lim,
ildiz chiqarish
dan ildizlarni ajratib olish
salbiy bo'lmagan
raqamlar
Ildiz ekstraktsiyasi
o'zboshimchalikdan
raqamlar

Bajarilishi kerak bo'lgan minimal shartlar
murakkab raqamlar:
C1) ning kvadrat ildizi bor, ya'ni. mavjud
kvadrati teng bo'lgan kompleks son.
C2) Kompleks sonlar to'plami barcha haqiqiylarni o'z ichiga oladi
raqamlar.
C3) Qo`shish, ayirish, ko`paytirish va bo`lish amallari
murakkab sonlar odatiy qonunlarni qondiradi
arifmetik amallar (kombinativ, kommutativ,
tarqatish).
Ushbu minimal shartlarning bajarilishi bizga aniqlash imkonini beradi
kompleks sonlarning butun C to'plami.

Xayoliy raqamlar

i = -1, i – xayoliy birlik
i, 2i, -0,3i - sof xayoliy sonlar
Sof xayoliy sonlar ustidagi arifmetik amallar
C3 shartiga muvofiq bajariladi.
3i 13i 3 13 i 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
men 7 men 2 men i
3
Umuman olganda, sof xayoliy arifmetik amallar qoidalari
raqamlar quyidagilar:
a b i;
a bi ab i;
ai bi
ai bi a b i;
ai bi abi a
bu yerda a va b haqiqiy sonlar.
2

Kompleks sonlar

Ta'rif 1. Kompleks son yig'indidir
haqiqiy son va sof xayoliy son.
z a bi C a R, b R,
i - xayoliy birlik.
a Re z, b Im z
Ta'rif 2. Ikkita kompleks son deyiladi
ularning haqiqiy qismlari teng va teng bo'lsa teng
ularning xayoliy qismlari:
a bi c di a c, b d .

Kompleks sonlarning tasnifi

Kompleks sonlar
a+bi
Haqiqiy raqamlar
b=o
Ratsional
raqamlar
Mantiqsiz
raqamlar
Xayoliy raqamlar
b≠o
Bilan xayoliy raqamlar
nolga teng bo'lmagan
yaroqli
qismi
a ≠ 0, b ≠ 0.
Sof
xayoliy
raqamlar
a = 0, b ≠ 0.

Kompleks sonlar ustidagi arifmetik amallar

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad
2
2
i
2
2
c di (c di) (c di) c d
c d

Murakkab sonlarni birlashtirish

Ta'rif: Agar kompleks son saqlansa
haqiqiy qism va xayoliy qismning belgisini o'zgartiring, keyin
natijada berilgan kompleks sonning konjugati hosil bo‘ladi.
Agar berilgan kompleks son z harfi bilan belgilansa, u holda
konjugat son z bilan belgilanadi:
z x yi z x yi
Barcha murakkab sonlardan haqiqiy sonlar (va faqat ular)
ularning konjugat raqamlariga teng.
a + bi va a - bi raqamlari o'zaro konjugat deyiladi
murakkab sonlar.

Konjugat sonlarning xossalari

1. Ikki qo‘shma sonning yig‘indisi va ko‘paytmasi sondir
haqiqiy.
z z (a bi) (a bi) 2a
z z (a bi)(a bi) a 2 (bi) 2 a 2 b 2
2. Ikkita kompleks son yig‘indisining konjugat soni ga teng
konjugatsiyalangan raqamlar yig'indisi.
z1 z2 z1 z2
3. Ikki kompleks son ayirmasining konjugati teng
berilgan sonlarning konjugatlari orasidagi farq.
z1 z2 z1 z2
4. Ikkita kompleks son ko‘paytmasining konjugat soni ga teng
berilgan sonlarning konjugatlarining mahsuloti.
z1z2 z1 z2

Konjugat sonlarning xossalari

5. Son z kompleks sonining n-darajali konjugati,
z soniga konjugat sonning n-darajasiga teng, ya'ni.
z n (z)n , n N
6. dan ikkita murakkab sonning bo'lagining konjugati
bo'luvchisi nolga teng bo'lgan qismga teng
konjugat raqamlar, ya'ni.
a bi a bi
c di c di

Xayoliy birlikning kuchlari

Ta'rifga ko'ra, i ning birinchi kuchi
1
o'zi
i soni va ikkinchi daraja -1 soni:
i1 = i, i2 = -1
.
i ning yuqori kuchlari quyidagicha topiladi
1
yo'l:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1 va hokazo.
Shubhasiz, har qanday natural son uchun n
i4n = 1;
i4n +2 = - 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = - i.

Kompleks sonlarning kvadrat ildizlarini algebraik shaklda ajratib olish.

Ta'rif. w soni ning kvadrat ildizi deyiladi
2
kompleks soni z, agar uning kvadrati z ga teng bo'lsa: w z
Teorema. z=a+bi nolga teng bo‘lmagan kompleks son bo‘lsin.
Keyin bir-biriga qarama-qarshi ikkita kompleks mavjud
kvadratlari z ga teng bo'lgan sonlar. Agar b≠0 bo'lsa, bu ikki raqam
formula bilan ifodalanadi:
w
a2 b2 a
imzo qo'yaman
2
a 2 b 2 a
, Qayerda
2
1, agar b 0 bo'lsa
belgisi 1, agar b 0 bo'lsa
0, agar b 0 bo'lsa
b 0, a 0 uchun bizda: w a, b 0 uchun a 0: w i a.

Kompleks sonlarning geometrik tasviri.

Koordinata tekisligidagi z kompleks raqami
M(a, b) nuqtaga mos keladi.
Ko'pincha, samolyotdagi nuqtalar o'rniga, ularni olib ketishadi
radius vektorlari
OM
Ta'rif: Kompleks sonning moduli z = a + bi
manfiy bo'lmagan raqamga qo'ng'iroq qilinga 2 b2
,
M nuqtadan boshigacha bo'lgan masofaga teng
z a 2 b2
koordinatalar
cos
y
M (a, b)
b
φ
O
a
x
a
va gunoh
b
a2 b2
a2 b2
murakkab son argumenti
;

Kompleks sonning trigonometrik shakli

z r chunki men gunoh qilaman
bu erda ph - kompleks sonning argumenti,
r=
a 2 b2 - kompleks sonning moduli,
cos
a
a2 b2
va gunoh
b
a2 b2

Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko'paytirish va bo'lish

Teorema
Agar
1.
z1 0, z2 0
Va
z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 , keyin:
A)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
b)
z1 r1
chunki 1 2 men gunoh qilaman 1 2
z2 r2
2-teorema (Moivr formulasi).
z har qanday nolga teng bo'lsin
kompleks son, n - har qanday butun son.
Keyin
z r cos i sin r n cosn i sin n.
n
n

Kompleks sonning ildizini ajratib olish.

Teorema. Har qanday natural son n va uchun
nolga teng bo'lmagan kompleks soni z mavjud
n-ildizning n xil qiymatlari.
Agar
z r chunki men gunoh qilaman,
keyin bu qiymatlar formula bilan ifodalanadi
2k
2k
wk r cos
men gunoh qilaman
,
n
n
bu yerda k 0,1,..., (n 1)

Loktionova G.N.

matematika o'qituvchisi

GAPOU "Avtomobil transport kolleji"

"Murakkab raqamlar va harakatlar

ularning ustida"

• Mavzuni o'rganib chiqqandan so'ng talabalar: Biling: kompleks sonlarning algebraik, geometrik va trigonometrik shakllari. Imkoniyatiga ega bo'lish: kompleks sonlar ustida kompleks sonni qo‘shish, ko‘paytirish, ayirish, bo‘lish, darajaga ko‘tarish va ildiz ayirish amallarini bajarish; kompleks sonlarni algebraik shakllardan geometrik va trigonometrik shakllarga o‘tkazish; kompleks sonlarning geometrik talqinidan foydalanish; eng oddiy hollarda haqiqiy koeffitsientli tenglamalarning murakkab ildizlarini toping.

• Tarixiy ma'lumotnoma
• Asosiy tushunchalar
• Kompleks sonlarning geometrik tasviri
• Kompleks sonlarni yozish shakllari
• Kompleks sonlar ustida amallar

• Gusak, A.A. Oliy matematika: universitet talabalari uchun darslik: 2 jildda. T.1. /A.A. Gander. - 5-nashr. – Minsk: TetraSystems, 2004. – 544 p.
• Kanatnikov, A.N. Chiziqli algebra. / A.N. Kanatnikov, A.P. Krischenko. - M.: MSTU im. nashriyoti. N.E. Bauman, 2001 - 336 b.
• Kurosh, A.G. Oliy algebra kursi. / A.G. Kurosh. - M.: Fan, 1971-432.
• Muallif: D.T. Oliy matematika bo'yicha ma'ruza matnlari. 1 qism. – 2-nashr, qayta koʻrib chiqilgan. – M.: Iris-press, 2003. - 288 b.
• Sikorskaya, G.A. Algebra va geometriya bo'yicha ma'ruzalar kursi: transport fakulteti talabalari uchun darslik / G.A. Sikorskaya. - Orenburg: IPK GOU OSU, 2007. – 374 b.

1-band Tarixiy ma'lumotlar

Kompleks son tushunchasi algebraik tenglamalarni yechish amaliyoti va nazariyasidan kelib chiqqan.

Matematiklar birinchi marta kvadrat tenglamalarni yechishda murakkab sonlar bilan duch kelishgan. XVI asrgacha butun dunyo matematiklari kvadrat tenglamalarni echishda paydo bo'lgan murakkab ildizlar uchun maqbul talqinni topa olmay, ularni yolg'on deb e'lon qildilar va hisobga olishmadi.

3 va 4-darajali tenglamalarni echish ustida ishlagan Kardano murakkab sonlar bilan rasmiy ravishda ishlagan birinchi matematiklardan biri edi, garchi ularning ma'nosi unga ko'p jihatdan tushunarsiz bo'lib qoldi.

Kompleks sonlarning ma'nosini boshqa italyan matematigi R. Bombelli tushuntirgan. U o'zining "Algebra" (1572) kitobida birinchi marta zamonaviy shaklda kompleks sonlarni ishlash qoidalarini belgilab berdi.

Biroq, 18-asrga qadar murakkab raqamlar "xayoliy" va foydasiz deb hisoblangan. Shunisi qiziqki, hatto Dekart kabi haqiqiy sonlarni sonlar qatorining segmentlari bilan aniqlagan buyuk matematik ham murakkab sonlar uchun haqiqiy talqin bo'lishi mumkin emas va ular abadiy xayoliy, xayoliy bo'lib qoladi, deb hisoblagan. Buyuk matematiklar Nyuton va Leybnits ham xuddi shunday qarashlarga ega edilar.

Faqat 18-asrda matematik tahlil, geometriya va mexanikaning koʻpgina masalalari kompleks sonlar ustida amallarni keng qoʻllashni talab qildi, bu esa ularning geometrik talqinini rivojlantirish uchun sharoit yaratdi.

18-asr o'rtalarida d'Alembert va Eulerning amaliy ishlarida mualliflar ixtiyoriy xayoliy miqdorlarni shaklda ifodalaydilar. z=a+ib, bu esa bunday miqdorlarni koordinata tekisligidagi nuqtalar bilan ifodalash imkonini beradi. Aynan shu talqin Gauss tomonidan algebraik tenglamalar yechimlarini o'rganishga bag'ishlangan ishida ishlatilgan.

Va faqat 19-asrning boshlarida, matematikaning turli sohalarida murakkab raqamlarning roli allaqachon aniqlanganda, ularning juda oddiy va tabiiy geometrik talqini ishlab chiqildi, bu kompleks ustidagi operatsiyalarning geometrik ma'nosini tushunishga imkon berdi. raqamlar.

P. 2 Asosiy tushunchalar

Kompleks raqam z shaklning ifodasi deyiladi z=a+ib, Qayerda a Va b- haqiqiy raqamlar; i – xayoliy birlik, bu munosabat bilan belgilanadi:

Bu holda raqam a chaqirdi haqiqiy qismi raqamlar z

(a = Re z), A b - xayoliy qism (b = Men z).

Agar a = Rez =0 , bu raqam z bo'ladi sof xayoliy, Agar b = Men z =0 , keyin raqam z bo'ladi yaroqli .

Raqamlar z=a+ib va chaqiriladi murakkab - konjugat .

Ikkita murakkab raqam z 1 =a 1 +ib 1 Va z 2 =a 2 +ib 2 chaqiriladi teng, agar ularning haqiqiy va xayoliy qismlari mos ravishda teng bo'lsa:

a 1 =a 2 ; b 1 =b 2

Agar haqiqiy va xayoliy qismlar mos ravishda nolga teng bo'lsa, kompleks son nolga teng.

Kompleks sonlar, masalan, shaklda ham yozilishi mumkin z=x+iy , z=u+iv .

P. 3 Kompleks sonlarning geometrik tasviri

Har qanday murakkab son z=x+iy nuqta bilan ifodalanishi mumkin M(x;y) samolyot xOy shu kabi X = Rez , y = Men z. Va, aksincha, har bir nuqta M(x;y) koordinata tekisligi kompleks sonning tasviri sifatida qaralishi mumkin z=x+iy(1-rasm).

1-rasm

Kompleks sonlar tasvirlangan tekislik deyiladi murakkab tekislik .

Abscissa o'qi deyiladi haqiqiy o'q, chunki u haqiqiy raqamlarni o'z ichiga oladi z=x+0i=x .

Y o'qi deyiladi xayoliy o'q, unda xayoliy kompleks sonlar mavjud z=0+yi=yi .

Ko'pincha, samolyotdagi nuqtalar o'rniga, ularni olib ketishadi radius vektorlari

bular. nuqtadan boshlanadigan vektorlar O(0;0), oxiri M(x;y) .

Kompleks sonni ifodalovchi vektor uzunligi z , chaqirdi modul bu raqam belgilangan | z| yoki r .

Haqiqiy o'qning musbat yo'nalishi bilan kompleks sonni ifodalovchi vektor orasidagi burchakning kattaligi deyiladi dalil bu murakkab sonning belgisi bilan belgilanadi Arg z yoki φ .

Kompleks son argumenti z=0 aniqlangan.

Kompleks son argumenti z ≠ 0 - miqdor ko'p qiymatli va yig'indiga aniqlik bilan aniqlanadi 2 π k (k=0,-1,1,-2,2,..) :

Arg z=arg z+2 π k,

Qayerda arg z - argumentning asosiy ma'nosi , xulosa qildi oraliqda (- π , π ] .

b.4 Kompleks sonlarni yozish shakllari

Shaklda raqam yozish z=x+iy chaqirdi algebraik shakl murakkab son.

1-rasmdan bu aniq x=rcos φ , y=rsin φ , shuning uchun murakkab z=x+iy raqam quyidagicha yozilishi mumkin:

Yozib olishning ushbu shakli deyiladi trigonometrik belgilar murakkab son.

Modul r=|z| formula bilan yagona aniqlanadi

Dalil φ formulalar asosida aniqlanadi

Kompleks sonning algebraik shaklidan trigonometrik shaklga o'tishda faqat kompleks son argumentining asosiy qiymatini aniqlash kifoya, ya'ni. hisoblash φ =arg z .

Chunki formuladan biz buni olamiz

Ichki nuqtalar uchun I , IV chorak;

Ichki nuqtalar uchun II chorak;

Ichki nuqtalar uchun III chorak.

1-misol. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalash.

Yechim. Kompleks raqam z=x+iy trigonometrik shaklda shaklga ega z=r(cos φ +isin φ ) , Qayerda

1) z 1 = 1 +i(raqam z 1 tegishli I chorak), x=1, y=1.

Shunday qilib,

2) (raqam z 2 tegishli II chorak)

O'shandan beri

Demak,

Javob:

Eksponensial funktsiyani ko'rib chiqing w=e z, Qayerda z=x+iy- kompleks son.

Funktsiya ekanligini ko'rsatish mumkin w quyidagicha yozilishi mumkin:

Bu tenglik deyiladi Eyler tenglamasi.

Kompleks sonlar uchun quyidagi xususiyatlar to'g'ri bo'ladi:

Qayerda m- butun son.

Agar Eyler tenglamasida ko‘rsatkich sof xayoliy son sifatida qabul qilingan bo‘lsa ( x=0), keyin biz olamiz:

Murakkab konjugat son uchun biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu ikkita tenglamadan biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu formulalar trigonometrik funktsiyalarning kuchlari qiymatlarini ko'p burchakli funktsiyalar orqali topish uchun ishlatiladi.

Agar siz kompleks sonni trigonometrik shaklda ifodalasangiz

z=r(cos φ +isin φ )

va Eyler formulasidan foydalaning e i φ =cos φ +isin φ , u holda kompleks sonni shunday yozish mumkin

z=r e i φ

Olingan tenglik deyiladi eksponensial shakl murakkab son.

P. 5 Kompleks sonlar ustida amallar

1) Algebraik shaklda berilgan kompleks sonlar ustida amallar

a) Kompleks sonlarni qo‘shish

Miqdori ikkita murakkab son z 1 =x 1 +y 1 i Va z 2 =x 2 +y 2 i

z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ).

Qo'shish operatsiyasining xususiyatlari:

1. z 1 +z 2 = z 2 +z 1 ,

2. (z 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) ,

3. z+0=z .

b) Kompleks sonlarni ayirish

Ayirish qo'shishning teskarisi sifatida aniqlanadi.

Farqi bo'yicha ikkita murakkab son z 1 =x 1 +y 1 i Va z 2 =x 2 +y 2 i shunday murakkab son deyiladi z, qaysi, qo'shilganda z 2 , raqamni beradi z 1 va tenglik bilan belgilanadi

z=z 1 – z 2 =(x 1 –x 2 )+i(y 1 -y 2 ).

c) Kompleks sonlarni ko‘paytirish

Ish murakkab sonlar z 1 =x 1 +y 1 i Va z 2 =x 2 +y 2 i, tenglik bilan belgilanadi

z=z 1 z 2 =(x 1 x 2 –y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 –x 2 y 1 ).

Bu erdan, xususan, eng muhim munosabatni kuzatib boradi

i 2 = – 1.

Ko'paytirish amalining xususiyatlari:

1. z 1 z 2 = z 2 z 1 ,

2. (z 1 z 2 )z 3 =z 1 (z 2 z 3 ) ,

3. z 1 ( z 2 +z 3 ) =z 1 z 2 +z 1 z 3 ,

4 . z ∙ 1 =z .

d) Kompleks sonlarning bo‘linishi

Bo'linish ko'paytirishning teskarisi sifatida aniqlanadi.

Ikkita kompleks sonning koeffitsienti z 1 Va z 2 ≠ 0 kompleks son deyiladi z ga ko'paytirilganda z 2 , raqamni beradi z 1 , ya'ni. Agar z 2 z = z 1 .

Agar qo'ysangiz z 1 =x 1 +y 1 i , z 2 =x 2 +y 2 i ≠ 0, z=x+yi , keyin tenglikdan (x+yi)(x 2 +iy 2 )= x 1 +y 1 men, kerak

Tizimni yechish, biz qiymatlarni topamiz x Va y :

Shunday qilib,

Amalda, hosil bo'lgan formula o'rniga, quyidagi usul qo'llaniladi: ular kasrning soni va maxrajini maxrajga sonning konjugati bilan ko'paytiradilar ("maxrajdagi xayoldan xalos bo'ling").

2-misol. Berilgan murakkab sonlar 10+8i , 1+i. Ularning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi va qismi topilsin.

Yechim.

A) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

b) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i= 9 + 7 i;

V) (10+8i)(1+i) = 10+10 i +8 i +8 i 2 =2+18i;

e) yilda algebraik shaklda berilgan kompleks sonni yasash n th daraja

Xayoliy birlikning butun son darajalarini yozamiz:

Umuman olganda, natijani quyidagicha yozish mumkin:

3-misol. Hisoblash i 2 092 .

Yechim.

• Ko‘rsatkichni shaklda ifodalaylik n = 4k+l va ratsional darajali daraja xususiyatidan foydalaning z 4k+1 =(z 4 ) k ∙ z l .

Bizda ... bor: 2092=4 ∙ 523 .

Shunday qilib, i 2 092 = i 4 ∙ 523 =(i 4 ) 523 , lekin beri i 4 = 1 , keyin biz nihoyat olamiz i 2 092 = 1 .

Javob: i 2 092 = 1 .

Kompleks sonni qurishda a+bi ikkinchi va uchinchi darajalar uchun ikkita son yig'indisining kvadrati va kubi formulasidan foydalaning va darajaga ko'targanda n (n- natural son, n ≥ 4 ) - Nyutonning binomial formulasi:

Bu formuladagi koeffitsientlarni topish uchun Paskal uchburchagidan foydalanish qulay.

e) Kompleks sonning kvadrat ildizini ajratib olish

Kvadrat ildiz Kompleks son kvadrati berilganiga teng bo'lgan kompleks son deyiladi.

Kompleks sonning kvadrat ildizini belgilaylik x+yi orqali u+vi, keyin ta'rifi bo'yicha

Topish uchun formulalar u Va v o'xshamoq

Belgilar u Va v natijada shunday tanlanadi u Va v qanoatlangan tenglik 2uv=y .

0 bo'lsa, u va v bir xil belgilarning bitta murakkab soni.) Javob: kontent" eni="640"

4-misol. Kompleks sonning kvadrat ildizini topish z=5+12i .

Yechim.

Keling, sonning kvadrat ildizini belgilaymiz z orqali u+vi, Keyin (u+vi) 2 =5+12i .

Chunki bu holatda x=5 , y=12, keyin formulalar (1) yordamida biz quyidagilarni olamiz:

u 2 =9; u 1 =3; u 2 = – 3; v 2 =4; v 1 =2; v 2 = – 2.

Shunday qilib, kvadrat ildizning ikkita qiymati topiladi: u 1 +v 1 i=3+2i , u 2 +v 2 i= –3 –2i, . (Belgilar tenglikka qarab tanlangan 2uv=y, ya'ni. chunki y=120, Bu u Va v bir xil belgilarning bitta murakkab soni.)

Javob:

2) Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlar ustida amallar

Ikkita murakkab sonni ko'rib chiqing z 1 Va z 2 , trigonometrik shaklda berilgan

a) Kompleks sonlar ko‘paytmasi

Raqamlarni ko'paytirish z 1 Va z 2 , olamiz

b) Ikkita kompleks sonning bo'lagi

Kompleks sonlar berilsin z 1 Va z 2 ≠ 0 .

Keling, bizda mavjud bo'lgan nisbatni ko'rib chiqaylik

5-misol. Ikkita murakkab son berilgan

Yechim.

1) Formuladan foydalanish. olamiz

Demak,

2) Formuladan foydalanish. olamiz

Demak,

Javob:

V) Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonni yasash n th daraja

Kompleks sonlarni ko'paytirish amalidan shunday xulosa kelib chiqadi

Umumiy holatda biz quyidagilarni olamiz:

Qayerda n – musbat butun son.

Shuning uchun , murakkab sonni darajaga ko'tarishda modul bir xil darajaga ko'tariladi va argument ko'rsatkichga ko'paytiriladi. .

(2) ifoda deyiladi Moivre formulasi .

Avraam de Moivr (1667 - 1754) - frantsuz asli ingliz matematigi.

Moivrening xizmatlari:

• trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni darajaga ko'tarish (va ildizlarini olish) uchun Moivr formulasini kashf etdi (1707);
• birinchisi cheksiz qator ko'rsatkichidan foydalana boshladi;
• ehtimollar nazariyasiga katta hissa qo'shdi: u Laplas teoremasining alohida holatini isbotladi, qimor o'yinlarining ehtimollik tadqiqotini va aholi soni bo'yicha bir qator statistik ma'lumotlarni o'tkazdi.

Moivr formulasi ikki, uch va hokazo trigonometrik funktsiyalarni topish uchun ishlatilishi mumkin. burchaklar

6-misol. Formulalarni toping gunoh 2  Va cos 2  .

Yechim.

Ba'zi bir murakkab sonni ko'rib chiqing

Keyin bir tomondan

Moivre formulasiga ko'ra:

Tenglashtirib, olamiz

Chunki ikkita kompleks son teng bo'ladi, agar ularning haqiqiy va xayoliy qismlari teng bo'lsa, u holda

Biz taniqli ikki burchakli formulalarni oldik.

d) ildiz chiqarish P

Ildiz P -kompleks sonning darajasi z kompleks son deyiladi w, tenglikni qondirish w n =z, ya'ni. Agar w n =z .

Agar biz qo'ysak va keyin, ildiz va Moivre formulasining ta'rifiga ko'ra, biz olamiz

Bu yerdan biz bor

Shuning uchun tenglik shaklni oladi

qaerda (ya'ni 0 dan n-1).

Shunday qilib, ildiz chiqarish n -kompleks sonning darajasi z har doim mumkin va beradi n turli ma'nolar. Barcha ildiz ma'nolari n radiusli aylanada joylashgan th daraja markazi nolga teng va bu doirani ga bo'ling n teng qismlar.

7-misol. Barcha qiymatlarni toping

Yechim.

Birinchidan, sonni trigonometrik shaklda ifodalaylik.

Ushbu holatda x=1 , , Shunday qilib,

Demak,

Formuladan foydalanish

Qayerda k=0,1,2,…,(n-1), bizda ... bor:

Keling, barcha qiymatlarni yozamiz:

Javob:

O'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar

1 . Kompleks sonning ta'rifini tuzing.

2. Qanday kompleks songa sof xayoliy son deyiladi?

3. Qanday ikkita murakkab sonlar konjugat deyiladi?

4. Algebraik shaklda berilgan kompleks sonlarni qo‘shish nimani anglatishini tushuntiring; murakkab sonni haqiqiy songa ko'paytirish.

5. Algebraik shaklda berilgan kompleks sonlarni bo’lish tamoyilini tushuntiring.

6. Xayoliy birlikning butun son darajalarini umumiy qilib yozing.

7. Algebraik shakl bilan berilgan kompleks sonni darajaga (n - natural son) oshirish nimani anglatadi?

8. Kompleks sonlar tekislikda qanday tasvirlanganligini ayting.

9 . Kompleks sonlarning trigonometrik ko‘rinishi deyiladi?

10. Kompleks sonning moduli va argumentining ta’rifini tuzing.

11. Trigonometrik shaklda yozilgan kompleks sonlarni ko‘paytirish qoidasini tuzing.

12. Trigonometrik shaklda berilgan ikkita kompleks sonning qismini topish qoidasini tuzing.

13. Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni darajalarga ko‘tarish qoidasini tuzing.

14. Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonning n- ildizini olish qoidasini tuzing.

15. Birlikning n-chi ildizining ma’nosi va qo‘llanish doirasi haqida gapirib bering.

1. Son tushunchasining rivojlanishi Manfiy sonlarning kiritilishi - bu eramizdan avvalgi ikki asrda Xitoy matematiklari tomonidan amalga oshirilgan. e. 8-asrda allaqachon musbat sonning kvadrat ildizi ikkita ma'noga ega ekanligi aniqlangan - ijobiy va salbiy va kvadrat ildizni manfiy raqamlardan olish mumkin emas.

Ushbu formula tenglama bitta haqiqiy ildizga ega bo'lsa va agar u uchta haqiqiy ildizga ega bo'lsa, kvadrat ildiz belgisi ostida manfiy raqam paydo bo'lganda mukammal ishlaydi. Ma'lum bo'lishicha, bu ildizlarga yo'l manfiy sonning kvadrat ildizini olishning imkonsiz operatsiyasidan o'tadi.

3. Kompleks sonlarning matematikada bayoni Kardano bunday miqdorlarni sof manfiy va hatto sofistik manfiy deb atagan, ularni foydasiz deb hisoblagan va foydalanmaslikka harakat qilgan. Ammo allaqachon 1572 yilda italiyalik algebraist R. Bombelli kitobi nashr etilgan bo'lib, unda bunday raqamlar bo'yicha arifmetik operatsiyalarning birinchi qoidalari, ulardan kub ildizlarini ajratib olishgacha o'rnatilgan.

Xayoliy sonlar nomi 1637 yilda frantsuz matematigi va faylasufi R.Dekart tomonidan kiritilgan. 1777-yilda XVIII asrning eng buyuk matematiklaridan biri L. Eyler raqamni (xayoliy birlikni) belgilash uchun frantsuzcha imaginaire (xayoliy) so‘zining birinchi harfini qo‘llashni taklif qildi. Ushbu belgi K. Gauss tufayli umumiy foydalanishga kirdi. Kompleks sonlar atamasi 1831 yilda Gauss tomonidan ham kiritilgan. 1777-yilda XVIII asrning eng buyuk matematiklaridan biri L. Eyler raqamni (xayoliy birlik) belgilash uchun frantsuzcha imaginaire (xayoliy) so‘zining birinchi harfini qo‘llashni taklif qildi. Ushbu belgi K. Gauss tufayli umumiy foydalanishga kirdi. Kompleks sonlar atamasi 1831 yilda Gauss tomonidan ham kiritilgan.

Kompleks so‘zi (lotincha kompleks so‘zidan) bir butunlikni tashkil etuvchi bog‘lanish, birikma, tushunchalar, predmetlar, hodisalar va hokazolar majmuini anglatadi. Kompleks so‘zi (lotincha kompleks so‘zidan) bir butunlikni tashkil etuvchi bog‘lanish, birikma, tushunchalar, predmetlar, hodisalar va hokazolar majmuini anglatadi.

Bu eksponensial funktsiyani trigonometrik funktsiya bilan bog'ladi. L. Eyler formulasidan foydalanib, e sonini istalgan kompleks darajaga ko‘tarish mumkin edi. Bu ko'rsatkichli funktsiyani trigonometrik funktsiya bilan bog'laydi. L. Eyler formulasidan foydalanib, e sonini istalgan kompleks darajaga ko‘tarish mumkin edi.

Kompleks sonlar nazariyasi yaratilgandan so'ng, giperkompleks sonlar - bir nechta xayoliy birliklarga ega raqamlar mavjudligi haqida savol tug'ildi. Bunday tizimni 1843-yilda irland matematigi V.Gamilton qurgan, u ularni toʻrtlik deb atagan edi. Kompleks sonlar nazariyasi yaratilgandan soʻng, giperkompleks sonlar – bir nechta xayoliy birlikli sonlar mavjudligi haqida savol tugʻildi. Bunday tizimni 1843 yilda irland matematigi V. Gamilton qurgan va ularni kvaternionlar deb atagan.

Bunday tekislik murakkab deb ataladi. Undagi haqiqiy sonlar gorizontal o'qni egallaydi, xayoliy birlik vertikal o'qda bitta sifatida tasvirlangan; shuning uchun gorizontal va vertikal o'qlar mos ravishda haqiqiy va xayoliy o'qlar deb ataladi.

5. Kompleks sonning trigonometrik shakli. a + bi kompleks sonning abssissa a va ordinatasi b moduli r va argument q bilan ifodalanadi. a + bi kompleks sonning abssissa a va ordinatasi b moduli r va argument q bilan ifodalanadi. Formulalar a = r cos q, r=a/cos q a = r cos q, r=a/cos q b = r sin q, r=b/sin q b = r sin q, r=b/sin q r – vektor uzunligi ( a+bi), q – x o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchak

Murakkab raqamlar, ularning noto'g'ri va yaroqsizligiga qaramay, juda keng qo'llanilishiga ega. Ular nafaqat matematikada, balki fizika va kimyo kabi fanlarda ham katta rol o'ynaydi. Hozirgi vaqtda kompleks raqamlar elektromexanika, kompyuter va kosmik sanoatda faol qo'llaniladi

0 ya'ni. z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q bu yerda r > 0, ya’ni. z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q This" title="Shuning uchun har qanday kompleks son ko‘rinishda ifodalanishi mumkin. Shuning uchun har qanday kompleks son r( ko‘rinishida ifodalanishi mumkin). cos q + i sin q ), r(cos q + i sin q), bu yerda r > 0 ya’ni z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q bu yerda r > 0 ya’ni yoki z=r* cos q + r*sin q" class="link_thumb"> 25 !} Demak, har qanday kompleks son ko`rinishda ifodalanishi mumkin Demak, har qanday kompleks son r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q) ko`rinishlarida ifodalanishi mumkin, bunda r > 0 ya'ni. z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q bu yerda r > 0, ya’ni. z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q Bu ifoda kompleks sonning normal trigonometrik shakli yoki qisqasi trigonometrik shakli deyiladi. Bu ifoda kompleks sonning normal trigonometrik shakli yoki qisqacha aytganda trigonometrik shakli deyiladi. 0 ya'ni. z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q bu yerda r > 0, ya’ni. z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q Floor"> 0, ya'ni z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q bu erda r > 0, ya'ni z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q Bu ifoda murakkab sonning normal trigonometrik shakli yoki qisqacha aytganda, trigonometrik shakli deyiladi kompleks son."> 0. bular. z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q bu yerda r > 0, ya’ni. z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q This" title="Shuning uchun har qanday kompleks son ko‘rinishda ifodalanishi mumkin. Shuning uchun har qanday kompleks son r( ko‘rinishida ifodalanishi mumkin). cos q + i sin q ), r(cos q + i sin q), bu yerda r > 0 ya’ni z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q bu yerda r > 0 ya’ni yoki z=r* cos q + r*sin q"> title="Demak, har qanday kompleks son ko`rinishda ifodalanishi mumkin Demak, har qanday kompleks son r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q) ko`rinishlarida ifodalanishi mumkin, bunda r > 0 ya'ni. z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q bu yerda r > 0, ya’ni. z=a+bi yoki z=r*cos q + r*sin q"> !}