Funcții cuadratice și cubice. Funcții cuadratice și cubice Etapa reflecto-evaluative

Construiește o funcție

Vă aducem la cunoștință un serviciu de trasare online a graficelor de funcții, toate drepturile cărora le aparțin companiei Desmos. Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra diagramei, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Beneficiile graficelor online

• Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
• Construirea de grafice foarte complexe
• Trasarea graficelor definite implicit (de exemplu, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Posibilitatea de a salva diagrame și de a obține un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea pe Internet
• Controlul scării, culoarea liniei
• Abilitatea de a reprezenta grafice după puncte, utilizarea constantelor
• Construirea mai multor grafice de funcții în același timp
• Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ(\theta))

Cu noi este ușor să construiești grafice de complexitate variată online. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru găsirea punctelor de intersecție ale funcțiilor, pentru afișarea graficelor pentru a le transfera ulterior într-un document Word ca ilustrații pentru rezolvarea problemelor, pentru analizarea caracteristicilor comportamentale ale graficelor de funcții. Cel mai bun browser pentru lucrul cu diagrame de pe această pagină a site-ului este Google Chrome. Când utilizați alte browsere, funcționarea corectă nu este garantată.

Secțiuni: Matematica

Subiect:„Plotarea unei funcții pătrate care conține modul.”
(Pe exemplul graficului funcției y \u003d x 2 - 6x + 3.)

Ţintă.

• Explorați locația graficului funcției pe planul de coordonate în funcție de modul.
• Dezvoltați abilitățile de a reprezenta o funcție care conține un modul.

În timpul orelor.

1. Etapa de actualizare a cunoștințelor.

a) Verificarea temelor.

Exemplul 1 Construiți un grafic al funcției y \u003d x 2 - 6x + 3. Aflați zerourile funcției.

Soluţie.

2. Coordonatele vârfurilor parabolei: x= - b/2a = - (-6)/2=3, y(3) = 9 - 18 + 3 = - 6, A(3; -6).

4. Zerurile funcției: y(x) = 0, x 2 - 6x + 3 = 0, D = 36 - 4 3 = 36 - 12 = 24, D> 0,

x 1,2 \u003d (6 ± ) / 2 \u003d 3 ± ; B(3 - ;0), C(3 + ;0).

Graficul din Fig.1.

Algoritm pentru trasarea graficului unei funcții pătrate.

1. Determinați direcția „ramurilor” parabolei.

2. Calculați coordonatele vârfului parabolei.

3. Notați ecuația axei de simetrie.

4. Calculați mai multe puncte.

b) Luați în considerare construcția graficelor de funcții liniare care conțin modulul:

1. y = |x|. Graficul funcției din figura 2.

2.y = |x| + 1. Graficul funcției din Figura 3.

3. y = |x + 1|. Graficul funcției din figura 4.

Ieșire.

1. Graficul funcției y = |x| + 1 se obține din graficul funcției y = |x| transfer paralel la vectorul (0;1).

2. Graficul funcției y = |x + 1| obţinut din graficul funcţiei y = |x| transfer paralel la vectorul (-1; 0).

2. Partea operațională și executivă.

Etapa de cercetare. Lucru de grup.

Grupa 1. Construiți grafice ale funcțiilor:

a) y \u003d x 2 - 6 | x | + 3,

b) y \u003d |x 2 - 6x + 3 |.

Soluţie.

1. Construiți un grafic al funcției y \u003d x 2 -6x + 3.

2. Afișați-l simetric față de axa Oy.

Graficul din figura 5.

b) 1. Reprezentați grafic funcția y \u003d x 2 - 6x + 3.

2. Afișați-l simetric față de axa x.

Graficul funcției din figura 6.

Ieșire.

1. Graficul funcției y \u003d f (|x |) se obține din graficul funcției y \u003d f (x), prin mapare relativ la axa Oy.

2. Graficul funcției y = |f(x)| se obține din graficul funcției y \u003d f (x), prin maparea în jurul axei Ox.

Grupa 2. Construiți grafice ale funcțiilor:

a) y = |x 2 - 6|x| + 3|;

b) y = |x 2 - 6x + 3| - 3.

Soluţie.

1. Graficul funcției y \u003d x 2 + 6x + 3 este afișat în raport cu axa Oy, obținem graficul funcției y \u003d x 2 - 6 | x | + 3.

2. Graficul rezultat este afișat simetric față de axa x.

Graficul funcției din figura 7.

Ieșire.

Graficul funcției y = |f (|x|)| se obține din graficul funcției y \u003d f (x), printr-o afișare secvențială în raport cu axele de coordonate.

1. Graficul funcției y \u003d x 2 - 6x + 3 este afișat în raport cu axa Ox.

2. Transferați graficul rezultat în vectorul (0;-3).

Graficul funcției din figura 8.

Ieșire. Graficul funcției y = |f(x)| + a se obține din graficul funcției y = |f(x)| transfer paralel la vectorul (0,a).

Grupa 3. Reprezentați grafic funcția:

a) y = |x|(x - 6) + 3; b) y = x|x - 6| + 3.

Soluţie.

a) y = |x| (x - 6) + 3, avem un set de sisteme:

Construim un grafic al funcției y \u003d -x 2 + 6x + 3 pentru x< 0 для точек у(0) = 3, у(- 1) = - 4.

Graficul funcției din figura 9.

b) y \u003d x | x - 6 | + 3, avem un set de sisteme:

Construim un grafic al funcției y \u003d - x 2 + 6x + 3 pentru x 6.

2. Coordonatele vârfurilor parabolei: x = - b/2a = 3, y(3) =1 2, A(3;12).

3. Ecuația axei de simetrie: x = 3.

4. Mai multe puncte: y(2) = 11, y(1) = 3; y(-1) = - 4.

Construim un grafic al funcției y \u003d x 2 - 6x + 3 pentru x \u003d 7 y (7) \u003d 10.

Graficul din Fig.10.

Ieșire. La rezolvarea acestui grup de ecuații, este necesar să se ia în considerare zerourile modulelor conținute în fiecare dintre ecuații. Apoi construiți un grafic al funcției pe fiecare dintre intervalele obținute.

(La reprezentarea grafică a acestor funcții, fiecare grup a investigat influența modulului asupra aspectului graficului funcției și a făcut concluziile corespunzătoare.)

Avem un tabel rezumativ pentru graficele funcțiilor care conțin modulul.

Tabel pentru trasarea funcțiilor care conțin un modul.

Grupa 4

Trasează funcția:

a) y \u003d x 2 - 5x + |x - 3 |;

b) y = |x 2 - 5x| + x - 3.

Soluţie.

a) y \u003d x 2 - 5x + | x - 3 |, mergeți la setul de sisteme:

Construim un grafic al funcției y \u003d x 2 -6x + 3 la x 3,
apoi graficul funcției y \u003d x 2 - 4x - 3 pentru x\u003e 3 în punctele y (4) \u003d -3, y (5) \u003d 2, y (6) \u003d 9.

Graficul funcției din figura 11.

b) y \u003d |x 2 - 5x | + x - 3, trecem la multimea de sisteme:

Construim fiecare grafic pe intervalul corespunzător.

Graficul funcției din figura 12.

Ieșire.

Am aflat influența modulului în fiecare termen asupra aspectului graficului.

Muncă independentă.

Trasează funcția:

a) y \u003d |x 2 - 5x + |x - 3 ||,

b) y= ||x 2 - 5x| + x - 3|.

Soluţie.

Graficele anterioare sunt afișate în raport cu axa Ox.

Grupa.5

Construiți un grafic al funcției: y = | x - 2| (|x| - 3) - 3.

Soluţie.

Se consideră zerourile a două module: x = 0, x - 2 = 0. Obținem intervale de semn constant.

Avem un set de sisteme de ecuații:

Construim un grafic pentru fiecare dintre intervale.

Graficul din figura 15.

Ieșire. Cele două module din ecuațiile propuse complică semnificativ construcția unui grafic general format din trei grafice separate.

Elevii au înregistrat performanțele fiecăreia dintre grupuri, au notat concluziile, au participat la lucrări independente.

3. Tema pentru acasă.

Construiți grafice de funcții cu diferite locații ale modulelor:

1. y \u003d x 2 + 4x + 2;

2. y \u003d - x 2 + 6x - 4.

4. Etapa reflexivă – evaluativă.

1. Notele pentru lecție sunt formate din note:

a) pentru lucrul în grup;

b) pentru muncă independentă.

2. Care a fost cel mai interesant moment din lecție?

3. Temele sunt dificile?

Funcția y=x^2 se numește funcție pătratică. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Vederea generală a parabolei este prezentată în figura de mai jos.

funcţie pătratică

Fig 1. Vedere generală a parabolei

După cum se poate vedea din grafic, este simetric față de axa Oy. Axa Oy se numește axa de simetrie a parabolei. Aceasta înseamnă că dacă desenați o linie dreaptă paralelă cu axa Ox deasupra acestei axe pe diagramă. Apoi intersectează parabola în două puncte. Distanța de la aceste puncte la axa y va fi aceeași.

Axa de simetrie împarte graficul parabolei, parcă, în două părți. Aceste părți sunt numite ramuri ale parabolei. Iar punctul parabolei care se află pe axa de simetrie se numește vârful parabolei. Adică, axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Coordonatele acestui punct sunt (0;0).

Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice

1. Pentru x=0, y=0 și y>0 pentru x0

2. Funcția pătratică atinge valoarea minimă la vârf. Ymin la x=0; De asemenea, trebuie remarcat faptul că valoarea maximă a funcției nu există.

3. Funcția scade pe interval (-∞; 0] și crește pe intervalul )