Buna ziua dragi studenti ai Universitatii Argemona! Vă urez bun venit la următoarea prelegere despre magia funcțiilor și a integralelor.

Astăzi vom vorbi despre hiperbole. Să pornim de la simplu. Cel mai simplu tip de hiperbolă:

Această funcție, spre deosebire de cea directă în formele sale standard, are o caracteristică. După cum știm, numitorul unei fracții nu poate fi zero, deoarece nu puteți împărți la zero.
  x ≠ 0
  Din aceasta concluzionăm că domeniul este linia de număr întreg, cu excepția punctului 0: (-∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Dacă x tinde spre 0 pe dreapta (scris astfel: x-\u003e 0+), adică. devine foarte, foarte mic, dar rămâne pozitiv, apoi y devine foarte, foarte mare pozitiv (y -\u003e + ∞).
  Dacă x tinde spre 0 pe stânga (x-\u003e 0-), adică. devine de asemenea moduloasă foarte foarte mică, dar rămâne negativă în acest caz, atunci u va fi și negativ, dar modulo va fi foarte mare (y -\u003e - ∞).
  Dacă x tinde să crească infinitul (x -\u003e + ∞), adică devine un număr pozitiv foarte mare, atunci u vei deveni tot mai mult un număr pozitiv mai mic, adică. va tinde până la 0, rămânând pozitiv tot timpul (y-\u003e 0+).
  Dacă x tinde să diminueze infinitul (x -\u003e - ∞), adică. devine mare în valoare absolută, dar un număr negativ, atunci y va fi întotdeauna un număr negativ, dar mic în valoare absolută (y-\u003e 0-).

Y, ca și x, nu poate lua valoarea 0. Tinde doar la zero. Prin urmare, setul de valori este același cu domeniul definiției: (-∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Pe baza acestor considerente, putem desena schematic un grafic al funcției

Se poate observa că hiperbola este formată din două părți: una se află în primul colț de coordonate, unde valorile x și y sunt pozitive, iar a doua parte se află în colțul de coordonate a treia, unde valorile x și y sunt negative.
  Dacă trecem de la -∞ la + ∞, atunci vedem că funcția noastră scade de la 0 la -∞, atunci există un salt ascuțit (de la -∞ la + ∞) și începe a doua ramură a funcției, care de asemenea scade, dar de la + ∞ la 0. Adică, această hiperbolă este în scădere.

Dacă schimbați puțin funcția: folosiți magia minus,

(1")

Această funcție se va muta miraculos de la primele și a treia sferturi de coordonate la trimestrul 2 și 4 și va crește.

Reamintim că o funcție este crescânddacă pentru două valori x 1 și x 2 astfel încât x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
  Și funcția va fi în scăderedacă f (x 1)\u003e f (x 2) pentru aceleași valori ale lui x.

Ramurile unei hiperbole se apropie de axe, dar nu le traversează niciodată. Astfel de linii, la care se apropie graficul funcțional, dar nu se intersectează niciodată, sunt numite assimptotoy   această funcție.
  Pentru funcția noastră (1), asimptotele sunt liniile drepte x \u003d 0 (axa OY, asimptot vertical) și y \u003d 0 (axa OX, asimptotă orizontală).

Acum să complicăm un pic cea mai simplă hiperbolă și să vedem ce se întâmplă cu graficul funcțional.

(2)

Trebuie doar să adăugați constanta „a” în numitor. Adăugarea unui număr la numitor ca termen la x înseamnă transferul întregii „construcții hiperbolice” (împreună cu asimptotul vertical) în poziții (-a) la dreapta, dacă a este un număr negativ, și la (-a) poziții la stânga, dacă a Este un număr pozitiv.

În graficul din stânga se adaugă o constantă negativă la x (a<0, значит, -a>0), ceea ce face ca diagrama să fie deplasată spre dreapta, iar pe dreapta este o constantă pozitivă (a\u003e 0), datorită căreia graficul este mutat la stânga.

Și ce magie poate afecta transferul „structurii hiperbolice” în sus sau în jos? Adăugând o constantă fracției.

(3)

Acum, întreaga noastră funcție (ambele ramuri și asimptotul orizontal) crește b poziții în sus dacă b este un număr pozitiv și coboară b pozițiile în jos dacă b este un număr negativ.

Rețineți că asimptotele se mișcă cu hiperbola, adică. o hiperbolă (ambele ramuri ale acesteia) și ambele asimptote ale acesteia trebuie considerate o construcție inextricabilă, care se deplasează la stânga, la dreapta, în sus sau în jos. Este un sentiment foarte plăcut când puteți face ca întreaga funcție să se miște în orice direcție, cu adăugarea unui anumit număr. Ce nu este magie, pe care îl poți stăpâni foarte ușor și îl poți dirija la discreția ta în direcția corectă?
  Apropo, în acest fel puteți controla mișcarea oricărei funcții. În lecțiile următoare, vom consolida această abilitate.

Înainte de a vă cere temele, vreau să vă atrag atenția asupra acestei funcții

(4)

Ramura inferioară a hiperbolei se deplasează în sus de la a treia unghi de coordonate la a doua, în acel unghi în care valoarea lui y este pozitivă, adică. această ramură este reflectată simetric despre axa OX. Și acum obținem o funcție uniformă.

Ce înseamnă „chiar funcționează”? Funcție numită o chiardacă condiția este îndeplinită: f (-x) \u003d f (x)
  Funcție numită ciudatdacă condiția este îndeplinită: f (-x) \u003d - f (x)
  În cazul nostru

(5)

Fiecare funcție uniformă este simetrică față de axa OY, adică. pergamentul cu designul grafic poate fi pliat de-a lungul axei OY, iar cele două părți ale graficului coincid exact între ele.

După cum puteți vedea, această funcție are și două asimptote - orizontală și verticală. Spre deosebire de funcțiile considerate mai sus, această funcție crește pe de o parte și scade pe de altă parte.

Să încercăm să ghidăm acest grafic acum, adăugând constante.

(6)

Reamintim că adăugarea unei constante ca termen la „x” face ca întregul grafic să se deplaseze (împreună cu asimptotul vertical) pe orizontală, de-a lungul asimptotului orizontal (stânga sau dreapta, în funcție de semnul acestei constante).

(7)

Și adăugarea constantei b ca termen la fracția face ca graficul să se deplaseze în sus sau în jos. Totul este foarte simplu!

Acum încearcă să experimentezi singur cu astfel de magie.

Temele 1.

Fiecare ocupă două funcții pentru experimentele sale: (3) și (7).
  a \u003d prima cifră a LD-ului dvs.
  b \u003d a doua cifră a LD-ului dvs.
  Încercați să ajungeți la magia acestor funcții, începând cu cea mai simplă hiperbole, așa cum am făcut în lecție și adăugând treptat constantele mele. Puteți deja modela funcția (7) pe baza formei finale a funcției (3). Indicați zonele de definiție, setul de valori, asimptote. Cum se comportă funcțiile: scădere, creștere. Chiar și - ciudat. În general, încercați să faceți aceeași cercetare ca în lecție. Poate vei găsi altceva despre care am uitat să vorbesc.

Apropo, ambele ramuri ale celei mai simple hiperbole (1) sunt simetrice în raport cu bisectoarea 2 și 4 unghiurile de coordonate. Acum imaginați-vă că hiperbola a început să se rotească în jurul acestei axe. Obținem o figură atât de drăguță, care poate fi folosită.

Sarcina 2. Unde pot folosi această figură? Încercați să desenați o figură de rotație pentru funcția (4) în raport cu axa ei de simetrie și gândiți-vă unde poate găsi o astfel de figură de aplicație.

Vă amintiți cum la sfârșitul ultimei lecții am obținut o linie dreaptă cu un punct punctat? Și iată ultimul sarcina 3.
  Construiți un grafic al unei astfel de funcții:

(8)

Coeficienții a, b sunt aceiași ca în sarcina 1.
  c \u003d a treia cifră a LD-ului sau a-b dacă LD-ul dvs. este cu două cifre.
  Un mic indiciu: mai întâi, fracția obținută după înlocuirea numerelor trebuie simplificată, iar apoi obțineți hiperbola obișnuită, pe care trebuie să o construiți, dar în final trebuie să țineți cont de domeniul de definiție al expresiei originale.

Confidențialitatea dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dvs. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și anunțați-ne dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi utilizate pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate solicita să furnizați informațiile dvs. personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când lăsați o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dvs. personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să raportăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dvs. personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem utiliza informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea unui audit, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, o competiție sau un eveniment promoțional similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a gestiona astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dvs. către terți.

excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, sistemul judiciar, în procedurile judiciare și / sau pe baza unor anchete publice sau anchete ale autorităților de stat din Federația Rusă - dezvăluie informațiile dvs. personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o asemenea divulgare este necesară sau adecvată în scopuri de securitate, menținerea legii și a ordinii sau alte cazuri importante din punct de vedere social.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terța parte corespunzătoare, destinatarul.

Protecția informațiilor personale

Ne luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale de pierderi, furturi și abuzuri, precum și de acces neautorizat, dezvăluire, modificare și distrugere.

Respectă-ți confidențialitatea la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dvs. personale sunt în siguranță, comunicăm regulile de confidențialitate și securitate angajaților noștri și monitorizăm strict implementarea măsurilor de confidențialitate.

Acest material metodologic este doar pentru referință și se referă la o gamă largă de subiecte. Articolul oferă o imagine de ansamblu asupra graficelor funcțiilor elementare de bază și abordează problema cea mai importantă - cum se construiește rapid și rapid un grafic. Studierea matematicii superioare fără a cunoaște graficele funcțiilor elementare de bază va fi dificilă, de aceea este foarte important să ne amintim cum arată graficele parabolei, hiperbolei, sinusului, cosinului etc., să ne amintim unele valori ale funcțiilor. De asemenea, vom vorbi despre unele proprietăți ale funcțiilor principale.

Nu mă prefac în totalitatea și temeinicia științifică a materialelor, accentul va fi pus, în primul rând, în practică - acele lucruri cu care trebuie să te confrunți literal la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară. Grafice pentru manechine? Ai putea spune asta.

La cererea populară a cititorilor conținut cu clic:

În plus, există un rezumat ultra-scurt pe această temă.
   - stăpânește 16 tipuri de grafice, studiind SIX pagini!

Serios, șase, chiar și eu am fost surprins. Acest compendiu conține o grafică îmbunătățită și este disponibil contra cost, o versiune demo poate fi vizualizată. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și începe imediat:

Cum se construiesc axe de coordonate?

În practică, lucrările de testare sunt aproape întotdeauna executate de către elevi în caiete separate căptușite într-o cușcă. De ce verificați marcajul? La urma urmei, lucrarea, în principiu, poate fi făcută pe foi A4. O celulă este necesară doar pentru desene de înaltă calitate și exacte.

Orice desen al unui grafic de funcții începe cu axele de coordonate.

Desenele sunt bidimensionale și tridimensionale.

Mai întâi luăm în considerare cazul bidimensional sistem de coordonate dreptunghiular cartezian:

1) Desenăm axe de coordonate. Axa se numește axa abscisă iar axa este axa ordonată . Încercăm mereu să le desenăm îngrijit și nu strâmb. Săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Semnăm axele cu majuscule „X” și „igrek”. Nu uitați să semnați axa.

3) Am stabilit scala de-a lungul axelor: desenați zero și două. Când executați un desen, cea mai convenabilă și frecvent întâlnită scară este: 1 unitate \u003d 2 celule (desen pe partea stângă) - dacă este posibil, lipiți-vă de ea. Cu toate acestea, din când în când se întâmplă ca desenul să nu se încadreze pe foaia caietului - apoi am făcut scară: 1 unitate \u003d 1 celulă (desenul din dreapta). Este rar, dar se întâmplă ca scara unui desen să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU „scrâșniți din mitralieră” ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...   Căci planul de coordonate nu este un monument pentru Descartes, iar studentul nu este un porumbel. Am pus zero   și două unități axiale. uneori în loc de   unități, este convenabil să „detectați” alte valori, de exemplu, „două” pe axa abscisă și „trei” pe axa ordonată - iar acest sistem (0, 2 și 3) va seta, de asemenea, unic grila de coordonate.

Dimensiunile estimate ale desenului sunt cele mai bine estimate ÎNAINTE de desen. De exemplu, dacă sarcina necesită să desenați un triunghi cu vârfurile,, atunci este clar că scala populară de 1 unitate \u003d 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la punct - aici trebuie să măsurăm cincisprezece centimetri în jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe foaia caietului. Prin urmare, selectați imediat o scară mai mică de 1 unitate \u003d 1 celulă.

Apropo, aproximativ centimetri și celule de notebook. Este adevărat că 30 de celule tetrad conțin 15 centimetri? Măsurați într-un caiet pentru interes 15 centimetri cu o riglă. În URSS, poate că acest lucru a fost adevărat ... Este interesant de menționat că dacă măsurați aceiași centimetri pe orizontală și verticală, atunci rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt verificate, ci dreptunghiulare. Poate că acest lucru va părea o prostie, dar, de exemplu, desenarea unui cerc cu o pereche de busole în astfel de situații este foarte incomodă. Ca să fiu sincer, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a trimis în tabere pentru hackwork-uri în fabrică, ca să nu mai vorbim de industria auto auto, căzând aeronave sau explozând centrale electrice.

Vorbind de calitate, sau o scurtă recomandare despre papetărie. Astăzi, cele mai multe caiete sunt la vânzare, fără a spune cuvinte rele, complet omogene. Din motiv că se udă și nu numai din gel, ci și din pixuri! Economisiți pe hârtie. Vă recomand să folosiți caiete ale fabricii de celuloză și hârtie Arkhangelsk (18 coli, o cușcă) sau Pyaterochka pentru testele de înregistrare, deși este mai scump. Este indicat să alegeți un stilou cu gel, chiar și cel mai ieftin stilou chinezesc este mult mai bun decât un stilou cu bilă care frâge sau rupe hârtie. Singurul pix „competitiv” din memoria mea este Erich Krause. Scrie clar, frumos și constant - cu un miez complet, cu aproape gol.

în plus: Vizionarea unui sistem de coordonate dreptunghiular prin ochii geometriei analitice este acoperită în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială, pentru informații detaliate despre sferturile de coordonate puteți găsi în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

Caz tridimensional

Aproape totul este la fel aici.

1) Desenăm axe de coordonate. Standard: axa aplicata   - direcționat în sus, axă - îndreptat spre dreapta, axa - stânga în jos strict   la un unghi de 45 de grade.

2) Semnăm axa.

3) Am stabilit scala de-a lungul axelor. Scara axei - jumătate din dimensiunea altor axe. De asemenea, rețineți că în desenul corect am folosit un „serif” non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus). Din punctul meu de vedere, este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu trebuie să vă uitați la microscop spre mijlocul celulei și să „sculptați” unitatea chiar lângă origine.

Când faceți un desen tridimensional, din nou - acordați prioritate scării
   1 unitate \u003d 2 celule (desen pe partea stângă).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Există reguli pentru a le încălca. Ce voi face acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor părea incorecte din punctul de vedere al proiectării adecvate. Aș putea desena toate graficele de mână, dar, de fapt, le-aș desena, deoarece Excel oribil de reticent le-ar atrage mult mai precis.

Graficele și proprietățile de bază ale funcțiilor elementare

Funcția liniară este dată de ecuație. Graficul funcțional liniar este drept. Pentru a construi o linie este suficient să cunoaștem două puncte.

Exemplul 1

Construiți un grafic de funcții. Găsiți două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Dacă, atunci

Luăm un alt punct, de exemplu, 1.

Dacă, atunci

La finalizarea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

   Și valorile în sine sunt calculate verbal sau pe un calcul de proiect.

Se găsesc două puncte, se execută desenul:

Când desenăm, semnăm întotdeauna grafică.

Nu va fi de prisos să amintim cazuri particulare ale unei funcții liniare:

   Observați cum am aranjat legendele, semnăturile nu trebuie înțelese greșit atunci când studiați un desen. În acest caz, a fost extrem de nedorit să punem o semnătură în apropierea punctului de intersecție a liniilor, sau în partea dreaptă de jos între grafice.

1) O funcție liniară a formei () se numește proporționalitate directă. De exemplu,. Graficul de proporționalitate directă trece întotdeauna prin origine. Astfel, construcția liniei este simplificată - găsiți doar un punct.

2) Ecuația formei definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa în sine este dată de ecuație. Graficul funcțiilor este construit imediat, fără a găsi puncte. Adică, înregistrarea trebuie să fie înțeleasă astfel: „jocul este întotdeauna egal cu –4, pentru orice valoare x”.

3) Ecuația formei definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa în sine este dată de ecuație. Graficul funcțiilor este de asemenea construit imediat. Înregistrarea trebuie să fie înțeleasă astfel: „X întotdeauna, pentru orice valoare a jucătorului, este egal cu 1”.

Unii se vor întreba, de ce să vă amintiți de clasa a 6-a ?! Așa este, poate, așa, doar de-a lungul anilor de practică am întâlnit o duzină de studenți care au fost încurajați de sarcina de a crea un program de genul sau.

Construirea unei linii drepte este cea mai frecventă acțiune la desen.

Linia dreaptă este examinată în detaliu pe parcursul geometriei analitice, iar cei care doresc se pot referi la articol Ecuația unei linii pe un avion.

Grafic al unei funcții cvadratice, cubice, grafic al unui polinom

Parabolă. Graficul funcției patratice   () este o parabolă. Luați în considerare celebrul caz:

Reamintiți-vă unele proprietăți ale funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: - în acest moment se află partea superioară a parabolei. De ce acest lucru se poate găsi într-un articol teoretic despre un derivat și o lecție despre extrema funcțiilor. Între timp, calculăm valoarea corespunzătoare a "jocului":

Deci vertexul este la punctul

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim simetria parabolei. Trebuie menționat că funcția – nici măcardar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsești punctele rămase, cred că va fi clar din tabelul final:

Acest algoritm de construcție poate fi numit figurativ „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Să executăm desenul:

   Din graficele examinate, este amintit un alt semn util:

Pentru o funcție patratică   () este adevărat următoarele:

Dacă, atunci ramurile parabolei sunt direcționate în sus.

Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoașterea în profunzime a curbei poate fi obținută în lecția Hyperbola și Parabola.

Parabola cubică este setată în funcție. Iată un desen familiar din școală:

   Enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Grafic funcțional

Reprezintă una dintre ramurile unei parabole. Să executăm desenul:

   Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptot vertical   pentru complotul hiperbola la.

Va fi o greșeală BIG dacă, atunci când întocmim un desen din neglijență, permitem intersecția graficului cu asimptotul.

De asemenea, limitele unilaterale ne spun că hiperbole nu se limitează de sus   și nu este limitat de jos.

Studiem funcția la infinit: adică dacă începem să mergem de-a lungul axei stângi (sau drepte) la infinit, atunci „jocurile” vor fi un pas zvelt infinit de aproape   apropie de zero și, în consecință, ramurile hiperbolei infinit de aproape   apropie-te de axa.

Axa este deci asimptot orizontal   pentru graficul funcțional, dacă „X” tinde să crească sau să diminueze infinitul.

Funcția este ciudatși, prin urmare, hiperbola este simetrică în raport cu originea. Acest fapt este evident din desen, în plus, este ușor verificat analitic: .

Un grafic al unei funcții a formei () reprezintă două ramuri ale unei hiperbole.

Dacă, atunci hiperbola este localizată în primele și a treia sferturi de coordonate   (vezi imaginea de mai sus).

Dacă, atunci hiperbola se află în a doua și a patra sfertă de coordonate.

Regularitatea indicată a reședinței hiperbolei nu este dificil de analizat din punct de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție fără sens, în timp ce este avantajos să selectăm valorile astfel încât să fie complet divizate:

Să executăm desenul:

   Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei, ciudățea funcției va ajuta aici. Aproximativ vorbind, în tabelul construcției fără sens, adăugați minus la fiecare număr, puneți punctele corespunzătoare și trageți a doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia analizată pot fi găsite în articolul Hyperbola și Parabola.

Grafic funcțional exponențial

În această secțiune, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri este exponentul.

Vă reamintesc că acesta este un număr irațional: va fi necesar la construirea unui program pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Probabil sunt suficiente trei puncte:

Să lăsăm graficul funcției singur, despre asta mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

Graficele funcțiilor arată practic la fel, etc.

Trebuie să spun că cel de-al doilea caz este mai puțin obișnuit în practică, dar apare, așa că am considerat necesar să-l includ în acest articol.

Grafic al unei funcții logaritmice

Luați în considerare o funcție cu un logaritm natural.
   Să facem un desen:

Dacă ați uitat care este logaritmul, vă rugăm să consultați cărțile școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

regiune de determinare:

Gama de valori:.

Funcția nu este limitată de mai sus: , deși încet, dar ramura logaritmului merge până la infinit.
   Studiem comportamentul funcției aproape de zero pe dreapta: . Axa este deci asimptot vertical   pentru graficul de funcții cu „x” care tinde spre zero pe dreapta.

Asigurați-vă că cunoașteți și vă amintiți valoarea tipică a logaritmului: .

Graficul logaritmului arată practic la fel la bază: ,, (logaritmul zecimal bazat pe baza 10) etc. Mai mult, cu cât baza este mai mare, cu atât programul va fi mai blând.

Nu vom lua în considerare cazul, nu-mi amintesc ceva când am creat ultima oară un program cu un astfel de motiv. Iar logaritmul pare a fi un oaspete foarte rar în probleme de matematică superioară.

În concluzie, voi mai spune un fapt: Funcția exponențială și funcția logaritmicăSunt două funcții reciproc inversă. Dacă te uiți atent la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este localizat puțin diferit.

Graficele funcțiilor trigonometrice

Cu ce \u200b\u200bîncepe chinul trigonometric în școală? Așa e. Cu sine

Complotăm funcția

Această linie se numește unda sinusoidală.

Vă reamintesc că „pi” este un număr irațional: și în trigonometria din acesta se încolăcește ochii.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic   cu o perioadă. Ce înseamnă asta? Să ne uităm la segment. În stânga și în dreapta acestuia, se repetă la nesfârșit aceeași bucată a graficului.

regiune de determinare:, adică pentru orice valoare a „X” există o valoare sinusoidală.

Gama de valori:. Funcția este limitat: adică toate „jocurile” stau strict în segment.
   Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai exact, se întâmplă, dar ecuațiile indicate nu au nicio soluție.

Prezentare și lecție pe această temă:
"Hyperbole, definiție, proprietate funcțională"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să vă lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile. Toate materialele sunt verificate prin software antivirus.

Manuale de instruire și simulatoare în magazinul online „Integral” pentru clasa a 8-a
Foi de calcul pentru geometrie. Clasele 7-9
Foi de calcul pe algebră. Clasele 7-9

Hyperbole, definiție

  Băieți, astăzi vom studia o nouă funcție și îi vom construi programul.
  Luați în considerare funcția: $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k ≠ 0 $.
  Coeficientul $ k $ - poate lua orice valori reale, cu excepția zero. Pentru simplitate, începem analiza funcției din cazul în care $ k \u003d 1 $.
  Complotăm funcția: $ y \u003d \\ frac (1) (x) $.
  Ca întotdeauna, începe prin a construi o masă. Adevărat, de această dată va trebui să împărțim masa noastră în două părți. Luați în considerare cazul când $ x\u003e 0 $.
  Trebuie să marcăm șase puncte cu coordonatele $ (x; y) $, care sunt prezentate în tabel și le conectăm cu o linie.
  Acum să vedem ce obținem cu x negativ.   Acționăm în același mod, marcăm punctele și le conectăm cu o linie.   Am construit două bucăți din grafic, să le combinăm.

Graficul funcției $ y \u003d \\ frac (1) (x) $.
  Graficul unei astfel de funcții se numește "Hyperbole".

Proprietăți hiperbole

  De acord, graficul arată destul de frumos și este simetric cu privire la origine. Dacă desenăm orice linie care trece prin origine de la primul la al treilea trimestru, atunci acesta va traversa graficul nostru în două puncte care vor fi la fel de îndepărtate de origine.
  O hiperbolă este formată din două părți care sunt simetrice în legătură cu originea. Aceste părți se numesc ramuri hiperbole.
  Ramurile hiperbolei într-o direcție (stânga și dreapta) tind tot mai mult spre axa abscisă, dar nu o traversează niciodată. În cealaltă direcție (în sus și în jos), acestea tind spre axa ordonată, dar niciodată nu o încrucișează (deoarece este imposibil să se împartă cu zero). În astfel de cazuri, liniile corespunzătoare sunt numite asimptote. Diagrama hiperbola are două asimptote: axa x și axa y.

O hiperbolă are nu numai un centru de simetrie, ci și un ax de simetrie. Băieți, trageți o linie dreaptă $ y \u003d x $ și vedeți cum se împarte graficul nostru. Se poate remarca faptul că dacă partea care este situată deasupra liniei $ y \u003d x $ este suprapusă pe partea care este situată mai jos, atunci acestea coincid, ceea ce înseamnă simetrie față de linie.

Am reprezentat funcția $ y \u003d \\ frac (1) (x) $, dar ce se va întâmpla în cazul general $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k\u003e 0 $.
Graficele vor diferi cu greu. O hiperbolă cu aceleași ramuri va fi obținută, cu atât mai mulți $ k $, cu atât ramurile vor fi eliminate din origine, și cu mai puțin $ k $, cu atât mai aproape de origine.

De exemplu, graficul funcției $ y \u003d \\ frac (10) (x) $ este după cum urmează.   Graficul a devenit „mai larg”, s-a îndepărtat de origine.
  Dar ce este de negativ $ k $? Graficul funcției $ y \u003d -f (x) $ este simetric cu graficul lui $ y \u003d f (x) $ în raport cu axa abscisă, trebuie să o întoarceți în sus.
  Să utilizăm această proprietate și să reprezentăm funcția $ y \u003d - \\ frac (1) (x) $.

  Rezumă cunoștințele acumulate.
  Graficul funcției $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k ≠ 0 $ este hiperbola situată în primul și al treilea (al doilea și al patrulea) sfert de coordonate, pentru $ k\u003e 0 $ ($ k

Proprietățile funcției $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k\u003e 0 $

  1. Domeniu de aplicare: toate numerele cu excepția $ x \u003d 0 $.
  2. $ y\u003e 0 $ pentru $ x\u003e 0 $ și $ y 3. Funcția scade la intervalele $ (- ∞; 0) $ și $ (0; + ∞) $.



  7. Gama de valori: $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $.

Proprietățile funcției $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k
  1. Domeniu de aplicare: toate numerele cu excepția $ x \u003d 0 $.
  2. $ y\u003e 0 $ pentru $ x 0 $.
  3. Funcția crește la intervale $ (- ∞; 0) $ și $ (0; + ∞) $.
  4. Funcția nu este limitată nici de sus, nici de jos.
  5. Nu există nici cea mai mare sau cea mai mică valoare.
  6. Funcția este continuă la intervale $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $ și are o discontinuitate la punctul $ x \u003d 0 $.
  7. Gama de valori: $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $.

Funcția este scrisă sub forma generală ca y \u003d sau f (x) \u003d

y și x sunt valori invers proporționale, adică când unul crește, celălalt scade (verificați prin înlocuirea numerelor din funcție)

Spre deosebire de funcția anterioară, în care x 2 creează întotdeauna valori pozitive, nu putem spune că - \u003d, deoarece acestea vor fi numere complet opuse. Asemenea funcții sunt numite ciudat.

De exemplu, complotul y \u003d

Desigur, x nu poate fi zero (x ≠ 0)

sucursalehiperbolele se află în prima și a treia parte a coordonatelor.

Ele pot aborda la nesfârșit axele absciselor și ordinelor și nu le vor atinge niciodată, chiar dacă „x” devine egal cu un miliard. Hiperbola va fi infinit apropiată, dar totuși nu se va intersecta cu axele (o astfel de tristețe matematică).

Tracelăm pentru y \u003d -

Iar acum ramurile hiperbolei se află în al doilea și al patrulea sfert al planului de coordonate.

Drept urmare, între toate ramurile se poate observa o simetrie completă.