Опис виробництва за допомогою технологічної множини. Поняття виробничої системи та виробничого процесу. Технологічний процес та технологічна множина Виробничі функції та їх властивості

Міністерство освіти та науки Російської Федерації

Новгородський державний університет імені Ярослава Мудрого

Реферат з дисципліни:

Менеджмент

Виконала студентка гр.6061 зо

Макарова С.В.

Прийняв Сучков А.В.

Великий Новгород

1. ВИРОБНИЧИЙ ПРОЦЕС І ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ.

Основу виробничо-господарську діяльність підприємства становить виробничий процес, що є сукупність взаємозалежних процесів праці та природних процесів, вкладених у виготовлення певних видів продукції.
Організація виробничого процесу полягає в об'єднанні людей, знарядь і предметів праці в єдиний процес виробництва матеріальних благ, а також у забезпеченні раціонального поєднання у просторі та в часі основних, допоміжних та обслуговуючих процесів.

Виробничі процеси на підприємствах деталізуються за змістом (процес, стадія, операція, елемент) та місцем здійснення (підприємство, переділ, цех, відділення, ділянка, агрегат).
Безліч виробничих процесів, що відбуваються на підприємстві, є сукупним виробничим процесом. Процес виробництва кожного окремого виду продукції підприємства називають приватним виробничим процесом. У свою чергу у приватному виробничому процесі можуть бути виділені часткові виробничі процеси як закінчені та технологічно відокремлені елементи приватного виробничого процесу, які не є первинними елементами виробничого процесу (він, як правило, здійснюється робітниками різних спеціальностей з використанням обладнання різного призначення).
Як первинний елемент виробничого процесу слід розглядати технологічну операцію- технологічно однорідну частину виробничого процесу, виконувану одному робочому місці. Відокремлені у технологічному відношенні часткові процеси є стадії виробничого процесу.
Часткові виробничі процеси можуть класифікуватися за кількома ознаками:

За цільовим призначенням;

характеру протікання у часі;

спосіб впливу на предмет праці;

Характеру застосовуваної праці.
За цільовим призначенням виділяють процеси основні, допоміжні та обслуговуючі.
Основнівиробничі процеси - процеси перетворення сировини та матеріалів на готову продукцію, що є основною, профільною
продукцією для цього підприємства. Ці процеси визначаються технологією виготовлення цього виду продукції (підготовка сировини, хімічний синтез, змішання сировини, фасування та упаковка продукції).
Допоміжнівиробничі процеси спрямовані виготовлення продукції чи виконання послуг задля забезпечення нормального перебігу основних виробничих процесів. Такі виробничі процеси мають власні предмети праці, відмінні від предметів праці основних виробничих процесів. Як правило, здійснюються вони паралельно з основними виробничими процесами (ремонтне, тарне, інструментальне господарство).
Обслуговуючівиробничі процеси забезпечують створення нормальних умов протікання основних та допоміжних виробничих процесів. Вони не мають власного предмета праці та протікають, як правило, послідовно з основними та допоміжними процесами, перемежовуються з ними (транспортування сировини та готової продукції, їх зберігання, контроль якості).
Основні виробничі процеси в основних цехах (ділянках) підприємства та утворюють його основне виробництво. Допоміжні та обслуговуючі виробничі процеси відповідно у допоміжних та обслуговуючих цехах - утворюють допоміжне господарство.
Різна роль виробничих процесів у сукупному виробничому процесі визначає розбіжності у механізмах управління різними видами виробничих підрозділів. У той же час класифікація часткових виробничих процесів за цільовим призначенням може проводитися лише стосовно конкретного приватного процесу.
Об'єднання основних, допоміжних, обслуговуючих та інших процесів у певній послідовності утворює структуру виробничого процесу.
Основний виробничий процес представляє процес виробництва основної продукції, що включає природні процеси, технологічний і робочий процеси, і навіть міжопераційне пролеживание.
Природний процес - процес, який призводить до зміни властивостей та складу предмета праці, але протікає без участі людини (наприклад, при виготовленні деяких видів хімічної продукції).

Природні виробничі процеси можна як необхідні технологічні перерви між опраціями (остигання, сушіння, визрівання тощо.)
Технологічнийпроцес є сукупність процесів, у яких відбуваються всі необхідні зміни у предметі праці, т. е. він перетворюється на готову продукцію.
Допоміжні операції сприяють виконанню основних операцій (транспортування, контроль, сортування продукції тощо).
Робочий процес - сукупність всіх трудових процесів (основних та допоміжних операцій).
Структура виробничого процесу змінюється під впливом технології обладнання, поділу праці, організації виробництва та ін.
Міжопераційне пролежування – перерви, передбачені технологічним процесом.
За характером перебігу у часі виділяють безперервніі періодичнівиробничі процеси. У безперервних процесах немає перерв у процесі виробництва. Виконання операцій із обслуговування виробництва відбувається одночасно чи паралельно з основними операціями. У періодичних процесах виконання основних та обслуговуючих операцій відбувається послідовно, внаслідок чого основний виробничий процес виявляється перерваним у часі.
За способом впливу на предмет праці виділяють механічні, фізичні, хімічні, біологічніта інші види виробничих процесів.
За характером застосовуваної праці виробничі процеси класифікуються на автоматизовані, механізовані та ручні.

Принципи організації виробничого процесу є вихідні положення, на основі яких здійснюються побудова, функціонування та розвиток виробничого процесу.

Існують такі принципи організації виробничого процесу:
диференціація - поділ виробничого процесу на окремі частини (процеси, операції, стадії) та їх закріплення за відповідними підрозділами підприємства;
комбінування - об'єднання всіх або частин різнохарактерних процесів з виготовлення певних видів продукції в межах однієї ділянки, цеху чи виробництва;
концентрація - зосередження певних виробничих операцій з виготовлення технологічно однорідної продукції або виконання функціонально-однорідних робіт на окремих робочих місцях, дільницях, цехах або виробництвах підприємства;
спеціалізація - закріплення за кожним робочим місцем та кожним підрозділом строго обмеженої номенклатури робіт, операцій, деталей та виробів;
універсалізація - виготовлення деталей та виробів широкого асортименту чи виконання різнорідних виробничих операцій на кожному робочому місці чи виробничому підрозділі;
пропорційність - поєднання окремих елементів виробничого процесу, що виявляється у їх певному кількісному відношенні один з одним;
паралельність - одночасна обробка різних деталей однієї партії з цієї операції на кількох робочих місцях тощо;
прямоточність - здійснення всіх стадій та операцій виробничого процесу в умовах найкоротшого шляху проходження предмета праці від початку до кінця;
ритмічність - повторення через встановлені періоди часу всіх окремих виробничих процесів та єдиного процесу виробництва певного виду продукції.
Наведені принципи організації виробництва практично діють не ізольовано друг від друга, вони тісно переплітаються у кожному виробничому процесі. Принципи організації виробництва розвиваються нерівномірно - у той чи інший період той чи інший принцип висувається на перший план або набуває другорядного значення.
Якщо просторове поєднання елементів виробничого процесу та всіх його різновидів реалізується на основі формування виробничої структури підприємства та підрозділів, що входять до нього, організація виробничих процесів у часі знаходить вираз у встановленні порядку виконання окремих логістичних операцій, раціональному суміщенні часу виконання різних видів робіт, визначенні календарно-планових нормативів руху предметів праці
Основою побудови ефективної системи виробничої логістики є виробничий розклад, сформований виходячи із завдання задоволення споживчого попиту та відповідального на запитання: хто, що, де, коли та в якій кількості випускатиме (виробляти). Виробничий розклад дозволяє встановити диференційовані по кожному структурному виробничому підрозділу об'ємні та часові характеристики матеріальних потоків.
Методи, що застосовуються для складання виробничого розкладу, залежать від типу виробництва, а також характеристик попиту та параметрів замовлень може бути поодиноким, дрібносерійним, серійним, великосерійним, масовим.
Характеристику типу виробництва доповнює характеристика виробничого циклу - це період часу між моментами початку та закінчення виробничого процесу стосовно конкретної продукції в рамках логістичної системи (підприємства).
Виробничий цикл складається з робочого часу та часу перерв під час виготовлення продукції.
У свою чергу, робочий період складається з основного технологічного часу, часу виконання транспортних у контрольних операцій та часу комплектації.
Час перерв поділяється на час міжопераційних, міждільничних та інших перерв.
Тривалість виробничого циклу багато в чому залежить від характеристики руху матеріального потоку, який буває послідовним, паралельним, паралельно-послідовним.
Крім того, на тривалість виробничого циклу впливають також форми технологічної спеціалізації виробничих підрозділів, система організації самих виробничих процесів, прогресивність застосовуваної технології та рівень уніфікації продукції, що випускається.
Виробничий цикл включає також час очікування - це інтервал з моменту надходження замовлення до моменту початку його виконання, для мінімізації якого важливо визначити оптимальну партію виробів - партія, при якій витрати в розрахунку на один виріб становлять мінімальну величину.
Для вирішення завдання вибору оптимальної партії прийнято вважати, що собівартість продукції складається з прямих витрат на виготовлення, витрат на зберігання запасів та витрат на переналагодження обладнання та його простої при зміні партії.
Насправді часто оптимальна партія визначається прямим рахунком, але за формуванні логістичних систем ефективнішим є застосування методів математичного програмування.
У всіх сферах діяльності, але особливо у виробничій логістиці, найважливіше значення має система норм та нормативів. До неї включаються як укрупнені, і детальні норми витрати матеріалів, енергії, використання устаткування тощо.

2. Методи вирішення транспортного завдання.

Транспортне завдання (класичне)- Завдання про оптимальний план перевезень однорідного продукту з однорідних пунктів наявності в однорідні пункти споживання на однорідних транспортних засобах (визначеній кількості) зі статичними даними та лінеарний підхід (це основні умови завдання).

Для класичної транспортної задачі виділяють два типи завдань: критерій вартості (досягнення мінімуму витрат на перевезення) або відстаней та критерій часу (витрачається мінімум часу на перевезення).

Історія пошуку методів вирішення

Проблема була вперше формалізована французьким математиком Гаспаром Монжемв 1781 року . Основне просування було зроблено на полях під час Великої Вітчизняної війнирадянським математиком та економістом Леонідом Канторовичем . Тому іноді ця проблема називається транспортним завданням Монжа - Канторовича.

Особливості інфляційних процесів у Росії.

1. Поняття виробництва та ПФ. Виробниче безліч.

2. Завдання максимізації прибутку

3. Рівновага виробника. Технічний прогрес

4. Завдання мінімізації витрат.

5. Агрегування теорії виробництва. Рівновага фірми та галузі в д/ср періоді

(самостійно) пропозиція конкурентних фірм, які мають альтернативні цілі

Виробництво- Діяльність спрямована на виготовлення максимальної кількості матеріальних благ, залежить від кількості використовуваних факторів виробництва, заданих технологічним аспектом виробництва.

Будь-який технологічний процес можна представити за допомогою вектора чистих випусків, який позначатимемо через y. Якщо згідно з цією технологією фірма виробляє i-тий продукт, то i-та координата вектора y буде позитивною. Якщо ж навпаки, i-тий продукт витрачається, то ця координата буде негативна. Якщо деякий продукт не витрачається і не випускається згідно з цією технологією, то відповідна координата дорівнюватиме 0.

Безліч всіх технологічно доступних для даної фірми векторів чистих випусків називатимемо виробничим безліччю фірми і позначатимемо Y.

Властивості виробничих множин:

1. Виробнича множина не порожня, тобто. фірмі доступний хоча б один технологічний процес.

2.Виробнича множина замкнута.

3. Відсутність «роги достатку»: якщо y 0 та y ∊Y, то y=0. Не можна зробити щось не витративши нічого (ні y<0, т.е. ресурсов).

4. Можливість бездіяльності (ліквідації): 0∊Y. насправді можуть існувати неповоротні витрати.

5. Свобода витрачання: y∊Y та y` y, то y`∊Y. Виробничій множині належать не тільки оптимальні, а й технології з меншими випусками/витратами ресурсів.

6. незворотність. Якщо y∊Y і y 0, то –y Y. Якщо з 2 одиниць першого блага можна зробити 1 другого, зворотний процес не можливий.

7. Випуклість: якщо y`∊Y, то αy + (1-α)y` ∊ Y для всіх α∊. Сувора опуклість: для всіх α∊(0,1). Властивість 7 дозволяє комбінуючи технології отримати інші доступні технології.

8. Віддача від масштабу:

Якщо у відсотковому співвідношенні обсяг використаних факторів змінився на ∆ N, а відповідна зміна випуску склала ∆Q, то мають місце такі ситуації:

- ∆ N = ∆Qмає місце пропорційна віддача (зростання кількості факторів спричинило відповідне зростання випуску)

- ∆ N< ∆Q має місце зростаюча віддача (позитивний ефект масштабу) – тобто. випуск збільшився у більшій пропорції, ніж збільшилася кількість витрачених факторів

- ∆ N > ∆Qмає місце спадна віддача (негативний ефект масштабу) – тобто. збільшення витрат призводить до меншого у відсотковому вираженні зростання випуску

Ефект масштабу актуальний у довгостроковому періоді. Якщо збільшення масштабу виробництва не призводить до зміни продуктивності праці, ми маємо справу з постійною віддачею від масштабу. Убутня віддача від масштабу супроводжується зниженням продуктивності праці, зростаюча -її підвищенням.

У разі, якщо безліч товарів, які виробляються, на відміну від безлічі ресурсів, що використовуються, і вироблятися тільки один товар, то виробнича множина може бути описана за допомогою виробничої функції.

Виробнича функція(ПФ) – відображає залежність між максимальним випуском та певним поєднанням факторів (праці та капіталу) і при даному рівні технологічного розвитку суспільства.

Q = f (f1, f2, f3, ... fn)

де Q – випуск фірми за певний проміжок часу;

fi - кількість i-го ресурсу, використаного у виробництві продукції;

Як правило, виділяють три фактори виробництва: працю, капітал та матеріали. Ми обмежимося аналізом двох факторів: праці (L) та капіталу (К), тоді виробнича функція набуває вигляду: Q = f(K, L).

Види ПФ можуть відрізнятися залежно від характеру технології, і можуть бути представлені у трьох видах:

Лінійна ПФ виду y = ax1 + bx2 характеризується постійною віддачею від масштабу.

ПФ Леонтьєва – в якій ресурси доповнюють один одного, їх комбінація визначається технологією і фактори виробництва не взаємозамінні.

ПФ Кобба-Дугласа– функція, у якій використовувані чинники виробництва мають властивість взаємозамінності. Загальний вигляд функції:

Де А - технологічний коефіцієнт, - коефіцієнт еластичності по праці, а - коефіцієнт еластичності по капіталу.

Якщо сума показників ступеня (α + β) дорівнює одиниці, то функція Кобба-Дугласа є лінійно однорідною, тобто демонструє постійну віддачу при зміні масштабів виробництва.

Вперше виробнича функція була розрахована в 1920-і роки для обробної промисловості США, у вигляді рівності

Для ПФ Кобба-Дугласа справедливо:

1. Оскільки а< 1 и b < 1, предельный продукт каждого фактора меньше среднего продукта (МРК < АРК и MPL < APL).

2. Оскільки другі похідні виробничої функції з праці та капіталу негативні, можна стверджувати, що ця функція характеризується граничним продуктом, що убуває, як праці, так і капіталу.

3. При зниженні величини MRTSL K поступово зменшується. Це означає, що ізокванти виробничої функції мають стандартну форму: це гладкі ізокванти з негативним нахилом, опуклі до початку координат.

4. Для цієї функції характерна стала (рівна 1) еластичність заміщення.

5. Функція Кобба-Дугласа може характеризувати будь-який тип віддачі масштабу, залежно від значень параметрів а і Ь

6. Розглянута функція може бути описи різних типів технічного прогресу.

7 Ступіневими параметрами функції є коефіцієнти еластичності випуску за капіталом (а) і з праці (Ь), так що рівняння для темпу зростання випуску (8.20) для функції Кобба-Дугласа набуває вигляду GQ = Gz + aGK + bGL. Параметр а, таким чином, характеризує як би «вклад» капіталу збільшення випуску, а параметр b - «вклад» праці.

ПФ заснована на низці «особливостей виробництва». Вони стосуються ефекту випуску у трьох випадках: (1) пропорційне збільшення всіх витрат, (2) зміна структури витрат при постійному випуску, (3) збільшення одного фактора виробництва за інших незмінних. випадок (3) ставитись до короткострокового періоду.

Виробнича функція з одним змінним фактором має вигляд:

Ми бачимо, що найбільш ефективна зміна змінного фактора X спостерігається на відрізку від точки А до точки Б. Тут граничний продукт (МР), досягнувши свого максимального значення, починає зменшуватися, середній продукт (АР) ще збільшується, загальний продукт (ТР) отримує найбільший приріст.

Закон спаду віддачі(Закон спадного граничного продукту) - визначає ситуацію, при якій досягнення певних обсягів виробництва призводить до зменшення виходу готової продукції на додатково введену одиницю ресурсу.

Як правило, даний обсяг може бути вироблений у вигляді різних способів виробництва. Це з тим, що чинники виробництва певною мірою взаємозамінні. Можна провести ізокванти, відповідні всім способам виробництва, необхідним випуску у цьому обсязі. В результаті ми отримуємо карту ізоквант, яка характеризує залежність між усіма можливими комбінаціями ресурсів та розмірами випуску і, отже, є графічною ілюстрацією виробничої функції.

Ізокванта (лінія рівного випуску - isoquant) - крива, що відображає всі комбінації факторів виробництва, що забезпечують однаковий випуск продукції.

Сукупність ізоквант, кожна з яких показує максимальний випуск продукції, що досягається при використанні певних поєднань ресурсів, називається картою ізоквант (isoquant map). Чим далі розташована ізокванта від початку координат, тим більше ресурсів задіяно в розташованих на ній способах виробництва і тим більше розміри випуску, які характеризуються даною ізоквантою (Q3> Q2> Q1).

Ізокванта та її форма відображає залежність, задану ПФ. У довгостроковому періоді існує певна взаємна доповнюваність (комплекторність) факторів виробництва, проте без зменшення обсягу випуску можлива і певна взаємозамінність даних факторів виробництва. Так, для випуску блага можуть бути використані різні комбінації ресурсів; можна зробити це благо при використанні меншого обсягу капіталу та більшого обсягу витрат праці, і навпаки. У першому випадку виробництво вважається технічно ефективним у порівнянні з другим випадком. Однак існує межа того, наскільки праця може бути замінена великим обсягом капіталу, щоб не скоротилося виробництво. З іншого боку, є межа застосування ручної праці без використання машин. Ми розглядатимемо ізокванту в зоні технічного заміщення.

Рівень взаємозамінності факторів відображає показник граничної норми технічного заміщення. - пропорція, в якій один фактор може бути замінений на інший за збереження колишнього обсягу випуску; відбиває нахил ізокванти.

MRTS = - ∆K / ∆ L = МР L / МР K

Щоб за зміни кількості використовуваних чинників виробництва випуск залишався незмінним, кількості праці та капіталу мають змінюватися у різних напрямах. Якщо кількість капіталу скорочується (АК< 0), то количество труда должно увеличиваться (AL >0). Тим часом гранична норма технічного заміщення є просто пропорцією, в якій один фактор виробництва може бути заміщений іншим, і, як така, є величина завжди позитивна.

Натиснувши на кнопку "Завантажити архів", ви завантажуєте потрібний вам файл безкоштовно.
Перед скачуванням даного файлу згадайте про ті хороші реферати, контрольні, курсові, дипломні роботи, статті та інші документи, які лежать незатребуваними у вашому комп'ютері. Це ваша праця, вона повинна брати участь у розвитку суспільства та приносити користь людям. Знайдіть ці роботи та відправте в базу знань.
Ми та всі студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будемо вам дуже вдячні.

Щоб завантажити архів з документом, введіть п'ятизначне число в поле, розташоване нижче, і натисніть кнопку "Завантажити архів"

Подібні документи

Сутність витрат виробництва, їхня класифікація. Основні напрями зниження витрат виробництва. Економічна сутність та функції прибутку. Операційні та позареалізаційні витрати. Вивчення взаємозв'язку витрат виробництва та прибутку підприємства.

курсова робота , доданий 24.05.2014

Предмет та функції економтеорії. Товар та його властивості. Принципи граничної корисності. Теорія грошей К. Маркса. Поняття ліквідності, витрат та доходу фірми. Види та характерні риси конкуренції. Модель сукупного попиту та пропозиції. Податки, їхні функції.

шпаргалка, доданий 11.01.2011

Предмет економічної теорії, структура та функції. Економічні закони та їх класифікація. Трудова теорія вартості. Товар та його властивості. Подвійний характер праці, втіленого товару. Розмір вартості товару. Закон вартості та його функції.

шпаргалка, доданий 22.10.2009

Проблеми витрат виробництва як дослідження учених-економістів. Сутність витрат виробництва та його види. Роль прибутку за умов розвитку підприємництва. Сутність та функції прибутку, її види. Рентабельність підприємства та її показники.

курсова робота , доданий 28.11.2012

Сутність та значення економічного зростання. Типи та способи вимірювання економічного зростання. Основні характеристики функції Кобба-Дугласа. Показники та моделі економічного зростання. Чинники, які стримують економічне зростання. Похідна функція та її властивості.

курсова робота , доданий 26.06.2012

Сутність та основні функції прибутку. Економічна ефективність модернізації технологічного обладнання та використання інноваційних технологій під час ремонту дорожнього покриття автомобільних доріг. Резерви підвищення прибутку на будівельній організації.

дипломна робота , доданий 04.07.2013

Сутність прибутку на економічній науці: поняття, види, форми, методи планування. Сутність методу прямого рахунку, суміщеного розрахунку. Основні шляхи збільшення прибутку на підприємствах Росії у сучасних умовах. Зв'язок між оплатою праці та прибутком.

курсова робота , доданий 18.12.2017

2. Виробничі множини та виробничі функції

2.1. Виробничі множини та їх властивості

Розглянемо найважливішого учасника економічних процесів – окремого виробника. Виробник реалізує свої цілі лише через споживача і тому має вгадати, зрозуміти, що той хоче, та задовольнити його потреби. Вважатимемо, що є n різних товарів, кількість n-го товару позначається х n , тоді деякий набір товарів позначається Х = (x 1 , …, x n). Розглядатимемо лише невід'ємні кількості товарів, так що х i  0 для будь-якого i = 1, ..., n або Х > 0. Безліч всіх наборів товарів називається простором товарів С. Набір товарів можна трактувати як кошик, в якому лежать ці товари у відповідній кількості.

Нехай економіка працює у просторі товарів С = (X = (x 1 , x 2 , …, x n): x 1 , …, x n  0). Простір товарів складається з невід'ємних n-мірних векторів. Розглянемо тепер вектор T розмірності n, перші m компонентів якого є непозитивними: x 1 , …, x m  0, а останні (n-m) компонентів невід'ємні: x m +1 , …, x n  0. Вектор X = (x 1 ,…, x m ) назвемо вектором витрата вектор Y = (x m+1 , …, x n) – вектором випуску. Сам вектор T = (X,Y) назвемо вектором витрат-випуску, або технологією.

За своїм змістом технологія (X,Y) є спосіб переробки ресурсів у готову продукцію: «змішавши» ресурси в кількості X, отримаємо продукцію у розмірі Y. Кожен конкретний виробник характеризується деяким безліччю технологій, яке називається виробничою безліччю. Типова заштрихована множина представлена на рис. 2.1. Цей виробник витрачає один товар для випуску іншого.

Мал. 2.1. Виробниче безліч

Виробнича множина відображає широту можливостей виробника: чим воно більше, тим ширше його можливості.Виробнича множина повинна задовольняти наступним умовам:

воно замкнуте - це означає, що якщо вектор Т витрат-випуску як завгодно точно наближається векторами з τ, то і Т належить τ (якщо всі точки вектора Т лежать в τ, то Тτ див. рис. 2.1 точки С і В) ;

в ? знаходиться у четвертому квадранті, де у 0);

безліч опукло, це припущення веде до зменшення віддачі від перероблюваних ресурсів зі зростанням обсягів виробництва (до збільшення норм витрати на готову продукцію). Так, із рис. 2.1 ясно, що y/x  зменшується при х  -. Зокрема, припущення про опуклість веде до зменшення продуктивності праці зі зростанням обсягу виробництва.

Часто опуклості просто буває недостатньо, і тоді вимагають суворої опуклості виробничої множини (або деякої її частини).

2.2. "Крива" виробничих можливостей

та поставлені витрати

Поняття виробничої множини, що розглядається, відрізняється високим ступенем абстрактності і в силу надзвичайної спільності малопридатне для економічної теорії.

Розглянемо, наприклад, рис. 2.1. Почнемо з точок В та С. Витрати за цими технологіями однакові, а випуск різний. Виробник, якщо він не позбавлений здорового глузду, ніколи не вибере технологію В, якщо є найкраща технологія С. У даному випадку (див. рис. 2.1), знайдемо для кожного x  0 найвищу точку (x, y) у виробничій множині . Очевидно, при витратах x технологія (x, y) найкраща. Жодна технологія (x, b) c b виробничою функцією. Точне визначення виробничої функції:

Y = f(x)(x, y) τ, і якщо (x, b)  τ і b  y, то b = x .

З рис. 2.1 видно, що для будь-якого x 0 така точка y = f(x) єдина, що, власне, і дозволяє говорити про виробничу функцію. Але так просто справа, якщо випускається лише один товар. У випадку для вектора витрат Х позначимо безліч М х = (Y:(X,Y)τ). Безліч М х – це безліч усіх можливих випусків при витратахХ. У цьому множині розглянемо “криву” виробничих можливостей K x = (YМ х: якщо ZМ х і Z  Y, то Z = X), тобто K x – це безліч кращих випусків, краще за які немає. Якщо випускаються два товари, то це крива, якщо ж випускається більше двох товарів, це поверхня, тіло або безліч ще більшої розмірності.

Отже, для будь-якого вектора витрат Х всі найкращі випуски лежать на кривій (поверхні) виробничих можливостей. Тому з економічних міркувань звідти має вибрати виробник технологію. Для випадку випуску двох товарів y1, y2 картина показана на рис. 2.2.

Якщо оперувати лише натуральними показниками (тоннами, метрами тощо. буд.), то цього вектора витрат Х ми лише повинні вибрати вектор випуску Y на кривої виробничих можливостей, але який саме випуск треба вибрати, вирішити ще не можна. Якщо саме виробниче безліч τ опукло, то й М х опукло для будь-якого вектора витрат Х. Надалі нам знадобиться строга опуклість множини М х. У разі випуску двох товарів це означає, що до кривої виробничих можливостей K x має з цією кривою лише одну загальну точку.

Мал. 2.2. Крива виробничих можливостей

Розглянемо тепер питання про так звані поставлених витратах. Припустимо, що випуск фіксований у точці A(y 1 , y 2) див. рис. 2.2. Тепер виникла потреба збільшити випуск 2-го товару на y 2 , використовуючи, звичайно, колишній набір витрат. Зробити це можна, як видно із рис. 2.2, перенісши технологію в точку В, для чого зі збільшенням випуску другого товару на y2 доведеться зменшити випуск першого товару на y1.

Поставленимивитратамипершого товару по відношенню до другого у точціА називається
. Якщо крива виробничих можливостей задана неявним рівнянням F(y 1 ,y 2) = 0, то δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), де приватні похідні взяті у точці А. Якщо уважно вдивитися у аналізований малюнок, можна виявити цікаву закономірність: під час руху зліва вниз по кривою виробничих можливостей поставлені витрати зменшуються від великих величин до дуже малих.

2.3. Виробничі функції та їх властивості

Виробничою функцією називається аналітичне співвідношення, що пов'язує змінні величини витрат (чинників, ресурсів) із величиною випуску продукції. Історично одними з перших робіт з побудови та використання виробничих функцій були роботи з аналізу сільськогосподарського виробництва у США. У 1909 р. Мітчерліх запропонував нелінійну виробничу функцію: добрива – врожайність. Незалежно від нього, Спіллман запропонував показове рівняння врожайності. На їх основі було побудовано низку інших агротехнічних виробничих функцій.

Виробничі функції призначені для моделювання процесу виробництва деякої господарської одиниці: окремої фірми, галузі чи всієї економіки держави загалом. За допомогою виробничих функцій вирішуються завдання:

оцінки віддачі ресурсів у виробничому процесі;

прогнозування економічного зростання;

розроблення варіантів плану розвитку;

оптимізації функціонування господарської одиниці за умови заданого критерію та обмежень за ресурсами.

Загальний вид виробничої функції: Y = Y (X 1, X 2, …, X i, …, X n), де Y - показник, що характеризує результати виробництва; X - факторний показник i-го виробничого ресурсу; n – кількість факторних показників.

Виробничі функції визначаються двома групами припущень: математичних та економічних. Математично передбачається, що виробнича функція має бути безперервною та двічі диференційованою. Економічні припущення полягають у наступному: за відсутності хоча б одного виробничого ресурсу виробництво неможливе, тобто Y(0, X 2 , …, X i , …, X n) =

Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …

Y(X 1 , X 2 , …, 0, …, X n) = …

Y(X 1 , X 2 , …, X i , …, 0) = 0.

Однак, лише за допомогою натуральних показників визначити для даних витрат Х єдиний випуск Y задовільно не вдається: наш вибір звузився лише до «кривої» виробничих можливостей Kx. З цих причин розроблено лише теорія виробничих функцій виробників, випуск яких можна охарактеризувати однією величиною – чи обсягом випуску, якщо випускається один товар, чи сумарною вартістю всього випуску.

Простір витрат m-мірно. Кожній точці простору витрат Х = (х 1 ... х m) відповідає єдиний максимальний випуск (див. рис. 2.1), вироблений при використанні цих витрат. Цей зв'язок і називається виробничою функцією. Проте зазвичай виробничу функцію розуміють менш обмежливо і будь-яку функціональну зв'язок між витратами і випуском вважають виробничої функцією. Надалі вважатимемо, що виробнича функція має необхідні похідні. Передбачається, що виробнича функція f(X) задовольняє двом аксіом. Перша з них стверджує, що існує підмножина простору витрат, що називається економічною областю Е, де збільшення будь-якого виду витрат не призводить до зменшення випуску. Таким чином, якщо X 1 , X 2 – дві точки цієї області, то X 1  X 2 тягне за собою f(X 1)  f(X 2). У диференціальній формі це виявляється у тому, що у цій галузі всі перші приватні похідні функції неотрицательны: f/x 1 ≥ 0 (у будь-якій зростаючої функції похідна більше нуля). Ці похідні називаються граничними продуктами, а вектор f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – вектор граничних продуктів (Показує у скільки разів зміниться випускати продукцію при зміні витрат).

Друга аксіома стверджує, що існує опукле підмножина S економічної області, для якої підмножини (XS:f(X)  a) опуклі для всіх а  0. У цьому підмножині S матриця Гессе, складена з других похідних функції f(X) , негативно визначена, отже,  2 f/x 2 i

Зупинимося на економічному змісті цих аксіом. Перша аксіома стверджує, що виробнича функція не зовсім абстрактна функція, придумана теоретиком-математиком. Вона, нехай і не на всій своїй галузі визначення, а тільки на її частині, відображає економічно важливе, безперечне і водночас тривіальне твердження: врозумної економіки збільшення витрат неспроможна призвести до зменшення випуску.З другої аксіоми пояснимо лише економічний зміст вимоги, щоб похідна  2 f/x 2 i була меншою за нуль для кожного виду витрат. Ця властивість називається в економіці законом спадної віддачі або спадної доходності: у міру збільшення витрат, починаючи з деякого моменту (при вході в область S!),починає зменшуватися граничний продукт.Класичним прикладом цього закону є додавання дедалі більшої та більшої кількості праці у виробництво зерна на фіксованій ділянці землі. Надалі мається на увазі, що виробнича функція у сфері S, у якій обидві аксіоми справедливі.

Скласти виробничу функцію даного підприємства можна навіть нічого не знаючи про нього. Треба тільки поставити біля воріт підприємства лічильник (людини або якийсь автоматичний пристрій), який фіксуватиме Х – ресурси, що ввозяться, та Y – кількість продукції, яку підприємство виробило. Якщо накопичити досить багато такої статичної інформації, врахувати роботу підприємства у різних режимах, потім можна прогнозувати випускати продукцію, знаючи лише обсяг ввезених ресурсів, але це є знання виробничої функції.

2.4. Виробнича функція Кобба-Дугласа

Розглянемо одну з найпоширеніших виробничих функцій – функцію Кобба-Дугласа: Y = AK  L  , де A, ,  > 0 – константи,  + 

Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.

Негативність інших приватних похідних, тобто зменшення граничних продуктів: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.

Перейдемо до основних економіко-математичних характеристик виробничої функції Кобба-Дугласа. Середня продуктивність працівизначається як y = Y/L - відношення обсягу виробленого продукту до кількості витраченої праці; середня фондовіддача k = Y/K - відношення обсягу виробленого продукту до величини фондів.

Для функції Кобба-Дугласа середня продуктивність праці y = AK  L  , і через умови  зі збільшенням витрат праці середня продуктивність праці падає. Цей висновок допускає природне пояснення – оскільки величина другого чинника залишається незмінною, то, отже, знову залучена робоча сила не забезпечується додатковими засобами виробництва, як і призводить до зниження продуктивність праці (це справедливо й у загальному випадку – лише на рівні виробничих множин).

Гранична продуктивність праці Y/L = AβK α L β -1 > 0, звідки видно, що для функції Кобба-Дугласа гранична продуктивність праці пропорційна середній продуктивності і менша за неї. Аналогічно визначаються середня та гранична фондовіддачі. Для них також справедливо зазначене співвідношення - гранична фондовіддача пропорційна середній фондовіддачі і менше її.

Важливе значення має така характеристика, як фондозброєність f = K/L, що показує обсяг фондів, що припадає на одного працівника (на одну одиницю праці).

Знайдемо тепер еластичність продукції з праці:

(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.

Таким чином, зрозумілий сенс параметра – це еластичність (ставлення граничної продуктивності праці до середньої продуктивності праці) продукції з праці. Еластичність продукції з праці означає, що збільшення випуску продукції на 1 % необхідно збільшити обсяг трудових ресурсів на  %. Аналогічний сенс має параметр – це еластичність продукції за фондами.

І ще одне значення видається цікавим. Нехай  +  = 1. Легко перевірити, що Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (підставляючи вже обчислені раніше Y/K, Y/L у цю формулу ). Вважатимемо, що суспільство складається тільки з робітників та підприємців. Тоді дохід Y розпадається на дві частини – дохід робітників та дохід підприємців. Оскільки при оптимальному розмірі фірми величина Y/L – граничний продукт з праці – збігається із зарплатою (це можна довести), то (Y/L)L є дохід робочих. Аналогічно величина Y/K є гранична фондовіддача, економічний сенс якої є норма прибутку, отже, (Y/K)K є дохід підприємців.

Функція Кобба-Дугласа – найвідоміша серед усіх виробничих функцій. На практиці при її побудові іноді відмовляються від деяких вимог (наприклад, сума  +  може бути більшою за 1 тощо).

приклад 1.Нехай виробнича функція є функцією Кобба Дугласа. Щоб збільшити випускати продукцію на а = 3 %, треба збільшити основні фонди на b = 6 % чи чисельність працівників на c = 9 %. В даний час один працівник за місяць виробляє продукції на М = 104 руб . , а всього працівників L = 1000. Основні фонди оцінюються в K = 108 руб. Знайти виробничу функцію.

Рішення. Знайдемо коефіцієнти , :  = а/b = 3/6 = 1/2,  = а/с = = 3/9 = 1/3, отже, Y = AK 1/2 L 1/3 . Для знаходження А підставимо у цю формулу значення K, L, M, маючи на увазі, що Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 - - 10 7 = А (10 8) 1/2 1000 1/3 . Звідси А = 100. Отже, виробнича функція має вигляд: Y = 100K 1/2 L 1/3 .

2.5. Теорія фірми

У попередньому розділі ми, аналізуючи, моделюючи поведінку виробника, використовували тільки натуральні показники і обійшлися без цін, проте не змогли остаточно вирішити завдання виробника, тобто вказати єдиний спосіб дій для нього в умовах, що склалися. Тепер введемо на розгляд ціни. Нехай Р – вектор цін. Якщо Т = (X,Y) – технологія, тобто вектор «витрати-випуск», X – витрати, Y – випуск, то скалярний добуток PT = PX + PY є прибуток від використання технології Т (витрати – негативні кількості) . Тепер сформулюємо математичну формалізацію аксіоми, яка описує поведінку виробника.

Завдання виробника: виробник вибирає технологію зі своєї виробничої множини, прагнучи максимізувати прибуток . Отже, виробник вирішує таку задачу: РТ→max, Tτ. Ця аксіома різко полегшує ситуацію вибору. Так, якщо ціни позитивні, що природно, то компонент «випуск» вирішення цього завдання автоматично лежатиме на кривій виробничих можливостей. Справді, нехай T = (X,Y) – якесь рішення завдання виробника. Тоді існує ZK x , Z  Y, отже, P(X, Z)  P(X, Y), отже, точка (X, Z) також є вирішення завдання виробника.

Для двох видів продуктів завдання можна вирішити графічно (рис. 2.3). Для цього треба «рухати» пряму лінію, перпендикулярну до вектора Р, у напрямку, куди він показує; тоді остання точка, коли ця пряма лінія ще перетинає виробниче безліч, і буде рішенням (рис. 2.3. це точка Т). Як легко бачити, строга опуклість потрібної частини виробничої множини у другому квадранті гарантує єдиність рішення. Такі самі міркування діють у загальному випадку, для більшої кількості видів витрат і випуску. Однак ми не підемо цим шляхом, а використовуємо апарат виробничих функцій і виробника назвемо фірмою. Отже, випуск фірми можна охарактеризувати однією величиною - або обсягом випуску, якщо випускається один товар, або сумарною вартістю всього випуску. Простір витрат m-мірно, вектор витрат Х = (х 1, ..., х m). Витрати однозначно визначають випуск Y, а це і є виробнича функція Y = f(X).

Мал. 2.3. Вирішення завдання виробника

У цій ситуації позначимо через Р вектор цін на товари-витрати і нехай v - ціна одиниці товару, що випускається. Отже, прибуток W, що є в результаті функцією Х (і цін, але вони вважаються постійними), є W(X) = vf(X) – PX→max, X  0. Прирівнюючи приватні похідні функції W до нуля, отримаємо:

v(f/x j) = p j для j = 1, …, m або v(f/X) = P (2.1)

Припускатимемо, що всі витрати строго позитивні (нульові можна просто виключити з розгляду). Тоді точка, що дається співвідношенням (2.1), виявляється внутрішньою, тобто точкою екстремуму. І оскільки ще передбачається негативна визначеність матриці Ґессе виробничої функції f(Х) (виходячи з вимог до виробничих функцій), це точка максимуму.

Отже, при природних припущеннях на виробничі функції (ці припущення виконуються для виробника зі здоровим глуздом і в розумній економіці) співвідношення (2.1) дає рішення задачі фірми, тобто визначає обсяг Х * ресурсів, що переробляються, в результаті чого виходить випуск Y * = f(Х*) Точку Х*, або (Х*,f(Х*)) назвемо оптимальним рішенням фірми. Зупинимося економічному сенсі співвідношення (2.1). Як говорилося, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) називається граничним вектором-продуктом, або вектором граничних продуктів, а f/x i називається i-м граничним продуктом, або відгуком випуску на зміну i -го товару витрат. Отже, vf/x i dx i – це вартість i -го граничного продукту, додатково отриманого з dx i одиниць i -го ресурсу. Однак вартість dx i одиниць i-го ресурсу дорівнює р i dx i , тобто вийшла рівновага: можна залучити до виробництва додатково dx i одиниць i-го ресурсу, витративши на його закупівлю р i dx i , але виграшу не буде, т. к. отримаємо після переробки продукції рівно на таку ж суму, скільки витратили. Відповідно, оптимальна точка, що дається співвідношенням (2.1), є точкою рівноваги – вже неможливо вичавити з товарів-ресурсів більше, ніж витрачено з їхньої купівлю.

Очевидно, нарощування випуску фірми відбувалося поступово: спочатку вартість граничних продуктів була меншою від покупної ціни потрібних для їх виробництва товарів-ресурсів. Нарощування обсягів виробництва йде доти, доки не почне виконуватися співвідношення (2.1): рівність вартості граничних товарів хороших і покупної ціни, необхідних їх виробництва товарів-ресурсів.

Припустимо, що завдання фірми W(X) = vf(X) – PX → max, X  0, рішення Х * єдине для v > 0 і Р > 0. Таким чином, виходить вектор-функція X * = X * ( v, P), або функції x * I = x * i (v, p 1, p m) для i = 1, …, m. Ці m функції називаються функціями попиту ресурсиза даних цін на продукцію та ресурси. Змістовно ці функції означають, що, якщо склалися ціни Р на ресурси і ціна v на товар, що виробляється, даний виробник (характеризується даною виробничою функцією) визначає обсяг перероблюваних ресурсів за функціями x * I = x * i (v, p 1 , p m) і запитує ці обсяги над ринком. Знаючи обсяги перероблюваних ресурсів та підставляючи їх у виробничу функцію, отримаємо випуск як функцію цін; позначимо цю функцію через q * = q * (v, P) = f (X (v, P)) = Y *. Вона називається функцією пропозиції продукціїв залежності від ціни v на продукцію та цін Р на ресурси.

За визначенням, ресурс i-го видуназивається малоцінним, якщо і тільки якщо,x * i /v тобто при підвищенні ціни на продукцію попит на малоцінний ресурс зменшується. Вдається довести важливе співвідношення: q * /P = -X * /v або q * /p i = -x * i /v, для i = 1, …, m. Отже, зростання ціни продукції призводить до підвищення (зниження) попиту певний вид ресурсів, і якщо збільшення плати цей ресурс призводить до скорочення (зростання) раціонального випуску. Звідси видно основну властивість малоцінних ресурсів: Збільшення плати за них веде до збільшення випуску продукції! Однак можна суворо довести наявність таких ресурсів, зростання плати за які призводить до зменшення випуску продукції (тобто всі ресурси не можуть бути малоцінними).

Вдається довести також, що x * i /p i взаємодоповнюваними, якщо x * i /p j взаємозамінними, якщо x * i /p j > 0. Тобто, для взаємодоповнюваних ресурсів підвищення ціни на один із них призводить до падіння попиту в інший, а взаємозамінних ресурсів підвищення ціни однією їх призводить до збільшення попиту інший. Приклади взаємодоповнюваних ресурсів: комп'ютер та його складові, меблі та дерево, шампунь та кондиціонер до нього. Приклади взаємозамінних ресурсів: цукор та замінники цукру (наприклад, сорбіт), кавуни та дині, майонез та сметана, олія та маргарин тощо.

приклад 2.Для фірми з виробничою функцією Y = 100K 1/2 L 1/3 (з прикладу 1) визначити оптимальний розмір, якщо період амортизації основних фондів N=12 місяців, зарплата працівника місяць а = 1000 крб.

Рішення. Оптимальний обсяг випуску чи обсягу виробництва перебуває із співвідношення (2.1). В даному випадку випуск продукції вимірюється в грошах, так що v = 1. Вартість місячного утримання одного рубля фондів 1/N, тобто отримуємо систему рівнянь

, Вирішуючи яку знаходимо відповідь:
, L = 8. 10 3 K = 144 . 10 6 .

2.6. Завдання

1. Нехай виробнича функція є функцією Кобба-Дугласа. Щоб збільшити випускати продукцію на 1 %, треба збільшити основні фонди на b = 4 % чи чисельність працівників на c = 3 %. В даний час один працівник за місяць виробляє продукції на М = 105 руб . а всього працівників L = 10 4 . Основні фонди оцінюються в K = 106 руб. Знайдіть виробничу функцію, середню фондовіддачу, середню продуктивність праці, фондовооруженность.

2. Група "човників" у кількості Е вирішила об'єднатися з N продавцями. Прибуток від дня роботи (виторг мінус витрати, але не зарплата) виражається формулою Y = 600 (EN) 1/3. Зарплата "човника" 120 руб. на день, продавця - 80 руб. в день. Знайдіть оптимальний склад групи з «човників» та продавців, тобто скільки має бути «човників» і скільки продавців.

3. Бізнесмен вирішив започаткувати невелике автотранспортне підприємство. Ознайомившись зі статистикою, він побачив, що приблизна залежність щоденної виручки від числа автомобілів А та числа N виражається формулою Y = 900А 1/2 N 1/4 . Амортизаційні та інші щоденні витрати на одну машину дорівнюють 400 руб., Щоденна зарплата робітника 100 руб. Знайдіть оптимальну чисельність робітників та автомашин.

4. Бізнесмен задумав відкрити пивний бар. Припустимо, що залежність виручки Y (за вирахуванням вартості пива та закусок) від числа столиків М та числа офіціантів F виражається формулою Y = 200М 2/3 F 1/4 . Витрати однією столик становлять 50 крб., зарплата офіціанта – 100 крб. Знайдіть оптимальний розмір бару, тобто число офіціантів та столиків.

Формалізує безліч всіх технологічно допустимих векторів чистих випусків продукції.

Визначення

Нехай в економіці є $N$ благ. У процесі виробництва їх $n$ благ витрачаються. Позначимо вектор цих благ (витрат) $x$ (розмірність вектора $n$ ). Інші $m=N-n$ благ випускаються у процесі виробництва (розмірність вектора - $m$ ). Позначимо вектор цих благ $y$ . Тоді вектор $z = (-x, y)$ (розмірність - $N$ ) називається вектором чистих випусків. Сукупність всіх технологічно допустимих векторів чистих випусків та складають технологічна безліч. Фактично це деяке підмножина простору $R^N$ .

Для читачів, які мають труднощі з поняттями вектор, безліч:

вектор – список благ, кожне благо описане своєю кількістю, набір чисел;

всі блага, витрачені у виробництві записуються на початку вектора чистого випуску z зі знаком мінус (-x), вироблені зі знаком плюс (y);

всі можливі виробництва поєднання утворюють технологічне безліч (поєднань випуску).

Властивості

Непорожнеча: технологічна множина не порожня. Непорожнеча означає важливу можливість виробництва.
Допустимість бездіяльності: нульовий вектор належить технологічній множині. Ця формальна властивість означає, що нульовий випуск при нульових витратах є допустимим.
Замкнутість: технологічна множина містить свій кордон і межу будь-якої послідовності технологічно допустимих векторів чистих випусків теж належить технологічній множині.
Свобода витрачання: якщо цей вектор $z$ належить технологічній множині, то йому належить і будь-який вектор $z"\leqslant z$ . Це означає, що формально той самий обсяг випуску можна й великими витратами.
Відсутність "роги достатку": із невід'ємних векторів чистого випуску технологічній множині належить лише нульовий вектор. Це означає, що для виробництва продукції у позитивній кількості необхідні ненульові витрати.
Необоротність: для будь-якого допустимого вектора. $z$ , протилежний вектор $-z$ не належить технологічній множині. Тобто з випущеної продукції неможливо виготовити ресурси у тому кількості, в якому вони використовуються для виробництва цієї продукції.
Адитивність: сума двох допустимих векторів є також допустимим вектором. Тобто, допускається комбінування технологій.
Властивості, пов'язані з віддачею від масштабу виробництва:
- Незростаюча віддача від масштабу: для будь-якого $\lambda \in (0;1)$ $\lambda z$
- Незменшена віддача від масштабу: для будь-якого $\lambda >1$ якщо z належить технологічній множині, то $\lambda z$ також належить технологічній множині.
- Постійна віддача від масштабу: одночасне виконання двох попередніх властивостей, тобто для будь-якого позитивного $\lambda$ якщо $z$ належить технологічній множині, то $\lambda z$ також належить технологічній множині. Властивість постійної віддачі означає, що технологічна множина є конусом.

8. Випуклість: для будь-яких двох допустимих векторів. $z_1, z_2$ допустимими є також будь-які вектори $\alpha z_1 +(1-\alpha)z_2$ , де $0 < \alpha \leqslant 1$ . Властивість опуклості означає можливість "змішувати" технології. Воно, зокрема, виконано, якщо технологічна множина має властивість адитивності та незростаючої віддачі від масштабу. Більш того, у цьому випадку технологічна множина є опуклим конусом.

Ефективна межа технологічної множини

Допустиму технологію $z$ називають ефективноюякщо не існує іншої, відмінної від неї, допустимої технології $z"\geqslant z$ . Безліч ефективних технологій утворюють ефективний кордонтехнологічної множини.

Якщо виконано умову свободи витрачання та замкнутості технологічної множини, то неможливо нескінченно збільшувати виробництво одного блага без зменшення випуску інших. В цьому випадку для будь-якої допустимої технології $z$ є ефективна технологія $z" \geqslant z$ . У такому разі замість всього технологічного безлічі можна використовувати тільки його ефективну межу. Зазвичай ефективний кордон можна задати деякою виробничою функцією.

Виробнича функція

Розглянемо однопродуктові технології $(-x, y)$ , де $y$ - Вектор розмірності $m=1$ , а $x$ - Вектор витрат розмірності $n$ . Розглянемо безліч $X$ , що включає всі можливі вектори витрат $x$ , таких, що для кожного $x$ існує $y$ , такий, що вектори чистих випусків $(-x, y)$ належать до технологічної множини.

Числова функція $f(x)$ на $X$ називається виробничою функцієюякщо для кожного даного вектора витрат $x$ значення $f(x)$ визначає максимальне значення припустимого випуску $y$ (Такого, що вектор чистого випуску (-x, y) належить технологічній множині).

Будь-яка точка ефективної межі технологічної множини представима у вигляді $(-x, f(x))$ , а зворотне вірно у тому випадку, якщо $f(x)$ є зростаючою функцією (у такому разі $y=f(x)$ - Рівняння ефективної межі). Якщо технологічна множина має властивість свободи витрачання і допускає опис виробничої функцією, то технологічна множина визначається на основі нерівності $y \leqslant f(x)$ .

Для того, щоб технологічна множина можна було задавати за допомогою виробничої функції достатньо, щоб для будь-якого $x$ безліч $F(x)$ допустимих випусків за даних витрат $x$ , було обмеженим та замкнутим. Зокрема, ця умова виконана, якщо для технологічної множини виконані властивості замкнутості, що не зростає віддачі від масштабу та відсутності рогу достатку.

Якщо технологічна множина опукла, то виробнича функція увігнута і безперервна на нутрощі множини $X$ . Якщо виконано умову свободи витрачання, то $f(x)$ є незнищувальною функцією (у цьому випадку також з увігнутості функції випливає опуклість технологічної множини). Зрештою, якщо виконано одночасно й умову відсутності рогу достатку та допустимість бездіяльності, то $f(0)=0$ .

Якщо виробнича функція є диференційованою, можна визначити локальну еластичність масштабунаступними еквівалентними способами:

$e(x)=\frac (d f(\lambda x))(d \lambda) \cdot \frac (\lambda)(f(x))|_(\lambda=1)=\frac (f"(x )x)(f(x))$

де $f"(x)$ - Вектор градієнт виробничої функції.

Визначивши таким чином еластичність масштабу можна показати, що якщо технологічна множина має властивість постійної віддачі від масштабу, то $e(x)=1$ якщо спадної віддачі від масштабу, то $e(x) \leqslant 1$ якщо зростаючої віддачі, то $e(x)\geqslant 1$ .

Завдання виробника

Якщо заданий вектор цін $p$ , той твір $pz$ є прибуток виробника. Завдання виробника зводиться до пошуку такого вектора $z$ щоб при заданому векторі цін прибуток був максимальний. Безліч цін благ, за яких це завдання має рішення, позначимо $P$ . Можна показати, що при непустій, замкнутій технологічній множині з незростаючою віддачею від масштабу завдання виробника має рішення на безлічі цін. $P$ , що дають негативний прибуток на так званих рецесивнихнапрямках (це вектори $z$ технологічної множини, для яких за будь-якої невід'ємної $\lambda$ вектори $\lambda z$ також належать технологічній множині). Зокрема, якщо безліч рецесивних напрямів збігаються з $R^N_-$ , то рішення існує за будь-яких позитивних цін.

Функція прибутку $\pi(p)$ визначається як $pz(p)$ , де $z(p)$ - Вирішення завдання виробника при даних цінах (це так звана функція пропозиції, можливо багатозначна). Функція прибутку є позитивно однорідною (першого ступеня), тобто $\pi(\lambda p) = \lambda \pi(p)$ і безперервної на нутрощі $P$ . Якщо технологічне безліч суворо опукло, то функція прибутку до того ж безперервно диференційована. Якщо технологічна множина замкнута, то функція прибутку опукла на будь-якій опуклій підмножині допустимих цін $P$ .

Функція (відображення) пропозиції $z(p)$ є позитивно однорідним нульовим ступенем. Якщо технологічна множина строго опукла, то функція пропозиції є однозначною на P і безперервною на нутрощі $P$ . Якщо функція речення двічі диференційована, то матриця Якобі цієї функції симетрична та невід'ємно визначена.

Якщо технологічна множина представлена за допомогою виробничої функції, то прибуток визначається як $pf(x)-wx$ , де $w$ - Вектор цін на фактори виробництва, $p$ у разі ціна своєї продукції. Тоді для будь-якого внутрішнього рішення (тобто належить нутрощі $X$ ) Завдання виробника справедливо рівність граничного продукту кожного фактора його відносної ціни, тобто у векторній формі $f"(x)=w/p$ .

Якщо задана функція прибутку $\pi(p)$ , що є двічі безперервно диференційованою, опуклою і позитивно однорідною (першого ступеня) функцією, то можна відновити технологічну множину, як множину, що містить при будь-якому невід'ємному векторі цін $p$ вектори чистих випусків $z$ , що задовольняють нерівності $pz \ leqslant \ pi (p)$ . Можна також показати, що й функція пропозиції є позитивно однорідної нульової ступеня і матриця її перших похідних безперервна, симетрична і негативно визначена, то відповідна функція прибутку задовольняє вищевказаним вимогам (правильно і зворотне твердження).

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Технологічне безліч"

Література

Уривок, що характеризує Технологічну множину

Княгиня, посміхаючись, слухала.
- Якщо ще рік Бонапарте залишиться на престолі Франції, - продовжував віконт розпочату розмову, з виглядом людини, яка не слухає інших, але в справі, найкраще їй відомої, що стежить тільки за ходом своїх думок, - то справи підуть надто далеко. Інтригою, насильством, вигнаннями, стратами суспільство, я розумію хороше суспільство, французьке, назавжди буде знищено, і тоді…
Він знизав плечима і розвів руками. П'єр хотів було сказати щось: розмова цікавила його, але Ганна Павлівна, яка чатувала на нього, перебила.
- Імператоре Олександре, - сказала вона з сумом, що супроводжувала її промови про імператорське прізвище, - оголосив, що він надасть самим французам вибрати образ правління. І я думаю, немає сумніву, що вся нація, звільнившись від узурпатора, кинеться до рук законного короля, – сказала Ганна Павлівна, намагаючись бути люб'язною з емігрантом та роялістом.
– Це сумнівно, – сказав князь Андрій. – Monsieur le vicomte [Пан віконт] цілком справедливо вважає, що справи зайшли вже занадто далеко. Я думаю, що важко буде повернутися до старого.
– Скільки я чув, – червоніючи, знову втрутився у розмову П'єр, – майже все дворянство перейшло вже на бік Бонапарта.
– Це кажуть бонапартисти, – сказав віконт, не дивлячись на П'єра. – Тепер важко дізнатися про громадську думку Франції.
- Bonaparte l'a dit, [Це сказав Бонапарт,] - сказав князь Андрій з усмішкою.
(Виконт йому не подобався, і що він, хоч і не дивився на нього, проти нього звертав свої промови.)
- "Je leur ai montre le chemin de la gloire" - сказав він після недовгої мовчанки, знову повторюючи слова Наполеона: - "ils n" en ont pas voulu; [Я показав їм шлях слави: вони не хотіли, я відкрив їм мої передні: вони кинулися натовпом... Не знаю, якою мірою він мав право так говорити.]
– Aucun, [Ніякого,] – заперечив віконт. - Після вбивства герцога навіть упереджені люди перестали бачити в ньому героя. «Якщо він і був, то я можу сказати, що я можу сказати, що я можу подумати про те, що він, - сказав віконт, звертаючись до Анни Павлівни. героєм для деяких людей, то після вбивства герцога одним мучеником побільшало на небесах і одним героєм менше на землі.]
Не встигли ще Ганна Павлівна та інші посмішкою оцінити цих слів віконта, як П'єр знову увірвався в розмову, і Ганна Павлівна, хоч і передчувала, що він скаже щось непристойне, вже не могла зупинити його.
— Покарання герцога Енгієнського, — сказав мсьє П'єр, — була державна потреба; і я саме бачу велич душі в тому, що Наполеон не побоявся взяти на себе відповідальність у цьому вчинку.
- Dieul mon Dieu! [Боже! мій Боже!] – страшним пошепки промовила Ганна Павлівна.
– Comment, M. Pierre, vous trouvez que l'assassinat est grandeur d'ame, [Як, мсьє П'єр, ви бачите у вбивстві велич душі,] – сказала маленька княгиня, посміхаючись і присуваючи до себе роботу.
– Ah! Ох! – сказали різні голоси.
- Capital! [Чудово!] – англійською мовив князь Іполит і почав бити себе долонею по коліна.
Віконт тільки знизав плечима. П'єр урочисто глянув поверх окулярів на слухачів.
– Я тому так говорю, – продовжував він із відчайдушністю, – що Бурбони втекли від революції, надавши народ анархії; а один Наполеон умів зрозуміти революцію, перемогти її, і тому для загального блага він не міг зупинитися перед життям однієї людини.
- Чи не хочете перейти до того столу? – сказала Ганна Павлівна.
Але П'єр, не відповідаючи, продовжував свою промову.
- Ні, - говорив він, все більше і більше одушевляючись, - Наполеон великий, тому що він став вищим за революцію, придушив її зловживання, утримавши все добре - і рівність громадян, і свободу слова і друку - і тільки тому набув влади.
— Так, якби він, узявши владу, не користуючись нею для вбивства, віддав би її законному королеві, — сказав віконт, — тоді я б назвав його великою людиною.
- Він би не міг цього зробити. Народ віддав йому владу тільки для того, щоб він позбавив його від Бурбонів, і тому, що народ бачив у ньому велику людину. Революція була велика справа, - продовжував мсьє П'єр, висловлюючи цією відчайдушною і зухвалою вступною пропозицією свою велику молодість і бажання все повніше висловити.
- Революція і царевбивство велика справа? ... Після цього ... та чи не хочете перейти до того столу? – повторила Ганна Павлівна.
– Contrat social, [Громадський договір,] – з лагідною посмішкою сказав віконт.
– Я не говорю про царевбивство. Я говорю про ідеї.
- Так, ідеї пограбування, вбивства та царевбивства, - знову перебив іронічний голос.
- Це були крайнощі, зрозуміло, але не в них все значення, а значення в правах людини, в еманципації від забобонів, рівності громадян; і всі ці ідеї Наполеон утримав у всій їх силі.
— Свобода і рівність, — зневажливо сказав віконт, ніби зважився нарешті серйозно довести цьому юнакові всю дурість його промов, — усі голосні слова, які вже давно компрометувалися. Хто ж не любить свободи та рівності? Ще Спаситель наш проповідував свободу та рівність. Хіба після революції люди стали щасливішими? Навпаки. Ми хотіли свободи, а Бонапарт знищив її.
Князь Андрій з усмішкою поглядав то на П'єра, то на віконта, то на господиню. В першу хвилину витівки П'єра Ганна Павлівна жахнулася, незважаючи на свою звичку до світла; але коли вона побачила, що, незважаючи на сказані П'єром святотатні промови, віконт не виходив із себе, і коли вона переконалася, що зам'яти цих промов уже не можна, вона зібралася з силами і, приєднавшись до віконту, напала на оратора.
— Mais, mon cher m r Pierre, — сказала Анна Павлівна, — як же ви пояснюєте велику людину, яка могла стратити герцога, нарешті, просто людину, без суду і без вини?
– Я б запитав, – сказав віконт, – як monsieur пояснює 18 брюмерів. Хіба це не брехня? Це шулерство, зовсім не схоже на образ дій великої людини.
- А полонені в Африці, яких він убив? – сказала маленька княгиня. - Це жахливо! - І вона знизала плечима.
- Це un roturier, vous aurez beau dire, - це пройдисвіт, що б ви не говорили, - сказав князь Іполит.
Мсьє П'єр не знав, кому відповідати, оглянув усіх і посміхнувся. Посмішка в нього була не така, як у інших людей, що зливалася з неусмішкою. У нього, навпаки, коли приходила посмішка, то раптом миттєво зникало серйозне й навіть дещо похмуре обличчя і було інше – дитяче, добре, навіть дурнувате і ніби просило пробачення.
Віконтові, який бачив його вперше, стало ясно, що цей якобінець зовсім не такий страшний, як його слова. Усі замовкли.
- Як ви хочете, щоб він усім раптом відповідав? – сказав князь Андрій. – До того ж треба у вчинках державної людини розрізняти вчинки приватної особи, полководця чи імператора. Мені так здається.
- Так, так, зрозуміло, - підхопив П'єр, зрадований підмогою, що виступала йому.
- Не можна не зізнатися, - вів далі князь Андрій, - Наполеон як людина велика на Аркольському мосту, у шпиталі в Яффі, де він чумним подає руку, але... але є інші вчинки, які важко виправдати.
Князь Андрій, мабуть хотів пом'якшити незручність промови П'єра, підвівся, збираючись їхати і подаючи знак дружині.

Раптом князь Іполит підвівся і, знаками рук зупиняючи всіх і просячи сісти, заговорив:
– Ah! aujourd"hui on m"a raconte une anecdote moscovite, charmante: il faut que je vous en regale. Vous m'excusez, vicomte, il faut que je raconte en russe. [Сьогодні мені розповіли чарівний московський анекдот; треба вас їм підчувати. Вибачте, віконт, я розповідатиму російською, інакше пропаде вся сіль анекдоту.]
І князь Іполит почав говорити російською такою доганою, якою говорять французи, які пробули рік у Росії. Усі припинилися: так жваво, наполегливо вимагав князь Іполит уваги своєї історії.
– У Moscou є одна пані, une dame. І вона дуже скупа. Їй треба було мати два valets de pied за карета. І дуже великий на зріст. Це був її смак. Та вона мала une femme de chambre [покоївку], ще великий зріст. Вона сказала…
Тут князь Іполит задумався, мабуть насилу розуміючи.
- Вона сказала ... так, вона сказала: "Дівчина (a la femme de chambre), одягни livree [ліврею] і поїдемо зі мною, за карета, faire des visites". [робити візити.]
Тут князь Іполит пирхнув і зареготав набагато раніше своїх слухачів, що справило невигідне для оповідача враження. Однак багато хто, і в тому числі літня дама та Ганна Павлівна, посміхнулися.
- Вона поїхала. Несподівано став сильний вітер. Дівчина втратила капелюх, і довгі волосся розчесалися.
Тут він не міг уже більше триматися і став уривчасто сміятися і крізь цей сміх промовив:
– І весь світ дізнався…
Тим анекдот і скінчився. Хоч і незрозуміло було, навіщо він його розповідає і навіщо його треба було розповісти неодмінно російською мовою, проте Ганна Павлівна та інші оцінили світську люб'язність князя Іполита, який так приємно закінчив неприємну і нелюбовну витівку мсьє П'єра. Розмова після анекдоту розсипалася на дрібні, незначні чутки про майбутній і минулий бал, виставу, про те, коли і де хто побачиться.