Який тип специфічності активів існує. Специфічність ресурсів і її види

Інтегральне числення.

Первісна функція.

визначення: Функція F (x) називається первообразной функцією функції f (x) на відрізку, якщо в будь-якій точці цього відрізка вірно рівність:

Треба відзначити, що первісних для однієї і тієї ж функції може бути нескінченно багато. Вони будуть відрізнятися один від одного на деякий постійне число.

F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C.

Невизначений інтеграл.

визначення: невизначеним інтеграломфункції f (x) називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням:

записують:

Умовою існування невизначеного інтеграла на деякому відрізку є безперервність функції на цьому відрізку.

властивості:

приклад:

Знаходження значення невизначеного інтеграла пов'язано головним чином з перебуванням первісної функції. Для деяких функцій це досить складне завдання. Нижче будуть розглянуті способи знаходження невизначених інтегралів для основних класів функцій - раціональних, ірраціональних, тригонометричних, показових і ін.

Для зручності значення невизначених інтегралів більшості елементарних функцій зібрані в спеціальні таблиці інтегралів, які бувають іноді дуже об'ємними. У них включені різні найбільш часто зустрічаються комбінації функцій. Але більшість представлених в цих таблицях формул є наслідками один одного, тому нижче наведемо таблицю основних інтегралів, за допомогою якої можна отримати значення невизначених інтегралів різних функцій.

інтеграл	значення	інтеграл	значення

	lnsinx + C



	ln

Методи інтегрування.

Розглянемо три основні методи інтегрування.

Безпосереднє інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування заснований на припущенні про можливе значенні первісної функції з подальшою перевіркою цього значення дифференцированием. Взагалі, зауважимо, що диференціювання є потужним інструментом перевірки результатів інтегрування.

Розглянемо застосування цього методу на прикладі:

Потрібно знайти значення інтеграла . На основі відомої формули диференціювання
можна зробити висновок, що шуканий інтеграл дорівнює
, Де С - деяке постійне число. Однак, з іншого боку
. Таким чином, остаточно можна зробити висновок:

Зауважимо, що на відміну від диференціювання, де для знаходження похідної використовувалися чіткі прийоми і методи, правила знаходження похідної, нарешті визначення похідної, для інтегрування такі методи недоступні. Якщо при знаходженні похідної ми користувалися, так би мовити, конструктивними методами, які, базуючись на певних правилах, приводили до результату, то при знаходженні первісної доводиться в основному спиратися на знання таблиць похідних і первісних.

Що стосується методу безпосереднього інтегрування, то він застосовується лише для деяких дуже обмежених класів функцій. Функцій, для яких можна з ходу знайти первісну дуже мало. Тому в більшості випадків застосовуються способи, описані нижче.

Спосіб підстановки (заміни змінних).

теорема: Якщо потрібно знайти інтеграл
, Але складно відшукати первісну, то за допомогою заміни x \u003d  (t) і dx \u003d  (t) dt виходить:

Доказ : Продифференцируем пропоноване рівність:

За розглянутому вище властивості №2 невизначеного інтеграла:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

що з урахуванням введених позначень і є вихідним припущенням. Теорема доведена.

Приклад. Знайти невизначений інтеграл
.

зробимо заміну t = sinx, dt = cosxdt.

Приклад.

заміна
отримуємо:

Нижче будуть розглянуті інші приклади застосування методу підстановки для різних типів функцій.

Інтегрування по частинах.

Спосіб заснований на відомій формулі похідною твори:

(Uv)  \u003d uv + vu

де u і v - деякі функції від х.

У диференціальної формі: d (uv) \u003d udv + vdu

Проинтегрировав, отримуємо:
, А відповідно до наведених вище властивостями невизначеного інтеграла:

або
;

Отримали формулу інтегрування частинами, яка дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій.

Приклад.

Як видно, послідовне застосування формули інтегрування частинами дозволяє поступово спростити процедуру і привести інтеграл до табличного.

Приклад.

Видно, що в результаті повторного застосування інтегрування частинами функцію не вдалося спростити до табличного вигляду. Однак, останній отриманий інтеграл нічим не відрізняється від початкового. Тому перенесемо його в ліву частину рівності.

Таким чином, інтеграл знайдений взагалі без застосування таблиць інтегралів.

Перш ніж розглянути детально методи інтегрування різних класів функцій, наведемо ще кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів приведенням їх до табличних.

Приклад.

Інтегрування елементарних дробів.

визначення: елементарниминазиваються дроби наступних чотирьох типів:

I.
III.

II.
IV.

m, n - натуральні числа (m  2, n  2) і b 2 - 4ac<0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто наводяться до табличних підстановкою t \u003d ax + b.

Розглянемо метод інтегрування елементарних дробів виду III.

Інтеграл дроби виду III може бути представлений у вигляді:

Тут в загальному вигляді показано приведення інтеграла дроби виду III до двох табличних інтегралів.

Розглянемо застосування зазначеної вище формули на прикладах.

Приклад.

Взагалі кажучи, якщо у трехчлена ax 2 + bx + c вираз b 2 - 4ac\u003e 0, то дріб за визначенням не є елементарною, однак, тим не менш її можна інтегрувати зазначеним вище способом.

приклад.

Приклад.

Розглянемо тепер методи інтегрування найпростіших дробів IV типу.

Спочатку розглянемо окремий випадок при М \u003d 0, N \u003d 1.

Тоді інтеграл виду
можна шляхом виділення в знаменнику повного квадрата представити у вигляді
. Зробимо наступне перетворення:

Другий інтеграл, що входить в цю рівність, будемо брати по частинах.

позначимо:

Для вихідного інтеграла отримуємо:

Отримана формула називається рекуррентной. Якщо застосувати її n-1 раз, то вийде табличний інтеграл
.

Повернемося тепер до інтеграла від елементарної дроби виду IV в загальному випадку.

В отриманому рівність перший інтеграл за допомогою підстановки t = u 2 + s приводиться до табличному , А до другого інтеграла застосовується розглянута вище рекуррентная формула.

Незважаючи на гадану складність інтегрування елементарної дроби виду IV, на практиці його досить легко застосовувати для дробів з невеликим ступенем n, А універсальність і спільність підходу уможливлює дуже просту реалізацію цього методу на ЕОМ.

приклад:

Інтегрування раціональних функцій.

Інтегрування раціональних дробів.

Для того, щоб проинтегрировать раціональну дріб необхідно розкласти її на елементарні дроби.

теорема: якщо
- правильна раціональна дріб, знаменник P (x) якої представлений у вигляді добутку лінійних і квадратичних множників (відзначимо, що будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами може бути представлений в такому вигляді: P(x) = (x - a)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), То ця частина може бути розкладена на елементарні за наступною схемою:

де A i, B i, M i, N i, R i, S i - деякі постійні величини.

При інтегруванні раціональних дробів вдаються до розкладання вихідної дробу на елементарні. Для знаходження величин A i, B i, M i, N i, R i, S i застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів, Суть якого полягає в тому, що для того, щоб два многочлена були тотожно рівні, необхідно і достатньо, щоб були рівні коефіцієнти при однакових степенях х.

Застосування цього методу розглянемо на конкретному прикладі.

Приклад.

Наводячи до спільного знаменника і прирівнюючи відповідні числители, отримуємо:

Приклад.

Оскільки дріб неправильна, то попередньо слід виділити у неї цілу частину:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x - 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 - 25x - 25

Розкладемо знаменник отриманої дробу на множники. Видно, що при х \u003d 3 знаменник дробу перетворюється в нуль. тоді:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 x - 3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Таким чином 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 \u003d (x - 3) (3x 2 + 5x - 2) \u003d (x - 3) (x + 2) (3x - 1). тоді:

Для того, щоб уникнути при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, угруповання і рішення системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитися досить великий) застосовують так званий метод довільних значень. Суть методу полягає в тому, що в отримане вище вираз підставляються по черзі кілька (за кількістю невизначених коефіцієнтів) довільних значень х. Для спрощення обчислень прийнято в якості довільних значень приймати точки, при яких знаменник дробу дорівнює нулю, тобто в нашому випадку - 3, -2, 1/3. отримуємо:

Остаточно отримуємо:

Приклад.

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

Тоді значення заданого інтеграла:

Інтегрування деяких тригонометричних

функцій.

Інтегралів від тригонометричних функцій може бути нескінченно багато. Більшість з цих інтегралів взагалі не можна обчислити аналітично, тому розглянемо деякі найголовніші типи функцій, які можуть бути проінтегрувати завжди.

інтеграл виду
.

Тут R - позначення деякої раціональної функції від змінних sinx і cosx.

Інтеграли цього виду обчислюються за допомогою підстановки
. Ця підстановка дозволяє перетворити тригонометричну функцію в раціональну.

тоді

Таким чином:

Описане вище перетворення називається універсальної тригонометричної підстановкою.

Приклад.

Безсумнівним достоїнством цієї підстановки є те, що з її допомогою завжди можна перетворити тригонометричну функцію в раціональну і обчислити відповідний інтеграл. До недоліків можна віднести те, що при перетворенні може вийти досить складна раціональна функція, інтегрування якої займе багато часу і сил.

Однак при неможливості застосувати більш раціональну заміну змінної цей метод є єдино результативним.

Приклад.

інтеграл виду
якщо

функціяRcosx.

Незважаючи на можливість обчислення такого інтеграла за допомогою універсальної тригонометричної підстановки, раціональніше застосувати підстановку t = sinx.

функція
може містити cosx тільки в парних ступенях, а, отже, може бути перетворена в раціональну функцію щодо sinx.

Приклад.

Взагалі кажучи, для застосування цього методу необхідна тільки непарність функції щодо косинуса, а ступінь синуса, що входить в функцію може бути будь-який, як цілої, так і дробової.

інтеграл виду
якщо

функціяR є непарною щодоsinx.

За аналогією з розглянутим вище випадком робиться підстановка t = cosx.

Приклад.

інтеграл виду

функціяR парна щодоsinx іcosx.

Для перетворення функції R в раціональну використовується підстановка

t \u003d tgx.

Приклад.

Інтеграл твори синусів і косинусів

різних аргументів.

Залежно від типу твору застосуються одна з трьох формул:

Приклад.

Іноді при інтегруванні тригонометричних функцій зручно використовувати загальновідомі тригонометричні формули для зниження порядку функцій.

Приклад.

Маємо приклади застосування деякі нестандартні прийоми.

Приклад.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

Далеко не кожна ірраціональна функція може мати інтеграл, виражений елементарними функціями. Для знаходження інтеграла від ірраціональної функції слід застосувати підстановку, яка дозволить перетворити функцію в раціональну, інтеграл від якої може бути знайдений як відомо завжди.

Розглянемо деякі прийоми для інтегрування різних типів ірраціональних функцій.

інтеграл виду
деn- натуральне число.

За допомогою підстановки
функція раціоналізуються.

Приклад.

Якщо до складу ірраціональної функції входять коріння різних ступенів, то в якості нової змінної раціонально взяти корінь ступеня, що дорівнює найменшого спільного кратного ступенів коренів, що входять у вираз.

Проілюструємо це на прикладі.

Приклад.

Інтегрування біномінальної диференціалів.

безпосереднє інтегрування

Основні формули інтегрування

1. З - константа	1*.
2., n ≠ -1
3. + С
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Обчислення інтегралів за допомогою безпосереднього використання таблиці найпростіших інтегралів і основних властивостей невизначених інтегралів називається безпосереднім інтегруванням.

Приклад 1.

Приклад 2.

Приклад 3.

Це найбільш поширений метод інтегрування складної функції, що складається в перетворенні інтеграла за допомогою переходу до іншої змінної інтегрування.

Якщо інтеграл важко привести до табличному за допомогою елементарних перетворень, то в цьому випадку користуються методом підстановки. Сутність цього методу полягає в тому, що шляхом введення нової змінної вдається звести даний інтеграл до нового інтеграла, який порівняно легко береться безпосередньо.

Для інтегрування методом підстановки використовують схему рішення:

2) знайти диференціал від обох частин заміни;

3) все підінтегральний вираз висловити через нову змінну (після чого повинен вийти табличний інтеграл);

4) знайти отриманий табличний інтеграл;

5) виконати зворотну заміну.

Знайдіть інтеграли:

приклад 1 . підстановка:cosx \u003d t,-sinxdx \u003d dt,

Рішення:

Приклад 2. ∫e -x3 x 2 dx підстановка:-x 3 \u003d t, -3x 2 dx \u003d dt, Рішення: ∫e -x3 x 2 dx \u003d ∫e t (-1/3) dt \u003d -1 / 3e t + C \u003d -1 / 3e -x3 + C

Приклад 3.підстановка:1 + sinx \u003d t, cosxdx \u003d dt,

Рішення: .

РОЗДІЛ 1.5. Визначений інтеграл, методи його обчислення.

п.1 Поняття визначеного інтеграла

Завдання. Знайти приріст функції, первісною для функції f (x), При переході аргументу x від значення a до значення b.

Рішення. Покладемо, що інтеграцією знайдено: ∫ (X) dx \u003d F (x) + C.

тоді F (x) + C 1, де З 1 - будь-який дане число, буде однією з первісних функцій для даної функції f (x). Знайдемо її приріст при переході аргументу від значення a до значення b. отримаємо:

x \u003d b - x \u003d a \u003d F (b) + C 1 - F (a) -C 1 \u003d F (b) -F (a)

Як бачимо, в вираженні збільшення первісної функції F (x) + C 1 відсутня постійна величина C 1. А так як під C 1 малося на увазі будь-який дане число, то отриманий результат призводить до наступного висновку: при переході аргументу x від значення x \u003d a до значення x \u003d b всі функції F (x) + C, Первісні для даної функції f (x), Мають один і той же приріст, рівне F (b) -F (a).

Це приріст прийнято називати певним інтегралом і позначати символом: і читається: інтеграл від а до b від функції f (x) по d х або, коротше, інтеграл від а до b від f (х) dх.

число а називається нижньою межею інтегрування, число b - верхнім; відрізок а ≤ x ≤ b - відрізком інтегрування. Передбачається при цьому, що підінтегральна функція f (x) неперервна при всіх значеннях x, Які відповідають умовам: a  x b

Визначення. Приріст первісних функцій F (x) + C при переході аргументу x від значення x \u003d a до значення x \u003d b, Рівне різниці F (b) -F (a), Називається певним інтегралом і позначається символом: так, що якщо ∫ (X) dx \u003d F (x) + C, то \u003d F (b) -F (a) -дане рівність називається формулою Ньютона - Лейбніца.

п.2 Основні властивості визначеного інтеграла

Всі властивості сформульовані в реченні, що розглядаються функції інтегровними у відповідних проміжках.

п. 3 Безпосереднє обчислення певного інтеграла

Для обчислення визначеного інтеграла, коли можна знайти відповідний невизначений інтеграл, служить формула Ньютона - Лейбніца

тобто визначений інтеграл дорівнює різниці значень будь-якої первісної функції при верхній і нижній межах інтегрування.

З цієї формули видно порядок обчислення визначеного інтеграла:

1) знайти невизначений інтеграл від даної функції;

2) в отриману первісну підставити замість аргументу спочатку верхній, потім нижню межу інтеграла;

3) з результату підстановки верхньої межі відняти результат підстановки нижньої межі.

Приклад 1: Обчислити інтеграл:

Приклад 2:Обчислити інтеграл:

п.4 Обчислення визначеного інтеграла методом підстановки

Обчислення визначеного інтеграла методом підстановки полягає в наступному:

1) частину підінтегральної функції замінити новою змінною;

2) знайти нові межі певного інтеграла;

3) знайти диференціал від обох частин заміни;

4) все підінтегральний вираз висловити через нову змінну (після чого повинен вийти табличний інтеграл); 5) обчислити отриманий певний інтеграл.

Приклад 1: Обчислити інтеграл:

підстановка: 1 + cosx \u003d t,-sinxdx \u003d dt,

РОЗДІЛ 1.6. Геометричний сенс певного інтеграла.

Площа криволінійної трапеції:

Відомо, що певний інтеграл на відрізку є площа криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції f (x).

Площа фігури, обмеженої деякими лініями може бути знайдена за допомогою певних інтегралів, якщо відомі рівняння цих ліній.

Нехай на відрізку [а; b] задана неперервна функція у \u003d ƒ (х) ≥ 0. Знайдемо площу цієї трапеції.

Площа фігури, обмеженої віссю 0 x, Двома вертикальними прямими x \u003d a, x \u003d b і графіком функції у \u003d ƒ (х) (рисунок), визначається за формулою:

У цьому полягає геометричний сенс певного інтеграла.

Приклад 1: Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: у \u003d х 2. + 2, у \u003d 0, х \u003d -2, х \u003d 1.

Рішення: Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння у \u003d 0 задає вісь Ох).

відповідь: S \u003d 9 од 2

Приклад 2: Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: у \u003d - е х, х \u003d 1 і координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення.
Якщо криволінійна трапеція повністю розташована під віссю Ох, То її площа можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Увага! Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому в тільки що розглянутої формулою фігурує мінус.

РОЗДІЛ 1.7. Застосування визначеного інтеграла

п.1 Обчислення обсягу тіла обертання

Якщо криволінійна трапеція прилягає до осі Оx, а прямі у \u003d a, y \u003d b і графік функції у \u003dF (x) (Рис.1), тоді обсяг тіла обертання визначається за формулою, що містить інтеграл.

Обсяг тіла обертання дорівнює:

приклад:

Знайти обсяг тіла, обмеженого поверхнею обертання лінії навколо осі Ох при 0≤ х ≤4.

Рішення:V

од 3. Відповідь: од 3.

РОЗДІЛ 3.1. Звичайні диференціальні рівняння

п.1 Поняття про диференціальному рівнянні

Визначення. диференціальним рівнянням називається рівняння, що містить функцію від сукупності змінних і їх похідних.

Загальний вигляд такого рівняння \u003d 0, де F- відома функція своїх аргументів, задана у фіксованій області; х - незалежна змінна (змінна, по якій диференціюється); у - залежна змінна (та, від якої беруться похідні і та, яку треба визначити); - похідна залежною змінною у по незалежній змінній х.

п.2 Основні поняття диференціального рівняння

порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, що входить в нього.

наприклад:

Рівняння другого порядку, - рівняння першого порядку.

Будь-яка функція, що зв'язує змінні і звертає диференціальне рівняння в правильну рівність, називається рішеннямдиференціального рівняння.

спільним рішеннямдиференціального рівняння першого порядку називається функція від і довільної сталої С, звертає це рівняння в тотожність по.

Загальне рішення, записане в неявному вигляді \u003d 0, називається загальним інтегралом.

приватним рішенням рівняння \u003d 0 називається рішення, отримане із загального рішення при фіксованому значенні - фіксоване число.

Завдання знаходження приватного рішення диференціального рівняння n-го порядку (n \u003d 1,2,3, ...), що задовольняє початковим умовам виду

називається завданням Коші.

п.3 Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням із перемінними, якщо його можна представити у вигляді можна переписати у вигляді. Якщо. Інтегруємо:.

Щоб вирішити рівняння такого виду треба:

1. Розділити змінні;

2. Інтегруючи рівняння з розділеними змінними, знайти спільне рішення даного рівняння;

3. Знайти приватне рішення, яке задовольняє початковим умовам (якщо вони задані).

Приклад 1.Розв'язати рівняння . Знайти приватне рішення, яке задовольняє умові y \u003d 4 при x \u003d -2.

Рішення:Це рівняння з розділеними змінними. Інтегруючи, знаходимо спільне рішення рівняння:. Для отримання більш простого за формою спільного рішення постійний доданок в правій частині представимо у вигляді C / 2. Маємо або - спільне рішення. Підставивши в спільне рішення значення y \u003d 4 і x \u003d -2, отримаємо 16 \u003d 4 + С, звідки С \u003d 12.

Отже, приватне рішення рівняння, що задовольняє даній умові, має вигляд

Приклад 2.Знайдіть приватне рішення рівняння, есліпрі .

Рішення:, , , , , спільне рішення.

Підставляємо значення х і у в приватне рішення:,, приватне рішення.

Приклад 3. Знайдіть спільне рішення рівняння . Рішення: ,, , - спільне рішення.

п.4 Диференціальні рівняння порядку вище першого

Рівняння виду або вирішується дворазовим інтеграцією:,, звідки. Проинтегрировав цю функцію, отримаємо нову функцію від f (x), яку позначимо через F (x). Таким чином, ; . Інтегруємо ще раз: або у \u003d Ф (х). Отримали спільне рішення рівняння, що містить дві довільні постійні і.

Приклад 1.Розв'язати рівняння .

Рішення:, , ,

Приклад 2.Розв'язати рівняння . Рішення: , , .

РОЗДІЛ 3.2. Числовий ряд, його члени

Визначення 1.числовим рядомназивається вираз виду ++ ... ++ ..., (1)

де,, ...,, ... - числа, що належать деякій певній числовій системі.

Так, можна говорити про дійсних рядах, для яких R, про комплексних рядах, для яких C, i= 1, 2, …, n, ... = =.

Розділ 3.3. Основи теорії ймовірностей і математичної статистики