Anong uri ng pagkatukoy ng asset ang umiiral. Ang pagtutukoy ng mga mapagkukunan at mga uri nito

Integral calculus.

Paunang pag-andar.

Kahulugan: Ang function F (x) ay tinatawag pag-andar ng antiderivative gumana f (x) sa isang segment kung, sa anumang punto ng segment na ito, ang pagkakapantay-pantay

Dapat pansinin na maaaring walang hanggan maraming primitibo para sa parehong pag-andar. Magkakaiba sila sa bawat isa sa pamamagitan ng ilang pare-pareho ang bilang.

F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C

Walang limitasyong integral.

Kahulugan: Walang limitasyong integralang function f (x) ay tinatawag na hanay ng mga primitive function, na tinukoy ng kaugnayan:

Isulat:

Ang kundisyon para sa pagkakaroon ng isang hindi tiyak na integral sa isang tiyak na agwat ay ang pagpapatuloy ng pag-andar sa agwat na ito.

Mga Katangian:

Isang halimbawa:

Ang paghahanap ng halaga ng hindi tiyak na integral ay pangunahing nakakonekta sa paghahanap ng primitive function. Para sa ilang mga pag-andar, ito ay isang medyo mahirap na gawain. Sa ibaba ay isasaalang-alang namin ang mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga hindi tiyak na integral para sa mga pangunahing klase ng pag-andar - nakapangangatwiran, hindi makatwiran, trigonometriko, eksponensial, atbp

Para sa kaginhawahan, ang mga halaga ng mga hindi tiyak na integral ng karamihan sa mga elementarya na pag-andar ay nakolekta sa mga espesyal na talahanayan ng mga integral, na kung minsan ay napakagaan. Kasama nila ang iba't ibang mga karaniwang kumbinasyon ng mga pag-andar. Ngunit ang karamihan sa mga pormula na ipinakita sa mga talahanayan na ito ay kahihinatnan ng bawat isa, samakatuwid, sa ibaba ay isang talahanayan ng mga pangunahing integral, kung saan maaari mong makuha ang mga halaga ng hindi tiyak na integral ng iba't ibang mga pag-andar.

Integral	Halaga	Integral	Halaga

	lnsinx + C



	ln

Mga Paraan ng Pagsasama.

Isaalang-alang ang tatlong pangunahing pamamaraan sa pagsasama.

Direktang pagsasama.

Ang direktang paraan ng pagsasama ay batay sa pag-aakala ng posibleng halaga ng antiderivative function na may karagdagang pag-verify ng halagang ito sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan. Sa pangkalahatan, tandaan namin na ang pagkita ng kaibhan ay isang malakas na tool para sa pagsuri sa mga resulta ng pagsasama.

Isaalang-alang ang aplikasyon ng pamamaraang ito bilang isang halimbawa:

Kinakailangan upang mahanap ang halaga ng mahalagang . Batay sa kilalang formula ng pagkita ng kaibhan
maaari nating tapusin na ang nais na integral ay
kung saan ang C ay ilang pare-pareho ang numero. Gayunpaman, sa kabilang banda
. Sa gayon, maaari nating tapusin ang:

Tandaan na sa kaibahan sa pagkita ng kaibahan, kung saan ang mga malinaw na pamamaraan at pamamaraan ay ginamit upang mahanap ang derivative, ang mga panuntunan para sa paghahanap ng derivative, at sa wakas ang kahulugan ng derivative, ang mga ganitong pamamaraan ay hindi magagamit para sa pagsasama. Kung sa paghahanap ng derivative na ginamit namin, upang magsalita, nakabubuo pamamaraan na, batay sa ilang mga patakaran, na humantong sa resulta, pagkatapos sa paghahanap ng antiderivative kailangan nating umasa sa kaalaman sa mga talahanayan ng mga derivatives at antiderivatives.

Tulad ng para sa direktang pamamaraan ng pagsasama, naaangkop lamang ito sa ilang mga limitadong klase ng pag-andar. Mayroong napakakaunting mga pag-andar kung saan maaari mong mahanap agad ang antiderivative. Samakatuwid, sa karamihan ng mga kaso, ginagamit ang mga pamamaraan na inilarawan sa ibaba.

Ang pamamaraan ng pagpapalit (kapalit ng mga variable).

Teorya Kung kailangan mong hanapin ang mahalagang
, ngunit mahirap makahanap ng antiderivative, pagkatapos ay gamit ang pagpapalit x \u003d  (t) at dx \u003d  (t) dt ito ay lumiliko:

Katunayan : Natutukoy namin ang iminungkahing pagkakapantay-pantay:

Ayon sa pag-aari # 2 ng walang katiyakan integral na isinasaalang-alang sa itaas:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

kung saan, isinasaalang-alang ang ipinakilala na notasyon, ay ang paunang pag-aakala. Ang teorya ay napatunayan.

Isang halimbawa. Hanapin ang hindi tiyak na integral
.

Gumawa ng isang kapalit t = sinx, dt = cosxdt.

Isang halimbawa.

Kapalit
Nakukuha namin:

Ang iba pang mga halimbawa ng paggamit ng paraan ng pagpapalit para sa iba't ibang uri ng pag-andar ay isasaalang-alang sa ibaba.

Pagsasama sa mga bahagi.

Ang pamamaraan ay batay sa kilalang formula ng produkto ng derivative:

(uv)  \u003d uv + vu

kung saan u at v ang ilang mga pag-andar ng x.

Sa kaugalian na form: d (uv) \u003d udv + vdu

Pagsasama, nakukuha namin:
, at alinsunod sa mga nabanggit na katangian ng hindi tiyak na integral:

o
;

Nakuha namin ang formula ng pagsasama sa pamamagitan ng mga bahagi, na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang mga integral ng maraming mga elementarya.

Isang halimbawa.

Tulad ng nakikita mo, ang pare-pareho na aplikasyon ng formula ng pagsasama sa mga bahagi ay nagbibigay-daan sa iyo upang unti-unting gawing simple ang pagpapaandar at dalhin ang integral sa talahanayan.

Isang halimbawa.

Makikita ito na bilang isang resulta ng paulit-ulit na aplikasyon ng pagsasama sa mga bahagi, ang pagpapaandar ay hindi mapasimple sa isang form na tabular. Gayunpaman, ang huling integral na nakuha ay hindi naiiba sa orihinal. Samakatuwid, inililipat namin ito sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay.

Kaya, ang integral ay matatagpuan nang hindi gumagamit ng mga talahanayan ng mga integral.

Bago natin suriin nang detalyado ang mga pamamaraan para sa pagsasama ng iba't ibang klase ng mga pag-andar, nagbibigay kami ng ilang higit pang mga halimbawa ng paghahanap ng mga hindi tiyak na integral sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga ito sa mga tabular.

Isang halimbawa.

Pagsasama ng elementarya.

Kahulugan: Pang-elementaryaang mga praksyon ng sumusunod na apat na uri ay tinatawag na:

Ako
III.

II.
IV.

m, n ay mga likas na numero (m  2, n  2) at b 2 - 4ac<0.

Ang unang dalawang uri ng mga integral mula sa mga elemental na praksiyon ay sadyang nabawasan lamang sa isang tabular na pagpapalit t \u003d ax + b.

Isaalang-alang ang pamamaraan ng pagsasama ng mga elemental na praksiyon ng porma III.

Ang integral ng isang maliit na bahagi ng uri III ay maaaring kinakatawan bilang:

Dito, sa isang pangkalahatang anyo, ipinapakita ang pagbawas ng integral ng isang bahagi ng form III sa dalawang mga integral na tabular.

Isaalang-alang ang aplikasyon ng pormula sa itaas sa mga halimbawa.

Isang halimbawa.

Sa pangkalahatan, kung ang trinomial ax 2 + bx + c ay may expression b 2 - 4ac\u003e 0, kung gayon ang maliit na bahagi ay sa pamamagitan ng kahulugan hindi pangunahin, gayunpaman, maaari pa rin itong maisama sa paraang ipinahiwatig sa itaas.

Halimbawa.

Isang halimbawa.

Isaalang-alang natin ngayon ang mga pamamaraan para sa pagsasama ng pinakasimpleng mga praksyon ng uri IV.

Una, isaalang-alang namin ang isang espesyal na kaso para sa M \u003d 0, N \u003d 1.

Pagkatapos ay isang mahalagang bahagi ng form
maaaring kinakatawan sa denominator ng buong parisukat sa form
. Gawin natin ang sumusunod na conversion:

Ang pangalawang integral sa pagkakapantay-pantay na ito ay dadalhin sa mga bahagi.

Magpakilala:

Para sa orihinal na mahalagang nakuha namin:

Ang nagreresultang pormula ay tinatawag recursive. Kung ilalapat mo ito n-1 beses, nakakakuha ka ng mahalagang talahanayan
.

Bumalik na kami ngayon sa integral ng elementarya na bahagi ng uri IV sa pangkalahatang kaso.

Sa nagresultang pagkakapantay-pantay, ang unang integral sa pamamagitan ng pagpapalit t = u 2 + s nabawasan sa tabular , at ang formula ng pag-ulit na isinasaalang-alang sa itaas ay inilalapat sa pangalawang integral.

Sa kabila ng maliwanag na pagiging kumplikado ng pagsasama ng isang elementong bahagi ng uri IV, sa pagsasanay ito ay madaling gamitin para sa mga praksiyon na may maliit na degree n, at ang unibersidad at pangkalahatang pamamaraang ginagawang posible ng isang napaka-simpleng pagpapatupad ng pamamaraang ito sa isang computer.

Halimbawa:

Pagsasama ng mga nakapangangatwiran na pag-andar.

Pagsasama ng mga nakapangangatwiran na mga praksyon.

Upang maisama ang isang nakapangangatwiran na bahagi, kinakailangan upang mabulok ito sa mga elementong praksiyon.

Teorya Kung
ay isang regular na maliit na bahagi na ang denominator P (x) ay kinakatawan bilang produkto ng linear at quadratic factor (tandaan na ang anumang polynomial na may totoong coefficients ay maaaring mailarawan sa form na ito: P(x) = (x - a)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), kung gayon ang maliit na bahagi na ito ay maaaring mabulok sa elementarya ayon sa sumusunod na pamamaraan:

kung saan ang A i, B i, M i, N i, R i, S i ang ilang mga pare-pareho na halaga.

Kapag isinasama ang mga nakapangangatwiran na mga praksiyon, nagagawa nilang mabulok ang paunang bahagi sa elementarya. Upang mahanap ang dami ng A i, B i, M i, N i, R i, S ay inilalapat ko ang tinatawag na hindi tiyak na paraan ng koepisyent, ang kakanyahan ng kung saan ay upang ang dalawang polynomial ay magkatulad, pantay at kinakailangan na ang mga coefficient ay pantay para sa parehong mga kapangyarihan ng x.

Isasaalang-alang namin ang aplikasyon ng pamamaraang ito na may isang tiyak na halimbawa.

Isang halimbawa.

Ang pagbawas sa isang karaniwang denominador at pinagsama ang kaukulang mga numerador, nakukuha namin:

Isang halimbawa.

Dahil kung ang maliit na bahagi ay mali, kung gayon ang buong bahagi ay dapat na unang i-highlight:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x - 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 - 25x - 25

Isinalin namin ang denominator ng nagreresultang bahagi. Makikita na sa x \u003d 3 ang denominator ng maliit na bahagi ay lumiliko sa zero. Pagkatapos:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 x - 3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Kaya 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 \u003d (x - 3) (3x 2 + 5x - 2) \u003d (x - 3) (x + 2) (3x - 1). Pagkatapos:

Upang maiwasan, kapag natagpuan ang hindi tiyak na mga koepisyent, ang pagsisiwalat ng mga bracket, pag-aayos at paglutas ng sistema ng mga equation (na sa ilang mga kaso ay maaaring maging masyadong malaki), ang tinatawag na di-makatwirang paraan ng halaga. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang ilan (sa pamamagitan ng bilang ng mga hindi natukoy na koepisyent) ang mga di-makatwirang halaga ng x ay nahalili sa pagpapahayag na nakuha sa itaas. Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, kaugalian na kunin bilang di-makatwirang mga halaga ang mga puntos kung saan ang denominador ng bahagi ay zero, i.e. sa ating kaso - 3, -2, 1/3. Nakukuha namin:

Sa wakas nakukuha namin:

Isang halimbawa.

Hanapin ang hindi natukoy na coefficients:

Pagkatapos ang halaga ng ibinigay na integral:

Pagsasama ng ilang trigonometriko

pag-andar.

Maaaring walang hanggan maraming integral ng mga function ng trigonometric. Karamihan sa mga integral na ito ay hindi maaaring kalkulahin nang analytically, samakatuwid, isinasaalang-alang namin ang ilan sa mga pinakamahalagang uri ng mga pag-andar na palaging maaaring isama.

Tingnan ang mahalaga
.

Narito ang R ang pagtatala ng ilang mga nakapangangatwiran na pag-andar ng mga variable na sinx at cosx.

Ang mga integral ng ganitong uri ay kinakalkula gamit ang pagpapalit
. Ang pagpapalit na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang i-convert ang isang function na trigonometriko sa isang nakapangangatwiran.

Pagkatapos

Sa ganitong paraan:

Ang pagbabagong inilalarawan sa itaas ay tinawag unibersal na trigonometriko na kapalit.

Isang halimbawa.

Ang walang alinlangan na bentahe ng kapalit na ito ay maaari itong palaging magamit upang ibahin ang anyo ng isang function na trigonometriko sa isang makatuwiran at kalkulahin ang kaukulang integral. Ang mga kawalan ay kasama ang katotohanan na sa panahon ng pagbabagong-anyo ng isang masalimuot na pag-andar ng makatwiran na pag-andar ay maaaring lumitaw, ang pagsasama kung saan ay aabutin ng maraming oras at pagsisikap.

Gayunpaman, kung imposibleng mag-aplay ng isang mas makatwirang pagbabago ng variable, ang pamamaraang ito ay ang tanging epektibo.

Isang halimbawa.

Tingnan ang mahalaga
kung

pag-andarRcosx.

Sa kabila ng posibilidad ng pagkalkula ng tulad ng isang integral gamit ang unibersal na trigonometriko na pagpapalit, mas makatuwiran na mag-apply ng kapalit t = sinx.

Pag-andar
ay maaaring maglaman lamang ng kosx sa kahit na mga kapangyarihan, at, samakatuwid, ay maaaring mabago sa isang katuwiran na may kaugnayan sa sinx.

Isang halimbawa.

Sa pangkalahatan, upang mailapat ang pamamaraang ito, tanging ang kakatwa ng pag-andar na may paggalang sa kosina ay kinakailangan, at ang antas ng sine na kasama sa pagpapaandar ay maaaring maging alinman, alinman sa integer o fractional.

Tingnan ang mahalaga
kung

pag-andarR ay kakaibang kamag-anaksinx.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa kaso na isinasaalang-alang sa itaas, ang isang pagpapalit ay ginawa t = cosx.

Isang halimbawa.

Tingnan ang mahalaga

pag-andarR kahit kamag-anaksinx atcosx.

Upang mai-convert ang function R sa makatwiran, ginagamit namin ang pagpapalit

t \u003d tgx.

Isang halimbawa.

Ang integral na produkto ng mga kasalanan at mga pampaganda

iba't ibang argumento.

Depende sa uri ng trabaho, ang isa sa tatlong mga formula ay ilalapat:

Isang halimbawa.

Minsan kapag ang pagsasama ng mga function ng trigonometric ay maginhawa na gumamit ng kilalang mga formula ng trigonometric upang bawasan ang pagkakasunud-sunod ng mga pag-andar.

Isang halimbawa.

Minsan ang ilang mga hindi pamantayang pamamaraan ay inilalapat.

Isang halimbawa.

Pagsasama ng ilang mga hindi makatwiran na pag-andar.

Hindi lahat ng hindi makatwiran na pag-andar ay maaaring magkaroon ng isang integral na ipinahayag ng mga elementarya. Upang mahanap ang integral ng isang hindi makatwiran na pag-andar, dapat mag-aplay ang isang pagpapalit na nagpapahintulot sa isa na ibahin ang anyo ng function sa isang makatwiran, ang integral na kung saan ay matatagpuan bilang palaging kilala.

Isaalang-alang ang ilang mga pamamaraan para sa pagsasama ng iba't ibang uri ng hindi magagawang mga pag-andar.

Tingnan ang mahalaga
saannay isang natural na numero.

Paggamit ng pagpapalit
naka-streamline ang pagpapaandar.

Isang halimbawa.

Kung ang komposisyon ng hindi makatwiran na function ay nagsasama ng mga ugat ng iba't ibang mga degree, kung gayon bilang isang bagong variable ito ay makatuwiran na kunin ang ugat ng degree na katumbas ng hindi bababa sa karaniwang mga maramihang mga degree ng mga ugat sa expression.

Inilalarawan namin ito ng isang halimbawa.

Isang halimbawa.

Pagsasama ng binomial kaugalian.

Direktang pagsasama

Pangunahing Mga Formula ng Pagsasama

1. C ay isang pare-pareho	1*.
2., n ≠ –1
3. + C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Ang pagkalkula ng mga integral gamit ang direktang paggamit ng talahanayan ng pinakasimpleng integral at ang mga pangunahing katangian ng hindi tiyak na integral ay tinatawag direktang pagsasama.

Halimbawa 1

Halimbawa 2

Halimbawa 3

Ito ang pinaka-karaniwang pamamaraan para sa pagsasama ng isang kumplikadong pag-andar, na binubuo sa pagbabago ng integral gamit ang isang paglipat sa isa pang variable na pagsasama.

Kung mahirap mabawasan ang integral sa isang talahanayan gamit ang mga pangunahing pagbabagong-anyo, kung gayon sa kasong ito ay ginagamit ang paraan ng pagpapalit. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang bagong variable posible upang mabawasan ang integral na ito sa isang bagong integral, na medyo madali nang direkta.

Para sa pagsasama ng paraan ng pagpapalit, ginagamit ang isang scheme ng solusyon:

2) hanapin ang pagkakaiba-iba mula sa parehong mga bahagi ng kapalit;

3) ipahayag ang buong integrand sa pamamagitan ng isang bagong variable (pagkatapos kung saan dapat makuha ang talahanayan ng talahanayan);

4) hanapin ang nagreresultang integral ng mesa;

5) isagawa ang reverse kapalit.

Hanapin ang mga integral:

Halimbawa 1 . Pagpapalit:cosx \u003d t,-sinxdx \u003d dt,

Solusyon:

Halimbawa 2 ∫e -x3 x 2 dx Pagpapalit:-x 3 \u003d t, -3x 2 dx \u003d dt, Solusyon: ∫e -x3 x 2 dx \u003d ∫e t (-1/3) dt \u003d -1 / 3e t + C \u003d -1 / 3e -x3 + C

Halimbawa 3Pagpapalit:1 + sinx \u003d t, cosxdx \u003d dt,

Solusyon: .

SEKSYON 1.5. Ang isang tiyak na integral, mga pamamaraan para sa pagkalkula nito.

clause 1 Ang konsepto ng isang tiyak na integral

Hamon. Hanapin ang pagtaas ng function na primitive para sa pagpapaandar f (x)kapag pumasa sa argumento x mula sa halaga a upang pahalagahan b.

Solusyon. Ipagpalagay na sa pamamagitan ng pagsasama nahanap natin: ∫ (x) dx \u003d F (x) + C

Pagkatapos F (x) + C 1saan C 1 - ang anumang naibigay na numero ay magiging isa sa mga primitive na pag-andar para sa pagpapaandar na ito f (x). Hanapin ang pagtaas nito kapag ipinapasa ang argumento mula sa halaga a upang pahalagahan b. Nakukuha namin:

x \u003d b - x \u003d a \u003d F (b) + C 1 - F (a) -C 1 \u003d F (b) -F (a)

Tulad ng nakikita mo, sa pagpapahayag ng pagdaragdag ng pag-andar ng antiderivative F (x) + C 1 walang palagiang halaga C 1. At dahil sa ilalim C 1 Dahil ang anumang naibigay na numero ay ipinahiwatig, ang resulta na nakuha ay humahantong sa sumusunod na konklusyon: sa pagpasa ng argumento x mula sa halaga x \u003d a upang pahalagahan x \u003d b lahat ng mga pag-andar F (x) + Cantiderivatives para sa isang naibigay na function f (x)magkaroon ng parehong pagtaas ng pantay sa F (b) -F (a).

Ang pagdaragdag na ito ay tinatawag na isang tiyak na integral at ipinahiwatig ng simbolo: at basahin: ang integral ng ngunit bago b ng pagpapaandar f (x) na may paggalang sa dx o, sa maikli, ang integral ng ngunit bago b mula sa f (x) dx.

Bilang ngunit tinawag mas mababang limitasyon bilang ng pagsasama b - tuktok; segment ng isang ≤ x ≤ b - segment ng pagsasama. Ipinapalagay na ang integrand f (x) tuloy-tuloy para sa lahat ng mga halaga xkasiya-siyang mga kondisyon: a  x b

Kahulugan Ang pagdaragdag ng mga function ng antiderivative F (x) + C sa pagpasa ng argumento x mula sa halaga x \u003d a upang pahalagahan x \u003d bpantay sa pagkakaiba F (b) -F (a), ay tinawag na isang tiyak na integral at sinasagisag ng simbolo: kaya't kung ∫ (x) dx \u003d F (x) + C, kung gayon \u003d F (b) -F (a) -ito pagkakapantay-pantay ay tinatawag na Newton-Leibniz formula.

seksyon 2 Mga pangunahing katangian ng isang tiyak na integral

Ang lahat ng mga pag-aari ay nabalangkas sa panukala na ang mga pag-andar na pinag-uusapan ay integral sa kaukulang mga agwat.

p. 3 Direktang pagkalkula ng isang tiyak na integral

Upang makalkula ang isang tiyak na integral, kapag mahahanap mo ang kaukulang hindi tiyak na integral, gamitin ang formula ng Newton-Leibniz

i.e. ang isang tiyak na integral ay pantay sa pagkakaiba sa mga halaga ng anumang primitive function na may itaas at mas mababang mga limitasyon ng pagsasama.

Mula sa pormula na ito makikita mo ang pamamaraan ng pagkalkula ng isang tiyak na integral:

1) hanapin ang hindi tiyak na integral ng isang naibigay na function;

2) sa nakuha antiderivative, kapalit muna sa itaas, pagkatapos ay ang mas mababang limitasyon ng integral sa halip na ang argumento;

3) ibawas ang resulta ng pagpapalit ng mas mababang limitasyon mula sa resulta ng paghahalili sa itaas na limitasyon.

Halimbawa 1: Kalkulahin ang integral:

Halimbawa 2:Kalkulahin ang integral:

p.4 Pagkalkula ng isang tiyak na integral ng paraan ng pagpapalit

Ang pagkalkula ng isang tiyak na integral ng paraan ng pagpapalit ay ang mga sumusunod:

1) palitan ang isang bahagi ng integrand sa isang bagong variable;

2) makahanap ng mga bagong limitasyon ng isang tiyak na integral;

3) hanapin ang pagkakaiba-iba mula sa parehong mga bahagi ng kapalit;

4) ipahayag ang buong integrand sa pamamagitan ng isang bagong variable (pagkatapos kung saan dapat makuha ang talahanayan ng talahanayan); 5) kalkulahin ang nakuha na tiyak na integral.

Halimbawa 1: Kalkulahin ang integral:

Pagpapalit: 1 + kosx \u003d t,-sinxdx \u003d dt,

SEKSYON 1.6. Ang geometric na kahulugan ng isang tiyak na integral.

Lugar ng isang hubog na trapezoid:

Ito ay kilala na ang isang tiyak na integral sa isang segment ay ang lugar ng isang hubog na trapezoid na nakagapos ng graph ng function f (x).

Ang lugar ng figure na hangganan ng ilang mga linya ay matatagpuan gamit ang ilang mga integral kung ang mga equation ng mga linyang ito ay kilala.

Hayaan ang agwat [a; binigyan ng isang tuluy-tuloy na pag-andar y \u003d ƒ (x) ≥ 0. Hanapin ang lugar ng trapezoid na ito.

Ang lugar ng figure na hangganan ng axis 0 x, dalawang patayong linya x \u003d a, x \u003d b at ang graph ng pagpapaandar y \u003d ƒ (x) (figure), ay natutukoy ng pormula:

Ito ang geometric na kahulugan ng isang tiyak na integral.

Halimbawa 1: Kalkulahin ang lugar ng figure na hangganan ng mga linya: y \u003d x 2. + 2, y \u003d 0, x \u003d -2, x \u003d 1.

Solusyon: Isagawa natin ang pagguhit (tandaan na ang equation y \u003d 0 ay tumutukoy sa axis na Ox).

Ang sagot ay: S \u003d 9 yunit 2

Halimbawa 2: Kalkulahin ang lugar ng figure na hangganan ng mga linya: y \u003d - e x, x \u003d 1 at coordinate axes.

Solusyon: Isagawa natin ang pagguhit.
Kung ang isang hubog na trapezoid ganap na matatagpuan sa ilalim ng axis, pagkatapos ay matatagpuan ang lugar nito sa pamamagitan ng formula:

Sa kasong ito:

Pansin! Kung tatanungin ka upang mahanap ang lugar ng isang pigura gamit ang isang tiyak na integral, kung gayon ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit lumilitaw lamang ang minus sa formula na isinasaalang-alang lamang.

SEKSYON 1.7. Application ng isang tiyak na integral

p.1 Pagkalkula ng dami ng katawan ng rebolusyon

Kung ang curvilinear trapezoid ay katabi ng axis na Ox, at ang mga tuwid na linya y \u003d a, y \u003d b at ang grap ng pag-andar y \u003dF (x) (Fig. 1), kung gayon ang dami ng katawan ng rebolusyon ay natutukoy ng pormula na naglalaman ng integral.

Ang dami ng pag-ikot ng katawan ay:

Isang halimbawa:

Hanapin ang dami ng katawan na nakagapos sa ibabaw ng pag-ikot ng linya sa paligid ng axis Ox sa 0≤ x ≤4.

Solusyon:V

mga yunit 3. Sagot: yunit 3.

SEKSYON 3.1. Ordinaryong Pagkakaiba ng Pagkakahawig

sugnay 1. Ang konsepto ng isang kaugalian na kaugalian

Kahulugan Pagkakaiba-iba ng equation Ang isang equation ay tinatawag na naglalaman ng isang function ng isang hanay ng mga variable at ang kanilang mga derivatives.

Ang pangkalahatang anyo ng tulad ng isang equation \u003d 0, kung saan ang F ay ang kilalang function ng mga argumento na ibinigay sa isang nakapirming rehiyon; x ay isang malayang variable (ang variable na kung saan ito ay naiiba); y ay isang dependant variable (ang isa mula kung saan kinuha ang mga derivatives at ang isa na kailangang matukoy); ay ang pinagmulan ng umaasang variable y may paggalang sa independyenteng variable x.

seksyon 2 Mga pangunahing konsepto ng isang equation na kaugalian

Order ang isang kaugalian na equation ay tinatawag na pagkakasunud-sunod ng pinakamataas na derivative na pagpasok sa loob nito.

Halimbawa:

Ang pangalawang equation order ay isang unang equation order.

Ang anumang pag-uugnay sa mga variable na pag-andar at pag-convert ng isang kaugalian na equation sa totoong pagkakapantay-pantay ay tinatawag pagpapasyaequation ng kaugalian.

Pangkalahatang desisyonisang pagkakaiba-iba ng equation ng unang pagkakasunud-sunod ay tinatawag na isang function ng at isang di-makatwirang pare-pareho C, na lumiliko ang equation na ito sa pagkakakilanlan na may.

Ang pangkalahatang solusyon, nakasulat nang walang pasubali \u003d 0, ay tinawag pangkalahatang integral.

Pribadong desisyon equation \u003d 0 ang solusyon na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon para sa isang nakapirming halaga - isang nakapirming numero.

Ang problema sa paghahanap ng isang partikular na solusyon sa isang pagkakaugnay na pagkakapareho ng n-th order (n \u003d 1,2,3, ...) na nasiyahan ang mga paunang kondisyon ng form

tinawag gawain ni Cauchy.

p.3 Pagkakaiba-iba ng mga equation ng unang pagkakasunud-sunod na may mga hiwalay na variable

Ang isang pagkakaiba-iba ng equation ng unang pagkakasunud-sunod ay tinatawag na isang equation na may mga hiwalay na variable, kung maaari itong ma-represent sa form, maaari itong maisulat sa form. Kung. Isinasama namin:.

Upang malutas ang isang equation ng ganitong uri kinakailangan:

1. Paghiwalayin ang mga variable;

2. Pagsasama ng ekwasyon sa mga hiwalay na variable, hanapin ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito;

3. Maghanap ng isang partikular na solusyon na nasiyahan sa mga paunang kondisyon (kung ibigay ang mga ito).

Halimbawa 1Malutas ang equation. Maghanap ng isang partikular na solusyon na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon y \u003d 4 para sa x \u003d -2.

Solusyon:Ito ay isang equation na may mga hiwalay na variable. Pagsasama, nahanap namin ang pangkalahatang solusyon ng equation:. Upang makakuha ng isang mas simpleng pangkalahatang solusyon sa form, kinakatawan namin ang palaging termino sa kanang bahagi sa form C / 2. Mayroon kaming o - isang pangkalahatang solusyon. Pagsusulat ng mga halaga y \u003d 4 at x \u003d -2 sa pangkalahatang solusyon, nakukuha namin ang 16 \u003d 4 + C, kung saan saan ang C \u003d 12.

Kaya, ang isang partikular na solusyon sa equation na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyong ito ay may form

Halimbawa 2Maghanap ng isang partikular na solusyon sa ekwasyon kung .

Solusyon:,,,,, pangkalahatang solusyon.

Kapalit namin ang mga halaga ng x at y sa isang partikular na solusyon:,, isang partikular na solusyon.

Halimbawa 3 Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa equation . Solusyon:,, ay isang pangkalahatang solusyon.

p. 4 Pagkakaiba-iba ng mga equation ng order na mas mataas kaysa sa una

Isang equation ng form o nalulutas sa pamamagitan ng dobleng pagsasama:,, kung saan. Ang pagsasama ng pagpapaandar na ito, nakakakuha kami ng isang bagong pag-andar ng f (x), na ipinapahiwatig namin ng F (x). Sa gayon; . Nagsasama kami muli: o y \u003d Φ (x). Nakakuha kami ng isang pangkalahatang solusyon sa equation na naglalaman ng dalawang di-makatwirang mga constant at.

Halimbawa 1Malutas ang equation.

Solusyon:, , ,

Halimbawa 2Malutas ang equation . Solusyon:,.

SEKSYON 3.2. Ang serye ng numero, ang mga miyembro nito

Kahulugan 1.Susunod na numeroisang expression ng form ++ ... ++ ... ay tinatawag na, (1)

saan ,, ... ,, ... - mga numero na kabilang sa ilang partikular na sistema ng numero.

Kaya, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa totoong serye kung saan R tungkol sa kumplikadong serye kung saan C, i= 1, 2, …, n, ... = =.

Seksyon 3.3. Mga Batayan ng Probabilidad Teorya at Estatistika ng matematika