Хөрөнгийн өвөрмөц байдал ямар хэлбэртэй байдаг. Нөөц ба өвөрмөц онцлог

Интеграл тооцоо.

Үндсэн функц.

Тодорхойлолт: F (x) функц гэж нэрлэдэг вирусын эсрэг үйлчилгээтэй f (x) функцийг тухайн сегментийн аль ч цэг дээр тэгшитгэж байвал

Ижил функцийн хувьд хязгааргүй олон тооны праймерууд байж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тэд бие биенээсээ зарим тогтмол тоогоор ялгаатай байх болно.

F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C байна.

Тодорхойгүй интеграл.

Тодорхойлолт: Тодорхойгүй интегралf (x) функцийг харьцаагаар тодорхойлогддог анхдагч функцүүдийн нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Бичих:

Тодорхой интервал дээр тодорхойгүй интеграл байх нөхцөл бол энэ интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал юм.

Эд хөрөнгө:

Жишээ нь:

Тодорхойгүй интегралын утгыг олох нь үндсэн функцийг олохтой холбоотой байдаг. Зарим функцийн хувьд энэ нь нэлээд хэцүү ажил юм. Доорх нь функцүүдийн үндсэн ангиудын тодорхойгүй интеграл олох аргуудыг авч үзэх болно - оновчтой, цочромтгой, тригонометрийн, экспоненциаль гэх мэт.

Тохиромжтой болгохын тулд ихэнх элементийн тодорхойгүй интегралын утгыг заримдаа маш том хэмжээтэй байдаг интегралын тусгай хүснэгтэд цуглуулдаг. Эдгээр нь функцүүдийн янз бүрийн нийтлэг хослолуудыг агуулдаг. Гэхдээ эдгээр хүснэгтэд үзүүлсэн томъёонуудын ихэнх нь бие биенээсээ үүдэлтэй үр дагавартай тул доорхи үндсэн интегралуудын хүснэгтийг оруулаад доорхи янз бүрийн функцүүдийн тодорхойгүй интегралын утгыг авч болно.

Интеграл	Утга	Интеграл	Утга

	lnsinx + C байна



	ln

Интеграцийн арга.

Интеграцийн гурван үндсэн аргыг авч үзье.

Шууд нэгтгэх.

Шууд интеграцийн арга нь энэ утгыг ялгах замаар цааш нь баталгаажуулах замаар вирусын эсрэг функцийн боломжит утгыг таамаглал дээр үндэслэнэ. Ерөнхийдөө ялгаа нь интеграцийн үр дүнг шалгах хүчирхэг хэрэгсэл гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

Энэ аргын хэрэглээг жишээ болгон авч үзье.

Энэ нь интегралын утгыг олох шаардлагатай болно Байна. Алдартай ялгах томъёонд үндэслэв
бид хүссэн интеграл гэж дүгнэж болно
энд C нь тогтмол тоо. Гэсэн хэдий ч нөгөө талаар
Байна. Эцэст нь бид дүгнэж болно.

Уран зохиолыг олохын тулд тодорхой арга, аргыг хэрэглэж байсан ялгаварлалаас ялгаатай нь уг деривативийг олж тогтоох дүрмүүд, эцэст нь үүсмэл зүйлийн тодорхойлолтыг ашиглаж байсан бол эдгээр аргыг нэгтгэх боломжгүй байгааг анхаарна уу. Хэрэв бид үүсмэл материалыг олохдоо тодорхой дүрмүүд дээр үндэслэсэн үр дүнд хүргэсэн констрактив аргыг хэрэглэвэл эсрэг эмийг олохдоо бид дериватив болон антивириватив хүснэгтүүдийн мэдлэгт голлон найдах ёстой.

Шууд интеграцийн аргын хувьд энэ нь зөвхөн зарим хязгаарлагдмал функцүүдийн хувьд л хамаарна. Харшлын эсрэг эмийг нэн даруй олох хэд хэдэн функц байдаг. Тиймээс ихэнх тохиолдолд доор тайлбарласан аргуудыг ашигладаг.

Орлуулах арга (хувьсагчийг солих).

Теорем Хэрэв та интегралыг олох хэрэгтэй бол
, харин эсрэг эмийг олоход хэцүү байдаг тул x \u003d  (t) ба dx \u003d  (t) dt орлуулалтыг ашиглавал энэ нь дараах болно.

Нотлох баримт : Бид санал болгож буй тэгш байдлыг ялгадаг.

Дээр дурдсан тодорхойгүй интегралын 2-р өмчийн дагуу.

е(х) dx = е[  (т)]  (т) дт

энэ нь танилцуулсан тэмдэглэгээг харгалзан анхны таамаглал юм. Теорем батлагдсан.

Нэг жишээ. Тодорхойгүй интегралийг ол
.

Солих т = синхс, дт = cosxdt байна.

Нэг жишээ.

Орлуулах
Бид авах:

Орлуулах аргыг янз бүрийн хэлбэрийн функцэд ашиглах бусад жишээг доор авч үзэх болно.

Сэлбэгийг нэгтгэх.

Энэ арга нь үүсмэл бүтээгдэхүүний алдартай томъёо дээр суурилдаг.

(uv)  \u003d uv + vu байна

энд у ба v нь x-ийн зарим функцүүд юм.

Дифференциал хэлбэрээр: d (uv) \u003d udv + vdu

Нэгтгэж, бид олж авах болно.
, мөн тодорхойгүй интегралын дээр дурдсан шинж чанаруудын дагуу:

эсвэл
;

Бид интеграцийн томъёог хэсгүүдээр олж авсан бөгөөд энэ нь олон элементийн функцүүдийн интегралуудыг олох боломжийг олгодог.

Нэг жишээ.

Таны харж байгаагаар интеграцийн томъёог хэсэг болгон тууштай хэрэглэх нь функцийг аажмаар хялбарчилж, интегралыг хүснэгтэд авчрах боломжийг олгоно.

Нэг жишээ.

Интеграцийг хэсэгчлэн давтан хэрэглэсний үр дүнд функцийг хүснэгтэн хэлбэрт хялбарчлах боломжгүй болж байгааг харж болно. Гэсэн хэдий ч олж авсан сүүлчийн интеграл нь анхныхаас ялгаатай биш юм. Тиймээс бид үүнийг тэгш байдлын зүүн талд шилжүүлнэ.

Тиймээс интеграл нь бүхэл хүснэгтүүдийг огт ашиглахгүйгээр олддог.

Төрөл бүрийн ангиллын функцүүдийг нэгтгэх аргуудыг нарийвчлан судлахаас өмнө тодорхойгүй интегралуудыг олохын тулд тэдгээрийг хүснэгтийн хэлбэрээр багасгах хэд хэдэн жишээг өгөв.

Нэг жишээ.

Анхан шатны фракцуудыг нэгтгэх.

Тодорхойлолт: Багадараахь дөрвөн төрлийн фракцуудыг нэрлэнэ.

Би юу?
III.

II.
IV.

m, n нь байгалийн тоо (m  2, n  2) ба b 2 - 4ac<0.

Анхан шатны фракцуудаас авсан эхний хоёр төрлийн интеграл нь хүснэгтийн орлуулалтад t \u003d ax + b байхаар нэлээд багассан.

III хэлбэрийн анхан шатны фракцуудыг нэгтгэх аргыг авч үзье.

III хэлбэрийн фракцийн интегралийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Энд ерөнхий хэлбэрээр III хэлбэрийн нэгдлийн интегралыг хоёр хүснэгтийн интеграл болгон бууруулж байгааг харуулав.

Дээрх томъёоллыг жишээн дээр авч үзье.

Нэг жишээ.

Ерөнхийдөө хэрэв триномын тэнхлэг 2 + bx + c нь b 2 - 4ac\u003e 0 гэсэн илэрхийлэлтэй бол бутархай нь элемент биш гэсэн тодорхойлолтоор хийгдсэн боловч үүнийг дээр дурдсан байдлаар нэгтгэж болно.

Жишээ.

Нэг жишээ.

Одоо бид IV хэлбэрийн хамгийн энгийн фракцуудыг нэгтгэх аргуудыг авч үзье.

Нэгдүгээрт, бид M \u003d 0, N \u003d 1 гэсэн тусгай тохиолдлыг авч үзнэ.

Дараа нь маягтын салшгүй хэсэг
илэрхийллээр илэрхийлж буй дөрвөлжин хэсгийг бүхэлд нь тодруулж болно
Байна. Дараах хөрвүүлэлтийг хийцгээе.

Энэхүү тэгш байдлын хоёр дахь интеграл хэсгийг хэсэгчлэн авна.

Тэмдэглэх:

Жинхэнэ интегралын хувьд бид дараахь зүйлийг авах болно.

Үүссэн томъёо гэж нэрлэгддэг давтагддаг. Хэрэв та үүнийг n-1 удаа хэрэглэвэл хүснэгтийн салшгүй хэсэг болно
.

Одоо бид ерөнхий тохиолдолд IV хэлбэрийн элементийн интеграл руу буцаж орлоо.

Үүссэн тэгш байдлын хувьд орлуулалтаараа анхны интеграл т = у 2 + ийн хүснэгтэд багасгасан , дээр дурдсан давталтын томъёог хоёр дахь интегралд хэрэглэнэ.

IV хэлбэрийн анхан шатны бутархайг нэгтгэх нь тодорхой нарийн төвөгтэй боловч практик дээр бага зэргийн фракцуудад ашиглахад хялбар байдаг. n, аргын нийтлэг байдал, нийтлэг байдал нь энэ аргыг компьютер дээр маш энгийн хэрэгжүүлэх боломжийг олгодог.

Жишээ:

Рациональ функцийг нэгтгэх.

Рациональ фракцуудын нэгдэл.

Рационал бутархайг нэгтгэхийн тулд үүнийг энгийн фракц болгон задлах шаардлагатай болно.

Теорем Хэрэв
нь P (x) -ийг хуваагч ба шугаман ба квадрат хүчин зүйлийн үржвэр гэж харуулсан тогтмол оновчтой бутархай юм (бодит коэффициент бүхий аливаа олон өнцөгтийг энэ хэлбэрээр илэрхийлж болохыг анхаарна уу: P(х) = (х - а)  …(х - б)  (х 2 + px + q)  …(х 2 + рх + ийн)  ), дараа нь энэ схемийг дараахь схемийн дагуу элемент болгон задалж болно.

энд A i, B i, M i, N i, R i, S i нь зарим тогтмол утгууд юм.

Рационал бутархайг нэгтгэх үед тэд анхны фракцийг үндсэн элемент болгон задлахад ашигладаг. A i, B i, M i, N i, R i, S i хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг олохын тулд хэрэглэнэ тодорхойгүй байдлын арга, мөн чанар нь хоёр олон тооны хоорондоо ижил байхын тулд x-ийн ижил хүчүүдэд коэффициентүүд тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.

Бид энэ аргын хэрэглээг тодорхой жишээгээр авч үзэх болно.

Нэг жишээ.

Нийтлэг тоог бууруулж, харгалзах тоологчийг тэгшитгэхийн тулд бид дараахь зүйлийг олж авна.

Нэг жишээ.

Учир нь Хэрэв бутархай хэсэг буруу байвал бүх хэсгийг эхлээд тодруулна уу.

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x - 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6х 5 - 8х 4 - 34х 3 + 12х 2 2х 2 + 3

9х 3 + 8х 2 - 76х - 7

9х 3 - 12х 2 - 51х +18

20х 2 - 25х - 25 хэмжээтэй байна

Үүссэн фракцын хуваагдлыг хүчин зүйл болгон задалдаг. Энэ нь x \u003d 3 үед бутархай нь тэг болж хувирдаг болохыг харж болно. Дараа нь:

3х 3 - 4х 2 - 17х + 6 х - 3

3х 3 - 9х 2 3х 2 + 5х - 2

Тиймээс 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 \u003d (x - 3) (3x 2 + 5x - 2) \u003d (x - 3) (x + 2) (3x - 1). Дараа нь:

Хаалтыг задлах тодорхой бус коэффициентийг олохдоо зайлсхийхийн тулд тэгшитгэлийн системийг бүлэглэж, шийдэх (зарим тохиолдолд нэлээд том байж болно) гэж нэрлэдэг. дур зоргын утгын аргаБайна. Аргын мөн чанар нь x-ийн дурын утгыг дээр дурдсан илэрхийлэл болгон сольсон явдал юм. Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бутархай хэмжигдэхүүн нь тэг байх цэгийг дур зоргоор нь авч үзэх нь заншилтай байдаг. бидний тохиолдолд - 3, -2, 1/3. Бид авах:

Эцэст нь бид авах:

Нэг жишээ.

Тодорхойлогдоогүй коэффициентийг олоорой:

Тэгвэл өгөгдсөн интегралын утга:

Зарим тригонометрийг нэгтгэх

чиг үүрэг.

Тригонометрийн функцийн хязгааргүй олон интеграл байж болно. Эдгээр интегралуудын ихэнхийг аналитик тооцоолох боломжгүй юм, тиймээс үргэлж нэгтгэж болох зарим чухал функцүүдийн талаар авч үзэх болно.

Интеграл харах
.

Энд R бол sinx ба cosx хувьсагчдын зарим оновчтой функцийн тэмдэглэгээ юм.

Энэ төрлийн интегралуудыг орлуулалтыг ашиглан тооцно
Байна. Энэхүү орлуулалт нь тригонометрийн функцийг оновчтой болгож өөрчлөх боломжийг танд олгоно.

Дараа нь

Энэ аргаар:

Дээр тайлбарласан хувиргалтыг дууддаг бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт.

Нэг жишээ.

Энэ орлуулалтын эргэлзээгүй давуу тал нь түүний тусламжтайгаар тригонометрийн функцийг оновчтой болгож, харгалзах интегралыг тооцоолоход үргэлж боломжтой байдаг. Сул талууд нь өөрчлөлтийн явцад нэлээд төвөгтэй оновчтой функц гарч ирж болох бөгөөд нэгтгэхэд ихээхэн цаг хугацаа, хүчин чармайлт шаардагдана.

Гэсэн хэдий ч хувьсагчийн илүү оновчтой өөрчлөлтийг ашиглах боломжгүй бол энэ арга нь цорын ганц үр дүнтэй арга юм.

Нэг жишээ.

Интеграл харах
хэрэв

функцRcosx.

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг ашиглан ийм интегралыг тооцоолох боломжтой боловч орлуулалтыг хэрэглэх нь илүү оновчтой юм. т = синхс.

Чиг үүрэг
cosx-ийг зөвхөн хүч чадалд багтааж чаддаг тул синексийн хувьд оновчтой функц болж хувирч болно.

Нэг жишээ.

Ерөнхийдөө энэ аргыг хэрэглэхийн тулд зөвхөн косинустай холбоотой функцийн сондгой байдал шаардлагатай бөгөөд функцэд орсон синусын зэрэг нь бүхэл тоо эсвэл бутархай байж болно.

Интеграл харах
хэрэв

функцR сондгой харьцангуй юмсинхс.

Дээр дурдсан тохиолдлын нэгэн адилаар орлуулалтыг хийдэг т = cosx.

Нэг жишээ.

Интеграл харах

функцR тэр ч байтугай харьцангуйсинхс болонcosx.

R функцийг оновчтой болгохын тулд бид орлуулалтыг ашигладаг

t \u003d tgx байна.

Нэг жишээ.

Синус ба косинозын интеграл бүтээгдэхүүн

янз бүрийн аргументууд.

Ажлын төрлөөс хамааран гурван томъёоны аль нэгийг хэрэглэнэ.

Нэг жишээ.

Заримдаа тригонометрийн функцүүдийг нэгтгэх үед функцын дарааллыг бууруулахад сайн мэддэг тригонометрийн томъёог ашиглах нь тохиромжтой байдаг.

Нэг жишээ.

Заримдаа зарим стандарт бус аргуудыг ашигладаг.

Нэг жишээ.

Зарим иррациональ функцийг нэгтгэх.

Цочромтгой функц бүрт элемент функцээр илэрхийлэгдэх интеграл байж болохгүй. Цацрагчаагүй функцийн интегралийг олохын тулд функцийг оновчтой болгон хувиргах боломжийг олгодог орлуулалтыг ашиглах хэрэгтэй.

Янз бүрийн хэлбэрийн цочромтгой функцийг нэгтгэх зарим аргуудыг авч үзье.

Интеграл харах
хаанаnнь байгалийн тоо.

Орлуулах аргыг ашиглах
функцийг хялбаршуулсан.

Нэг жишээ.

Хэрэв цочрохгүй функцийн найрлагад янз бүрийн градусын үндэс орсон бол шинэ хувьсагчийн хувьд илэрхийлэл дэх үндэсүүдийн хамгийн бага нийтлэг олон градустай тэнцэх градусын язгуурыг авах нь оновчтой болно.

Бид үүнийг жишээгээр тайлбарлаж байна.

Нэг жишээ.

Биномийн дифференциалуудыг нэгтгэх.

Шууд нэгтгэх

Интегралчлалын үндсэн томъёо

1. С бол тогтмол	1*.
2., n ≠ –1
3. + С
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Хамгийн энгийн интегралын хүснэгтийг шууд ашиглах ба тодорхойгүй интегралын үндсэн шинж чанарыг ашиглан интегралын тооцоог нэрлэнэ. шууд нэгтгэх.

Жишээ 1

Жишээ 2

Жишээ 3

Энэ бол нэгдмэл хувьсгалыг өөр нэг хувьсагч руу шилжүүлэх замаар өөрчлөхөөс бүрдэх нарийн төвөгтэй функцийг нэгтгэх хамгийн түгээмэл арга юм.

Хэрэв энгийн хувиргалтыг ашиглан хүснэгтэд интегралыг багасгахад хэцүү байвал энэ тохиолдолд орлуулах аргыг хэрэглэнэ. Энэ аргын мөн чанар нь шинэ хувьсагчийг ашигласнаар шууд авч үзэхэд харьцангуй хялбар байдаг энэ интегралыг шинэ интеграл болгон бууруулах боломжтой юм.

Орлуулах аргаар нэгтгэхийн тулд шийдлийн схемийг ашиглана.

2) орлуулах хоёр хэсгээс ялгааг олох;

3) бүхэл бүтэн интегранд шинэ хувьсагчаар илэрхийлэх (үүний дараа хүснэгт интеграл авах ёстой);

4) үүссэн хүснэгтийн интегралийг олох;

5) урвуу солих ажлыг хийх.

Интегралуудыг олох:

Жишээ 1 . Орлуулах:cosx \u003d t,-sinxdx \u003d dt,

Шийдэл:

Жишээ 2 ∫e -x3 x 2 dx байна Орлуулах:-x 3 \u003d t, -3x 2 dx \u003d dt, Шийдэл: ∫e -x3 x 2 dx \u003d ∫e t (-1/3) dt \u003d -1 / 3e t + C \u003d -1 / 3e -x3 + C

Жишээ 3Орлуулах:1 + sinx \u003d t, cosxdx \u003d dt,

Шийдэл: .

БҮЛЭГ 1.5. Тодорхой интеграл, түүнийг тооцоолох аргууд.

1-р зүйл. Тодорхой интегралын тухай ойлголт

Сорилт. Функцийн анхдагч функцийн өсгөлтийг ол f (x)хэрүүл маргаан гарах үед х үнэ цэнээс а үнэлэх б.

ШийдэлБайна. Бид интеграцийг хийснээр ∫ (x) dx \u003d F (x) + C байна.

Дараа нь F (x) + C 1 байнахаана C 1 - өгөгдсөн дурын тоо нь энэ функцийн үндсэн функцүүдийн нэг болно f (x)Байна. Утга нь аргументыг дамжуулахдаа түүний өсгөлтийг олоорой а үнэлэх бБайна. Бид авах:

x \u003d b - x \u003d a \u003d F (b) + C 1 - F (a) -C 1 \u003d F (b) -F (a)

Таны харж байгаагаар, вирусын эсрэг функцын өсөлтийн илэрхийлэлд F (x) + C 1 байна тогтмол утга байхгүй C 1Байна. Тэгээд доороос хойш C 1 өгөгдсөн тоо нь дараахь дүгнэлтэд хүргэнэ. хэрүүл маргаан гарах үед х үнэ цэнээс х \u003d а үнэлэх х \u003d b бүх функцууд F (x) + C байнаөгөгдсөн функцийн эсрэг эм f (x)ижил хэмжээтэй тэнцүү байна F (b) -F (a).

Энэ өсөлтийг тодорхой интеграл гэж нэрлэдэг ба тэмдгээр тэмдэглээрэй: ба унших: салшгүй хэсэг гэхдээ өмнө нь б f (x) функцийн хувьд dx-ийн хувьд, нэг үгээр хэлбэл интегралын хувьд гэхдээ өмнө нь б f (x) dx-ээс.

Тоо гэхдээ гэж дууддаг доод хязгаар интеграцийн дугаар б - дээд; сегмент a ≤ x segment b - интеграцийн сегмент. Энэ нь интегранд гэж тооцогддог f (x) бүх утгын хувьд тасралтгүй хнөхцөлийг хангах а  х б

Тодорхойлолт Вирусын эсрэг функцын өсөлт F (x) + C хэрүүл маргаан гарах үед х үнэ цэнээс х \u003d а үнэлэх х \u003d bзөрүүтэй тэнцүү байна F (b) -F (a), тодорхой интеграл гэж нэрлэдэг бөгөөд тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байдаг: тийм бол ∫ (x) dx \u003d F (x) + C, дараа нь \u003d F (b) -F (a) -энэ тэгш байдлыг Ньютон-Лейбницийн томъёо гэж нэрлэдэг.

2-р хэсэг Тодорхой интегралын үндсэн шинж чанарууд

Бүх шинж чанарууд нь холбогдох функцуудыг холбогдох интервалд нэгтгэж болно гэсэн таамаглалд томъёолсон болно.

х. 3 Тодорхой интегралын шууд тооцоо

Тодорхой интегралыг тооцоолохын тулд холбогдох тодорхойгүй интегралыг олоход Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглана уу.

жишээ нь. тодорхой интеграл нь интегралын дээд ба доод хязгаар бүхий аливаа командын функцийн утгын зөрүүтэй тэнцүү юм.

Энэ томъёогоор та тодорхой интегралын тооцооллын дарааллыг харж болно.

1) өгөгдсөн функцийн тодорхойгүй интеграл олох;

2) олж авсан командын хувьд аргументын оронд эхлээд дээд, дараа нь интегралын доод хязгаарыг орлуулаарай;

3) доод хязгаарын орлуулалтын үр дүнг дээд хязгаарыг орлуулах үр дүнгээс хас.

Жишээ 1: Интегралыг тооцоолох:

Жишээ 2:Интегралыг тооцоолох:

p.4 Тодорхой интегралыг орлуулах аргаар тооцоолох

Тодорхой интегралыг орлуулах аргаар тооцоолох нь дараахь байдалтай байна.

1) интегралын нэг хэсгийг шинэ хувьсагчаар солих;

2) тодорхой интегралын шинэ хязгаарыг олох;

3) орлуулах хоёр хэсгээс ялгааг олох;

4) бүхэл бүтэн интегранд шинэ хувьсагчаар илэрхийлэх (үүний дараа хүснэгт интеграл авах ёстой); 5) олж авсан тодорхой интегралыг тооцоолох.

Жишээ 1: Интегралыг тооцоолох:

Орлуулах: 1 + cosx \u003d t,-sinxdx \u003d dt,

БҮЛЭГ 1.6. Тодорхой интегралын геометрийн утга.

Муруй трапец хэлбэрийн талбай:

Сегментийн тодорхой интеграл нь f (x) функцийн графикаар хязгаарлагдсан муруй трапецын талбай юм.

Тодорхой шугамуудаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг эдгээр шугамын тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол тодорхой интеграл ашиглан олж болно.

Интервал дээр тавъя [a; b] тасралтгүй функц өгөгдсөн y \u003d ƒ (x) ≥ 0. Энэ трапецын талбайг ол.

0 тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбай х, хоёр босоо шугам x \u003d a, x \u003d b байна у \u003d ƒ (x) (зураг) функцийн графикийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Энэ бол тодорхой интегралын геометрийн утга юм.

Жишээ 1: Шугамануудаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолно уу: y \u003d x 2. + 2, y \u003d 0, x \u003d -2, x \u003d 1.

Шийдэл: Зургийг гүйцэтгэе (y \u003d 0 тэгшитгэл нь Ox тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу).

Хариулт нь: S \u003d 9 нэгж 2

Жишээ 2: Шугамануудаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолно уу: y \u003d - e x, x \u003d 1 ба координатын тэнхлэгүүд.

Шийдэл: Зургийг гүйцэтгэе.
Хэрэв муруй трапец хэлбэртэй бол тэнхлэгийн дагуу бүрэн байрладагтэгвэл түүний талбайг томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг олохыг хүсэх юм бол тэр талбар нь үргэлж эерэг байна! Тийм учраас хасах нь зүгээр л авч үзсэн томъёонд гарч ирдэг.

БҮЛЭГ 1.7. Тодорхой интегралын хэрэглээ

p.1 Хувьсгалын биетийн эзлэхүүнийг тооцоолох

Хэрэв муруйлтын трапец нь Окс тэнхлэгтэй зэргэлдээ орших ба y \u003d a, y \u003d b шугамууд ба функцийн график у \u003dF (x) (1-р зураг), дараа нь хувьсгалын биетийн хэмжээг интеграл агуулсан томъёогоор тодорхойлно.

Эргэлтийн биеийн хэмжээ нь:

Жишээ нь:

Окс тэнхлэгийн эргэн тойрон дахь шугамын эргэлтийн гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзлэхүүнийг 0 bound x ≤4-ээс ол.

Шийдэл:V

нэгж 3. Хариулт: 3-р хэсэг.

БҮЛЭГ 3.1. Ердийн дифференциал тэгшитгэл

дүрэм 1. Дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголт

Тодорхойлолт Дифференциал тэгшитгэл Хувьсагч ба тэдгээрийн үүсмэлүүдийн функцийг агуулсан тэгшитгэлийг нэрлэнэ.

Ийм тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр \u003d 0, энд F нь тогтмол домэйнд өгөгдсөн түүний аргументын алдартай функц юм; x нь бие даасан хувьсагч (ялгагддаг хувьсагч); y нь хамааралтай хувьсагч юм (деривативыг авч, тодорхойлох шаардлагатай зүйл); бие даасан хувьсагч х-ийн хамааралтай хувьсагч у-ийн дериватив болно.

2-р хэсэг Дифференциал тэгшитгэлийн үндсэн ойлголтууд

Захиалга дифференциал тэгшитгэлийг түүнд оруулсан хамгийн өндөр деривативын дараалал гэнэ.

Жишээ нь:

Хоёрдахь дарааллын тэгшитгэл нь эхний дарааллын тэгшитгэл юм.

Хувьсагчдыг холбож дифференциал тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргах аливаа функцийг нэрлэнэ шийдвэрдифференциал тэгшитгэл.

Ерөнхий шийдвэрдифференциал тэгшитгэлийг тэгшитгэлийг функц ба дурын тогтмол C гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ тэгшитгэлийг ижил шинж чанар болгон хувиргадаг.

Үл хамаарах \u003d 0 гэсэн ерөнхий шийдлийг нэрлэнэ ерөнхий интеграл.

Хувийн шийдвэр тэгшитгэл \u003d 0 нь тогтмол утгын ерөнхий шийдлээс авсан шийдэл юм.

Нэгдүгээр хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг (n \u003d 1,2,3, ...) олоход асуудал үүснэ.

гэж дууддаг кошигийн даалгавар.

p.3 Салах хувьсагч бүхий эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг салангид хувьсагчтай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв түүнийг энэ хэлбэрээр илэрхийлэх боломжтой бол түүнийг дахин бичиж болно. Хэрэв. Бид нэгтгэдэг:.

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай болно.

1. Тусдаа хувьсагчууд;

2. Тусгаарлагдсан хувьсагчтай тэгшитгэлийг нэгтгэх, энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олох;

3. Анхны нөхцлийг хангасан тодорхой шийдлийг олох (хэрэв өгсөн бол).

Жишээ 1Тэгшитгэлийг шийднэ. X \u003d -2-ийн y \u003d 4 нөхцлийг хангасан тодорхой шийдлийг ол.

Шийдэл:Энэ бол тусгаарлагдсан хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Интегралчлахдаа тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олно. Илүү энгийн ерөнхий шийдлийг маягт хэлбэрээр авахын тулд бид C / 2 хэлбэрийн баруун талд байрлах тогтмол нэр томъёог илэрхийлнэ. Бидэнд эсвэл - ерөнхий шийдэл байна. Y \u003d 4 ба x \u003d -2 утгуудыг ерөнхий шийдэлд орлуулаад 16 \u003d 4 + C, хаанаас C \u003d 12 болно.

Иймд энэ нөхцлийг хангасан тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл хэлбэртэй болно

Жишээ 2Хэрэв тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг ол .

Шийдэл:,,,,, ерөнхий шийдэл.

Бид х ба у-ийн утгуудыг тодорхой шийдэлд орлуулна: ,,.

Жишээ 3 Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг ол Байна. Шийдэл:,, нь ерөнхий шийдэл юм.

х. 4 Эхнийхээс өндөр тушаалын дифференциал тэгшитгэл

Маягтын тэгшитгэл эсвэл давхар интеграцаар шийднэ: ,, хаанаас. Энэ функцийг нэгтгэснээр бид F (x) гэж тодорхойлсон f (x) функцийг олж авна. Тиймээс; Байна. Бид дахин нэгтгэнэ: эсвэл y \u003d Φ (x). Бид хоёр дурын тогтмол утгыг агуулсан тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авсан ба.

Жишээ 1Тэгшитгэлийг шийднэ.

Шийдэл:, , ,

Жишээ 2Тэгшитгэлийг шийднэ Байна. Шийдэл: ,,.

БҮЛЭГ 3.2. Дугаар цуврал, түүний гишүүд

Тодорхойлолт 1.Дараагийн тоо ньхэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг ++ ... ++ ..., (1)

хаана, ...,, ... - тодорхой тооны тооны системд хамаарах тоонууд.

Тиймээс, бодит цувралын талаар ярилцаж болно R цогц цувралын талаар C, би= 1, 2, …, n, ... = =.

3.3-р хэсэг. Магадлалын онол ба математик статистик