Ce tip de specific de activ există. Specificitatea resurselor și tipurile acesteia

Calcul integral.

Funcția primitivă.

definiţie: Funcția F (x) se numește funcția antiderivativă funcția f (x) pe un segment dacă, în orice punct al acestui segment, egalitatea

Trebuie remarcat faptul că pot exista infinit de multe primitive pentru aceeași funcție. Se vor diferenția între ele cu un număr constant.

F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C.

Integrală nedeterminată.

definiţie: Integrală nedeterminatăfuncția f (x) se numește set de funcții primitive, care sunt definite prin relația:

Notați:

Condiția existenței unei integrale nedeterminate pe un anumit interval este continuitatea funcției pe acest interval.

Caracteristici:

Un exemplu:

Găsirea valorii integralei nedefinite este legată în principal de găsirea funcției primitive. Pentru unele funcții, aceasta este o sarcină destul de dificilă. În cele ce urmează, vom lua în considerare metodele de găsire a unor integrale nedeterminate pentru principalele clase de funcții - raționale, iraționale, trigonometrice, exponențiale etc.

Pentru comoditate, valorile integrelor nedefinite ale majorității funcțiilor elementare sunt colectate în tabele speciale de integrale, care sunt uneori foarte voluminoase. Acestea includ diverse combinații comune de funcții. Dar majoritatea formulelor prezentate în aceste tabele sunt consecințe reciproce, prin urmare, mai jos este un tabel de integrale de bază, cu care puteți obține valorile integrelor nedefinite ale diferitelor funcții.

integrală	valoare	integrală	valoare

	lnsinx + C



	ln

Metode de integrare.

Luați în considerare trei metode principale de integrare.

Integrare directă.

Metoda integrării directe se bazează pe asumarea valorii posibile a funcției antiderivative cu verificarea ulterioară a acestei valori prin diferențiere. În general, observăm că diferențierea este un instrument puternic pentru verificarea rezultatelor integrării.

Considerați aplicarea acestei metode ca exemplu:

Este necesar să se găsească valoarea integralei . Pe baza binecunoscută formulă de diferențiere
putem concluziona că integralul dorit este
unde C este un număr constant. Cu toate acestea, pe de altă parte
. Astfel, putem concluziona în cele din urmă:

Rețineți că, spre deosebire de diferențiere, unde au fost utilizate metode și metode clare pentru a găsi derivatul, regulile pentru găsirea derivatului și, în sfârșit, definiția derivatului, aceste metode nu sunt disponibile pentru integrare. Dacă în găsirea derivatului am folosit, ca să spunem așa, metode constructive care, pe baza anumitor reguli, au dus la rezultat, atunci în găsirea antiderivativului, trebuie să ne bazăm în principal pe cunoașterea tabelelor de derivați și antiderivative.

În ceea ce privește metoda de integrare directă, aceasta se aplică numai unor clase de funcții foarte limitate. Există foarte puține funcții pentru care puteți găsi imediat antiderivativul. Prin urmare, în cele mai multe cazuri, sunt utilizate metodele descrise mai jos.

Metoda de substituire (înlocuirea variabilelor).

teorema: Dacă aveți nevoie pentru a găsi integrala
, dar este dificil să găsești antiderivativul, atunci folosind substituția x \u003d  (t) și dx \u003d  (t) dt se dovedește:

evidență : Diferențiem egalitatea propusă:

Conform proprietății nr. 2 a integralului nedeterminat considerat mai sus:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

care, ținând cont de notația introdusă, este presupunerea inițială. Teorema este dovedită.

Un exemplu. Găsiți integralul nedeterminat
.

Faceți un înlocuitor t = sinx, dt = cosxdt.

Un exemplu.

înlocuire
Obținem:

Alte exemple ale utilizării metodei de substituție pentru diferite tipuri de funcții vor fi luate în considerare mai jos.

Integrare în piese.

Metoda se bazează pe binecunoscuta formulă a produsului derivat:

(uv)  \u003d uv + vu

unde u și v sunt unele funcții ale lui x.

În formă diferențială: d (uv) \u003d udv + vdu

Integrând, obținem:
și în conformitate cu proprietățile de mai sus ale integralei nedeterminate:

sau
;

Am obținut formula de integrare pe părți, ceea ce ne permite să găsim integralele multor funcții elementare.

Un exemplu.

După cum vedeți, aplicarea consecventă a formulei de integrare în părți vă permite să simplificați treptat funcția și să aduceți integrala în tabel.

Un exemplu.

Se poate observa că, ca urmare a aplicării repetate a integrării în părți, funcția nu a putut fi simplificată într-o formă tabulară. Totuși, ultima integrală obținută nu este diferită de original. Prin urmare, îl transferăm în partea stângă a egalității.

Astfel, integrala se găsește fără a utiliza deloc tabelele de integrale.

Înainte de a examina în detaliu metodele de integrare a mai multor clase de funcții, oferim câteva exemple de găsire a unor integrale nedeterminate, reducându-le la cele tabulare.

Un exemplu.

Integrarea fracțiilor elementare.

definiţie: elementarfracțiuni din următoarele patru tipuri sunt numite:

I.
III.

II.
IV.

m, n sunt numere naturale (m  2, n  2) și b 2 - 4ac<0.

Primele două tipuri de integrale din fracții elementare sunt reduse pur și simplu la o substituție tabulară t \u003d ax + b.

Luați în considerare metoda de integrare a fracțiilor elementare ale formei III.

Integrala unei fracțiuni de tipul III poate fi reprezentată ca:

Aici, în formă generală, este prezentată reducerea integralei unei fracțiuni a formei III la două integrale tabulare.

Luați în considerare aplicarea formulei de mai sus în exemple.

Un exemplu.

În general, dacă axul trinomial 2 + bx + c are expresia b 2 - 4ac\u003e 0, atunci fracția nu este prin definiție elementară, cu toate acestea, ea poate fi totuși integrată în modul indicat mai sus.

exemplu.

Un exemplu.

Să analizăm acum metodele de integrare a celor mai simple fracții de tipul IV.

În primul rând, considerăm un caz special pentru M \u003d 0, N \u003d 1.

Apoi o integrală a formei
poate fi reprezentat în numitorul pătratului complet sub formă
. Să facem următoarea conversie:

A doua integritate în această egalitate va fi luată în parte.

denote:

Pentru integralitatea inițială obținem:

Formula rezultată se numește recurente. Dacă îl aplicați de 1 ori, primiți tabelul integral
.

Revenim acum la integralitatea fracției elementare de tipul IV în cazul general.

În egalitatea rezultată, prima integrală prin substituție t = u 2 + s redus la tabular , iar formula de recurență considerată mai sus se aplică celei de-a doua integrale.

În ciuda complexității aparente a integrării unei fracții elementare de tipul IV, în practică este destul de ușor de utilizat pentru fracții cu un grad mic nși universalitatea și generalitatea abordării fac posibilă o implementare foarte simplă a acestei metode pe un computer.

exemplu:

Integrarea funcțiilor raționale.

Integrarea fracțiilor raționale.

Pentru a integra o fracție rațională, este necesar să o descompunem în fracții elementare.

teorema: dacă
este o fracție rațională regulată al cărei numitor P (x) este reprezentat ca produs al factorilor liniari și quadratici (rețineți că orice polinom cu coeficienți reali poate fi reprezentat sub această formă: P(x) = (x - o)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), atunci această fracțiune poate fi descompusă în elementar conform următoarei scheme:

unde A i, B i, M i, N i, R i, S i sunt unele valori constante.

Atunci când integrează fracțiile raționale, acestea recurg la descompunerea fracției inițiale în cele elementare. Pentru a găsi cantitățile A i, B i, M i, N i, R i, S i aplica așa-numitul metoda incertitudiniia cărui esență este că pentru ca două polinoame să fie identice egale, este necesar și suficient ca coeficienții să fie egali pentru aceleași puteri ale lui x.

Vom lua în considerare aplicarea acestei metode cu un exemplu specific.

Un exemplu.

Reducând la un numitor comun și echivalând numeratoarele corespunzătoare, obținem:

Un exemplu.

pentru că dacă fracțiunea este greșită, atunci trebuie evidențiată mai întâi întreaga parte:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x - 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 - 25x - 25

Facilităm numitorul fracției rezultate. Se poate observa că la x \u003d 3 numitorul fracției devine zero. apoi:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 x - 3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Astfel 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 \u003d (x - 3) (3x 2 + 5x - 2) \u003d (x - 3) (x + 2) (3x - 1). apoi:

Pentru a evita, la găsirea coeficienților incerti, dezvăluirea parantezelor, gruparea și rezolvarea sistemului de ecuații (care în unele cazuri se pot dovedi a fi destul de mari), metoda valorii arbitrare. Esența metodei este că mai multe (prin numărul de coeficienți nedefiniți), valorile arbitrare ale lui x sunt substituite la rândul lor în expresia obținută mai sus. Pentru a simplifica calculele, este obișnuit să luăm ca valori arbitrare punctele la care numitorul fracției este zero, adică. în cazul nostru - 3, -2, 1/3. Obținem:

În sfârșit obținem:

Un exemplu.

Găsiți coeficienții nedefiniți:

Apoi, valoarea integralei date:

Integrarea unor trigonometrice

funcții.

Pot exista infinit multe integrale ale funcțiilor trigonometrice. Majoritatea acestor integrale nu pot fi calculate deloc analitic, prin urmare, considerăm unele dintre cele mai importante tipuri de funcții care pot fi întotdeauna integrate.

Vizualizare integrală
.

Aici R este notația unor funcții raționale a variabilelor sinx și cosx.

Integralele de acest tip sunt calculate folosind substituția
. Această substituție vă permite să convertiți o funcție trigonometrică într-una rațională.

atunci

În acest fel:

Conversia descrisă mai sus se numește substituție trigonometrică universală.

Un exemplu.

Avantajul indubitabil al acestei substituții este că poate fi întotdeauna utilizat pentru a transforma o funcție trigonometrică într-una rațională și pentru a calcula integralul corespunzător. Dezavantajele includ faptul că în timpul transformării se poate transforma o funcție rațională destul de complicată, a cărei integrare va necesita mult timp și efort.

Cu toate acestea, dacă este imposibil să se aplice o schimbare mai rațională a variabilei, această metodă este singura eficientă.

Un exemplu.

Vizualizare integrală
dacă

funcțieRcOSX.

În ciuda posibilității de a calcula o astfel de integrală folosind substituția trigonometrică universală, este mai rațional să se aplice substituția t = sinx.

funcție
poate conține cosx doar în puteri uniforme și, prin urmare, poate fi transformat într-o funcție rațională în ceea ce privește sinx.

Un exemplu.

În general, pentru a aplica această metodă, este necesară doar ciudățile funcției în raport cu cosinusul, iar gradul de sinus care intră în funcție poate fi oricare, fie întreg, fie fracționat.

Vizualizare integrală
dacă

funcțieR este relativ ciudatsinx.

Prin analogie cu cazul considerat mai sus, se face o înlocuire t = cOSX.

Un exemplu.

Vizualizare integrală

funcțieR chiar relativsinx șicOSX.

Pentru a converti funcția R în rațională, folosim substituția

t \u003d tgx.

Un exemplu.

Produs integral al sinelor și cosinuselor

diverse argumente.

În funcție de tipul lucrării, se va aplica una din cele trei formule:

Un exemplu.

Uneori, atunci când se integrează funcții trigonometrice, este convenabil să se utilizeze formule trigonometrice cunoscute pentru a scădea ordinea funcțiilor.

Un exemplu.

Uneori se aplică unele tehnici non-standard.

Un exemplu.

Integrarea unor funcții iraționale.

Nu toate funcțiile iraționale pot avea o integrală exprimată prin funcții elementare. Pentru a găsi integralitatea unei funcții iraționale, ar trebui să se aplice o substituție care să permită transformarea funcției într-una rațională, a cărei integră poate fi găsită ca întotdeauna cunoscută.

Luați în considerare câteva tehnici pentru integrarea diferitelor tipuri de funcții iraționale.

Vizualizare integrală
undeneste un număr natural.

Utilizarea substituției
funcția este simplificată.

Un exemplu.

Dacă compoziția funcției iraționale include rădăcini de diferite grade, atunci ca o nouă variabilă este rațional să se ia rădăcina gradului egal cu cel mai puțin multiplu comun al gradelor rădăcinilor din expresie.

Ilustrăm acest lucru cu un exemplu.

Un exemplu.

Integrarea diferențialelor binomiale.

Integrare directă

Formule de bază de integrare

1. C este o constantă	1*.
2., n ≠ –1
3. + C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Se numește calculul integrelor prin utilizarea directă a tabelului celor mai simple integrale și a proprietăților de bază ale integralelor nedeterminate integrare directă.

Exemplul 1

Exemplul 2

Exemplul 3

Aceasta este cea mai frecventă metodă pentru integrarea unei funcții complexe, care constă în transformarea integralei folosind o tranziție la o altă variabilă de integrare.

Dacă este dificilă reducerea integrală a unui tabel folosind transformări elementare, atunci în acest caz se folosește metoda de substituție. Esența acestei metode este că prin introducerea unei noi variabile este posibil să se reducă această integrală la o integrală nouă, care este relativ ușor de luat direct.

Pentru integrarea prin metoda de substituție, se utilizează o schemă de soluții:

2) găsiți diferențialul din ambele părți ale înlocuirii;

3) exprima întreaga integranță printr-o nouă variabilă (după care ar trebui să se obțină integrala tabelului);

4) găsiți integral tabelul rezultat;

5) efectuați înlocuirea inversă.

Găsiți elementele integrale:

Exemplul 1 . substituție:cosx \u003d t,-sinxdx \u003d dt,

soluţie:

Exemplul 2 ∫e -x3 x 2 dx substituție:-x 3 \u003d t, -3x 2 dx \u003d dt, soluţie: ∫e -x3 x 2 dx \u003d ∫e t (-1/3) dt \u003d -1 / 3e t + C \u003d -1 / 3e -x3 + C

Exemplul 3substituție:1 + sinx \u003d t, cosxdx \u003d dt,

soluţie: .

SECȚIUNEA 1.5. O integrală definită, metode pentru calculul acesteia.

clauza 1. Conceptul unei integrale definitive

Sarcină. Găsiți incrementul funcției primitive pentru funcție f (x)la trecerea argumentului x din valoare o a valoriza b.

decizie. Presupunem că prin integrare găsim: ∫ (x) dx \u003d F (x) + C.

atunci F (x) + C1unde C 1 - orice număr dat va fi una dintre funcțiile primitive pentru această funcție f (x). Găsiți incrementul său când treceți argumentul din valoare o a valoriza b. Obținem:

x \u003d b - x \u003d a \u003d F (b) + C 1 - F (a) -C 1 \u003d F (b) -F (a)

După cum puteți vedea, în expresia creșterii funcției antiderivative F (x) + C1 nici o valoare constantă C 1. Și de sub C 1 Deoarece orice număr dat a fost implicat, rezultatul obținut duce la următoarea concluzie: la trecerea argumentului x din valoare x \u003d a a valoriza x \u003d b toate funcțiile F (x) + Cantiderivative pentru o funcție dată f (x)au aceeași creștere egală cu F (b) -F (a).

Această creștere este numită integrală și notează prin simbol: și citește: integralitatea și la b a funcției f (x) în raport cu dx sau, pe scurt, integrala lui și la b din f (x) dx.

număr și Se numește limita inferioara număr de integrare b - top; segment a ≤ x ≤ b - segment de integrare. Se presupune că integrandul f (x) continuu pentru toate valorile xîndeplinirea condițiilor: o  x b

Definiția. Creșterea funcțiilor antiderivative F (x) + C la trecerea argumentului x din valoare x \u003d a a valoriza x \u003d begală cu diferența F (b) -F (a), se numește integrală definitivă și se notează cu simbolul: astfel încât dacă ∫ (x) dx \u003d F (x) + C, apoi \u003d F (b) -F (a) -acest egalitatea se numește formula Newton-Leibniz.

secțiunea 2 Proprietăți de bază ale unei integrale definitive

Toate proprietățile sunt formulate în propunerea că funcțiile în cauză sunt integrabile în intervalele corespunzătoare.

p. 3 Calcul direct al unei anumite integrale

Pentru a calcula o anumită integrală, când puteți găsi integrală nedeterminată corespunzătoare, utilizați formula Newton-Leibniz

și anume o anumită integrală este egală cu diferența dintre valorile oricărei funcții primitive cu limitele superioare și inferioare ale integrării.

Din această formulă puteți vedea procedura de calcul a unei anumite integrale:

1) găsiți integrala nedeterminată a unei funcții date;

2) în antiderivul obținut, înlocuiți mai întâi partea superioară, apoi limita inferioară a integralei în locul argumentului;

3) scade rezultatul înlocuirii limitei inferioare din rezultatul înlocuirii limitei superioare.

Exemplul 1: Calculați integrala:

Exemplul 2:Calculați integrala:

p.4 Calcularea unei anumite integrale prin metoda de substituție

Calculul unei anumite integrale prin metoda de substituție este următorul:

1) înlocuiți o parte a integrandului cu o nouă variabilă;

2) găsiți noi limite ale unei anumite integrale;

3) găsiți diferențialul din ambele părți ale înlocuirii;

4) să exprime întreaga integranță printr-o nouă variabilă (după care ar trebui să se obțină integrala tabelului); 5) calculați integralul obținut.

Exemplul 1: Calculați integrala:

substituție: 1 + cosx \u003d t,-sinxdx \u003d dt,

SECȚIUNEA 1.6. Sensul geometric al unei anumite integrale.

Zona unui trapez curbat:

Este cunoscut faptul că o anumită integrală a unui segment este aria unui trapez curbat delimitat de graficul funcției f (x).

Zona figurii delimitate de anumite linii poate fi găsită folosind anumite integrale dacă sunt cunoscute ecuațiile acestor linii.

Fie pe intervalul [a; b] dat o funcție continuă y \u003d ƒ (x) ≥ 0. Găsiți zona acestui trapez.

Zona figurii delimitate de axa 0 x, două linii verticale x \u003d a, x \u003d b iar graficul funcției y \u003d ƒ (x) (figură), este determinat de formula:

Acesta este sensul geometric al unei anumite integrale.

Exemplul 1: Calculați aria cifrei delimitate de liniile: y \u003d x 2. + 2, y \u003d 0, x \u003d -2, x \u003d 1.

soluţie: Să executăm desenul (rețineți că ecuația y \u003d 0 definește axa Ox).

Răspunsul este: S \u003d 9 unități 2

Exemplul 2: Calculați aria figurii delimitate de liniile: y \u003d - e x, x \u003d 1 și axe de coordonate.

Soluție: Să executăm desenul.
Dacă un trapez curbat complet amplasat sub axă, atunci zona sa poate fi găsită după formula:

În acest caz:

Atenție! Dacă vi se solicită să găsiți zona unei figuri folosind o anumită integrală, atunci zona este întotdeauna pozitivă! De aceea, minusul apare doar în formula tocmai luată în considerare.

SECȚIUNEA 1.7. Aplicarea unei integrale definitive

p.1 Calculul volumului corpului de revoluție

Dacă trapezul curvilin este adiacent axei Ox, iar liniile drepte y \u003d a, y \u003d b și graficul funcției y \u003dF (x) (Fig. 1), apoi volumul corpului de revoluție este determinat de formula care conține integrală.

Volumul corpului de rotație este:

Un exemplu:

Găsiți volumul corpului delimitat de suprafața de rotație a liniei din jurul axei Ox la 0≤ x ≤4.

soluţie:V

unitățile 3. Răspuns: unitatea 3.

SECȚIUNEA 3.1. Ecuații diferențiale obișnuite

clauza 1. Conceptul unei ecuații diferențiale

Definiția. Ecuația diferențială O ecuație se numește conținând o funcție a unui set de variabile și derivatele acestora.

Forma generală a unei astfel de ecuații \u003d 0, unde F este funcția binecunoscută a argumentelor sale date într-o regiune fixă; x este o variabilă independentă (variabila prin care este diferențiată); y este o variabilă dependentă (cea de la care sunt preluate derivatele și cea care trebuie determinată); este derivata variabilei y dependente în raport cu variabila independentă x.

secțiunea 2 Conceptele de bază ale unei ecuații diferențiale

procedură o ecuație diferențială se numește ordinea celui mai înalt derivat care intră în ea.

De exemplu:

O ecuație de ordinul doi este o ecuație de prim ordin.

Orice funcție de conectare a variabilelor și transformarea unei ecuații diferențiale în egalitate adevărată se numește decizieecuație diferențială.

Decizie generalăo ecuație diferențială a primului ordin se numește funcție și o constantă arbitrară C, transformând această ecuație în identitate în raport cu.

Soluția generală, scrisă implicit \u003d 0, se numește integrală generală.

Decizie privată ecuația \u003d 0 este soluția obținută din soluția generală pentru o valoare fixă \u200b\u200b- un număr fix.

Problema de a găsi o soluție particulară la o a treia ecuație diferențială de ordine (n \u003d 1,2,3, ...) care satisface condițiile inițiale ale formei

se numește sarcina lui Cauchy.

p.3 Ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile

O ecuație diferențială a primului ordin se numește ecuație cu variabile separabile, dacă poate fi reprezentată în formă, poate fi rescrisă în formă. În cazul în care. Integrăm:.

Pentru a rezolva o ecuație de acest fel este necesar:

1. variabile separate;

2. Integrând ecuația cu variabile separate, găsiți soluția generală a acestei ecuații;

3. Găsiți o soluție particulară care satisface condițiile inițiale (dacă sunt date).

Exemplul 1Rezolvați ecuația. Găsiți o soluție particulară care îndeplinește condiția y \u003d 4 pentru x \u003d -2.

soluţie:Aceasta este o ecuație cu variabile separate. Integrând, găsim soluția generală a ecuației:. Pentru a obține o soluție generală mai simplă în formă, reprezentăm termenul constant pe partea dreaptă în formularul C / 2. Avem sau - o soluție generală. Substituind valorile y \u003d 4 și x \u003d -2 în soluția generală, obținem 16 \u003d 4 + C, de unde C \u003d 12.

Deci, o soluție particulară la ecuația care satisface această condiție are forma

Exemplul 2Găsiți o soluție specială la ecuație dacă .

soluţie:,,,,, soluție generală.

Înlocuim valorile x și y într-o soluție particulară: ,, o soluție particulară.

Exemplul 3 Găsiți o soluție generală la ecuație . soluţie :,,, este o soluție generală.

p. 4 Ecuații diferențiale de ordine mai mari decât primele

O ecuație a formei sau se rezolvă prin integrare dublă: ,, de unde. Integrând această funcție, obținem o nouă funcție a lui f (x), pe care o notăm prin F (x). Astfel; . Integrăm din nou: sau y \u003d Φ (x). Am obținut o soluție generală la ecuația care conține două constante arbitrare și.

Exemplul 1Rezolvați ecuația.

soluţie:, , ,

Exemplul 2Rezolvați ecuația . Soluție: ,,.

SECȚIUNEA 3.2. Seria numerelor, membrii acesteia

Definiția 1.Numeric următoro expresie a formei ++ ... ++ ... este numită, (1)

unde, ..., ,, ... - numere aparținând unui anumit sistem de numere.

Deci, putem vorbi despre seriale reale pentru care R, despre serii complexe pentru care C, i= 1, 2, …, n, ... = =.

Secțiunea 3.3. Fundamentele teoriei probabilității și statisticii matematice