Բարև հարգելի Արգեմոնայի համալսարանի ուսանողներ: Ես ողջունում եմ ձեզ հաջորդ դասախոսությանը `գործառույթների և ինտեգրալների մոգության վերաբերյալ:

Այսօր մենք կխոսենք հիպերբոլի մասին: Եկեք սկսենք պարզից: Հիպերբոլայի ամենապարզ տեսակը.

Այս գործառույթը, ի տարբերություն ուղղակի իր ստանդարտ ձևերի, ունի առանձնահատկություն: Ինչպես գիտենք, մասնաբաժնի նշանակումը չի կարող լինել զրո, քանի որ չես կարող բաժանել զրոյի:
  x ≠ 0
  Դրանից մենք եզրակացնում ենք, որ տիրույթը ամբողջ համարի տողն է, բացառությամբ 0-րդ կետի. (-0; 0) (0; + ∞):

Եթե \u200b\u200bx- ը հակված է 0-ին աջ կողմում (գրված է այսպես ՝ x-\u003e 0+), այսինքն. դառնում է շատ, շատ փոքր, բայց մնում է դրական, ապա u դառնում է շատ, շատ մեծ դրական (y -\u003e + ∞):
  Եթե \u200b\u200bx- ը ձգտում է 0-ին ձախ կողմում (x-\u003e 0-), այսինքն. դառնում է modulo- ն նաև շատ փոքր, բայց այս դեպքում մնում է բացասական, այդ դեպքում դու նույնպես բացասական կլինես, բայց մոդուլոն կլինի շատ մեծ (y -\u003e - ∞):
  Եթե \u200b\u200bx- ը հակված է գումարած անսահմանությանը (x -\u003e + ∞), այսինքն. դառնում է շատ մեծ դրական թիվ, այդ դեպքում դու կդառնաս ավելի ու ավելի փոքր դրական թիվ, այսինքն: հակված կլինի 0-ի ՝ մնալով դրական ամբողջ ժամանակ (y-\u003e 0+):
  Եթե \u200b\u200bx- ը հակված է մինուս անսահմանության (x -\u003e - ∞), այսինքն. դառնում է մեծ բացարձակ արժեքով, բայց բացասական թիվ, ապա y- ը միշտ կլինի բացասական թիվ, բայց բացարձակ արժեքի փոքր (y-\u003e 0-):

Y- ը, x- ի նման, չի կարող վերցնել 0-ի արժեքը: Այն միայն ձգտում է զրոյի: Հետևաբար, արժեքների շարքը նույնն է, ինչ սահմանման տիրույթը. (-∞; 0) (0; + ∞):

Այս նկատառումների հիման վրա մենք կարող ենք սխեմատիկորեն գծել գործառույթի գծապատկեր

Կարելի է տեսնել, որ հիպերբոլան բաղկացած է երկու մասից ՝ մեկը գտնվում է 1-ին կոորդինատային անկյունում, որտեղ x և y արժեքները դրական են, իսկ երկրորդ մասը ՝ երրորդ կոորդինատային անկյունում, որտեղ x և y արժեքները բացասական են:
  Եթե \u200b\u200bտեղափոխվենք –∞ –ից + ∞ –ով, ապա տեսնում ենք, որ մեր գործառույթը նվազում է 0 – ից –∞ –ով, ապա կա կտրուկ ցատկ (–– –ից – –ից ∞) և սկսվում է գործառույթի երկրորդ ճյուղը, որը նույնպես նվազում է, բայց + ∞ –ից մինչև 0. Այսինքն ՝ այս հիպերբոլը նվազում է:

Եթե \u200b\u200bմի փոքր փոխեք գործառույթը. Օգտագործեք մինուս մոգությունը,

(1")

Այդ գործառույթը հրաշքով կտեղափոխվի 1-ին և 3-րդ կոորդինատների թաղամասերից մինչև 2-րդ և 4-րդ քառորդներ և կդառնա աճ:

Հիշեք, որ գործառույթ է աճում էեթե x 1 և x 2 արժեքների համար այդպիսին է x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
  Եվ գործառույթը կլինի նվազում էեթե f (x 1)\u003e f (x 2) x- ի նույն արժեքների համար:

Հիպերբիոնի ճյուղերը մոտենում են առանցքներին, բայց երբեք դրանք չանցնում: Նման տողերը, որոնց գործառույթի գրաֆիկը մոտենում է, բայց երբեք չի հատվում, կոչվում են ասիմպտոտ  այս գործառույթը:
  Մեր գործառույթի համար (1) ասիմպտոտներն են x \u003d 0 (առանցքը OY, ուղղահայաց ասիմպոտոտ) և y \u003d 0 (առանցքը OX, հորիզոնական ասիմպտոտը) ուղիղ գծերը:

Հիմա եկեք մի փոքր բարդացնենք ամենապարզ հիպերբլոլը և տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում գործառույթի գրաֆիկի հետ:

(2)

Ուղղակի ավելացնելով «Ա» -ը նշանակողի մեջ: Որոշիչ նշանակիչին x անվանումով տերմին ավելացնելը նշանակում է ամբողջ «հիպերբոլիկ կոնստրուկցիան» (ուղղահայաց ասիմպտոտի հետ միասին) ճիշտ (աջակցության) դիրքերը տեղափոխել դեպի աջ, եթե a- ն բացասական թիվ է, և (-a) դիրքերը ձախ, եթե ա Դրական թիվ է:

Ձախ գծապատկերի վրա բացասական կայունություն է ավելացվում x- ին (a)<0, значит, -a>0), ինչը թույլ է տալիս գծապատկերը տեղափոխել աջ, իսկ աջ գծապատկերում `դրական կայունություն (a\u003e 0), որի պատճառով գծապատկերը տեղափոխվում է ձախ:

Եվ ինչ մոգություն կարող է ազդել «հիպերբոլիկ կառուցվածքի» վերև կամ ներքև տեղափոխման վրա: Կոտորակին կայուն ավելացնելը:

(3)

Այժմ մեր ամբողջ գործառույթը (և՛ մասնաճյուղերը, և՛ հորիզոնական ասիմպոտոտը) բարձրանում են b դիրքերը, եթե b- ն դրական թիվ է, և b դիրքերը իջնում \u200b\u200bեն ներքև, եթե b- ն բացասական թիվ է:

Նկատի ունեցեք, որ ասիմպտոտները շարժվում են հիպերբոլայով, այսինքն: հիպերբոլան (նրա մասնաճյուղերը) և երկուսն էլ ասիմպտոտները պետք է համարվեն որպես անքակտելի շինարարություն, որը շարժվում է ձախ, աջ, վեր կամ վար: Դա շատ հաճելի զգացողություն է, երբ դուք կարող եք ստիպել, որ ամբողջ գործառույթը ցանկացած ուղղությամբ տեղափոխվի որոշակի թվաքանակի հավելումով: Ինչը չէ մոգություն, որը կարող եք շատ հեշտությամբ տիրապետել և ուղղել այն ձեր հայեցողությամբ ճիշտ ուղղությամբ:
  Ի դեպ, այս կերպ Դուք կարող եք վերահսկել ցանկացած գործառույթի շարժումը: Հաջորդ դասերում մենք կկազմենք այս հմտությունը:

Նախքան ձեզ տնային գործ խնդրելը, ուզում եմ ձեր ուշադրությունը հրավիրել այս գործառույթի վրա

(4)

Հիպերբոլայի ստորին ճյուղը բարձրացվում է 3-րդ կոորդինատների անկյունից դեպի երկրորդը դեպի այն անկյունը, որտեղ y- ի արժեքը դրական է, այսինքն: այս ճյուղը սիմետրիկորեն արտացոլվում է OX առանցքի մասին: Եվ հիմա մենք ստանում ենք հավասար գործառույթ:

Ի՞նչ է նշանակում «նույնիսկ գործառույթ»: Գործառույթը կոչվում է նույնիսկեթե պայմանը բավարարված է. f (-x) \u003d f (x)
  Գործառույթը կոչվում է տարօրինակեթե պայմանը բավարարված է. f (-x) \u003d - f (x)
  Մեր դեպքում

(5)

Յուրաքանչյուր հավասար ֆունկցիա սիմետրիկ է OY առանցքի մասին, այսինքն. գրաֆիկական դիզայնով մագաղաթը կարելի է ծալել OY առանցքի երկայնքով, իսկ գծապատկերների երկու մասերը միանգամայն համընկնում են միմյանց հետ:

Ինչպես տեսնում եք, այս գործառույթն ունի նաև երկու ասիմպտոտ ՝ հորիզոնական և ուղղահայաց: Ի տարբերություն վերը նշված գործառույթների, այս գործառույթը մի կողմից ավելանում է, իսկ մյուս կողմից նվազում:

Եկեք փորձենք առաջնորդել այս գրաֆիկը հիմա ՝ ավելացնելով հաստատուններ:

(6)

Հիշեցրեք, որ «x» տերմինը որպես «տ» տերմինի ավելացումն առաջացնում է ամբողջ գրաֆիկը (ուղղահայաց ասիմպտոտի հետ միասին) տեղափոխվելով հորիզոնական, հորիզոնական ասիմպտոտի երկայնքով (ձախ կամ աջ ՝ կախված այս հաստատունի նշանից):

(7)

Եվ անընդմեջ b- ն որպես տերմին ավելացնելով ֆրակցիայի վրա, գրաֆիկը վեր կամ վար է բարձրանում: Ամեն ինչ շատ պարզ է:

Հիմա փորձեք ինքներդ փորձել նման մոգության հետ:

Տնային գործ 1.

Յուրաքանչյուրը վերցնում է երկու գործառույթ իր փորձերի համար. (3) և (7):
  a \u003d ձեր LD- ի առաջին նիշը
  b \u003d ձեր LD- ի երկրորդ նիշը
  Փորձեք հասնել այս գործառույթների հմայքին ՝ սկսելով ամենապարզ հիպերբլոկից, ինչպես ես արեցի դասում և աստիճանաբար ավելացնելով իմ կայունությունը: Դուք արդեն կարող եք մոդելավորել գործառույթը (7) `ելնելով գործառույթի վերջնական ձևից (3): Նշեք սահմանման ոլորտները, արժեքների շարքը, ասիմպտոտները: Ինչպե՞ս են գործառույթները գործում. Նվազում, մեծացում: Նույնիսկ - տարօրինակ: Ընդհանրապես, փորձեք անել նույն հետազոտությունը, ինչպես դասում: Գուցե դուք կգտնեք մի այլ բան, որի մասին ես մոռացել եմ խոսել:

Ի դեպ, ամենապարզ հիպերբոլայի (1) երկու ճյուղերը սիմետրիկ են բիսեկտոր 2-ի և 4-րդ կոորդինատների անկյունների առումով: Հիմա պատկերացրեք, որ հիպերհենարանը սկսեց պտտվել այս առանցքի շուրջ: Մենք ստանում ենք այնպիսի գեղեցիկ գործիչ, որը կարող է օգտագործվել:

Առաջադրանք 2. Որտե՞ղ կարող եմ օգտագործել այս ցուցանիշը: Փորձեք պտույտի ֆիգուրը գծել գործառույթի համար (4) ՝ կապված նրա սիմետրիայի առանցքի հետ և հաշվի առեք, թե որտեղ կարող է գտնել այդ գործիչը:

Հիշեք, թե ինչպես վերջին դասի վերջում մենք ուղիղ գիծ ստացանք փորագրված կետով: Եվ ահա վերջինը առաջադրանք 3.
  Կառուցեք նման գործառույթի գծապատկեր.

(8)

Ա, բ գործակիցները նույնն են, ինչ 1-ին առաջադրանքով:
  c \u003d ձեր LD- ի կամ a-b- ի երրորդ նիշը, եթե ձեր LD- ն երկնիշ է:
  Մի փոքր ակնարկ. Նախ ՝ թվերը փոխարինելուց հետո ստացված կոտորակը պետք է պարզեցվի, այնուհետև ստանաք սովորական հիպերբոլա, որը դուք պետք է կառուցեք, բայց ի վերջո պետք է հաշվի առնել բնօրինակ արտահայտության բնութագրման բնութագիրը:

Ձեր գաղտնիությունը մեզ համար կարևոր է: Այդ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկատվությունը: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և տեղեկացրեք մեզ, եթե ունեք հարցեր:

Անձնական տեղեկատվության հավաքում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել որոշակի անձի նույնականացման կամ նրա հետ կապվելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տեղեկատվությունը ցանկացած պահի, երբ կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տվյալների տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տեղեկություններ ենք հավաքում.

• Հարցում թողնելով կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ ՝ ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսի համարը, էլ. Փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տեղեկությունները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկատվությունը թույլ է տալիս կապվել ձեզ հետ և զեկուցել եզակի առաջարկների, առաջխաղացման և այլ իրադարձությունների և առաջիկա իրադարձությունների մասին:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տեղեկատվությունը `կարևոր ծանուցումներ և հաղորդագրություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկատվություն ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտ անցկացնելը, տվյալների վերլուծությունը և տարատեսակ ուսումնասիրություններ, որպեսզի բարելավենք մեր մատուցած ծառայությունները և ձեզ առաջարկներ մատուցենք մեր ծառայությունների վերաբերյալ:
• Եթե \u200b\u200bդուք մասնակցում եք մրցանակների վիճակահանության, մրցույթի կամ նմանատիպ գովազդային միջոցառման, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը `նման ծրագրերի կառավարման համար:

Բացահայտում երրորդ անձանց

Ձեր կողմից ստացված տեղեկատվությունը մենք չենք հայտնում երրորդ անձանց:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում `օրենքին համապատասխան, դատական \u200b\u200bհամակարգը, դատական \u200b\u200bգործընթացներում և (կամ) Ռուսաստանի Դաշնության պետական \u200b\u200bմարմինների կողմից պետական \u200b\u200bմարմինների կողմից կատարված հասարակական հարցումների կամ հարցումների հիման վրա - բացահայտեք ձեր անձնական տեղեկությունները: Մենք կարող ենք նաև ձեր մասին տեղեկություններ հրապարակել, եթե որոշենք, որ այդպիսի բացահայտումը անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության նպատակների համար, պահպանել օրենքը և կարգը կամ սոցիալական կարևոր այլ դեպքեր:
• Վերակազմավորման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք մեր հավաքած անձնական տեղեկատվությունը փոխանցել համապատասխան երրորդ կողմին, հանձնարարողին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք ձեռնարկում ենք նախազգուշական միջոցներ ՝ ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, ձեր անձնական տեղեկությունները կորստից, հափշտակությունից և ոչ ճիշտ օգտագործումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից պաշտպանելու համար:

Ձեր ընկերության մակարդակի գաղտնիության պահպանում

Ձեր անձնական տվյալների անվտանգությունն ապահովելու համար մենք գաղտնիության և անվտանգության կանոններն ենք փոխանցում մեր աշխատակիցներին և խստորեն վերահսկում ենք գաղտնիության միջոցառումների իրականացումը:

Այս մեթոդական նյութը միայն հղման համար է և վերաբերում է թեմաների լայն շրջանակին: Հոդվածում ներկայացվում է հիմնական տարրական գործառույթների գծապատկերների ակնարկ և անդրադառնում է ամենակարևոր խնդրին. ինչպես արագ և արագ կառուցել գծապատկեր. Բարձրագույն մաթեմատիկա ուսումնասիրելը, առանց հիմնական տարրական գործառույթների գծապատկերները իմանալու, դժվար կլինի, ուստի շատ կարևոր է հիշել, թե ինչպիսին են պարաբոլայի, հիպերբոլայի, սինուսի, կոսինինի և այլն գծապատկերները, հիշեք գործառույթների որոշ արժեքներ: Նաև կխոսենք հիմնական գործառույթների որոշ հատկությունների մասին:

Ես չեմ հավակնում նյութերի ամբողջականությանը և գիտական \u200b\u200bմանրակրկիտությանը, շեշտը դրվելու է, նախևառաջ գործնականում, այն բաների վրա, որոնց հետ ամեն քայլափոխի, ավելի բարձր մաթեմատիկայի ցանկացած թեմայի պետք է բախվել բառացիորեն. Դիագրամներ համար dummies. Դուք կարող եք դա ասել:

Ընթերցողների ժողովրդական պահանջով բովանդակության սեղմելի աղյուսակ:

Բացի այդ, թեմայի վերաբերյալ կա մի չափազանց կարճ ամփոփագիր:
   - տիրապետեք 16 տեսակի գրաֆիկների ՝ ուսումնասիրելով վեց էջ:

Լուրջ, վեց, նույնիսկ ես զարմացա: Այս լրակազմը պարունակում է բարելավված գրաֆիկա և առկա է անվանական վարձավճարով, ցուցադրության տարբերակը կարելի է դիտել: Հարմար է ֆայլը տպել այնպես, որ գծապատկերները միշտ մոտ լինեն: Շնորհակալություն նախագծին աջակցելու համար:

Եվ հենց հիմա գնում ենք.

Ինչպե՞ս կառուցել կոորդինատային առանցքներ:

Գործնականում թեստային թերթերը ուսանողների կողմից գրեթե միշտ կատարվում են վանդակի մեջ շարված առանձին նոթբուքերում: Ինչու՞ ստուգել գծանշումը: Ի վերջո, աշխատանքը, սկզբունքորեն, կարող է իրականացվել A4 թերթիկների վրա: Մի բջիջ անհրաժեշտ է պարզապես բարձրորակ և ճշգրիտ դիզայնի գծանկարների համար:

Ֆունկցիայի գրաֆիկի ցանկացած նկարչություն սկսվում է կոորդինատային առանցքներով.

Նկարները երկչափ և եռաչափ են:

Մենք նախ քննարկում ենք երկչափ գործը կարտեզի ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգ:

1) Մենք գծում ենք համակարգված առանցքները: Կացինը կոչվում է abscissa առանցքը իսկ առանցքը է կարգավորել առանցքը . Մենք միշտ փորձում ենք նկարել դրանք կոկիկ և ոչ ծուռ. Ռադիոները նույնպես չպետք է նմանվեն Պապա Կառլոյի մորուքին:

2) առանցքները մենք ստորագրում ենք «X» և «igrek» տառերով: Մի մոռացեք ստորագրել առանցքը.

3) Մենք սանդղակը դնում ենք առանցքների երկայնքով. նկարել զրո և երկուսը. Գծանկարը կատարելիս առավել հարմար և հաճախ հանդիպող մասշտաբներն են. 1 միավոր \u003d 2 բջիջ (նկարը ձախ կողմում) - եթե հնարավոր է, կպչեք դրան: Այնուամենայնիվ, ժամանակ առ ժամանակ պատահում է, որ նկարը չի տեղավորվում նոութբուքի թերթիկի վրա - այդ դեպքում մենք սանդղակում ենք ներքև. 1 միավոր \u003d 1 խց (աջ կողմում գծապատկեր): Հազվադեպ է, բայց պատահում է, որ նկարների մասշտաբը պետք է էլ ավելի իջնի (կամ ավելացվի)

ՉԻ «փորագրեք գնդացիրից» ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…:  Համար, որ համակարգված ինքնաթիռը Դեկարտի հուշարձան չէ, և ուսանողը աղավնի չէ: Մենք դնում ենք զրո  և երկու առանցքային միավոր. Երբեմն փոխարենը  միավորներով, հարմար է «հայտնաբերել» այլ արժեքներ, օրինակ ՝ աբսցիսայի առանցքի վրա «երկուսը» և կանոնավոր առանցքի վրա «երեքը», և այս համակարգը (0, 2, և 3) նույնպես եզակի կերպով կսահմանի կոորդինատների ցանցը:

Նկարչության գնահատված չափերը լավագույնս գնահատվում են ԱՌԱՆ նկարից առաջ. Այսպիսով, օրինակ, եթե առաջադրանքը պահանջում է, որ ուղղանկյուններով գծեք եռանկյուն,, ապա պարզ է, որ 1 միավոր \u003d 2 բջիջների հանրաճանաչ մասշտաբը չի գործի: Ինչո՞ւ Եկեք նայենք կետին. Այստեղ պետք է չափել տասնհինգ սանտիմետր ներքև, և, ակնհայտորեն, գծապատկերը չի տեղավորվի (կամ հազիվ թե տեղավորվի) նոթբուքի թերթիկի վրա: Հետեւաբար, անմիջապես ընտրեք 1 միավորի \u003d 1 խցիկի փոքր մասշտաբը:

Ի դեպ, մոտավորապես սանտիմետր և նոութբուքի բջիջներ: Isի՞շտ է, որ 30 տետրադ բջիջը պարունակում է 15 սանտիմետր: Չափիչով չափեք նոութբուքում 15 սանտիմետր տիրակալի համար: ԽՍՀՄ – ում, թերևս, դա ճիշտ էր… Հետաքրքիր է նշել, որ եթե չափեք այդ նույն սանտիմետրերը հորիզոնական և ուղղահայաց, ապա արդյունքները (բջիջներում) այլ կլինեն: Խստորեն ասած, ժամանակակից նոթբուքերը ոչ թե վանդակավոր են, այլ ուղղանկյուն: Միգուցե դա անհեթեթություն է թվում, բայց, օրինակ, նման իրավիճակում զույգ կողմնացույցով շրջապատով շրջապատելը նկարելը շատ անհարմար է: Անկեղծ ասած, նման պահերին դուք սկսում եք մտածել ընկերոջ ՝ Ստալինի ճիշտության մասին, որը գործարաններ է ուղարկել գործարանում հակերության համար, չհիշատակել ներքին ավտոմոբիլային արդյունաբերությունը, ինքնաթիռներ ընկնելը կամ էլեկտրակայանները պայթեցնելը:

Խոսելով որակի մասին, կամ գրենական պիտույքների վերաբերյալ հակիրճ առաջարկություն: Այսօր նոթբուքերի մեծ մասը վաճառվում է, առանց վատ բառեր ասելու, բոլորովին համասեռ: Այն պատճառով, որ նրանք թրջվում են, և ոչ միայն գելից, այլև գնդիկավոր գրիչներից: Խնայեք թղթի վրա: Գրանցման թեստերի համար խորհուրդ եմ տալիս օգտագործել Արխանգելսկի պղպեղի և թղթե ջրամբարի նոթբուքեր (18 թերթ, վանդակ) կամ Պյատարոչկա, չնայած դա ավելի թանկ է: Խորհուրդ է տրվում ընտրել գել գրիչ, նույնիսկ չինական գել գինն ամենաէժան շատ ավելի լավն է, քան գնդիկավոր գրիչը, որը քսում է կամ թուղթ է քաշում: Իմ հիշողության մեջ միակ «մրցունակ» գնդիկավոր գրիչը Էրիխ Կրուսին է: Նա գրում է պարզ, գեղեցիկ և հաստատուն. Այն ամբողջովին առանցքային, այն գրեթե դատարկ:

ԿամընտիրՀոդվածում ներկայացված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի տեսլականը վերլուծական երկրաչափության միջոցով Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն: Վեկտորների հիմքը, համակարգված եռամսյակների վերաբերյալ մանրամասն տեղեկություններ ստանալու համար կարող եք գտնել դասի երկրորդ պարբերությունում Գծային անհավասարություններ.

Եռաչափ գործ

Այստեղ գրեթե ամեն ինչ նույնն է:

1) Մենք գծում ենք համակարգված առանցքները: Ստանդարտ: կիրառել առանցքը   - ուղղված դեպի վեր, առանցք - ուղղված դեպի աջ, առանցք - ձախ ներքև խստորեն  45 աստիճանի անկյան տակ:

2) մենք ստորագրում ենք առանցքը:

3) Մենք սանդղակը դնում ենք առանցքների երկայնքով: Առանցքի մասշտաբը `այլ առանցքների չափը. Նկատի ունեցեք նաև, որ ճիշտ գծագրում առանցքի երկայնքով օգտագործեցի ոչ ստանդարտ «սերիֆ» (այդ հնարավորությունն արդեն նշվել է վերևում). Իմ տեսակետից, դա ավելի ճշգրիտ, արագ և էսթետիկորեն հաճելի է. Պետք չէ մանրադիտակի տակ փնտրել բջիջի կեսին և «քանդակել» ծագման կողքին գտնվող միավորը:

Եռաչափ գծանկարն անելիս կրկին - առաջնահերթություն տուր մասշտաբին
   1 միավոր \u003d 2 բջիջ (ձախ կողմում նկարում):

Ինչի համար են բոլոր այս կանոնները: Կանոններ կան դրանք խախտելու համար: Ինչ եմ ես հիմա անելու: Փաստն այն է, որ հոդվածի հաջորդ նկարները իմ կողմից կկատարվեն Excel- ում, և կոորդինատային առանցքները ճիշտ տեսք կունենան պատշաճ ձևավորման տեսանկյունից: Ես կարող էի ձեռքով նկարել բոլոր գրաֆիկները, բայց իրականում նկարել դրանք, քանի որ սարսափելի դժկամությամբ Excel- ը շատ ավելի ճշգրիտ նկարում էր նրանց:

Տարրական գործառույթների գծապատկերներն ու հիմնական հատկությունները

Գծային ֆունկցիան տրվում է հավասարման միջոցով: Գծային ֆունկցիայի գծապատկերն է ուղիղ. Գիծ կառուցելու համար բավական է իմանալ երկու կետ:

Օրինակ 1

Կառուցեք գործառույթի գրաֆիկ: Գտեք երկու կետ: Օգտակար է զրո ընտրել որպես կետերից մեկը:

Եթե, ուրեմն

Մենք վերցնում ենք մի այլ այլ կետ, օրինակ ՝ 1:

Եթե, ուրեմն

Առաջադրանքները կատարելիս կետերի կոորդինատները սովորաբար ամփոփվում են աղյուսակում.

   Եվ արժեքներն իրենք են հաշվարկվում բանավոր կամ նախագծային հաշվիչի վրա:

Գտնվում է երկու կետ, կատարեք գծանկարը.

Նկարելիս մենք միշտ ստորագրում ենք գրաֆիկա.

Ավելորդ չի լինի հիշել գծային գործառույթի հատուկ դեպքերը.

   Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես ես դասագրեցի վերնագրերը, ստորագրությունները չպետք է սխալ ընկալվեն նկարը ուսումնասիրելիս. Այս դեպքում չափազանց անցանկալի էր ստորագրությունը դնել տողերի խաչմերուկի կետի մոտ, կամ ներքևի աջ մասում գծապատկերների միջև:

1) Ձևի () գծային ֆունկցիան կոչվում է ուղղակի համամասնություն: Օրինակ ՝. Ուղղակի համաչափության գրաֆիկը միշտ անցնում է ծագման միջոցով: Այսպիսով, գծի շինարարությունը պարզեցված է. Պարզապես գտեք մեկ կետ:

2) Ձևի հավասարումը սահմանում է առանցքը զուգահեռ ուղիղ գիծ, \u200b\u200bմասնավորապես, առանցքը ինքնին տրված է հավասարման միջոցով: Ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցվում է անմիջապես ՝ առանց որևէ միավոր գտնելու: Այսինքն ՝ գրառումը պետք է հասկացվի հետևյալ կերպ. «Խաղը միշտ հավասար է –4-ի, x – ի ցանկացած արժեքի համար»:

3) Ձևի հավասարումը սահմանում է առանցքը զուգահեռ ուղիղ գիծ, \u200b\u200bմասնավորապես, առանցքը ինքնին սահմանվում է հավասարման միջոցով: Գործառույթի գրաֆիկը նույնպես անմիջապես կառուցվում է: Գրառումը պետք է հասկացվի հետևյալ կերպ. «X միշտ, խաղացողի ցանկացած արժեքի համար հավասար է 1-ի»:

Ոմանք կհարցնեն ՝ ինչու՞ հիշել 6-րդ դասարանը: Դա այդպես է, միգուցե այդպես է, միայն պրակտիկայի տարիների ընթացքում ես հանդիպեցի մի տասնյակի ուսանողների, ովքեր խոչընդոտվել են նման ժամանակացույցի ստեղծման առաջադրանքով:

Ուղիղ գիծ կառուցելը ամենատարածված գործողությունն է նկարելիս:

Ուղիղ գիծը մանրամասն ուսումնասիրվում է վերլուծական երկրաչափության ընթացքում, իսկ ցանկացողները կարող են դիմել հոդվածին Ինքնաթիռում գծի հավասարումը.

Քառանկյուն, խորանարդ ֆունկցիայի գծապատկեր, բազմամոլի գծապատկեր

Պարաբոլա: Քառանիշ գործառույթի գրաֆիկ   () պարաբոլա է: Դիտարկենք հայտնի դեպքը.

Հիշեք գործառույթի որոշ հատկություններ:

Այսպիսով, մեր հավասարման լուծումը. - այս պահին է, որ պարաբոլայի գագաթը գտնվում է: Ինչու է դա այդպես կարելի, կարելի է գտնել ածանցյալի վերաբերյալ տեսական հոդվածում և գործառույթի էքստրեմմի դաս: Ընդ որում, մենք հաշվարկում ենք «խաղի» համապատասխան արժեքը.

Այսպիսով, եզրագիծը կետում է

Այժմ մենք գտնում ենք այլ կետեր, մինչդեռ կոպիտ կերպով մենք օգտագործում ենք պարաբոլայի սիմետրիան: Պետք է նշել, որ գործառույթը – ոչ նույնիսկբայց, այնուամենայնիվ, ոչ ոք չեղարկեց պարաբոլայի սիմետրիան:

Որ մնացած կետերը գտնելու համար, կարծում եմ, որ դա պարզ կլինի վերջնական աղյուսակից.

Այս շինարարական ալգորիթմը փոխաբերական իմաստով կարելի է անվանել «բեռնափոխադրող» կամ «հետ և առաջ» սկզբունք ՝ Անֆիսա Չեխովայի հետ:

Եկեք կատարենք նկարը.

   Ուսումնասիրված գծապատկերներից հիշվում է ևս մեկ օգտակար նշան.

Քառանիշ գործառույթի համար   () հետևյալը ճիշտ է.

Եթե, ապա ուղղվում են պարաբոլայի ճյուղերը.

Եթե, ապա պարաբոլայի ճյուղերը ուղղվում են ներքև.

Կորի խորքային գիտելիքներ կարելի է ստանալ դասի Hyperbola և Parabola դասում:

Կուբական պարաբոլան սահմանվում է ըստ գործառույթի: Ահա դպրոցից ծանոթ նկարը.

   Մենք թվարկում ենք գործառույթի հիմնական հատկությունները

Գործառույթի գրաֆիկ

Այն ներկայացնում է պարաբոլայի ճյուղերից մեկը: Եկեք կատարենք նկարը.

   Գործառույթի հիմնական հատկությունները.

Այս դեպքում առանցքն է ուղղահայաց ասիմպտոտ   հիպերբոլա հողամասի համար.

Դա կլինի մեծ սխալ, եթե, անփութությամբ խաղարկություն կազմելիս, մենք թույլատրենք գրաֆիկի խաչմերուկը ասիմպտոտով:

Նաև միակողմանի սահմանները մեզ ասում են այդ հիպերբլոլը սահմանափակված չէ վերևից  և սահմանափակված չէ ներքևից.

Մենք ուսումնասիրում ենք գործառույթը անսահմանության մեջ. Այսինքն, եթե մենք սկսենք ձախից (կամ աջից) անցնել դեպի անսահմանություն, ապա «խաղերը» կդառնան ավելի բարակ քայլ անսահման մոտ  մոտենալ զրոյին, և, համապատասխանաբար, հիպերբոլայի ճյուղերը անսահման մոտ  մոտենալ առանցքին:

Այսպիսով, առանցքն է հորիզոնական ասիմպտոտ   ֆունկցիայի գծապատկերում, եթե «X» -ը հակված է գումարած կամ մինուս անսահմանության:

Գործառույթն է տարօրինակ, և, հետևաբար, հիպերբոլան սիմետրիկ է ծագման առումով: Այս փաստը նկարից ակնհայտ է, բացի այդ, այն հեշտությամբ վերլուծվում է. .

Ձևի գործառույթի գրաֆիկը () ներկայացնում է հիպերբոլայի երկու ճյուղ.

Եթե, ապա հիպերբոլան գտնվում է առաջին և երրորդ կոորդինատային եռամսյակներում  (տե՛ս վերևում նկարը):

Եթե, ապա հիպերբլորը գտնվում է երկրորդ և չորրորդ կոորդինատային եռամսյակներում.

Հիպերբոլայի բնակության նշված օրինաչափությունը դժվար չէ վերլուծել գրաֆիկների երկրաչափական փոխակերպումների տեսանկյունից:

Օրինակ 3

Կառուցեք հիպերբոլայի ճիշտ ճյուղը

Մենք օգտագործում ենք շինարարության կետային եղանակը, մինչդեռ ձեռնտու է ընտրել արժեքները, որպեսզի դրանք ամբողջությամբ բաժանվեն.

Եկեք կատարենք նկարը.

   Հիպերբոլայի ձախ ճյուղը կառուցելը դժվար չի լինի, այստեղ գործառույթի տարօրինակությունը կօգնի: Կոպիտ ասած, կետային շինարարության աղյուսակում, մտավորորեն ավելացնել յուրաքանչյուր մինուս մինուս, դնել համապատասխան կետերը և գծել երկրորդ մասնաճյուղը:

Հաշվարկային գծի վերաբերյալ մանրամասն երկրաչափական տեղեկատվություն կարելի է գտնել Հիպերբոլա և Պարաբոլա հոդվածում:

Onուցահանդեսային գործառույթի գրաֆիկ

Այս բաժնում ես անմիջապես կքննարկեմ էքսպոնենցիոնալ գործառույթ, քանի որ 95% դեպքերում բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրներում դա արտահայտիչ է:

Ես հիշեցնում եմ, որ սա իռացիոնալ թիվ է. Այն կպահանջվի ժամանակացույց կառուցելիս, որը, ըստ էության, ես կկառուցեմ առանց արարողության: Երեք միավոր, հավանաբար, բավարար է.

Եկեք թողնենք գործառույթի գրաֆիկը միայնակ, ավելի ուշ դրա մասին:

Գործառույթի հիմնական հատկությունները.

Գործառույթների գրաֆիկները հիմնականում նույնն են և այլն:

Պետք է ասեմ, որ երկրորդ դեպքը պրակտիկայում ավելի քիչ է տարածված, բայց դա տեղի է ունենում, ուստի հարկ համարեցի, որ այն ներառվի այս հոդվածում:

Լոգարիթմական գործառույթի գծապատկեր

Դիտարկենք մի գործառույթ բնական լոգարիթմով:
   Եկեք կատարենք կետային գծապատկեր.

Եթե \u200b\u200bմոռացել եք, թե որն է լոգարիթմը, դիմեք դպրոցական գրքերին:

Գործառույթի հիմնական հատկությունները.

Շրջանակ:

Արժեքների շարք.

Գործառույթը վերևից չի սահմանափակվում. , թեև դանդաղ, բայց լոգարիթմի ճյուղը բարձրանում է մինչև անսահմանություն:
   Մենք ուսումնասիրում ենք գործառույթի պահվածքը ՝ զրոյի մոտ աջից. . Այսպիսով, առանցքն է ուղղահայաց ասիմպտոտ   «x» ֆունկցիայի գծապատկերի համար, աջից զրոյական ձգտելով:

Համոզվեք, որ գիտեք և հիշեք լոգարիթմի բնորոշ արժեքը: .

Լոգարիթմի գրաֆիկը բազայում նայում է հիմնականում. `(Տասնորդական լոգարիթմ ՝ հիմնվելով 10-ի բազայի վրա) և այլն: Ավելին, որքան մեծ է բազան, այնքան ավելի մեղմ կլինի գրաֆիկը:

Մենք գործը չենք դիտարկի; ես չեմ հիշում մի բան, երբ վերջին անգամ ես այդպիսի պատճառներով ժամանակացույց կառուցեցի: Եվ լոգարիթմը, կարծես, շատ հազվադեպ հյուր է բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրների մեջ:

Եզրափակելով ՝ ես ևս մեկ փաստ կասեմ. Onուցահանդեսային գործառույթ և լոգարիթմական գործառույթԵրկու փոխադարձ հակադարձ գործառույթ են. Եթե \u200b\u200bուշադիր նայում եք լոգարիթմի գրաֆիկը, կարող եք տեսնել, որ սա նույն ցուցիչն է, այն պարզապես գտնվում է մի փոքր այլ կերպ:

Տրիգոնոմետրիկ գործառույթների գծապատկերներ

Ինչի՞ց է սկսվում դպրոցում տրիգոնոմետրիկ տանջանքը: Իշտ է Սինուսով

Մենք գծագրում ենք գործառույթը

Այս գիծը կոչվում է սինուս ալիք.

Ես հիշեցնում եմ ձեզ, որ «pi» - ը իռացիոնալ թիվ է: և դրանից տրիգոնոմետրիան հասնում է աչքերի մեջ:

Գործառույթի հիմնական հատկությունները.

Այս գործառույթն է պարբերական  ժամանակաշրջանի հետ: Ի՞նչ է սա նշանակում: Եկեք նայենք հատվածին: Դրա ձախ և աջ կողմում, գծապատկերի հենց նույն կտորը անվերջ կրկնվում է:

Շրջանակ:, այսինքն ՝ «X» - ի ցանկացած արժեքի համար կա սինուսային արժեք:

Արժեքների շարք. Գործառույթն է սահմանափակ:, այսինքն ՝ բոլոր «խաղերը» խստորեն նստած են հատվածում:
   Դա տեղի չի ունենում. Կամ, ավելի ճիշտ, դա տեղի է ունենում, բայց նշված հավասարումները լուծում չունեն:

Ներկայացում և դաս թեմայի շուրջ.
"Հիպերբոլա, սահմանում, ֆունկցիայի հատկություն"

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտվողներ, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունը, արձագանքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրաշարով:

Ուսուցման ձեռնարկներ և սիմուլյատորներ առցանց ինտեգրալում «Ինտեգրալ» 8-րդ դասարանի համար
Երկրաչափության աղյուսակներ: 7-9 դասարաններ
Աղյուսակներ հանրահաշվին: 7-9 դասարաններ

Հիպերբոլ, սահմանում

  Տղերք, այսօր մենք կուսումնասիրենք նոր գործառույթ և կկազմենք դրա ժամանակացույցը:
  Դիտարկենք գործառույթը ՝ $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k ≠ 0 $:
  Գործակից $ k $ - կարող է վերցնել ցանկացած իրական արժեք, բացառությամբ զրոյի: Պարզության համար գործառույթի վերլուծությունը սկսում ենք այն դեպքից, երբ $ k \u003d 1 $:
  Մենք գործառույթ ենք դնում. $ Y \u003d \\ frac (1) (x) $:
  Ինչպես միշտ, սկսեք սեղան կառուցել: Իշտ է, այս անգամ մենք ստիպված ենք լինելու մեր սեղանը բաժանել երկու մասի: Դիտարկենք այն դեպքը, երբ $ x\u003e 0 $:
  Մենք պետք է վեց կետ նշենք այն կոորդինատներով $ (x; y) $, որոնք ցույց են տրված աղյուսակում և դրանք միացնել տողով:
  Հիմա տեսնենք, թե ինչ ենք մենք ստանում բացասական x- ով:   Մենք գործում ենք նույն ձևով, նշում ենք կետերը և դրանք կապում գծի հետ:   Մենք կառուցեցինք գրաֆիկի երկու կտոր, եկեք համատեղենք դրանք:

Գործառույթի գծապատկեր $ y \u003d \\ frac (1) (x) $:
  Նման գործառույթի գրաֆիկը կոչվում է «Հիպերբոլ»:

Հիպերբոլի հատկությունները

  Համաձայն եմ, գրաֆիկը բավականին գեղեցիկ տեսք ունի, և սիմետրիկ է ծագման մասին: Եթե \u200b\u200bգծագրենք ծագմամբ անցնող ցանկացած տող առաջինից երրորդ եռամսյակ, ապա այն կանցնի մեր գրաֆիկը երկու կետով, որոնք հավասարապես հեռավոր կլինեն ծագումից:
  Հիպերբոլան բաղկացած է երկու մասից, որոնք սիմետրիկ են ծագման վերաբերյալ: Այս մասերը կոչվում են հիպերպոլի մասնաճյուղեր:
  Հիպերբոլայի ճյուղերը մեկ ուղղությամբ (ձախ և աջ) ավելի ու ավելի են ձգտում դեպի abscissa առանցքը, բայց երբեք այն չանցնել: Մյուս ուղղությամբ (վեր և վար) նրանք հակված են կարգավորված առանցքին, բայց նաև երբեք չեն անցնում այն \u200b\u200b(քանի որ անհնար է բաժանել զրոյի հետ): Նման դեպքերում համապատասխան տողերը կոչվում են ասիմպտոտներ: Հիպերբոլայի հողամասը ունի երկու ասիմպտոտ ՝ x առանցքը և y առանցքը:

Հիպերբոլան ունի ոչ միայն սիմետրիայի կենտրոն, այլև սիմետրիայի առանցք: Տղերք, գծեք ուղիղ գիծ $ y \u003d x $ և տեսեք, թե ինչպես է բաժանվում մեր գծապատկերը: Կարելի է նշել, որ եթե այն մասը, որը գտնվում է $ y \u003d x $ տողից վերևում, վերին մասում գերակշռում է այն մասի վրա, ապա դրանք համընկնում են, ինչը նշանակում է, որ սիմետրիա է գծի նկատմամբ:

Մենք գծագրեցինք գործառույթը $ y \u003d \\ frac (1) (x) $, բայց ինչ կլինի ընդհանուր դեպքում $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k\u003e 0 $:
Գրաֆիկները դժվար թե տարբերվեն: Կստացվի նույն ճյուղերով հիպերբոլա, միայն ավելի շատ $ $ $, հետագա մասնաճյուղերը հանվելու են ծագումից, իսկ ավելի քիչ $ K $, այնքան ավելի մոտ է ծագմանը:

Օրինակ ՝ $ y \u003d \\ frac (10) (x) $ գործառույթի գրաֆիկը հետևյալն է.   Գրաֆիկը դարձել է «ավելի լայն», տեղափոխվել է ծագումից:
  Բայց ինչ վերաբերում է բացասական $ k $: Գործառույթի գրաֆիկը $ y \u003d -f (x) $ սիմետրիկ է $ y \u003d f (x) $ գրաֆիկի հետ համեմատած abscissa առանցքի հետ, անհրաժեշտ է այն շուռ տանել:
  Եկեք օգտագործենք այս գույքը և պլանավորենք գործառույթը $ y \u003d - \\ frac (1) (x) $:

  Ամփոփեք ձեռք բերված գիտելիքները:
  Գործառույթի գրաֆիկը $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k ≠ 0 $ է հիպերբոլան, որը գտնվում է առաջին և երրորդ (երկրորդ և չորրորդ) կոորդինատների եռամսյակներում, $ k\u003e 0 $ ($ k

Գործառույթի հատկությունները $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k\u003e 0 $

  1. Գործողություն ՝ բոլոր համարները, բացառությամբ $ x \u003d 0 $:
  2. $ y\u003e 0 $ x x\u003e 0 $ և $ y 3. գործառույթը նվազում է ընդմիջումներով $ (- ∞; 0) $ և $ (0; + ∞) $ ընդմիջումներով:



  7. Արժեքների շարք `$ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $.

Գործառույթի հատկությունները $ y \u003d \\ frac (k) (x) $, $ k
  1. Գործողություն ՝ բոլոր համարները, բացառությամբ $ x \u003d 0 $:
  2. $ y\u003e 0 $ x x 0 $ համար:
  3. Գործառույթը մեծանում է $ (- ∞; 0) $ և $ (0; + ∞) $ ընդմիջումներով:
  4. Գործառույթը չի սահմանափակվում ոչ վերևից, ոչ էլ ներքևից:
  5. Չկա ամենամեծ կամ փոքր արժեք:
  6. Գործառույթը շարունակական է $ (- ∞; 0) U (0; + ∞) ընդմիջումներով $ և ունի անջատողականություն $ x \u003d 0 $ կետում:
  7. Արժեքների շարք `$ (- ∞; 0) U (0; + ∞) $.

Գործառույթը գրվում է ընդհանուր ձևով ՝ y \u003d կամ f (x) \u003d

y և x են հակադարձ համեմատական \u200b\u200bարժեքներ, այսինքն երբ մեկը մեծանում է, մյուսը նվազում է (ստուգեք գործառույթի թվերը փոխարինելով)

Ի տարբերություն նախորդ գործառույթի, որի դեպքում x 2- ը միշտ ստեղծում է դրական արժեքներ, այստեղ մենք չենք կարող ասել, որ - \u003d, քանի որ դրանք լրիվ հակառակ թվեր են: Նման գործառույթները կոչվում են տարօրինակ.

Օրինակ ՝ հողամաս y \u003d

Բնականաբար, x- ը չի կարող զրոյական լինել (x ≠ 0)

Մասնաճյուղերհիպերբոլաները գտնվում են կոորդինատների 1-ին և 3-րդ մասում:

Նրանք կարող են անվերջ մոտենալ աբսցիսների և արարողությունների առանցքին և երբեք չհասնել դրանց, նույնիսկ եթե «x» - ը հավասար է միլիարդի: Հիպերբլոկը կլինի անսահման մոտ, բայց դեռ չի հատվի առանցքներին (այդպիսի մաթեմատիկական տխրություն):

Մենք ծրագրավորում ենք y \u003d -

Եվ հիմա հիպերբոլայի մասնաճյուղերը գտնվում են համակարգված ինքնաթիռի երկրորդ և չորրորդ քառորդում:

Արդյունքում, բոլոր ճյուղերի միջև կարելի է դիտարկել ամբողջական սիմետրիա: