Descrierea producției folosind set tehnologic. Conceptul de sistem de producție și procesul de producție. Procesul tehnologic și ansamblul tehnologic Funcțiile de producție și proprietățile acestora

Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse

Universitatea de Stat Iaroslav Înțeleptul Novgorod

Rezumat după disciplină:

management

Completat de un student gr.6061 zo

Makarova S.V.

Primit de Suchkov A.V.

Velikiy Novgorod

1. PROCESUL DE PRODUCȚIE ȘI ELEMENTELE SĂU.

Baza producției și activității economice a întreprinderii este procesul de producție, care este o combinație de procese de muncă interdependente și procese naturale care vizează fabricarea anumitor tipuri de produse.
Organizarea procesului de producție constă în combinarea oamenilor, uneltelor și obiectelor muncii într-un singur proces de producție a bunurilor materiale, precum și în asigurarea unei combinații raționale în spațiu și timp a proceselor principale, auxiliare și de serviciu.

Procesele de producție la întreprinderi sunt detaliate după conținut (proces, etapă, operare, element) și locul de implementare (întreprindere, redistribuire, atelier, departament, secție, unitate).
Ansamblul proceselor de producție care au loc în întreprindere este un proces total de producție. Procesul de producție al fiecărui tip individual de produs al întreprinderii se numește proces privat de producție. La rândul lor, într-un proces de producție privat, procesele parțiale de producție pot fi distinse ca elemente complete și separate din punct de vedere tehnologic ale unui proces de producție privat care nu sunt elemente primare ale procesului de producție (este de obicei realizat de lucrători de diferite specialități folosind echipamente pentru diverse scopuri).
Ca element principal al procesului de producție ar trebui luat în considerare operare tehnologica- o parte omogenă din punct de vedere tehnologic a procesului de producție, realizată la un singur loc de muncă. Procesele parțiale separate din punct de vedere tehnologic sunt etape ale procesului de producție.
Procesele parțiale de producție pot fi clasificate după mai multe criterii:

Pentru scopul propus;

Natura curgerii în timp;

Metoda de influențare a obiectului muncii;

Natura muncii implicate.
Procesele sunt clasificate în funcție de scop. principal, auxiliar și de serviciu.
Principal procese de producție - procese de transformare a materiilor prime și materialelor în produse finite, care sunt principalele, de profil
produse pentru această companie. Aceste procese sunt determinate de tehnologia de fabricație a acestui tip de produs (prepararea materiilor prime, sinteza chimică, amestecarea materiilor prime, ambalarea și ambalarea produselor).
Auxiliar procesele de producţie vizează fabricarea produselor sau prestarea de servicii pentru a asigura derularea normală a principalelor procese de producţie. Astfel de procese de producție au propriile lor obiecte de muncă, diferite de obiectele de muncă ale principalelor procese de producție. De regulă, acestea sunt efectuate în paralel cu principalele procese de producție (reparații, ambalare, unelte).
Servire procesele de producţie asigură crearea condiţiilor normale pentru derularea proceselor de producţie principale şi auxiliare. Nu au propriul obiect de muncă și procedează, de regulă, secvenţial cu procesele principale şi auxiliare, intercalate cu acestea (transportul materiilor prime şi produselor finite, depozitarea acestora, controlul calităţii).
Principalele procese de producție din principalele ateliere (secții) ale întreprinderii formează producția principală a acesteia. Procesele de producție auxiliare și, respectiv, de servicii din magazinele auxiliare și de servicii - formează o economie auxiliară.
Rolul diferit al proceselor de producție în procesul general de producție determină diferențele în mecanismele de management ale diferitelor tipuri de unități de producție. În același timp, clasificarea proceselor parțiale de producție în funcție de scopul vizat poate fi efectuată numai în raport cu un anumit proces privat.
Combinând procesele principale, auxiliare, de serviciu și alte procese într-o anumită secvență formează structura procesului de producție.
Procesul principal de producție reprezintă procesul și producția produselor principale, care include procese naturale, procese tehnologice și de lucru, precum și așteptarea inter-operațională.
Proces natural - un proces care duce la o schimbare a proprietăților și compoziției obiectului muncii, dar se desfășoară fără participarea omului (de exemplu, la fabricarea anumitor tipuri de produse chimice).

Procesele naturale de producție pot fi considerate ca pauze tehnologice necesare între operații (răcire, uscare, îmbătrânire etc.)
Tehnologic procesul este un set de procese, în urma cărora au loc toate schimbările necesare în obiectul muncii, adică se transformă într-un produs finit.
Operațiunile auxiliare contribuie la implementarea operațiunilor principale (transport, control, sortare a produselor etc.).
Proces de muncă - un set de toate procesele de muncă (operații principale și auxiliare).
Structura procesului de producție se modifică sub influența tehnologiei echipamentului utilizat, a diviziunii muncii, a organizării producției etc.
Pozare interoperațională - pauze prevăzute de procesul tehnologic.
După natura curgerii în timp, ele disting continuuȘi periodic Procese de producție. În procesele continue, nu există întreruperi în procesul de producție. Operațiunile de întreținere a producției se desfășoară simultan sau în paralel cu operațiunile principale. În procesele periodice, executarea operațiunilor de bază și de întreținere are loc secvențial, din cauza cărora procesul principal de producție este întrerupt în timp.
După metoda impactului asupra obiectului muncii, ei disting mecanice, fizice, chimice, biologiceși alte tipuri de procese de producție.
După natura muncii utilizate, procesele de producţie se clasifică în automat, mecanizat și manual.

Principiile organizării procesului de producție sunt punctele de plecare pe baza cărora se realizează construcția, operarea și dezvoltarea procesului de producție.

Există următoarele principii de organizare a procesului de producție:
diferențiere - împărțirea procesului de producție în părți separate (procese, operațiuni, etape) și repartizarea acestora către diviziile relevante ale întreprinderii;
combinare - combinarea totală sau parțială a diverselor procese de fabricare a anumitor tipuri de produse în cadrul aceluiași site, atelier sau producție;
concentrare - concentrarea anumitor operațiuni de producție pentru fabricarea de produse omogene din punct de vedere tehnologic sau efectuarea de lucrări omogene funcțional la locurile de muncă, șantierele, atelierele sau unitățile de producție individuale ale întreprinderii;
specializare - atribuirea fiecărui loc de muncă și fiecărei divizii a unei game strict limitate de lucrări, operațiuni, piese și produse;
universalizare - fabricarea de piese și produse dintr-o gamă largă sau efectuarea unor operațiuni de producție eterogene la fiecare loc de muncă sau unitate de producție;
proporționalitate - o combinație de elemente individuale ale procesului de producție, care se exprimă într-o anumită relație cantitativă între ele;
paralelism - prelucrarea simultană a diferitelor părți dintr-un lot pentru o operațiune dată la mai multe locuri de muncă etc.;
rectitudine - implementarea tuturor etapelor și operațiunilor procesului de producție în condițiile celei mai scurte căi de trecere a obiectului muncii de la început până la sfârșit;
Ritm - repetarea prin perioade stabilite de timp a tuturor proceselor individuale de producție și a unui singur proces de producere a unui anumit tip de produs.
Principiile de mai sus de organizare a producției în practică nu funcționează izolat unele de altele, ele sunt strâns împletite în fiecare proces de producție. Principiile organizării producției se dezvoltă inegal - într-o perioadă sau alta, unul sau altul iese în prim-plan sau capătă o importanță secundară.
Dacă combinația spațială a elementelor procesului de producție și a tuturor varietăților sale este implementată pe baza formării structurii de producție a întreprinderii și a subdiviziunilor sale, organizarea proceselor de producție în timp se exprimă în stabilirea procedurii de efectuarea operațiunilor logistice individuale, combinarea rațională a timpului de execuție a diferitelor tipuri de lucrări, definirea calendarului și a standardelor de planificare pentru deplasarea obiectelor de muncă.
Baza construirii unui sistem eficient de logistică de producție este programul de producție, format pe baza sarcinii de satisfacere a cererii consumatorilor și de a răspunde la întrebările: cine, ce, unde, când și în ce cantitate va fi produsă (produs). Programul de producție vă permite să stabiliți caracteristicile volumetrice și temporale ale fluxurilor de materiale diferențiate pentru fiecare unitate structurală de producție.
Metodele utilizate pentru alcătuirea programului de producție depind de tipul de producție, precum și de caracteristicile cererii și parametrii comenzilor pot fi unice, la scară mică, în serie, la scară mare, în masă.
Caracteristica tipului de producție este completată de caracteristica ciclului de producție - aceasta este perioada de timp dintre începutul și sfârșitul procesului de producție în raport cu produse specifice din cadrul sistemului logistic (întreprindere).
Ciclul de producție constă în timpul de lucru și timpul de pauză în fabricarea produselor.
La rândul său, perioada de lucru este formată din timpul tehnologic principal, timpul de efectuare a transportului în operațiuni de control și timpul de ridicare.
Timpul pauzelor este împărțit în timpul pauzelor interoperaționale, intersecționale și alte pauze.
Durata ciclului de producție depinde în mare măsură de caracteristicile mișcării fluxului de material, care poate fi secvenţial, paralel, paralel-serial.
În plus, durata ciclului de producție este influențată și de formele de specializare tehnologică a unităților de producție, de sistemul de organizare a proceselor de producție în sine, de progresivitatea tehnologiei utilizate și de nivelul de unificare a produselor.
Ciclul de producție include și timpul de așteptare - acesta este intervalul din momentul primirii unei comenzi până în momentul în care începe să fie executată, pentru a minimiza ceea ce este important să se determine inițial lotul optim de produse - un lot la care costul pe produsul este valoarea minimă.
Pentru a rezolva problema alegerii lotului optim, se acceptă în general că costul de producție constă în costuri directe de producție, costuri de stocare a stocurilor și costuri de schimbare a echipamentelor și timpi de nefuncționare la schimbarea loturilor.
În practică, lotul optim este adesea determinat prin calcul direct, dar la formarea sistemelor logistice, este mai eficient să se utilizeze metode de programare matematică.
În toate domeniile de activitate, dar mai ales în logistica producției, sistemul de norme și standarde este de o importanță capitală. Include atât norme extinse, cât și detaliate privind consumul de materiale, energie, utilizarea echipamentelor etc.

2. Metode de rezolvare a problemei transportului.

Problema transportului (clasic)- problema planului optim de transport al unui produs omogen de la puncte omogene de disponibilitate la puncte omogene de consum pe vehicule omogene (cantitate prestabilita) cu date statice si abordare liniara (acestea sunt principalele conditii ale problemei).

Pentru sarcina clasică de transport se disting două tipuri de sarcini: criteriul costului (realizarea unui minim de costuri de transport) sau distanțele și criteriul timpului (timpul minim alocat transportului).

Istoricul căutării metodelor de rezolvare

Problema a fost formalizată pentru prima dată de matematicianul francez Gaspard Monge V 1781 an . Principalul avans s-a făcut în câmpuri în timpul Marele Război Patriotic matematician și economist sovietic Leonid Kantorovich . Prin urmare, uneori se numește această problemă sarcina de transport Monge - Kantorovich.

Caracteristicile proceselor inflaționiste în Rusia modernă.

1. Conceptul de producție și PF. Set de productie.

2. Problema maximizării profitului

3. Echilibrul producătorului. Progres tehnic

4. Problema minimizării costurilor.

5. Agregarea în teoria producţiei. Echilibrul firmei și industriei în perioada d/av

(auto)aprovizionare de firme competitive cu obiective alternative

Productie- activitate care vizează producerea cantităţii maxime de bunuri materiale, depinde de numărul de factori de producţie utilizaţi, dat de aspectul tehnologic al producţiei.

Orice proces tehnologic poate fi reprezentat folosind vectorul ieșirilor nete, care va fi notat cu y. Dacă, conform acestei tehnologii, firma produce produsul i-lea, atunci coordonata i-a a vectorului y va fi pozitivă. Dacă, dimpotrivă, produsul i-lea este cheltuit, atunci această coordonată va fi negativă. Dacă un anumit produs nu este consumat și nu este produs conform acestei tehnologii, atunci coordonata corespunzătoare va fi egală cu 0.

Mulțimea tuturor vectorilor de producție netă disponibili din punct de vedere tehnologic pentru o firmă dată va fi numită mulțimea de producție a firmei și notat cu Y.

Proprietățile setului de producție:

1. Setul de producție nu este gol, adică. Firma are acces la cel puțin un proces tehnologic.

2. Setul de producție este închis.

3. Absența unei „cornucopia”: dacă y 0 și y ∊Y, atunci y=0. Nu poți produce ceva fără să cheltuiești nimic (nu y<0, т.е. ресурсов).

4. Posibilitate de inactivitate (lichidare): 0∊Y. în realitate, pot exista costuri necuvenite.

5. Libertatea de a cheltui: y∊Y și y` y, apoi y`∊Y. Setul de producție include nu numai cele optime, ci și tehnologii cu producții/costuri cu resurse mai mici.

6. ireversibilitate. Dacă y∊Y și y 0, atunci –y Y. Dacă 1 din al doilea bun poate fi produs din 2 unități din primul bun, atunci procesul invers nu este posibil.

7. Convexitate: dacă y`∊Y, atunci αy + (1-α)y` ∊ Y pentru toate α∊. Convexitate strictă: pentru toate α∊(0,1). Proprietatea 7 permite combinarea tehnologiilor pentru a obține alte tehnologii disponibile.

8. Revenirea la scară:

Dacă, în termeni procentuali, volumul factorilor utilizați s-a modificat cu ∆N, iar modificarea corespunzătoare a producției a fost ∆Q, atunci au loc următoarele situații:

- ∆N = ∆Q există un randament proporțional (o creștere a numărului de factori a dus la o creștere corespunzătoare a producției)

- ∆N< ∆Q există randamente în creștere (economii de scară pozitive) – i.e. producția a crescut într-o proporție mai mare decât a crescut numărul de intrări

- ∆N > ∆Q există randamente descrescătoare (economii de scară negative) – i.e. o creștere a costurilor duce la o creștere procentuală mai mică a producției

Efectul de scară este relevant pe termen lung. Dacă creșterea scarei producției nu duce la o modificare a productivității muncii, avem de-a face cu randamente la scară neschimbate. Rentabilitatea la scară descrescătoare este însoțită de o scădere a productivității muncii, în timp ce randamentele crescătoare la scară sunt însoțite de creșterea acesteia.

Dacă setul de bunuri care sunt produse este diferit de setul de resurse care sunt utilizate și este produs un singur bun, atunci setul de producție poate fi descris folosind o funcție de producție.

funcția de producție(PF) - reflectă relația dintre producția maximă și o anumită combinație de factori (muncă și capital) și la un anumit nivel de dezvoltare tehnologică a societății.

Q=f(f1,f2,f3,...fn)

unde Q este producția firmei pentru o anumită perioadă de timp;

fi - cantitatea de i-a resursă utilizată în producerea produselor;

În general, există trei factori de producție: muncă, capital și materiale. Ne restrângem la analiza a doi factori: munca (L) și capitalul (K), apoi funcția de producție ia forma: Q = f (K, L).

Tipurile de PF pot varia în funcție de natura tehnologiei și pot fi reprezentate în trei forme:

PF liniar de forma y = ax1 + bx2 se caracterizează prin reveniri constante la scară.

Leontief PF - în care resursele se completează reciproc, combinația lor este determinată de tehnologie, iar factorii de producție nu sunt interschimbabili.

PF Cobb-Douglas- o funcţie în care factorii de producţie utilizaţi au proprietatea de interschimbabilitate. Vedere generală a funcției:

Unde A este coeficientul tehnologic, α este coeficientul de elasticitate a muncii și β este coeficientul de elasticitate a capitalului.

Dacă suma exponenților (α + β) este egală cu unu, atunci funcția Cobb-Douglas este liniar omogenă, adică prezintă randamente constante atunci când scara producției se modifică.

Pentru prima dată, funcția de producție a fost calculată în anii 1920 pentru industria prelucrătoare din SUA, sub formă de egalitate.

Pentru Cobb-Douglas PF, este adevărat:

1. Din moment ce a< 1 и b < 1, предельный продукт каждого фактора меньше среднего продукта (МРК < АРК и MPL < APL).

2. Întrucât derivatele secunde ale funcției de producție față de muncă și capital sunt negative, se poate argumenta că această funcție se caracterizează printr-un produs marginal în scădere atât al muncii cât și al capitalului.

3. Odată cu scăderea valorii MRTSL, K scade treptat. Aceasta înseamnă că izocuantele funcției de producție au o formă standard: sunt izocuante netede cu pantă negativă, convexe față de origine.

4. Această funcție este caracterizată printr-o elasticitate de substituție constantă (egală cu 1).

5. Funcția Cobb-Douglas poate caracteriza orice tip de reveniri la scară, în funcție de valorile parametrilor a și b

6. Funcția luată în considerare poate servi pentru a descrie diferite tipuri de progres tehnic.

7 Parametrii de putere ai funcției sunt coeficienții de elasticitate a producției pentru capital (a) și pentru muncă (b), astfel încât ecuația pentru rata de creștere a producției (8.20) pentru funcția Cobb-Douglas devine GQ = Gz + aGK + bGL . Parametrul a, așadar, caracterizează, parcă, „contribuția” capitalului la creșterea producției, iar parametrul b caracterizează „contribuția” muncii.

PF se bazează pe o serie de „funcții de producție”. Acestea tratează efectul producției în trei cazuri: (1) o creștere proporțională a tuturor costurilor, (2) o modificare a structurii costurilor cu producție constantă, (3) o creștere a unui factor de producție cu restul neschimbat. cazul (3) se referă la perioada de scurtă durată.

Funcția de producție cu un factor variabil este:

Vedem că cea mai eficientă modificare a factorului variabil X se observă în segmentul de la punctul A la punctul B. Aici, produsul marginal (MP), ajuns la valoarea sa maximă, începe să scadă, produsul mediu (AR) încă crește, produsul total (TR) primește cea mai mare creștere.

Legea randamentelor descrescatoare(legea produsului marginal descrescător) - definește o situație în care realizarea unor volume de producție duce la o scădere a producției de produse finite pe unitatea suplimentară de resursă introdusă.

De regulă, un anumit volum poate fi produs prin diferite metode de producție. Acest lucru se datorează faptului că factorii de producție sunt interschimbabili într-o anumită măsură. Este posibil să se tragă izocuante corespunzătoare tuturor metodelor de producție necesare producției într-un volum dat. Ca rezultat, obținem o hartă izocuantă care caracterizează relația dintre toate combinațiile posibile de intrări și dimensiuni de ieșire și, prin urmare, este o ilustrare grafică a funcției de producție.

izocuanta ( linia de producție egală - izocuanta) - o curbă care reflectă toate combinațiile de factori de producție care asigură aceeași ieșire.

Setul de izocuanți, fiecare dintre ele indicând rezultatul maxim obținut prin utilizarea anumitor combinații de resurse, se numește hartă izocuantă. Cu cât izocuanta este situată mai departe de origine, cu atât mai multe resurse sunt implicate în metodele de producție situate pe ea și cu atât dimensiunile de ieșire care sunt caracterizate de această izocuanta sunt mai mari (Q3> Q2> Q1).

Izocuanta și forma sa reflectă dependența dată de PF. Pe termen lung, există o anumită complementaritate (completitudine) a factorilor de producție, dar fără o scădere a producției, este de asemenea probabilă o anumită interschimbabilitate a acestor factori de producție. Astfel, se pot folosi diverse combinații de resurse pentru a produce un bun; este posibil să se producă acest bun folosind mai puțin capital și mai multă muncă și invers. În primul caz, producția este considerată eficientă din punct de vedere tehnic în comparație cu al doilea caz. Cu toate acestea, există o limită la cât de multă muncă poate fi înlocuită cu mai mult capital fără a reduce producția. Pe de altă parte, există o limită a utilizării muncii manuale fără utilizarea mașinilor. Vom lua în considerare izocuanta din zona de substituție tehnică.

Nivelul de interschimbabilitate al factorilor reflectă indicatorul rata marginală de substituție tehnică. - proporția în care un factor poate fi înlocuit cu altul menținând aceeași producție; reflectă panta izocuantei.

MRTS = - ∆K / ∆L = MP L / MP K

Pentru ca producția să rămână neschimbată atunci când numărul de factori de producție utilizați se modifică, cantitățile de muncă și de capital trebuie să se schimbe în direcții diferite. Dacă valoarea capitalului este redusă (AK< 0), то количество труда должно увеличиваться (AL >0). Între timp, rata marginală de substituție tehnică este pur și simplu proporția în care un factor de producție poate fi înlocuit cu altul și, ca atare, este întotdeauna pozitiv.

Făcând clic pe butonul „Descărcați arhiva”, veți descărca gratuit fișierul de care aveți nevoie.
Înainte de a descărca acest fișier, amintiți-vă acele eseuri bune, control, lucrări, teze, articole și alte documente care nu sunt revendicate pe computer. Aceasta este munca ta, ar trebui să participe la dezvoltarea societății și să beneficieze oamenii. Găsiți aceste lucrări și trimiteți-le la baza de cunoștințe.
Noi și toți studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vom fi foarte recunoscători.

Pentru a descărca o arhivă cu un document, introduceți un număr de cinci cifre în câmpul de mai jos și faceți clic pe butonul „Descărcați arhiva”

Documente similare

Esența costurilor de producție, clasificarea lor. Principalele direcții de reducere a costurilor de producție. Esența economică și funcțiile de profit. Cheltuieli de exploatare si neexploatare. Studiul relației dintre costurile de producție și profitul întreprinderii.

lucrare de termen, adăugată 24.05.2014


Subiectul și funcțiile teoriei economice. Produsul și proprietățile acestuia. Principiile utilităţii marginale. Teoria banilor K. Marx. Conceptul de lichiditate, costuri și venit al firmei. Tipuri și caracteristici ale competiției. Modelul cererii și ofertei agregate. Impozite, funcțiile lor.

cheat sheet, adăugată la 01.11.2011


Subiect de teorie economică, structură și funcții. Legile economice și clasificarea lor. Teoria valorii muncii. Produsul și proprietățile acestuia. Natura duală a muncii întruchipată în marfă. Valoarea articolului. Legea valorii și funcțiile sale.

cheat sheet, adăugată 22.10.2009


Problemele costurilor de producție ca subiect de studiu al oamenilor de știință-economiști. Esența costurilor de producție și tipurile acestora. Rolul profitului în condițiile dezvoltării antreprenoriatului. Esența și funcțiile profitului, tipurile sale. Rentabilitatea întreprinderii și indicatorii acesteia.

lucrare de termen, adăugată 28.11.2012


Esența și semnificația creșterii economice. Tipuri și metode de măsurare a creșterii economice. Proprietățile de bază ale funcției Cobb-Douglas. Indicatori și modele de creștere economică. Factori care limitează creșterea economică. Funcția derivată și proprietățile acesteia.

lucrare de termen, adăugată 26.06.2012


Esența și principalele funcții ale profitului. Eficiența economică a modernizării echipamentelor tehnologice și utilizarea tehnologiilor inovatoare în repararea pavajului autostrăzilor. Rezerve pentru creșterea profitului într-o organizație de construcții.

teză, adăugată 07.04.2013


Esența profitului în știința economică: concept, tipuri, forme, metode de planificare. Esența metodei de numărare directă, calcul combinat. Principalele modalități de creștere a profiturilor la întreprinderile rusești în condiții moderne. Relația dintre salarii și profit.

lucrare de termen, adăugată 18.12.2017

2. Seturi de producție și funcții de producție

2.1. Seturi de producție și proprietățile acestora

Luați în considerare cel mai important participant la procesele economice - un producător individual. Producătorul își realizează obiectivele doar prin consumator și, prin urmare, trebuie să ghicească, să înțeleagă ce vrea și să-și satisfacă nevoile. Vom presupune că există n bunuri diferite, cantitatea celei de-a n-a bunuri se notează cu x n, apoi un anumit set de bunuri este notat cu X = (x 1 , ..., x n). Vom lua în considerare numai cantități nenegative de mărfuri, deci x i  0 pentru orice i = 1, ..., n sau X > 0. Mulțimea tuturor mulțimilor de bunuri se numește spațiul bunurilor C. Mulțimea bunurilor poate fi tratat ca un coș în care aceste bunuri se află în cantitatea corespunzătoare.

Fie ca economia să funcționeze în spațiul mărfurilor С = (X = (x 1 , x 2 , …, x n): x 1 , …, x n  0). Spațiul produs este format din vectori n-dimensionali nenegativi. Considerăm acum un vector T de dimensiunea n, ale cărui prime m componente sunt nepozitive: x 1 , …, x m  0, iar ultimele (n-m) componente sunt nenegative: x m +1 , …, x n  0 Vectorul X = (x 1 ,…, x m ) îl numim vector de cost, iar vectorul Y = (x m+1 , …, x n) – vector de eliberare. Se numește vectorul T = (X,Y). vector de intrare-ieșire sau tehnologie.

În sensul său, tehnologia (X,Y) este o modalitate de procesare a resurselor în produse finite: prin „amestecarea” resurselor în cantitate de X, obținem produse în cantitate de Y. Fiecare producător specific este caracterizat de un anumit set τ de tehnologii, care se numește set de productie. Un set umbrit tipic este prezentat în Fig. 2.1. Un anumit producător cheltuiește un bun pentru a produce altul.

Orez. 2.1. Set de productie

Setul de producție reflectă amploarea capacităților producătorului: cu cât este mai mare, cu atât posibilitățile sale sunt mai largi. Setul de producție trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

este închis - aceasta înseamnă că dacă vectorul de intrare-ieșire T este aproximat în mod arbitrar cu exactitate prin vectori din τ, atunci T aparține lui τ (dacă toate punctele vectorului T se află în τ, atunci Tτ vezi Fig. 2.1 punctele C și B);

în τ(-τ) = (0), adică dacă Tτ, T ≠ 0, atunci -Тτ – costurile și producția nu pot fi interschimbate, adică producția este un proces ireversibil (mulțimea – τ este în al patrulea cadran , unde y este 0);

multimea este convexa, aceasta presupunere duce la o scadere a randamentului resurselor prelucrate cu o crestere a volumelor de productie (la o crestere a ratelor de consum a costurilor pentru produsele finite). Deci, din fig. 2.1 este clar că y/x  scade pe măsură ce x  -. În special, ipoteza convexității conduce la o scădere a productivității muncii cu o creștere a producției.

Adesea, convexitatea pur și simplu nu este suficientă și atunci este necesară o convexitate strictă a setului de producție (sau a unei părți a acestuia).

2.2. Curba posibilităților de producție

și costuri de oportunitate

Conceptul considerat de ansamblu de producție se distinge printr-un grad ridicat de abstractizare și, datorită generalității sale extreme, este de puțin folos pentru teoria economică.

Luați în considerare, de exemplu, Fig. 2.1. Să începem cu punctele B și C. Costurile acestor tehnologii sunt aceleași, dar rezultatul este diferit. Producătorul, dacă nu este lipsit de bun simț, nu va alege niciodată tehnologia B, deoarece există o tehnologie C mai bună. În acest caz (vezi Fig. 2.1), găsim pentru fiecare x  0 punctul cel mai înalt (x, y). ) în setul de producţie . Evident, la costul x, tehnologia (x, y) este cea mai bună. Fără tehnologie (x, b) c b funcție de producție. Definiția exactă a funcției de producție este:

Y = f(x)(x, y) τ, iar dacă (x, b)  τ și b  y, atunci b = x .

Din fig. 2.1 este clar că pentru orice x  0 un astfel de punct y = f(x) este unic, ceea ce, de fapt, ne permite să vorbim de o funcție de producție. Dar situația este atât de simplă dacă este produs un singur produs. În cazul general, pentru vectorul cost X notăm mulţimea M x = (Y:(X,Y)τ). Setul M x - este ansamblul tuturor rezultatelor posibile la costuri X. În această mulțime, luați în considerare „curba” posibilităților de producție K x = (YM x: dacă ZM x și Z  Y, atunci Z = X), adică K x - acestea sunt multe dintre cele mai bune versiuni, care sunt mai bune decât niciuna. Dacă sunt produse două bunuri, atunci aceasta este o curbă; dacă sunt produse mai mult de două bunuri, atunci aceasta este o suprafață, un corp sau un set de dimensiuni și mai mari.

Deci, pentru orice vector de cost X, toate cele mai bune rezultate se află pe curba posibilităților de producție (suprafață). Prin urmare, din motive economice, producătorul trebuie să aleagă tehnologia de acolo. Pentru cazul eliberării a două mărfuri y 1 , y 2 imaginea este prezentată în fig. 2.2.

Dacă operăm numai cu indicatori fizici (tone, metri etc.), atunci pentru un vector de cost dat X, trebuie doar să alegem vectorul de ieșire Y pe curba posibilităților de producție, dar este totuși imposibil să decidem ce ieșire specifică să alege. Dacă mulțimea de producție τ în sine este convexă, atunci M x este de asemenea convex pentru orice vector de cost X. În cele ce urmează, vom avea nevoie de convexitatea strictă a mulțimii M x. În cazul eliberării a două mărfuri, aceasta înseamnă că tangenta la curba posibilităților de producție K x are un singur punct comun cu această curbă.

Orez. 2.2. Curba posibilităților de producție

Luați în considerare acum întrebarea așa-zisului costuri de oportunitate. Să presupunem că ieșirea este fixă ​​în punctul A(y 1 , y 2), vezi fig. 2.2. Acum a devenit necesară creșterea producției celui de-al doilea bun cu y 2 , folosind, desigur, setul anterior de costuri. Acest lucru se poate face, așa cum se arată în fig. 2.2, transferarea tehnologiei la punctul B, pentru care, cu o creștere a producției celui de-al doilea produs cu y 2, va fi necesară reducerea producției primului produs cu y 1 .

imputatecheltuielia primului articol în raport cu al doilea la punctul A numit
. Dacă curba posibilităților de producție este dată de ecuația implicită F(y 1 ,y 2) = 0, atunci δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), unde derivatele parțiale sunt luate la punctul A. Dacă te uiți îndeaproape la cifra luată în considerare, poți găsi un model curios: când te deplasezi în jos pe curba posibilităților de producție de la stânga, costurile de oportunitate scad de la valori foarte mari la valori foarte mici. .

2.3. Funcțiile de producție și proprietățile lor

O funcție de producție este un raport analitic care leagă costurile variabile (factori, resurse) cu valoarea producției. Din punct de vedere istoric, una dintre primele lucrări privind construcția și utilizarea funcțiilor de producție a fost lucrarea de analiză a producției agricole din Statele Unite. În 1909, Mitcherlich a propus o funcție de producție neliniară: îngrășământ - randament. Independent de el, Spillman a propus o ecuație a randamentului exponențial. Pe baza acestora, au fost construite o serie de alte funcții de producție agrotehnică.

Funcțiile de producție sunt concepute pentru a modela procesul de producție al unei anumite unități economice: o firmă individuală, o industrie sau întreaga economie a statului în ansamblu. Cu ajutorul funcțiilor de producție, sunt rezolvate următoarele sarcini:

evaluarea returnării resurselor în procesul de producție;

prognozarea creșterii economice;

dezvoltarea de opțiuni pentru un plan de dezvoltare a producției;

optimizarea funcţionării unei unităţi economice supuse unui anumit criteriu şi constrângeri de resurse.

Vedere generală a funcției de producție: Y = Y(X 1 , X 2 , …, X i , …, X n), unde Y este un indicator care caracterizează rezultatele producției; X este un indicator factor al i-a resursă de producție; n este numărul de indicatori factori.

Funcțiile de producție sunt definite de două seturi de ipoteze: matematice și economice. Din punct de vedere matematic, se presupune că funcția de producție este continuă și dublu diferențiabilă. Ipotezele economice sunt următoarele: în absența a cel puțin unei resurse de producție, producția este imposibilă, adică Y(0, X 2 , …, X i , …, X n) =

Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …

Y(X 1 , X 2 , …, 0, …, X n) = …

Y(X 1 , X 2 , …, X i , …, 0) = 0.

Cu toate acestea, nu este posibil să se determine în mod satisfăcător singura producție Y pentru costurile date X numai cu ajutorul indicatorilor naturali: alegerea noastră s-a restrâns doar la „curba” posibilităților de producție K x . Din aceste motive, s-a dezvoltat doar teoria funcțiilor de producție ale producătorilor, a cărei producție poate fi caracterizată printr-o singură valoare - fie volumul producției, dacă se produce un produs, fie valoarea totală a întregii producții.

Spațiul de cost este m-dimensional. Fiecare punct din spațiul costului X \u003d (x 1, ..., x m) corespunde singurei producții maxime (a se vedea Fig. 2.1) produsă folosind aceste costuri. Această relație se numește funcție de producție. Cu toate acestea, funcția de producție este de obicei înțeleasă într-un mod mai puțin restrictiv, iar orice relație funcțională între intrare și ieșire este considerată o funcție de producție. În cele ce urmează, vom presupune că funcția de producție are derivatele necesare. Se presupune că funcția de producție f(X) satisface două axiome. Prima dintre acestea afirmă că există un subset al spațiului de cost numit zona economica E, în care o creștere a oricărui tip de intrare nu duce la o scădere a producției. Astfel, dacă X 1 , X 2 sunt două puncte ale acestei zone, atunci X 1  X 2 implică f(X 1)  f(X 2). În formă diferenţială, aceasta se exprimă prin faptul că în această regiune toate derivatele parţiale prime ale funcţiei sunt nenegative: f/x 1 ≥ 0 (pentru orice funcţie crescătoare, derivata este mai mare decât zero). Aceste derivate se numesc produse marginale, iar vectorul f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – vector al produselor marginale (afișează de câte ori se va modifica rezultatul cu o modificare a costurilor).

A doua axiomă afirmă că există o submulțime convexă S a domeniului economic pentru care submulțimile (XS:f(X)  a) sunt convexe pentru toate a  0. În această submulțime S, matricea Hesse compusă din derivate secunde ale funcției f(X) , este definită negativ, prin urmare,  2 f/x 2 i

Să ne oprim asupra conținutului economic al acestor axiome. Prima axiomă afirmă că funcția de producție nu este o funcție complet abstractă inventată de un matematician teoretician. Ea reflectă o afirmație importantă din punct de vedere economic, incontestabilă și în același timp banală, chiar dacă nu în întregul său domeniu de definire, ci doar în parte: VÎntr-o economie rezonabilă, o creștere a inputurilor nu poate duce la o scădere a producției. Din a doua axiomă vom explica doar sensul economic al cerinței ca derivata  2 f/x 2 i să fie mai mică decât zero pentru fiecare tip de cost. Această proprietate se numește în economie in spatekonom de randamente descrescătoare sau randamente descrescătoare: pe măsură ce costurile cresc, începând de la un moment dat (la intrarea în zona S!), cuprodusul marginal începe să scadă. Exemplul clasic al acestei legi este adăugarea din ce în ce mai multă forță de muncă la producția de cereale pe o bucată fixă ​​de pământ. În cele ce urmează, se înțelege că funcția de producție este considerată pe un domeniu S în care ambele axiome sunt valabile.

Este posibil să compuneți funcția de producție a unei întreprinderi date fără să știți măcar nimic despre ea. Este necesar doar să puneți un contor (o persoană sau un fel de dispozitiv automat) la porțile întreprinderii, care va înregistra X - resursele importate și Y - cantitatea de produse pe care întreprinderea le-a produs. Dacă acumulați o mulțime de astfel de informații statice, luați în considerare munca întreprinderii în diferite moduri, atunci puteți prezice producția, cunoscând doar volumul resurselor importate, iar aceasta este cunoașterea funcției de producție.

2.4. Funcția de producție Cobb-Douglas

Luați în considerare una dintre cele mai comune funcții de producție - funcția Cobb-Douglas: Y = AK  L  , unde A, ,  > 0 sunt constante,  + 

Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.

Negativitatea derivatelor a doua parțiale, adică scăderea produselor marginale: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.

Să trecem la principalele caracteristici economice și matematice ale funcției de producție Cobb-Douglas. Productivitatea medie a muncii definit ca y = Y/L – raportul dintre volumul de produs produs și cantitatea de muncă cheltuită; randamentul mediu al activelor k = Y/K - raportul dintre volumul produsului produs și valoarea fondurilor.

Pentru funcţia Cobb-Douglas, productivitatea medie a muncii y = AK  L  , iar datorită condiţiei  cu creşterea costurilor muncii, productivitatea medie a muncii scade. Această concluzie permite o explicație firească - întrucât valoarea celui de-al doilea factor K rămâne neschimbată, înseamnă că forța de muncă nou atrasă nu este dotată cu mijloace de producție suplimentare, ceea ce duce la o scădere a productivității muncii (acest lucru este valabil și în cazul cel mai general – la nivelul seturilor de producţie).

Productivitatea marginală a muncii Y/L = AβK α L β -1 > 0, ceea ce arată că pentru funcția Cobb-Douglas, productivitatea marginală a muncii este proporțională cu productivitatea medie și mai mică decât aceasta. În mod similar, se determină randamentul mediu și marginal al activelor. Pentru ei, raportul indicat este de asemenea adevărat - rentabilitatea marginală a activelor este proporțională cu rentabilitatea medie a activelor și mai mică decât aceasta.

O caracteristică importantă este raportul capital-muncă f = K/L, care arată suma de fonduri atribuibile unui angajat (pe unitate de muncă).

Să aflăm acum elasticitatea producției în raport cu munca:

(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.

Deci sensul este clar parametru - Acest elasticitatea (raportul dintre productivitatea marginală a muncii și productivitatea medie a muncii) producției în raport cu munca. Elasticitatea producției în raport cu forța de muncă înseamnă că, pentru a crește producția cu 1%, este necesară creșterea volumului resurselor de muncă cu %. Are o semnificație similară parametru – este elasticitatea producției față de fonduri.

Și încă o valoare este interesantă. Fie  +  = 1. Este ușor de verificat că Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (substituind Y/K, Y/L calculate anterior în această formulă). Să presupunem că societatea este formată doar din muncitori și antreprenori. Apoi venitul Y este împărțit în două părți - venitul lucrătorilor și venitul antreprenorilor. Deoarece valoarea lui Y/L - produsul marginal al muncii - coincide cu salariile la dimensiunea optimă a firmei (se poate dovedi), atunci (Y/L)L reprezintă venitul muncitorilor. În mod similar, valoarea lui Y/K este rentabilitatea marginală a activelor, al cărei sens economic este rata rentabilității, prin urmare, (Y/K)K reprezintă venitul antreprenorilor.

Funcția Cobb-Douglas este cea mai cunoscută dintre toate funcțiile de producție. În practică, la construirea acestuia, unele cerințe sunt uneori abandonate (de exemplu, suma  +  poate fi mai mare decât 1 etc.).

Exemplul 1 Fie funcția de producție funcția Cobb-Douglas. Pentru a crește producția cu a = 3%, este necesar să se mărească activele fixe cu b = 6% sau numărul de angajați cu c = 9%. În prezent, un muncitor pe lună produce produse pentru M = 10 4 ruble . , iar numărul total de angajați este L = 1000. Mijloacele fixe sunt estimate la K = 10 8 ruble. Găsiți o funcție de producție.

Soluţie. Să găsim coeficienții , :  = a/b = 3/6 = 1/2,  = a/c = = 3/9 = 1/3, deci, Y = AK 1/2 L 1/3. Pentru a găsi A, înlocuim valorile K, L, M în această formulă, ținând cont că Y = ML = 1000 . 10 4 \u003d 10 7 - - 10 7 \u003d A (10 8) 1/2 1000 1/3. Prin urmare, A = 100. Astfel, funcția de producție are forma: Y = 100K 1/2 L 1/3 .

2.5. Teoria firmei

În secțiunea anterioară, când am analizat și modelat comportamentul producătorului, am folosit doar indicatori fizici și am făcut fără prețuri, dar nu am putut rezolva în final problema producătorului, adică să indicăm singura modalitate prin care acesta poate acționa în condițiile actuale. Acum să aruncăm o privire la prețuri. Fie P un vector de preț. Dacă T = (X,Y) este o tehnologie, adică vectorul de intrare-ieșire, X este costuri, Y este ieșire, atunci produsul scalar PT = PX + PY este profitul din utilizarea tehnologiei T (costurile sunt cantități negative) . Acum formulăm formalizarea matematică a axiomei care descrie comportamentul producătorului.

Provocarea producătorului: Un producător selectează o tehnologie din setul său de producție într-un efort de a maximiza profiturile . Deci, producătorul rezolvă următoarea problemă: РТ→max, Tτ. Această axiomă simplifică drastic situația de alegere. Deci, dacă prețurile sunt pozitive, ceea ce este firesc, atunci componenta „ieșire” a soluției acestei probleme se va afla automat pe curba posibilităților de producție. Într-adevăr, fie T = (X,Y) o soluție la problema producătorului. Atunci există ZK x , Z  Y, prin urmare, P(X, Z)  P(X, Y), deci punctul (X, Z) este de asemenea o soluție la problema producătorului.

Pentru cazul a două tipuri de produse, problema poate fi rezolvată grafic (Fig. 2.3). Pentru a face acest lucru, trebuie să „deplasați” o linie dreaptă perpendiculară pe vectorul P, în direcția în care arată; atunci ultimul punct, când această dreaptă intersectează încă mulțimea de producție, va fi soluția (în Fig. 2.3. acesta este punctul T). Este ușor de observat că convexitatea strictă a părții dorite a setului de producție în al doilea cadran garantează unicitatea soluției. Același raționament se aplică și în cazul general, pentru un număr mai mare de intrări și ieșiri. Cu toate acestea, nu vom urma această cale, ci vom folosi aparatul de funcții de producție și vom numi producătorul o firmă. Deci, producția firmei poate fi caracterizată printr-o singură valoare - fie volumul producției, dacă se produce un produs, fie costul total al întregii producții. Spațiul de cost este m-dimensional, vectorul de cost X = (x 1 , …, x m). Costurile determină în mod unic producția Y, iar această relație este funcția de producție Y = f(X).

Orez. 2.3. Rezolvarea problemei producatorului

În această situație, notăm cu P vectorul prețurilor pentru bunurile de intrare și fie v prețul unitar al bunurilor produse. Prin urmare, profitul W, care este în cele din urmă o funcție a lui X (și a prețurilor, dar sunt considerate constante), este W(X) = vf(X) – PX→max, X  0. Echivalarea derivatelor parțiale ale funcției W la zero, obținem:

v(f/x j) = p j pentru j = 1, …, m sau v(f/X) = P (2.1)

Vom presupune că toate costurile sunt strict pozitive (costurile zero pot fi pur și simplu excluse din considerare). Atunci punctul dat de relația (2.1) se dovedește a fi intern, adică un punct extremum. Și deoarece se presupune și definiția negativă a matricei Hesse a funcției de producție f (X) (pe baza cerințelor pentru funcțiile de producție), acesta este punctul maxim.

Deci, conform ipotezelor naturale privind funcțiile de producție (aceste ipoteze sunt valabile pentru un producător cu bun simț și într-o economie rezonabilă), relația (2.1) oferă o soluție la problema firmei, adică determină volumul X * al resurselor procesate, rezultând în ieșirea Y * = f(X *) Punctul X * , sau (X * ,f(X *)) se numește decizia optimă a firmei. Să ne oprim asupra semnificației economice a relației (2.1). După cum sa menționat, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) se numește vector de produs marginal sau vector de produs marginal, iar f/x i se numește i-a produs marginal, sau eliberați răspunsul la o modificare i costul articolului. Prin urmare, vf/x i dx i este Preț i -al-lea produs marginal derivat suplimentar din dx i unitati i -a resursă. Cu toate acestea, costul unităților dx i ale i-a resursă este egal cu p i dx i , adică s-a obținut un echilibru: este posibil să se implice dx i unități suplimentare ale i-a resursă în producție prin cheltuirea p i dx i la achiziționarea sa, dar nu va exista niciun câștig, t vom primi după procesarea produselor exact în aceeași sumă pe care am cheltuit-o. În consecință, punctul optim dat de relația (2.1) este punctul de echilibru - nu mai este posibil să stoarce mai mult din resursele-marfă decât a fost cheltuit pentru achiziționarea lor.

Evident, creșterea producției firmei s-a produs treptat: la început, costul produselor marginale a fost mai mic decât prețul de achiziție al mărfurilor-resurse necesare producerii acestora. Creșterea volumelor de producție continuă până când relația (2.1) începe să fie îndeplinită: egalitatea valorii produselor marginale și a prețului de cumpărare necesar pentru producerea acestora de resurse-marfă.

Să presupunem că în problema firmei W(X) = vf(X) – PX → max, X  0, soluția X * este unică pentru v > 0 și P > 0. Astfel, obținem funcția vectorială X * = X * ( v, P) sau funcțiile x * I = x * i (v, p 1 , p m) pentru i = 1, …, m. Aceste m funcții sunt numite funcţiile cererii de resurse la preţuri date pentru produse şi resurse. În mod substanțial, aceste funcții înseamnă că dacă se formează prețurile P pentru resurse și prețul v pentru produsul de ieșire, acest producător (caracterizat prin această funcție de producție) determină volumul resurselor prelucrate prin funcțiile x * I = x * i (v). , p 1 , p m) și solicită aceste volume în piață. Cunoscând volumele de resurse prelucrate și substituind acestora în funcția de producție, obținem producție în funcție de prețuri; notăm această funcție prin q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . Se numeste funcția de sugestie de produsîn funcţie de preţul v pentru produse şi preţurile P pentru resurse.

A-priorie, resursă de tip i-a numit de mică valoare, dacă și numai dacă,x * i /v adică odată cu creșterea prețului produselor, cererea pentru o resursă de valoare mică scade. Se poate demonstra o relație importantă: q * /P = -X * /v sau q * /p i = -x * i /v, pentru i = 1, …, m. Prin urmare, o creștere a prețului de producție duce la o creștere (scădere) a cererii pentru un anumit tip de resursă dacă și numai dacă o creștere a plății pentru această resursă duce la o scădere (creștere) a producției optime. Aceasta arată principala proprietate a resurselor de valoare mică: o creștere a plății pentru ei duce la o creștere a producției! Cu toate acestea, este posibil să se dovedească riguros existența unor astfel de resurse, creșterea plății pentru care duce la o scădere a producției (adică, toate resursele nu pot fi de valoare scăzută).

De asemenea, se poate demonstra că x * i /p i sunt complementare dacă x * i /p j sunt interschimbabile dacă x * i /p j > 0. Adică, pentru resursele complementare, o creștere a prețului unul dintre ele duce la o scădere a cererii pentru altul, iar pentru resursele fungibile, o creștere a prețului unuia dintre ele duce la o creștere a cererii pentru celălalt. Exemple de resurse complementare: un computer și componentele sale, mobilier și lemn, șampon și balsam pentru acesta. Exemple de resurse fungibile: zahăr și înlocuitori ai zahărului (cum ar fi sorbitol), pepeni și pepeni, maioneză și smântână, unt și margarină etc.

Exemplul 2 Pentru o firmă cu o funcție de producție Y = 100K 1/2 L 1/3 (din exemplul 1), găsiți dimensiunea optimă dacă perioada de amortizare a mijloacelor fixe N=12 luni, salariul angajatului pe lună a = 1000 de ruble.

Soluţie. Mărimea optimă a producției sau a volumului de producție se găsește din relația (2.1). În acest caz, producția este măsurată în termeni monetari, astfel încât v = 1. Costul de întreținere lunară a unei ruble de fonduri este 1/N, adică obținem un sistem de ecuații

, rezolvand care gasim raspunsul:
, L = 8 . 10 3 , K = 144 . 10 6 .

2.6. Sarcini

1. Fie funcția de producție funcția Cobb-Douglas. Pentru a crește producția cu 1%, este necesară creșterea activelor fixe cu b = 4% sau a numărului de angajați cu c = 3%. În prezent, un muncitor pe lună produce produse pentru M = 10 5 ruble . , iar numărul total de angajați este L = 10 4 . Activele fixe sunt evaluate la K = 10 6 ruble. Găsiți funcția de producție, randamentul mediu al activelor, productivitatea medie a muncii, raportul capital-muncă.

2. Un grup de „comercianți cu navetă” în valoare de E a decis să facă echipă cu N vânzători. Profitul dintr-o zi de muncă (venituri minus cheltuieli, dar nu salarii) este exprimat prin formula Y = 600(EN) 1/3 . Salariu "navetă" 120 de ruble. pe zi, vânzătorul - 80 de ruble. într-o zi. Găsiți compoziția optimă a grupului de „navete” și vânzători, adică câte „navete” ar trebui să fie și câți vânzători.

3. Omul de afaceri a decis să înființeze o mică companie de camioane. După ce a trecut în revistă statisticile, a văzut că dependența aproximativă a câștigurilor zilnice de numărul de mașini A și numărul N este exprimată prin formula Y = 900A 1/2 N 1/4. Amortizarea și alte cheltuieli zilnice pentru o mașină sunt de 400 de ruble, salariul zilnic al unui muncitor este de 100 de ruble. Găsiți numărul optim de muncitori și vehicule.

4. Omul de afaceri a decis să deschidă un bar de bere. Să presupunem că dependența veniturilor Y (minus costul berii și gustărilor) de numărul de mese M și de numărul de chelneri F este exprimată prin formula Y = 200M 2/3 F 1/4 . Costul pentru o masă este de 50 de ruble, salariul chelnerului este de 100 de ruble. Găsiți dimensiunea optimă a barului, adică numărul de chelneri și mese.

Setul de formalizare al tuturor vectorilor realizabili din punct de vedere tehnologic ai ieșirilor nete.

Definiție

Lasă economia să aibă $N$ bun. În procesul de producere a acestora $n$ bunurile sunt cheltuite. Să notăm vectorul acestor beneficii (costuri) $X$(dimensiunea vectorială $n$). Alte $m=n-n$ bunurile sunt produse în procesul de producție (dimensiunea vectorului este $m$). Să notăm vectorul acestor beneficii $y$. Apoi vectorul $z=(-x,y)$(dimensiunea - $N$) se numește vector probleme nete. Setul tuturor vectorilor realizabili din punct de vedere tehnologic ai ieșirilor nete constituie set tehnologic. De fapt, acesta este un subset al spațiului $R^N$.

Pentru cititorii care au dificultăți cu conceptele de vector, setați:

vector - o listă de beneficii, fiecare beneficiu este descris prin cantitatea sa, un set de numere;

toate bunurile cheltuite în producție sunt înregistrate la începutul vectorului de ieșire netă z cu semnul minus (-x), produs cu semnul plus (y);

toate combinațiile posibile pentru producție formează un set tehnologic (combinații de ieșire).

Proprietăți

• nevile: setul tehnologic nu este gol. Non-viditatea înseamnă posibilitatea fundamentală de producție.
• Permisibilitatea inactivității: vectorul zero aparține mulțimii tehnologice. Această proprietate formală înseamnă că producția zero la cost zero este acceptabilă.
• Închidere: mulţimea tehnologică conţine graniţa sa şi limita oricărei secvenţe de vectori realizabili din punct de vedere tehnologic ai ieşirilor nete aparţine, de asemenea, mulţimii tehnologice.
• Libertatea de a cheltui: dacă vectorul dat $z$ aparține mulțimii tehnologice, apoi orice vector $z"\backslash leqslant\; z$. Aceasta înseamnă că în mod formal același volum de producție poate fi produs la un cost mai mare.
• Lipsa cornului abundentei: dintre vectorii de ieșire net nenegativi, doar vectorul zero aparține setului de tehnologie. Aceasta înseamnă că sunt necesare costuri diferite de zero pentru a produce un produs într-o cantitate pozitivă.
• ireversibilitate: pentru orice vector valid $z$, vector opus $-z$ nu aparţine ansamblului tehnologic. Adică, este imposibil să se producă resurse din producție în aceeași cantitate în care sunt utilizate pentru a produce acest produs.
• Aditivitate: suma a doi vectori validi este de asemenea un vector valid. Adică este permisă o combinație de tehnologii.
• Proprietăți asociate cu randamentele la scară de producție:
  • Randamente la scară necrescătoare: pentru oricine $\backslash lambda\; \backslash in(0;1)$ $\backslash lambda\; z$
  • Randamente la scară nedescrescătoare: pentru oricine $\backslash lambda\; >1$ dacă z aparține mulțimii tehnologice, atunci $\backslash lambda\; z$ aparţine şi ansamblului tehnologic.
  • Reveniri constante la scară: executarea simultană a celor două proprietăți anterioare, adică pentru orice pozitiv $\backslash lambda$ Dacă $z$ aparține ansamblului tehnologic, deci $\backslash lambda\; z$ aparţine şi ansamblului tehnologic. Proprietatea randamentelor constante înseamnă că setul tehnologic este un con.

8. Convex: pentru oricare doi vectori validi $z\_1,\; z\_2$ sunt de asemenea admisi orice vectori $\backslash alphaz\_1\; +(1-\backslash alpha)z\_2$, Unde . Proprietatea convexității înseamnă capacitatea de a „amesteca” tehnologii. În special, se mulțumește dacă setul tehnologic are proprietatea de aditivitate și randamente la scară necrescătoare. Mai mult, în acest caz setul tehnologic este un con convex.

Frontiera efectivă a setului de tehnologie

Tehnologie acceptabilă $z$ numit efectiv, dacă nu există altă tehnologie acceptabilă care să fie diferită de aceasta $z"\backslash geqslant\; z$. Se formează multe tehnologii eficiente frontieră efectivă set tehnologic.

Dacă este îndeplinită condiția de cheltuieli libere și de închidere a setului tehnologic, atunci este imposibil să creșteți la infinit producția unui bun fără a reduce producția altora. În acest caz, pentru orice tehnologie admisă $z$ există o tehnologie eficientă $z"\backslash geqslant\; z$. În acest caz, în locul întregului set tehnologic, se poate folosi doar limita efectivă a acestuia. De obicei, frontiera efectivă poate fi dată de o anumită funcție de producție.

funcția de producție

Să luăm în considerare tehnologiile cu un singur produs $(-X\; y)$, Unde $y$- vector de dimensiune $m=1$, A $X$- vectorul costului dimensiunii $n$. Luați în considerare setul $X$, care include toți vectorii de cost posibili $X$, astfel încât pentru fiecare $X$ există $y$, astfel încât vectorii neți de ieșire $(-X\; y)$ aparțin ansamblului tehnologic.

Funcția numerică $f(x)$ pe $X$ numit funcția de producție, dacă pentru fiecare vector de cost dat $X$ sens $f(x)$ definește valoarea maximă a ieșirii permise $y$(astfel încât vectorul net de ieșire (-x,y) să aparțină mulțimii tehnologice).

Orice punct al limitei efective a ansamblului tehnologic poate fi reprezentat ca $(-x,f(x))$, iar opusul este adevărat dacă $f(x)$ este o funcție crescătoare (în acest caz $y=f(x)$ este ecuația la frontieră efectivă). Dacă setul de tehnologie are libertatea de a cheltui proprietatea și poate fi descris de o funcție de producție, atunci setul de tehnologie este determinat pe baza inegalității $y\backslash leqslant\; f(x)$.

Pentru ca setul tehnologic să fie specificat folosind funcția de producție, este suficient ca pentru oricare $X$ o multime de $F(x)$ rezultate admisibile la costuri date $X$, a fost limitat și închis. În special, această condiție este îndeplinită dacă setul tehnologic îndeplinește proprietățile de închidere, randamente la scară necrescătoare și absența unei cornucopii.

Dacă setul tehnologic este convex, atunci funcția de producție este concavă și continuă pe interiorul setului $X$. Dacă condiția de cheltuieli gratuite este îndeplinită, atunci $f(x)$ este o funcție nedescrescătoare (în acest caz, convexitatea mulțimii tehnologice rezultă și din concavitatea funcției). În sfârșit, dacă atât condiția absenței unei cornuri abundenței, cât și permisiunea inactivității sunt îndeplinite simultan, atunci $f(0)=0$.

Dacă funcția de producție este diferențiabilă, atunci se poate defini un local elasticitatea scariiîn următoarele moduri echivalente:

$e(x)=\backslash frac\; (d\; f(\backslash lambda\; x))(d\; \backslash lambda)\; \backslash cdot\; \backslash frac\; (\backslash lambda)(f(x))|\_(\backslash lambda=1)=\backslash frac\; (f"(x)\; )x)(f(x))$

Unde $f"(x)$ este vectorul gradient al funcției de producție.

După ce am determinat astfel elasticitatea scării, se poate demonstra că dacă mulţimea tehnologică are proprietatea randamentelor constante la scară, atunci $e(x)=1$, dacă randamentele descrescătoare la scară, atunci $e(x)\; \backslash leqslant\; 1$, dacă randamente crescătoare, atunci $e(x)\backslash geqslant\; 1$.

Provocarea producătorului

Dacă este dat vectorul preț $p$, apoi produsul $pz$ este profitul producătorului. Sarcina producătorului este să găsească un astfel de vector $z$ astfel încât pentru un vector de preț dat, profitul este maximizat. Ansamblul prețurilor mărfurilor pentru care această problemă are o soluție se notează prin $P$. Se poate demonstra că pentru un set tehnologic nevid, închis, cu randamente la scară necrescătoare, problema producătorului are o soluție pe setul de prețuri. $P$, dând un profit negativ pe așa-numitul recesiv direcții (aceștia sunt vectori $z$ set tehnologic pentru care, pentru orice nenegativ $\backslash lambda$ vectori $\backslash lambda\; z$ aparțin și ansamblului tehnologic). În special, dacă setul de direcții recesive coincide cu $R^N\_-$, atunci soluția există pentru orice preț pozitiv.

functia profitului $\backslash pi(p)$ definit ca $pz(p)$, Unde $z(p)$- rezolvarea problemei producătorului la prețuri date (aceasta este așa-numita funcție de aprovizionare, eventual multivalorică). Funcția de profit este omogenă pozitiv (de gradul I), adică. $\backslash pi(\backslash lambda\; p)=\backslash lambda\; \backslash pi(p)$ si continuu pe interior $P$. Dacă setul tehnologic este strict convex, atunci și funcția de profit este diferențiabilă continuu. Dacă setul tehnologic este închis, atunci funcția de profit este convexă pe orice subset convex de prețuri admisibile $P$.

Funcția (afișarea) ofertei $z(p)$ este pozitiv omogen de gradul zero. Dacă setul de tehnologie este strict convex, atunci funcția de furnizare este cu o singură valoare pe P și continuă pe interior $P$. Dacă o funcție de ofertă este de două ori diferențiabilă, atunci matricea Jacobi a acestei funcții este simetrică și definită nenegativă.

Dacă setul de tehnologie este reprezentat de o funcție de producție, atunci profitul este definit ca $pf(x)-wx$, Unde $w$ este vectorul prețurilor pentru factorii de producție, $p$în acest caz, prețul producției. Apoi pentru orice soluție internă (adică aparținând interiorului $X$) problema producătorului este că produsul marginal al fiecărui factor este egal cu prețul său relativ, adică sub formă vectorială $f"(x)=w/p$.

Dacă este dată funcţia de profit $\backslash pi(p)$, care este o funcție de două ori continuu diferențiabilă, convexă și pozitiv omogenă (de gradul I), atunci este posibil să se restabilească mulțimea tehnologică ca o mulțime care conține pentru orice vector de preț nenegativ $p$ vectori de emisiune netă $z$ satisfacerea inegalitatii $pz\backslash leqslant\backslash pi(p)$. De asemenea, se poate demonstra că dacă funcția de ofertă este omogenă pozitiv de gradul zero și matricea primelor sale derivate este continuă, simetrică și nenegativă definită, atunci funcția de profit corespunzătoare satisface cerințele de mai sus (reversul este, de asemenea, adevărat) .

Vezi si

Scrieți o recenzie la articolul „Set tehnologic”

Literatură

Un fragment care caracterizează ansamblul Tehnologic

Prințesa, zâmbind, a ascultat.
„Dacă Bonaparte rămâne încă un an pe tronul Franței”, a continuat vicontele conversația începută, cu aerul unui om care nu-i ascultă pe ceilalți, ci într-o chestiune pe care o cunoaște cel mai bine dintre toate, urmând doar cursul gândurilor sale, „lucrurile vor merge prea departe. Prin intrigă, violență, expulzări, execuții, societate, vreau să spun o societate bună, franceză, va fi distrusă pentru totdeauna și apoi...
El a ridicat din umeri și a întins brațele. Pierre a vrut să spună ceva: conversația îl interesa, dar Anna Pavlovna, care îl păzea, l-a întrerupt.
„Împăratul Alexandru”, a spus ea cu tristețea care a însoțit întotdeauna discursurile ei despre familia imperială, „a anunțat că îi va lăsa pe francezi să-și aleagă forma de guvernare. Și cred că nu există nicio îndoială că întreaga națiune, eliberată de uzurpator, se va arunca în mâinile regelui de drept ”, a spus Anna Pavlovna, încercând să fie bună cu emigrantul și regalistul.
„Este îndoielnic”, a spus prințul Andrei. - Monsieur le vicomte [domnul viconte] crede pe bună dreptate că lucrurile au mers deja prea departe. Cred că va fi greu să mă întorc la cea veche.
„Din câte am auzit”, a intervenit Pierre, roșind, din nou în conversație, „aproape toată nobilimea a trecut deja de partea lui Bonaparte.
— Așa spun bonapartiștii, spuse vicontele, fără să se uite la Pierre. „Acum este dificil să cunoaștem opinia publică a Franței.
- Bonaparte l "a dit, [Bonaparte a spus asta,] - spuse prințul Andrei zâmbind.
(Era evident că nu-i plăcea vicontele și că, deși nu se uita la el, își întoarse discursurile împotriva lui.)
- „Je leur ai montre le chemin de la gloire”, a spus el după o scurtă tăcere, repetând din nou cuvintele lui Napoleon: „ils n" en ont pas voulu; je leur ai ouvert mes antichambres, ils se sont precipites en foule ".. Je ne sais pas a quel point il a eu le droit de le dire. știi în ce măsură avea dreptul să spună asta.]
- Aucun, [Niciunul,] - a obiectat vicontele. „După uciderea ducelui, chiar și cei mai părtinitori au încetat să-l mai vadă ca pe un erou. Si meme ca a ete un heros pour certaines gens, - spuse vicontele, întorcându-se către Anna Pavlovna, - depuis l "assassinat du duc il y a un Marietyr de plus dans le ciel, un heros de moins sur la terre. [Dacă era erou pentru unii oameni, apoi, după uciderea ducelui, a mai fost un martir în cer și un erou mai puțin pe pământ.]
Anna Pavlovna și ceilalți încă nu avuseseră timp să aprecieze zâmbind aceste cuvinte ale vicontelui, când Pierre a izbucnit din nou în conversație, iar Anna Pavlovna, deși avea presimțirea că va spune ceva indecent, nu l-a mai putut opri. .
„Execuția ducelui de Enghien”, a spus domnul Pierre, „a fost o necesitate a statului; și văd tocmai măreția sufletului în faptul că lui Napoleon nu se temea să-și asume singur responsabilitatea pentru acest act.
– Dieul mon Dieu! [Dumnezeu! Doamne!] – spuse Anna Pavlovna în șoaptă cumplită.
- Comentează, M. Pierre, vous trouvez que l "assassinat est grandeur d" ame, [Cum vezi, domnule Pierre, măreția sufletului în crimă,] spuse micuța prințesă, zâmbind și îndreptându-și munca spre ea.
- Ah! Oh! au spus voci diferite.
— Capitală! [Excelent!] – a spus prințul Ippolit în engleză și a început să-și bată genunchiul cu palma.
Vicontele doar a ridicat din umeri. Pierre s-a uitat solemn peste ochelari la public.
„Motivul pentru care spun asta”, a continuat el disperat, „este că Bourbonii au fugit de la revoluție, lăsând poporul în sarcina anarhiei; și numai Napoleon a știut să înțeleagă revoluția, să o învingă și, prin urmare, pentru binele comun, nu se putea opri înaintea vieții unui singur om.
Ai vrea să mergi la masa aceea? a spus Anna Pavlovna.
Dar Pierre, fără să răspundă, și-a continuat discursul.
„Nu”, a spus el, devenind din ce în ce mai animat, „Napoleon este grozav pentru că s-a ridicat deasupra revoluției, a suprimat abuzurile acesteia, a păstrat tot ce era bun – atât egalitatea cetățenilor, cât și libertatea de exprimare și de presă – și numai din această cauză a dobândit putere.
„Da, dacă el, luând puterea, fără să o folosească pentru crimă, i-ar fi dat-o regelui de drept”, a spus vicontele, „atunci l-aș numi un om mare”.
„Nu ar fi putut să o facă. Poporul i-a dat putere doar pentru ca el să-l elibereze de la Bourboni și pentru că oamenii îl vedeau ca pe un om mare. Revoluția a fost un lucru grozav”, a continuat domnul Pierre, arătând cu această propoziție introductivă disperată și sfidătoare marea sa tinerețe și dorința de a se exprima din ce în ce mai deplin.
- Revoluția și regicidul sunt un lucru grozav?... După aceea... nu vrei să mergi la masa aceea? repetă Anna Pavlovna.
- Contrat social, [Contract social,] - spuse vicontele cu un zâmbet blând.
„Nu vorbesc de regicid. Eu vorbesc despre idei.
— Da, ideile de jaf, crimă și regicid, o întrerupse din nou vocea ironică.
- Acestea au fost extreme, desigur, dar nu în ele tot sensul, ci sensul în drepturile omului, în emanciparea de prejudecăți, în egalitatea cetățenilor; și toate aceste idei Napoleon le-a păstrat în toată forța lor.
„Libertate și egalitate”, a spus disprețuitor vicontele, de parcă s-ar fi hotărât în ​​sfârșit să-i demonstreze cu seriozitate acestui tânăr prostia discursurilor sale, „toate cuvinte mari care au fost de mult compromise. Cine nu iubește libertatea și egalitatea? Chiar și Mântuitorul nostru a predicat libertatea și egalitatea. Au devenit oamenii mai fericiți după revoluție? Împotriva. Noi am vrut libertate, dar Bonaparte a distrus-o.
Prințul Andrei s-a uitat zâmbind mai întâi la Pierre, apoi la viconte, apoi la gazdă. În primul minut al zdrobirilor lui Pierre, Anna Pavlovna a fost îngrozită, în ciuda obiceiului ei de a fi pe lume; dar când a văzut că, în ciuda discursurilor hulitoare rostite de Pierre, vicontele nu și-a pierdut cumpătul și, când a fost convinsă că nu mai este posibil să tacă aceste discursuri, și-a adunat puterile și, alăturându-se vicontelui, a atacat. vorbitorul.
- Mais, mon cher m r Pierre, [Dar, dragul meu Pierre,] - spuse Anna Pavlovna, - cum îi explici pe marele om care l-a putut executa pe duce, în sfârșit, doar un om, fără proces și fără vinovăție?
„Aș vrea să întreb”, a spus vicontele, „cum explică domnul al 18-lea brumaire”. Nu este asta o înșelăciune? C "est un escamotage, qui ne ressemble nullement a la maniere d" agir d "un grand homme.
— Și prizonierii din Africa pe care i-a ucis? spuse mica prințesă. - E oribil! Și ea a ridicat din umeri.
- C "est un roturier, vous aurez beau dire, [Acesta este un necinstit, indiferent ce spui,] - a spus Prințul Hippolyte.
Monsieur Pierre nu știa cui să răspundă, se uită în jur la toată lumea și zâmbi. Zâmbetul lui nu era același cu al altora, îmbinându-se cu un zâmbet. Dimpotrivă, când a venit un zâmbet, chipul lui serios și chiar oarecum mohorât a dispărut brusc și a apărut altul - copilăresc, bun, chiar prost și parcă și-ar cere iertare.
Vicontelui, care l-a văzut pentru prima dată, i-a devenit clar că acest iacobin nu era deloc la fel de groaznic ca cuvintele lui. Toată lumea a tăcut.
- Cum vrei să răspundă dintr-o dată? – a spus prințul Andrew. - Mai mult, în acțiunile unui om de stat, este necesar să se facă distincția între acțiunile unei persoane private, ale unui comandant sau ale unui împărat. Așa mi se pare.
— Da, da, desigur, ridică Pierre, încântat de ajutorul care îi venea.
„Este imposibil să nu mărturisești”, a continuat prințul Andrei, „Napoleon ca bărbat este grozav pe podul Arkol, în spitalul din Jaffa, unde dă o mână de ajutor ciumei, dar... dar sunt și alte acțiuni care sunt greu de justificat.
Prințul Andrei, dorind aparent să atenueze stânjenia discursului lui Pierre, s-a ridicat, pregătindu-se să plece și dându-i un semn soției sale.

Deodată, prințul Hippolyte s-a ridicat și, oprindu-i pe toți cu semne ale mâinilor și rugându-i să se așeze, a vorbit:
- Ah! aujourd "hui on m" a raconte une anecdote moscovite, charmante: il faut que je vous en regale. Vous m "excusez, vicomte, il faut que je raconte en russe. Autrement on ne sentira pas le sel de l" histoire. [Astăzi mi s-a spus o anecdotă fermecătoare la Moscova; trebuie să-i încurajezi. Scuzați-mă, viconte, vă spun în rusă, altfel se va pierde tot rostul glumei.]
Și prințul Hippolyte a început să vorbească rusă cu o astfel de pronunție precum o vorbesc francezii, care au petrecut un an în Rusia. Toată lumea făcu o pauză: atât de animat, prințul Hippolyte a cerut urgent să acorde atenție istoriei sale.
- În Moscou există o singură doamnă, une dame. Și este foarte zgârcită. Trebuia să aibă doi valeți de pied pe trăsură. Și foarte mare. Era gustul ei. Și ea avea o une femme de chambre [servitoare] încă înaltă. Ea a spus…
Aici prințul Hippolyte a căzut pe gânduri, aparent având dificultăți de gândire.
- Ea a spus... da, a spus: „fată (a la femme de chambre), îmbrăcă-te cu livree [livrea] și du-te cu mine, în spatele trăsurii, faire des visites”. [fă vizite.]
Aici prințul Ippolit a pufnit și a râs mult în fața ascultătorilor săi, ceea ce a făcut o impresie nefavorabilă naratorului. Cu toate acestea, mulți, inclusiv doamna în vârstă și Anna Pavlovna, au zâmbit.
- Ea a mers. Deodată a fost un vânt puternic. Fata și-a pierdut pălăria și părul lung a fost pieptănat...
Aici n-a mai putut să se țină și a început să râdă brusc, iar prin acest râs a spus:
Și toată lumea știe...
Acolo se termină gluma. Deși nu era clar de ce o spunea și de ce trebuia spus fără greș în rusă, Anna Pavlovna și alții au apreciat amabilitatea seculară a prințului Hippolyte, care a încheiat atât de plăcut trucul neplăcut și neplăcut al domnului Pierre. Conversația de după anecdotă s-a prăbușit în discuții mici, nesemnificative despre viitor și balul trecut, spectacol, despre când și unde se va vedea cineva.